2021-2022学年数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.1.2空间向量基本定理（共2课时）教学设计

1.2“空间向量基本定理”-课时教学设计
一、内容及其解析
1.内容：空间向量基本定理及其应用
2.内容解析：
内容的本质：空间向量基本定理主要是研究分解向量的方法，是将几何问题转化为代数问题的有效方法和工具，具有基础性和广泛的应用性。
蕴含的数学思想和方法：在用数学的语言表达和交流所研究的数学对象时，积累数学抽象的经验。空间向量基本定理的教学中，蕴含着数形结合思想、类比思想以及转化与化归思想．
知识的上下位关系：“平面向量基本定理—空间向量基本定理的特殊情形—空间向量基本定理—基底的概念—定理的运用”,其中，平面向量基本定理是以前学习过的知识，由此引入本节课内容。
育人价值：空间向量基本定理是中学数学几何部分的理论基础，用几何语言表示向量之间的关系是学习空间向量基本定理的基本任务，也是对其蕴含的基本思想和方法的挖掘，涉及现实情境或数学情境的数学抽象与向量语言表达，有时还要进行相互转化，应注意引导学生调动已有知识类比推理出该定理，并加强用几何语言描述数学对象一般特征的训练。学生经历从特殊到一般的推理过程，感知定理的含义，培养学生的类比推理能力和空间想象能力，发展学生的数学抽象等核心素养。
教学重点：运用空间向量基本定理表示空间任一向量，并能根据表达式判断向量与基底的关系。
二、教学目标及其解析
1.课程目标
（1）通过复习平行向量基本定理和平面向量定理，理解空间向量基本定理，理解空间任一向量可用空间不共面的三个已知向量唯一线性表示，会在简单问题中选用空间三个不共面向量作为基底表示其他向量。会用空间向量的基本定理解决立体几何中有关的简单问题。
（2）通过空间向量分解定理的得出过程，体会由特殊到一般，由低维到高维的思想方法。培养学生类比、联想、维数转换的思想方法和空间想象能力。
（3）创设适当的问题情境，从生活中的常见现象引入课题，引起学生的学习兴趣，让学生容易切入课题，培养学生用数学的意识，体现新课程改革的理念之一，加强数学与生活实践的联系。
2.目标解析
达成以上目标的标志是：
（1）理解空间向量基本定理的含义，能够运用空间向量基本定理表示空间任一向量；
（2）掌握基底的含义与表示方式，能够根据表达式判断向量与基底的关系；
（3）能够对空间向量进行分解并正确作图，进而发展学生的数学抽象与直观想象等数学素养；
（4）会根据具体问题的条件，用不同的基底表示空间任一向量。
三、教学问题诊断分析
1.问题诊断
（1）要注重培养学生空间想象能力，从立体几何与平面几何之间的关系来讲，不论是图形还是概念拓展变化，对学生都是难点，在实际教学中，学生往往不易建立空间概念，在头脑中难以形成较为准确、直观的几何模型，为了化解这一难点，最有效的办法是引导学生制造模具，手脑并用，实物演示，化抽象为直观。
（2）为了让学生对几何体及其各元素关系获得清晰的直观印象，除过用多媒体演示外，指导学生制造许多常用的小型学具，如空间四边形、正三棱锥、正方体等模型，学生可以通过眼看、手模、脑想，直观地看清各种“线线”、“线面”“面面”关系及其所成角和距离，还可以构造出空间基本元素位置关系的各种图形，并对其进行变化训练，以此来提高学生的形象思维能力。
（3）要让学生学会“画图”，通过画图提高对空间图形的理解和认识能力立体几何的研究对象是空间图形，为了研究的方便，我们需要把空间图形画在纸上或黑板上，由于纸和黑板的表面可以看作是平面，于是就要学习空间图形的直观图的画法。画直观图的目的是为了解决对立体图形的理解和认识，加强对立体图形的性质理解，借助图形推理论证，也以此培养学生的学习兴趣和良好的解题习惯。在教学的全过程中要有步骤地指导学生掌握绘制直观图的一般方法，有计划提高学生的绘图能力，例如，画出三个平面把空间分成几部分的各种图形。实践证明，较好的图形以及作图艺术能激发学生对空间图形的热爱，逻辑推理论证的追求，而且促使他们进一步掌握几何图形的本质特征，达到图形与推理相互渗透，相互促进的理想效果。
（4）让学生学会“转化”，在转化中提高逻辑思维能力。转化思想是一个极其重要的数学思想，在立体几何中这一思想显得尤为重要，它是学好本节内容的关键所在。
2.教学难点：空间向量的分解作图，用不同的基底表示空间任一向量。
四、教学支持条件分析
