2021-2022学年数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.3空间向量及其运算的坐标表示 教学设计
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.3空间向量及其运算的坐标表示 教学设计 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 167.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-11-30 09:25:36 | ||
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文档简介
1.3“空间向量及其运算的坐标表示”单元-课时教学设计
一、内容及其解析
1、内容：空间向量坐标系的建立方法，掌握空间中点及向量的坐标表示；空间向量运算的坐标表示；判断两向量平行或垂直；掌握空间向量的模，夹角公式和两点间的距离公式。
2、内容解析：
内容的本质：学习了空间向量基本定理，建立了“空间基底”的概念之后便可利用基底表示任意一个空间向量，这样就把几何问题进行代数化。可以很便捷地进一步判断位置关系以及距离等问题。
蕴含的数学思想和方法：空间向量的坐标表示等问题需要直观想象能力；同时将问题代数化以后还需要“数学运算”能力；空间向量的模，夹角及距离问题还需要“数学抽象”能力。
知识的上下位关系：要先学会“如何建立空间直角坐标系”——“空间中点及向量的坐标表示”——“空间向量运算的坐标表示”——“判断两向量平行或垂直”——“空间向量的模，夹角公式和两点间的距离公式”。
育人价值：（1）培养学生的类比思想、转化思想、数形结合思想，培养探究、研讨、综合自学应用能力。（2）培养学生空间想象力，能借助图形理解空间向量运算的意义。（3）培养学生的转化思想，提高空间想象。
教学重点：1.空间向量加法、减法、数乘、数量积的坐标运算。 2.平行向量、垂直向量坐标之间的关系。 3.向量长度公式、两向量夹角公式、空间两点距离公式。
二、教学目标及其解析
1.单元目标
（1）通过本单元的学习，使学生理解空间直角坐标系及空间向量的有关概念。（2）掌握空间向量加法、减法、数乘、数量积的坐标运算。（3）平行向量、垂直向量坐标之间的关系。（4）向量长度公式、两向量夹角公式、空间两点距离公式。
2.目标解析
达成以上目标的标志是：（1）会根据具体建立空间直角坐标系，能够依据建立的坐标系写出空间各点的坐标，并能根据点的坐标写出向量的坐标表示（2）给定任意坐标，会进行向量运算（3）对于给定向量会判断向量的位置关系（4）能计算出向量的长度，两向量夹角和空间两点距离。
三、教学问题诊断分析
1.教学问题诊断：
1）学生难将几何和代数进行转化，这就要求教师帮学生建立起转化思维，能够独立建立起两种之间相互变换的桥梁
（2）熟悉掌握并运用向量运算，向量位置关系，向量的模长计算的公式。
2.教学难点：
（1）空间想象能力的培养，思想方法的理解和应用；（2）空间向量的运算及其几何的应用和理解。
四、教学支持条件分析
教学支持条件分析:掌握了空间向量及其运算的坐标表示之后，对之后空间向量的应用有知识支撑。
五、课时教学设计
第一课时 空间直角坐标系
1.3.1空间直角坐标系
一、教学目标 （一）知识与技能： （1）理解引入空间直角坐标系的必要性 （2）掌握如何建立空间直角坐标系 （3）学会应用空间直角坐标系表示点的坐标 （二）过程与方法： 通过类比平面直角坐标系，培养学生数形结合、类比推理、化归的数学思想。 （三）情感态度价值观： （1）与已学的知识相结合，循序渐进，深入浅出，感受学习的乐趣。 （2）学生亲身经历空间直角坐标系的形成过程，提升学生的参与度，使学生在此过程中提升学习数学的积极性。
二、教学重难点 重点：1、如何建立空间直角坐标系 2、如何利用空间直角坐标系表示点的坐标 难点：如何利用空间直角坐标系表示点的坐标
三、教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
