青岛版数学九年级上册 4.7一元二次方程的应用（第2课时）（共25张）

(共25张PPT)
4.7一元二次方程的应用（2）
学习目标
1.掌握建立数学模型以解决增长率与降低率问题.(重点）
2.正确分析问题中的数量关系并建立一元二次方程模型.（难点）
导入新课
问题引入
小明学习非常认真，学习成绩直线上升，第一次月考数学成绩是80分，第二次月考增长了10%，第三次月考又增长了10%，问他第三次数学成绩是多少？
填空：假设某种糖的成本为每斤2元，售价为3元时，可卖100斤.
(1)此时的利润w=_____;
(2)若售价涨了1元，每斤利润为_____元，同时少买了10斤，销售量为_____斤，利润w=____
(3)若售价涨了2元，每斤利润为_____元，同时少买了20斤，销售量为____斤，利润w=_____
100元
2
90
180元
3
80
240元
讲授新课
合作探究
平均变化率问题与一元二次方程
(4)若售价涨了3元，每斤利润为____元，
同时少买了30斤，销售量为____斤，
利润w=______
(5)若售价涨了4元，每斤利润为____元，
同时少买了40斤，销售量为____斤，
利润w=_______
(6)若售价涨了x元，每斤利润为____元，
同时少买了____斤，销售量为_______ 斤，
利润w=__________________
4
5
1+x
70
60
100-10x
10x
280元
300元
(1+x)×(100-10x)元
涨价 售价 成本 单件利润 少卖量 销售量 总利润
3+x
3-2+x
10x
100-10x
w=(3-2+x)×
(100-10x)
试一试：假设某种糖的成本每斤为2元，售价为3元时，可卖100斤.每涨1元，少卖10斤.设利润为x元，则总利润w为多少元（用含有x的式子表示出来）？
0
1
2
3
4
x
2
2
2
2
2
2
3
3+1
3+2
3+3
3+4
0
3-2
3-2+1
3-2+2
3-2+3
3-2+4
10×4
10×3
10×2
10×1
100
100-10×1
100-10×2
100-10×3
100-10×4
w=(3-2) ×100
w=(3-2+1)×
(100-10×1)
w=(3-2+3)×
(100-10×3)
w=(3-2+4)×
(100-10×4)
w=(3-2+2)×
(100-10×2）
每 涨 一 元
少 卖 十 斤
涨价 售价 成本 单件利润 少卖量 销售量 总利润
3+x
3-2+x
10x
100-10x
w=(3-2+x)×
(100-10x)
0
1
2
3
4
x
2
2
2
2
2
2
3
3+1
3+2
3+3
3+4
0
3-2
3-2+1
3-2+2
3-2+3
3-2+4
10×4
10×3
10×2
10×1
100
100-10×1
100-10×2
100-10×3
100-10×4
w=(3-2) ×100
w=(3-2+1)×
(100-10×1)
w=(3-2+3)×
(100-10×3)
w=(3-2+4)×
(100-10×4)
w=(3-2+2)×
(100-10×2）
每 涨 一 元
少 卖 十 斤
总利润
（售价-进价） × 销售量 = 总利润
单件利润
×
销售量
=
填空：
1. 前年生产1吨甲种药品的成本是5000元，随着生产技术的进步，去年生产1吨甲种药品的成本是4650 元，则下降率是 .如果保持这个下降率，则现在生产1吨甲种药品的成本是 元.
探究归纳
7%
4324.5
下降率=
下降前的量-下降后的量
下降前的量
2. 前年生产1吨甲种药品的成本是5000元，随着生产技术的进步，设下降率是x,则去年生产1吨甲种药品的成本是 元，如果保持这个下降率，则现在生产1吨甲种药品的成本是 元.
下降率x
第一次降低前的量
5000(1-x)
第一次降低后的量
5000
下降率x
第二次降低后的量
第二次降低前的量
5000(1-x)(1-x)
5000(1-x)2
5000(1-x)
5000(1-x)2
例1 前年生产1吨甲种药品的成本是5000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，试求甲种药品成本的年平均下降率是多少？
解：设甲种药品的年平均下降率为x.根据题意，列方程，得
5 000 ( 1－x )2 = 3000，
解方程，得
x1≈0.225，x2≈1.775.
根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为22.5％.
下降率不可为负，且不大于1.
注意
练一练：前年生产1吨乙种药品的成本是6000元.随着生产技术的进步，现在生产1吨乙种药品的成本是3600元，试求乙种药品成本的年平均下降率？
解：设乙种药品的年平均下降率为y.根据题意，列方程，得
6 000 ( 1－y )2 = 3 600.
解方程，得
y1≈0.225，y2≈－1.775.
根据问题的实际意义，乙种药品成本的年平均下降率约为22.5％.