1.在必修4中，学生已经接触过平面向量基本定理：“如果是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ，λ2，可使λ1” 以及基底的含义：“这里不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底”。这些都为我们今天系统地学习空间向量基本定理提供了理论支撑。
2.利用网络平台在课前检测、学生阅读课本后交流认识、课堂检测等环节中，由教师给出问题或者测试题，让学生回答或者解答，再由教师给出评价。
五、课时教学设计
第 1 课时 空间向量基本定理的概念
（一）课时教学内容：
了解向量与平面平行的意义，掌握它们的表示方法。理解共线向量定理、共面向量定理和空间向量分解定理，理解空间任一向量可用空间不共面的三个已知向量唯一线性表示，会在简单问题中选用空间三个不共面向量作为基底表示其他向量。会用空间向量的基本定理解决立体几何中有关的简单问题。
（二）课时教学目标：
1通过空间向量分解定理的得出过程，体会由特殊到一般，由低维到高维的思想方法。培养学生类比、联想、维数转换的思想方法和空间想象能力。
2创设适当的问题情境，从生活中的常见现象引入课题，开始就引起学生的学习兴趣，让学生容易切入课题，培养学生用数学的意识，体现新课程改革的理念之一，加强数学与生活实践的联系。
（三）教学重点与难点
1．运用空间向量基本定理表示空间任一向量，并能根据表达式判断向量与基底的关系；
2．空间向量的分解作图，用不同的基底表示空间任一向量。灵活运用空间向量基本定理证明空间直线的平行、共面问题。
（四）教学过程设计
1．复习引入：
在平面向量中，我们学行向量基本定理、平面向量基本定理，请大家回忆一下定理的内容。（找同学回答）
根据上节课的学习，我们可以把平面向量的线性运算推广到空间向量，那么请大家思考：平行向量基本定理在空间中是否成立？
回答：结论在空间中也成立。这就是空间中的“共线向量定理”（板书并投影）
注意：①向量；
②是共线向量的性质定理，是空间向量共线的判定定理；
设计意图：在学生已有认知的基础上学习新知识——创设学习情境，为用类比的方法猜想和研究“空间向量基本定理”提供思维材料。
2、问题探究：
（1）“向量与平面平行”的概念：如果向量的基线平行于平面或在平面内，就称平行于平面，记作∥。
平行于同一平面的向量叫做共面向量。即可以平移到同一平面内的向量就是共面向量。
探究1：空间中任意两个向量一定共面吗？为什么？
探究2：空间中任意三个向量一定共面吗？请举例说明。
探究3：如果空间中三个向量共面，它们存在怎样的关系？
演示空间中三向量共面的情况，引导学生猜想。
如果两个向量不共线，则与共面的充要条件是存在唯一的一对实数，使得。
猜想的结论需要证明（提醒学生充要条件的证明要从“必要性”、“充分性”两方面进行）
（屏幕展示证明过程）
这就是共面向量定理：（板书并投影）
注意：
①三个向量共面，又称三个向量线性相关，反之，三个向量不共面,则称三个向量线性无关。
②可用来证明四点共面问题。
设计意图：提供思维材料，为用类比的方法——由平面到空间，归纳、猜想、探究空间向量基本定理做准备。
3、讲授新知：
类比平面向量基本定理，引导学生猜想三个不共线向量如何表示空间中任一向量。通过演示课件引导学生猜想空间向量基本定理。教师总结学生的假设、猜想，给出比较规范的表述：
如果三个向量、、不共面，那么对空间任一向量，存在唯一的一个有序实数组，使得．（投影并板书）
合作学习：
师：很多重要的公式、定理的发现都是从归纳、猜想开始的，但归纳、猜想得到的结论必须进行验证或严格的数学证明。那么这样验证我们得到的结论呢？
师生活动：学生分成不同小组对猜想的证明进行研究讨论。教师巡视、指导、答疑,为即将进行的集体交流讨论做准备。教师组织学生进行交流讨论,听取学生讲解证明思路,评价学生的方案或对学生的方案进行必要的修正、指导。在交流讨论的基础.上,得到空间向量基本定理。类比平面向量基本定理得到有关概念。
设计意图：从学生认知的角度出发,有必要让他们自己从疑难的情境中走出来，验证自己“发现”的定理，体验学习成功的欢乐,从而获得数学能力。学生在探究讨论中获得知识、方法和能力,是科学方法施于教学中的根本目的。
板演证明：（存在性和唯一性两方面）
唯一性用反证法证明：若另有不同于x,y,z的实数x1,y1,z1满足= x1+y1+ z1，则x+y+ z= x1+y1+ z1，即(x－x1) +(y－y1) +(z－z1) =,又、、不共面，则x－x1=0，y－y1=0，z－z1=0，所以x,y,z是唯一的实数。这样，就把平面向量的基本定理推广到空间向量的基本定理。