（一）复习引入 问题1：在初中我们已经学习过了平面直角坐标系，知道在平面直角坐标系中如何表示平面中的点和向量。同学们思考一下，在初中，我们是怎样建立平面直角坐标系在上面表示点和向量的呢？ 问题2：在空间中，我们可以该如何表示空间中的点和向量呢？下面我们来讨论这个问题。 学生1:在平面直角坐标系中与x轴和y轴方向相同的两个单位向量为基地，建立平面直角坐标系。 学生2: 思考并回答 在学生认知的基础上，通过类比平面中的点和向量，引入如何在空间中表示点和向量，以此来激发学生对空间直角坐标系的学习的兴趣。
（二）新课讲解 问题3:类比平面直角坐标系，你能猜想如何建立空间直角坐标系吗？ 问题4:同学们回想一下，平面直角坐标系中包含哪些要素呢？类比到空间直角坐标系包含哪些要素？这些要素需要包含哪些条件？哪些变了，哪些没变？ 打开书十六页阅读，并完成下表。 教师总结表格：由平面直角坐标系到空间直角坐标系，原点和单位长度都没有改变，但由二维到三维，我们需要几条坐标轴呢？它们的位置关系又是怎么样的呢？ 问题5:你能给出空间直角坐标系的定义吗？ 学生自主完成上表格 学生1:需要三条坐标轴 学生2:三条坐标轴两两垂直。 学生3:在空间中选定一点Ｏ和一个单位正交基底，以Ｏ为原点，分别以I,j,k的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条坐标轴：x轴，y轴，z轴，它们都叫坐标轴，这样就建立了空间直角坐标系。空间坐标系将空间分为八个部分。 学生亲身经历空间直角坐标系的形成，对空间直角坐标系的形成有了更加直观的认识。并且理解了引入空间直角坐标系的必要性。
（三）巩固练习 问题4：给出空间直角坐标系，同学们拿出自己的右手，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，中指指向z轴的正方向。我们则称这个为右手直角坐标系。并指出里面三个轴和原点。 问题5：如何在下图中建立空间直角坐标系？ 老师在黑板上演示如何建立空间直角坐标系。 问题6:在平面中，我们可以用有序数组表示向量，在空间中可以吗？如何表示M向量？ 阅读书本第17页，完成以下问题。 在空间中任何向量都有唯一的有序数组一一对应吗？是怎么对应的？ 学生4：学生拿出右手，自己识别原点，正方向和三个轴。强调三个轴两两垂直。 学生：M（x,y,z)其中x为M的横坐标，y为M的纵坐标，z为M的竖坐标。 数形结合，不断补充，带领学生感受数学的严谨性。
四、课后总结 问题7 ：我们已经知道了什么是空间直角坐标系，也知道了空间中的点和向量如何用有序数组表示，那现在我们来看看，我们所学习的知识到底该怎么用呢？ 问题8：请小组讨论，根据所学知识完成PPT上的例一，一会有小组上台展示讨论结果。 例1： 教师追问；是如何建立的空间直角坐标系？你可以总结出写点的坐标和空间向量的一般步骤吗？ 学生6： 小组讨论并小组展示：以o为原点建立直角坐标系，分别写出四点的坐标。 小组讨论写出四个向量的坐标。 整堂课以学生为主体，引导学生不断探索，运用所学知识，去自主完成课本例一，知道该如何应用与实践所学知识。与已有的知识相结合，运用到更综合的题目中去。 学生总结一般步骤，知道写这种类型题一般要注意什么。
五．课堂小结 请一位同学总结一下今天学习了哪些知识。 教师总结
六、作业布置 18页练习1、2、3、4、5.
第二课时 空间向量运算的坐标表示
1.3.2空间向量运算的坐标表示
一、教学目标 （一）知识与技能： （1）通过类比平面向量理解掌握空间向量的加、减、数乘、数量积等运算的坐标表示。 （2）掌握用空间向量的坐标表示向量的长度以及两点间的距离公式。 （二）过程与方法： 通过观察分析，培养学生数形结合、类比推理的数学思想。 （三）情感态度价值观： 与已学的知识相结合，循序渐进，感受学习的乐趣。
二、教学重难点 重点：空间向量的坐标表示。 难点：空间向量坐标表示的应用。
三、教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
（一）复习引入 问题1：请大家回忆平面向量的坐标运算类比推理，阅读课本P19补充PPT上空间向量运算坐标表示： 设 我们可以得到平面向量的运算规律： ① ② ③， ④ 问题2：那上述法则该如何证明呢？请同学思考。 学习小组讨论，并派代表上黑板作答。 在学生认知的基础上，通过类比推理空间向量运算的坐标表示。
（二）新课讲解 活动1：请大家以为例思考进行证明。 设为空间的一个单位正交基底，则 则 利用向量数量积的分配律以及 得出： 由上述结论可知，空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示是完全一致的 小组一起根据步骤作图，发现在笔尖移动的过程中，一个椭圆出现了。 学生亲身经历椭圆的形成，对椭圆的形成有了更加直观的认识。
