青岛版数学九年级上册 3.4直线与圆的位置关系（第2课时）（共17张）

(共17张PPT)
3.4直线与圆的位置关系（2）
砂轮上打磨工件时飞出的火星
右图中让你感受到了直线与圆的哪种位置关系？
【导入新课】
Ｏ
A
B
C
问题：已知圆O上一点A，怎样根据圆的切线定义过点A作圆O的切线？
观察：（1） 圆心O到直线AB的距离 和圆的半径有什么数量关系
（2)二者位置有什么关系？为什么？
【讲授新课】
过半径的外端并且垂直于半径的直线是圆的切线.
OA为☉O的半径
BC⊥OA于A
BC为☉O的切线.
Ｏ
A
B
C
切线的判定定理
应用格式
下列各直线是不是圆的切线？如果不是，请说明为什么？
O.
A
O.
A
B
A
O
(1)
(2)
(3)
(1)不是，因为没有垂直.
(2),(3)不是，因为没有经过半径的外端点A.
在此定理中，“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”，两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线.
注意
判一判
判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：
1.定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线;
2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切；
3.判定定理：过半径的外端并且垂直于半径的直线是圆的切线.
l
A
l
O
l
r
d
要点归纳
典例精析
例1 如图,直线AB是☉O上的点A,且AB=OA，∠OBA=45°, AT=BA．
求证：直线AB是☉O的切线.
解析：直线AB经过半径的一端，因此只要证OA垂直于AB即可.
A
O
B
证明：∵AB=OA，∠OAB＝45°，
∴∠AOB＝∠OBA＝45°，
∴∠OAB=90°.
即OA⊥AB.
又∵点A在圆上，
∴ 直线AB是☉O的切线.（切线的判定定理）
如图,AB是☉O的直径,∠ABT=45°, AT=BA．
求证:AT是☉O的切线.
A
T
B
O
证明：∵AT=AB，∴∠ABT＝∠ATB，又∵∠ABT＝45°，∴∠ATB=45°.
解析：AT经过直径的一端，因此只要证AT垂直于AB即可.
∴AT是☉O的切线．
∴∠TAB＝180°-∠ABT-∠ATB=90°.
即AT⊥AB.
做一做
已知：直线AB经过☉O上的点C，并且OA=OB，CA=CB.求证：直线AB是☉O的切线.
O
B
A
C
分析：由于AB过☉O上的点C，所以连接OC，只要证明AB⊥OC即可.
证明：连接OC(如图).
∵ OA＝OB,CA＝CB,
∴ OC是等腰三角形OAB底边AB上的中线.　
∴ AB⊥OC.
∵ OC是☉O的半径,
∴ AB是☉O的切线.
典例精析
如图,△ABC 中，AB ＝AC ，O 是BC中点，☉O与AB 相切于E.求证：AC 是☉O 的切线．
B
O
C
E
A
分析：根据切线的判定定理，要证明AC是☉O的切线，只要证明由点O向AC所作的垂线段OF是☉O的半径就可以了，而OE是☉O的半径，因此只需要证明OF=OE.
F
证明：连接OE ，OA, 过O 作OF ⊥AC.
∵☉O 与AB 相切于E ， ∴OE ⊥ AB.
又∵△ABC 中，AB ＝AC ，
　　O 是BC 中点．
∴AO 平分∠BAC，
F
B
O
C
E
A
∴OE＝OF.
∵OE 是☉O 半径，
OF ＝OE，OF ⊥ AC.
∴AC 是☉O的切线．
又OE⊥AB ，OF⊥AC.
(1) 有交点，连半径,证垂直;
(2) 无交点，作垂直,证半径.
证切线时辅助线的添加方法
例1
例2
有切线时常用辅助线添加方法
(1) 见切点，连半径，得垂直.
切线的其它重要结论
(1)经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点;
（2）经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.
知识要点
1.判断下列命题是否正确.
⑴ 经过半径外端的直线是圆的切线. （ ）
⑵ 垂直于半径的直线是圆的切线. （ ）
⑶ 过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线. （ ）
⑷ 和圆只有一个公共点的直线是圆的切线. （ ）
⑸ 过直径一端点且垂直于直径的直线是圆的切线. （ ）
×
×
√
√
√
【练习】
3.如图，在☉O的内接四边形ABCD中，AB是直径，∠BCD=120°，过D点的切线PD与直线AB交于点P，则∠ADP的度数为（ ）
A．40° B．35° C．30° D．45°
2.如图所示，A是☉O上一点，且AO=5,PO=13,AP=12,则PA与☉O的位置关系是 .
A
P
O
第2题
P
O
第3题
D
A
B
C
相切
C
证明：连接OP.
∵AB=AC,∴∠B=∠C.
∵OB=OP，∴∠B=∠OPB，
∴∠OBP=∠C.
∴OP∥AC.
∵PE⊥AC，
∴PE⊥OP.
∴PE为☉O的切线.
4.如图,△ABC中，AB=AC，以AB为直径的☉O交边BC于P， PE⊥AC于E.
求证:PE是☉O的切线.
O
A
B
C
E
P
5.已知：△ABC内接于☉O，过点A作直线EF.
（1）如图1，AB为直径，要使EF为☉O的切线，还需添加的条件是（只需写出两种情况）：
① _________ ；② _____________ .
（2）如图2，AB是非直径的弦，∠CAE=∠B，求证：EF是☉O的切线.
BA⊥EF
∠CAE=∠B
A
F
E
O
A
F
E
O
B
C
B
C
图1
图2
证明：连接AO并延长交☉O于D,连接CD,则AD为☉O的直径.
∴ ∠D+ ∠DAC=90 °,
∵ ∠D与∠B同对 ,
∴ ∠D= ∠B,
又∵ ∠CAE= ∠B,
∴ ∠D= ∠CAE,
∴ ∠DAC+ ∠EAC=90°,
∴EF是☉O的切线.