设计意图：设置问题情境，从科学方法及思维训练的价值看，这是一个很好思维训练素材，在学生认知的基础上，由学生提出假设，用科学的方法展开数学探究学习活动。
5、总结推论：
⑴表达式叫做的线性表达式，或线性组合；
⑵相关概念：其中{、、}叫做空间向量的一个基底，、、都叫做基向量。
6、课堂练习：
I.判断对错：
设计意图：加深学生对于空间向量的基底{、、}的理解，考查学生对于本节课内容的理解程度，便于教师进行下一步讲解。
提醒学生注意：
①空间任意不共面的三个向量都可以作为向量的基底，基底不唯一；
②三个向量不共面，隐含它们都是非零向量；
③基底是一个集合，一个向量组，基向量是基底中的某一向量。
④通常选择共点不共面的三个向量作为空间向量的基底。
⑤若{、、}是空间向量的一个基底，则由这三个基向量还能生成其它的基底。引导学生举例说明，结果不唯一，通过思考培养学生的发散思维。
如: +、+、+；2+3、4、等构成向量的基底。
思考：在= x+y+ z中，特别地，当x=0,则与、共面；若y=0，则与、共面；若z=0，则与、共面。当x=0, y=0时，与共线；当x=0, z=0时，与共线；当y=0, z=0时，与共线.这说明每一次维数增加了，高维数的定理不但发展了低维数的定理，并包含了低维数的结论，使得原来的定理仍适用，这种发展是继承的发展，是合理的发展。
II.已知平行六面体中，设= ，
=，=， 试用用基底{、、}表示以下向量：
（1），（2），（3）（4）
师：这是空间分解向量定理的直接应用，选定空间不共面的三个向量做基底，并用它们表示出指定的向量，是向量解决立体几何问题的一项基本功。解题时要结合已知和所求观察图形，联想相关的运算法则和公式等，表示所需向量。
师生活动：学生给出解题思路。教师板书给出规范的证明。教师在学生接发的基础上总结解题要点：解体的关键是利用向量的加法、减法、数乘将所求向已知转化。
设计意图：从学生的心理角度看,他们渴望运用自己发现的定理去解决有关向题,看这个定理到底有什么用途,为此组织练习是必要的、可行的、有益的。适当的练习,学生可以加深对定理的深人理解,使学生的认知水平和逻辑数理智力在原有的基础上得到发展。
7．课堂小结：
师：请同学们回顾一下，我们是怎样利用有关知识和方法得到空间向量基本定理的？
师生活动：学生总结，教师综述：直线向量基本定理——平面向量基本定理——空间向量基本定理。
设计意图：系统知识网络，在“学习——应用——反思——深化”过程中提高数学修养。使学生从“模糊”的情境转化为清晰、连贯、确定和和谐的情境。
8．课后作业：
①必做：课本12页练习：1 2 3
②思维训练：
1．有下列4个命题：
①若P、M、A、B共面，则＝x＋y. ②若p与a、b共面，则p＝xa＋yb；
③若＝x＋y，则P、M、A、B共面； ④若p＝xa＋yb，则p与a、b共面；
其中真命题的个数是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
2．如图所示，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是(　　)
A．－a＋b＋c B. a＋b＋c
C. a－b＋c D．－a－b＋c
3.（选作）已知甲烷（CH4）的分子结构：中心为碳原子，外围有四个氢原子，四个氢原子构成正四面体的顶点，确定了四个氢原子的位置，能找到碳原子的位置吗？能求出两个碳氢键之间的键角吗？
设计意图：分级布置作业，促进学生的个性化发展，尊重学生的个体差异，加深学生对本节课内容的理解，提高学生分析问题、解决问题的能力，便于教师了解学生对本节课内容的掌握程度，以对自己的教学进行反思和改进。
第 2课时 空间向量基本定理的应用
课时教学内容：
空间向量基本定理的应用，空间向量单位正交分解的方法，并举例说明用空间三个不共面向量表示给定向量的方法。
（二）课时教学目标：
1、知识与技能：掌握空间向量基本定理；掌握空间向量的正交分解；
2、过程与方法：经历用向量解决某些问题，体会向量是一种处理几何问题的工具；
3、情感、态度与价值观：通过本节课的学习，体验创造的激情，培养学生发现、提出、解决问题的能力。
（三）教学重点与难点
重点：空间向量的正交分解、空间向量基本定理的理解
难点：空间向量基本定理的应用
（四）教学过程设计