（三）巩固练习 问题4：请同学们回忆一下，在刚才画图的过程中，哪些量没有发生变化？哪些量改变了呢？ 问题5：那类比圆的定义，我们可以根据变量和不变量来得到椭圆的定义吗？ 问题6：那我们对这个“定长”有什么要求吗？为什么会有这个限制呢？ 老师引导学生归纳总结：椭圆完整的定义为：平面上到两定点F1，F2的距离之和等于定长的点的集合是椭圆。（其中定长＞| F1F2|） 学生3：在刚刚画图的过程中，绳子两端点之间的距离没有发生变化，笔尖到绳子两端的距离和没有发生变化，但笔尖一直在移动位置。 学生4：平面上到两定点的距离之和等于定长的点的集合是椭圆。 学生5：两定点的距离小于定长。只有满足这个条件，才可以画出一个椭圆。可以类比，三角形的任意两边之和大于第三边。 数形结合，不断补充，带领学生感受数学的严谨性。
四、课后总结 问题7 ：我们已经知道了什么是椭圆，那椭圆的方程是怎样的呢？大家还记得在上一节学习曲线与方程时求曲线方程有哪几步呢？ 问题8：请小组讨论，根据椭圆的定义，我们该如何建系，设动点，列方程呢？ 问题9：当椭圆的焦点在y轴上呢？方程还是这个吗？ 巩固练习： 例1：已知椭圆的两个焦点坐标为（-2,0），（2,0），并经过（，-），求他的标准方程。 例2：已知A,B是两个定点，|BC|=8,△ABC的周长为20，问点A的轨迹是什么曲线，请写出他的方程。 学生6：①建直角坐标系；②设动点的坐标；③列式子；④简化方程。 小组讨论并派代表回答：以两定点所在的直线为x轴，它们的中点为原点建立直角坐标系，将笔尖这个动点设为M，两定点分别为F1(-c,0)，F2(c,0)根据|MF1|+|MF2|=2a(a>0), |F1F2|=2c(c>0) 列出式子： 化简得： 学生7猜想：可以直接将x与y互换位置得： 其他学生重新建立直角坐标加以验证。 整堂课以学生为主体，引导学生不断探索，运用椭圆的定义去建立新的图式，将新建立的图式与已有的知识相结合，运用到更综合的题目中去。
五、课后小结 请一位同学来总结一下这节课都学习了那些知识 教师总结
六、作业布置 21页练习1、2、3、4
一、内容及其解析
1、内容：空间向量坐标系的建立方法，掌握空间中点及向量的坐标表示；空间向量运算的坐标表示；判断两向量平行或垂直；掌握空间向量的模，夹角公式和两点间的距离公式。
2、内容解析：
内容的本质：学习了空间向量基本定理，建立了“空间基底”的概念之后便可利用基底表示任意一个空间向量，这样就把几何问题进行代数化。可以很便捷地进一步判断位置关系以及距离等问题。
蕴含的数学思想和方法：空间向量的坐标表示等问题需要直观想象能力；同时将问题代数化以后还需要“数学运算”能力；空间向量的模，夹角及距离问题还需要“数学抽象”能力。
知识的上下位关系：要先学会“如何建立空间直角坐标系”——“空间中点及向量的坐标表示”——“空间向量运算的坐标表示”——“判断两向量平行或垂直”——“空间向量的模，夹角公式和两点间的距离公式”。
育人价值：（1）培养学生的类比思想、转化思想、数形结合思想，培养探究、研讨、综合自学应用能力。（2）培养学生空间想象力，能借助图形理解空间向量运算的意义。（3）培养学生的转化思想，提高空间想象。
教学重点：1.空间向量加法、减法、数乘、数量积的坐标运算。 2.平行向量、垂直向量坐标之间的关系。 3.向量长度公式、两向量夹角公式、空间两点距离公式。
二、教学目标及其解析
1.单元目标
（1）通过本单元的学习，使学生理解空间直角坐标系及空间向量的有关概念。（2）掌握空间向量加法、减法、数乘、数量积的坐标运算。（3）平行向量、垂直向量坐标之间的关系。（4）向量长度公式、两向量夹角公式、空间两点距离公式。
2.目标解析
达成以上目标的标志是：（1）会根据具体建立空间直角坐标系，能够依据建立的坐标系写出空间各点的坐标，并能根据点的坐标写出向量的坐标表示（2）给定任意坐标，会进行向量运算（3）对于给定向量会判断向量的位置关系（4）能计算出向量的长度，两向量夹角和空间两点距离。
三、教学问题诊断分析
1.教学问题诊断：
1）学生难将几何和代数进行转化，这就要求教师帮学生建立起转化思维，能够独立建立起两种之间相互变换的桥梁
（2）熟悉掌握并运用向量运算，向量位置关系，向量的模长计算的公式。
2.教学难点：