解后反思
答：不能.绝对量：甲种药品成本的年平均下降额为（5000-3000）÷2=1000元，乙种药品成本的年平均下降额为（6000-3000）÷2=1200元，显然，乙种药品成本的年平均下降额较大．
问题1 药品年平均下降额大能否说年平均下降率（百分数）就大呢？
答：不能. 能过上面的计算，甲、乙两种药品的年平均下降率相等.因此我们发现虽然绝对量相差很多，但其相对量（年平均下降率）也可能相等．
问题2 从上面的绝对量的大小能否说明相对量的大小呢 也就说能否说明乙种药品成本的年平均下降率大呢
问题3 你能总结出有关增长率和降低率的有关数量关系吗？
类似地 这种增长率的问题在实际生活中普遍存在,有一定的模式.若平均增长(或降低)百分率为x,增长(或降低)前的是a,增长(或降低)n次后的量是b,则它们的数量关系可表示为a(1±x)n=b(其中增长取“+”,降低取“－”).
变式1：某药品经两次降价，零售价降为原来的一半.已知两次降价的百分率一样，求每次降价的百分率.（精确到0.1%）
解：设原价为1个单位，每次降价的百分率为 x.
根据题意，得
解这个方程，得
答：每次降价的百分率为29.3%.
变式2:某药品两次升价，零售价升为原来的 1.2倍，已知两次升价的百分率一样，求每次升价的百分率（精确到0.1%）
解:设原价为a元，每次升价的百分率为x ，
根据题意，得
解这个方程，得
由于升价的百分率不可能是负数，
所以 (不合题意，舍去)
答：每次升价的百分率为9.5%.
例2 某公司去年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率．
解：设这个增长率为x.根据题意，得
答：这个增长率为50%.
200+200(1+x) +200(1+x)2=950
整理方程，得
4x2+12x-7=0，
解这个方程得
x1=-3.5（舍去），x2=0.5.
增长率不可为负，但可以超过1.
注意
例3：百佳超市将进货单价为40元的商品按50元出售时，能卖500个，已知该商品要涨价1元，其销售量就要减少10个，为了赚8000元利润，售价应定为多少，这时应进货为多少个？
分析：设商品单价为（50+x)元,则每个商品得利润[(50+x)－40]元，因为每涨价1元，其销售会减少10，则每个涨价x元，其销售量会减少10x个，故销售量为(500－10x)个，根据每件商品的利润×件数=8000，则(500－10x)· [(50+x)－40]=8000.
解：设每个商品涨价x元，则销售价为(50+x)元，销售量为(500－10x)个，则
(500－10x)· [(50+x)－40]=8000，
整理得 x2－40x+300=0，
解得x1=10，x2=30都符合题意.
当x=10时,50+x =60，500－10 x=400；
当x=30时，50+x =80， 500－10 x=200.
答：要想赚8000元，售价为60元或80元；若售价为60元，则进贷量应为400；若售价为80元，则进贷量应为200个.
当堂练习
1.某厂今年一月份的总产量为500吨,三月份的总产量为720吨,平均每月增长率是x,列方程( )
A.500(1+2x)=720 B.500(1+x)2=720
C.500(1+x2)=720 D.720(1+x)2=500
2.某校去年对实验器材的投资为2万元,预计今明两年的投资总额为8万元,若设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是x,则可列方程为 .
B
2（1+x)+2(1+x)2=8
3.青山村种的水稻去年平均每公顷产7200千克，今年平均每公顷产8712千克，求水稻每公顷产量的年平均增长率.
解：设水稻每公顷产量的平均增长率为x,
根据题意，得
系数化为1得，
直接开平方得，
则
答：水稻每公顷产量的年平均增长率为10%.
7200（1+x)2=8712
（1+x)2=1.21
1+x=1.1,
1+x=-1.1
x1=0.1,
x2=-1.1,
解：设每件衬衫降价x元，根据题意得：
（40-x)(20+2x)=1200
整理得，x2-30x+200=0
解方程得，x1=10,x2=20
因为要尽快减少库存，所以x=10舍去.
答：每件衬衫应降价20元.
4.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
能力提升:菜农李伟种植的某蔬菜，计划以每千克5元的价格对外批发销售.由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销，李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的价格对外批发销售.
(1)求平均每次下调的百分率；
解：设平均每次下调的百分率为x，
由题意，得
5(1－x)2=3.2，
解得 x1=20%，x2=1.8 （舍去）
∴平均每次下调的百分率为20%;
(2)小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一，打九折销售；方案二，不打折，每吨优惠现金200元.试问小华选择哪种方案更优惠？请说明理由.
解：小华选择方案一购买更优惠，理由如下：
方案一所需费用为：3.2×0.9×5000=14400(元)；
方案二所需费用为：3.2×5000－200×5=15000(元)，
∵14400＜15000，
∴小华选择方案一购买更优惠.
课堂小结
平均变化率问题
增长率问题
a(1+x)2=b,其中a为增长前的量，x为增长率，2为增长次数，b为增长后的量.
降低率问题
a(1-x)2=b,其中a为降低前的量，x为降低率，2为降低次数，b为降低后的量.注意1与x位置不可调换.