1、复习引入
共线向量定理：
对空间任意两个向量的充要条件是存在实数，使
推论：如果为经过已知点，且平行于已知向量的直线，那么对任一点，点在直线上的充要条件是存在实数，满足等式①，其中向量叫做直线的方向向量。
共面向量定理：
如果两个向量不共线，与向量共面的充要条件是存在实数使
推论：空间一点位于平面内的充分必要条件是存在有序实数对，使或对空间任一点，有①
上面①式叫做平面的向量表达式
平面向量基本定理：
平面向量的正交分解：
，其中，，
师生活动：教师提出定理名称，并叫学生用自己的语言描述定理内容。教师对学生的回答进行总结、评价，肯定正确部分，指出瑕疵，并进行补充。引导全体同学共同得出推论内容。
设计意图：对上节课所讲内容进行回顾，同时引导学生回忆起上节课类比推理的过程，培养学生由一般到特殊的思想方法，为本节课的内容——应用空间向量基本定理和推论解决空间几何问题做准备。
2、新课探究：
类比：由平面向量的基本定理，对平面内的任意向量，均可分解为不共线的两个向量和，使. 如果时，这种分解就是平面向量的正交分解. 如果取为平面直角坐标系的坐标轴方向的两个单位向量，则存在一对实数、，使得，即得到平面向量的坐标表示.
推广到空间向量，结论会如何呢？
空间向量的正交分解：对空间的任意向量，均可分解为不共面的三个向量、、，使. 如果两两垂直，这种分解就是空间向量的正交分解。
空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数组，使得. 把叫做空间的一个基底，都叫做基向量.
单位正交基底：如果空间一个基底的三个基向量互相垂直，且长度都为，则这个基底叫做单位正交基底，通常用｛，｝表示．
例题分析：
（1）已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，E，F分别是对边OC，AB的中点，P、Q两点，是线段EF三等分点，用基向量，，表示向量,.
师生活动：学生给出解题思路，教师板书给出规范的证明。教师在学生解法的基础上总结解题要点：解体的关键使利用向量的加法、减法和数乘，将逐步向转化。
将作为基向量时，
=，=
设计意图：从学生的心理角度看,他们渴望运用自己发现的定理去解决有关向题,看这个定理到底有什么用途,为此组织练习是必要的、可行的、有益的。适当的练习,学生可以加深对定理的深人理解,使学生的认知水平和逻辑数理智力在原有的基础上得到发展。
（2）已知空间四边形OABC，M为BC中点，点G在AM上，且AG=2GM，=a，=b，=c，用a、b、c表示向量。
师生活动：有学生自己独立完成，教师巡视指导答疑。教师给出答案：=。
设计意图：巩固定理和推论的应用，练习识别空间图形，为下一节建立空间直角坐标系做准备。教学效果检查。
（3）已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，点F是侧面CDD1C1的中心，若，求x－y的值.
师生活动：由学生自己独立完成，教师巡视指导答疑。教师给出答案：易求得
设计意图：强化学生对空间向量基本定理推论的理解和应用，培养学生应用数学的意识和空间想象能力。检查教学效果。
思维训练：
设O、A、B、C是空间不共面的四点，点P是空间任意一点，能用向量表示向量吗？
师生活动：学生分组讨论，由学生探究特出结论。教师进行必要的引导、点评。
设计意图：加深学生对推论的理解，为应用空间向量的正交分解解决几何问题做铺垫，培养学生的识图能力和空间想象能力。
师：类比空间向量（a+b）的几何意义，你能给出空间向量（a+b+c）的几何意义吗？
师生活动：学生分组讨论，由学生自主探究得出结论。教师结合图形给出标准结论。
设计意图：训练学生的归纳、类比思想，强化学生对定理的应用和空间识图、画图能力。
课堂小结
师：请同学们回顾并归纳一下，我们是怎样利用空间向量基本定理来解决问题的？
师生活动：学生总结，教师综述：理解空间向量基本定理的概念——向量的正交分解——向量与基底的关系——练习。
设计意图：系统知识网络，在“理解——掌握——应用——深化”过程中提高数学修养。使学生从“模糊”的情境转化为清晰、连贯、确定和和谐的情境，提高同学们的实际运用能力，懂得学以致用。
课后作业
①必做：课本13页练习1.2：1 2 3
②思考：我们能否把向量与基底的关系量化？如何量化？他们之间有类似函数的关系吗？（为下节课向量的坐标表示埋伏笔，让同学们提前预习，激起同学们的学习兴趣）