（1）空间想象能力的培养，思想方法的理解和应用；（2）空间向量的运算及其几何的应用和理解。
四、教学支持条件分析
教学支持条件分析:掌握了空间向量及其运算的坐标表示之后，对之后空间向量的应用有知识支撑。
五、课时教学设计
第一课时 空间直角坐标系
1.3.1空间直角坐标系
一、教学目标 （一）知识与技能： （1）理解引入空间直角坐标系的必要性 （2）掌握如何建立空间直角坐标系 （3）学会应用空间直角坐标系表示点的坐标 （二）过程与方法： 通过类比平面直角坐标系，培养学生数形结合、类比推理、化归的数学思想。 （三）情感态度价值观： （1）与已学的知识相结合，循序渐进，深入浅出，感受学习的乐趣。 （2）学生亲身经历空间直角坐标系的形成过程，提升学生的参与度，使学生在此过程中提升学习数学的积极性。
二、教学重难点 重点：1、如何建立空间直角坐标系 2、如何利用空间直角坐标系表示点的坐标 难点：如何利用空间直角坐标系表示点的坐标
三、教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
（一）复习引入 问题1：在初中我们已经学习过了平面直角坐标系，知道在平面直角坐标系中如何表示平面中的点和向量。同学们思考一下，在初中，我们是怎样建立平面直角坐标系在上面表示点和向量的呢？ 问题2：在空间中，我们可以该如何表示空间中的点和向量呢？下面我们来讨论这个问题。 学生1:在平面直角坐标系中与x轴和y轴方向相同的两个单位向量为基地，建立平面直角坐标系。 学生2: 思考并回答 在学生认知的基础上，通过类比平面中的点和向量，引入如何在空间中表示点和向量，以此来激发学生对空间直角坐标系的学习的兴趣。
（二）新课讲解 问题3:类比平面直角坐标系，你能猜想如何建立空间直角坐标系吗？ 问题4:同学们回想一下，平面直角坐标系中包含哪些要素呢？类比到空间直角坐标系包含哪些要素？这些要素需要包含哪些条件？哪些变了，哪些没变？ 打开书十六页阅读，并完成下表。 教师总结表格：由平面直角坐标系到空间直角坐标系，原点和单位长度都没有改变，但由二维到三维，我们需要几条坐标轴呢？它们的位置关系又是怎么样的呢？ 问题5:你能给出空间直角坐标系的定义吗？ 学生自主完成上表格 学生1:需要三条坐标轴 学生2:三条坐标轴两两垂直。 学生3:在空间中选定一点Ｏ和一个单位正交基底，以Ｏ为原点，分别以I,j,k的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条坐标轴：x轴，y轴，z轴，它们都叫坐标轴，这样就建立了空间直角坐标系。空间坐标系将空间分为八个部分。 学生亲身经历空间直角坐标系的形成，对空间直角坐标系的形成有了更加直观的认识。并且理解了引入空间直角坐标系的必要性。
（三）巩固练习 问题4：给出空间直角坐标系，同学们拿出自己的右手，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，中指指向z轴的正方向。我们则称这个为右手直角坐标系。并指出里面三个轴和原点。 问题5：如何在下图中建立空间直角坐标系？ 老师在黑板上演示如何建立空间直角坐标系。 问题6:在平面中，我们可以用有序数组表示向量，在空间中可以吗？如何表示M向量？ 阅读书本第17页，完成以下问题。 在空间中任何向量都有唯一的有序数组一一对应吗？是怎么对应的？ 学生4：学生拿出右手，自己识别原点，正方向和三个轴。强调三个轴两两垂直。 学生：M（x,y,z)其中x为M的横坐标，y为M的纵坐标，z为M的竖坐标。 数形结合，不断补充，带领学生感受数学的严谨性。
四、课后总结 问题7 ：我们已经知道了什么是空间直角坐标系，也知道了空间中的点和向量如何用有序数组表示，那现在我们来看看，我们所学习的知识到底该怎么用呢？ 问题8：请小组讨论，根据所学知识完成PPT上的例一，一会有小组上台展示讨论结果。 例1： 教师追问；是如何建立的空间直角坐标系？你可以总结出写点的坐标和空间向量的一般步骤吗？ 学生6： 小组讨论并小组展示：以o为原点建立直角坐标系，分别写出四点的坐标。 小组讨论写出四个向量的坐标。 整堂课以学生为主体，引导学生不断探索，运用所学知识，去自主完成课本例一，知道该如何应用与实践所学知识。与已有的知识相结合，运用到更综合的题目中去。 学生总结一般步骤，知道写这种类型题一般要注意什么。
五．课堂小结 请一位同学总结一下今天学习了哪些知识。 教师总结
六、作业布置 18页练习1、2、3、4、5.
第二课时 空间向量运算的坐标表示
1.3.2空间向量运算的坐标表示
一、教学目标 （一）知识与技能： （1）通过类比平面向量理解掌握空间向量的加、减、数乘、数量积等运算的坐标表示。 （2）掌握用空间向量的坐标表示向量的长度以及两点间的距离公式。 （二）过程与方法： 通过观察分析，培养学生数形结合、类比推理的数学思想。 （三）情感态度价值观： 与已学的知识相结合，循序渐进，感受学习的乐趣。
二、教学重难点 重点：空间向量的坐标表示。 难点：空间向量坐标表示的应用。
三、教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
（一）复习引入 问题1：请大家回忆平面向量的坐标运算类比推理，阅读课本P19补充PPT上空间向量运算坐标表示： 设 我们可以得到平面向量的运算规律： ① ② ③， ④ 问题2：那上述法则该如何证明呢？请同学思考。 学习小组讨论，并派代表上黑板作答。 在学生认知的基础上，通过类比推理空间向量运算的坐标表示。
（二）新课讲解 活动1：请大家以为例思考进行证明。 设为空间的一个单位正交基底，则 则 利用向量数量积的分配律以及 得出： 由上述结论可知，空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示是完全一致的 小组一起根据步骤作图，发现在笔尖移动的过程中，一个椭圆出现了。 学生亲身经历椭圆的形成，对椭圆的形成有了更加直观的认识。
（三）巩固练习 问题4：请同学们回忆一下，在刚才画图的过程中，哪些量没有发生变化？哪些量改变了呢？ 问题5：那类比圆的定义，我们可以根据变量和不变量来得到椭圆的定义吗？ 问题6：那我们对这个“定长”有什么要求吗？为什么会有这个限制呢？ 老师引导学生归纳总结：椭圆完整的定义为：平面上到两定点F1，F2的距离之和等于定长的点的集合是椭圆。（其中定长＞| F1F2|） 学生3：在刚刚画图的过程中，绳子两端点之间的距离没有发生变化，笔尖到绳子两端的距离和没有发生变化，但笔尖一直在移动位置。 学生4：平面上到两定点的距离之和等于定长的点的集合是椭圆。 学生5：两定点的距离小于定长。只有满足这个条件，才可以画出一个椭圆。可以类比，三角形的任意两边之和大于第三边。 数形结合，不断补充，带领学生感受数学的严谨性。
四、课后总结 问题7 ：我们已经知道了什么是椭圆，那椭圆的方程是怎样的呢？大家还记得在上一节学习曲线与方程时求曲线方程有哪几步呢？ 问题8：请小组讨论，根据椭圆的定义，我们该如何建系，设动点，列方程呢？ 问题9：当椭圆的焦点在y轴上呢？方程还是这个吗？ 巩固练习： 例1：已知椭圆的两个焦点坐标为（-2,0），（2,0），并经过（，-），求他的标准方程。 例2：已知A,B是两个定点，|BC|=8,△ABC的周长为20，问点A的轨迹是什么曲线，请写出他的方程。 学生6：①建直角坐标系；②设动点的坐标；③列式子；④简化方程。 小组讨论并派代表回答：以两定点所在的直线为x轴，它们的中点为原点建立直角坐标系，将笔尖这个动点设为M，两定点分别为F1(-c,0)，F2(c,0)根据|MF1|+|MF2|=2a(a>0), |F1F2|=2c(c>0) 列出式子： 化简得： 学生7猜想：可以直接将x与y互换位置得： 其他学生重新建立直角坐标加以验证。 整堂课以学生为主体，引导学生不断探索，运用椭圆的定义去建立新的图式，将新建立的图式与已有的知识相结合，运用到更综合的题目中去。
五、课后小结 请一位同学来总结一下这节课都学习了那些知识 教师总结
六、作业布置 21页练习1、2、3、4