2021—2022学年华东师大版数学九年级上册24.3.1 锐角三角函数 课件(共23张PPT)
文档属性
| 名称 | 2021—2022学年华东师大版数学九年级上册24.3.1 锐角三角函数 课件(共23张PPT) |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.3MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-11-28 20:27:09 | ||
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文档简介
(共23张PPT)
一、教学目标
知识技能目标：1.了解三角函数的概念，学会在直角三角形中进行一些简单的计算。
2.知道30°、45°、60°角的三角函数值；会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值， 由已知三角函数值求它对应的锐角。
3.理解并掌握直角三角形边角之间的关系
过程方法目标：
（1）通过体验三角函数概念的形成过程增进学生的数学经验
（2）渗透数形结合的数学思想方法
（3）培养学生主动探索，敢于实践，勇于发现，合作交流的精神。
情感态度目标：
（1）让学生感受数学来源于生活又应用于生活，体验数学的生活化经历。
（2）通过实际问题情境的经历探究性的学习培养学生学习数学的兴趣，培养学生热爱数学、热爱生活的情感。
二、教学重点：
锐角三角函数的概念及其简单的计算
三、教学难点：
三角函数概念的形成
操场里有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆高度，小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为34度，并已知目高为1.65米．然后他很快就算出旗杆的高度了。
1.65米
10米
你想知道小明怎样算出的吗？
引例
∠A的对边 a
∠A的邻边 b
直角三角形ABC可以简记为Rt△ABC
直角∠C所对的边AB称为斜边，用c表示
另两条直角边分别叫∠A的对边与邻边，用a、b表示.
A
B
C
斜边 C
Rt△OPM∽Rt△OP1M1
P1M1
OP1
PM
OP
所以
OM
OP
OM1
OP1
PM
OM
OM
PM
P1M1
OM1
=______,
=______,
=______,
OM1
P1M1
=______,
B
A
M1
M
O
P
P1
图中的Rt△OPM和Rt△OP1M1，它们之间有什么关系？
在Rt△ABC中，对于锐角A的每一个确定的值，
①∠A的对边与斜边的比值与△ABC的边长大小有关系吗？
②∠A的邻边与斜边的比值呢？
③∠A的对边与邻边的比值呢？
在Rt△ABC中，对于锐角A的每一个确定的值，其对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边的比值是惟一确定的.
由此可见
这几个比值都是锐角∠A的函数，记作sin A、cosA、tan A，即
sin A=
cosA=
tan A=
分别叫做锐角∠A的正弦、余弦、正切，统称为锐角∠A的三角函数.
方法指导:
(1)我们现阶段所研究的锐角三角函数都是在直角三角形中定义的;
(2) sinA ,cosA、 tanA 都是表达符号,它们是一个整体,不能拆开来理解:
(3) sinA , cosA、 tanA 中 ∠A 的角的记号“ ∠ ”习惯上省略不写 ，但对于用三个字母和阿拉伯数字表示的角,角的记号“∠”不能省略,例如 sin∠1不能写成 sin1 .
0﹤ sin A﹤1, 0﹤ cos A﹤1 为什么
根据三角函数定义,我们还可以得出
你能够证明这两个公式吗？试试看
显然
求出如图所示的Rt△ABC中∠A的三角函数值.
∵
∴ sinA =
cosA =
tanA =
解
例 1
变式练习：
1.下图中∠ACB=90° ，CD⊥AB
指出∠A的对边、邻边。
A
B
C
D
2.上题中如果CD=5，AC=10，
则sin∠ACD=________
sin ∠DCB=________
3（1）在△ABC中，∠B=90 ，BC=3，AB=4，
则tanA=_____ cosA=______
（2）tan20 ·tan(90 -∠A)=1，则锐角∠A=_____
例 2
【点评】本题主要考查了三角函数的定义，正确求出图形中的线段的长是解决本题的关键．
因而可以设CD＝3x，AD＝5x，
根据勾股定理得到AC＝4x，则BC＝AD＝5x，
∵BD＝4，∴5x﹣3x＝4，
解得x＝2，
因而BC＝10，AC＝8，
CD＝6；
如图，在△ABC中∠C＝90°，点D在BC上，BD＝4，AD＝BC，
求：（1）DC的长；（2）sinB的值．
变式练习：
∴AC＝4，
∴BC＝CD+DB＝3+5＝8，
4.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在边BC上，AD＝BD＝5，
【点评】本题考查了直角三角形中正弦值的计算，考查了勾股定理的运用，本题中求AC的长是解题的关键．
变式练习
【解答】解：∵CD⊥AB，∠ACB＝90°，
∴∠B＝∠ACD，
5.已知：如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AB＝8，BC＝3．求：sin∠ACD的值及AD的长．
变式练习
【点评】本题考查解直角三角形，锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
【解答】解：设BC＝x．
∵∠DBC＝45°，EF⊥AE，
∴EF＝BE，BC＝DC，
∴AC＝2+x，
6.如图，在△ADC中，∠A＝30°，∠ACD＝90°，点B在AC上，∠DBC＝45°，点E在BC的延长线上，且AB＝2，CE＝3，过E作EF⊥AE于E，交BD延长线于F．求EF的长．
教学反思：
用特殊值探究锐角的三角函数时，学生们表现得非常积极，从作图，找边、角，计算各个方面进行探究，学生发现:特殊角的三角函数值可以用勾股定理求出，然后就问:三角函数与直角三角形的边、角有什么关系，三角函数与三角形的形状有关系吗 进一步深入地去认识三角函数:当得出正切的概念后，学生们就提出:能不能把公式变形成积的形式，去求边，这个问题已经把本课的内容拓展了，说明学生的问题意识已经增强了，能够合理地提出问题。至此，每个学生在课堂的表现明显改变，表现得积极、主动、问题意识强。
你理解了正弦，余弦正切的涵义了吗？
课后作业：
D
A
D
课后作业：
4.如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AB＝3，则下列结论正确的是（ ）
5．将∠BAC放置在5×5的正方形网格中，顶点A在格点上．则sin∠BAC的值为 ．
D
课后作业：
【解答】解：（1）作AE⊥BC于E，如图，
∵AB＝AC，
（2）作DF⊥BC于F，如图
设DF＝3x，则CF＝5x，
课后作业：
【点评】本题考查了解直角三角形：灵活运用锐角三角形的定义和勾股定理解直角三角形．也考查了等腰三角形的性质．
而DF＝3x，
∴BF＝4x，
∴BC＝BF+CF＝4x+5x＝9x，
8.在Rt△ABC中，∠C＝90°，斜边c＝5，两直角边的长a，b是关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣2＝0的两个根，求Rt△ABC中较小锐角的正弦值．
课后作业：
【点评】本题难度较大，利用了一元二次方程的根与系数的关系，勾股定理，正弦的概念求解．
【解答】解：∵a，b是方程x2﹣mx+2m﹣2＝0的解，
∴a+b＝m，ab＝2m﹣2，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，a2+b2＝c2，
而a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，c＝5
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝25，
即：m2﹣2（2m﹣2）＝25
解得，m1＝7，m2＝﹣3，
∵a，b是Rt△ABC的两条直角边的长．
∴a+b＝m＞0，m＝﹣3不合题意，舍去．
∴m＝7，
当m＝7时，原方程为x2﹣7x+12＝0，
解得，x1＝3，x2＝4，
课后作业：
【点评】本题考查的是解直角三角形的知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键，注意锐角三角函数的概念的正确应用．
【解答】解：（1）过点A作AE⊥BC于点E，
∴∠C＝45°，
在Rt△ACE中，CE＝AC cosC＝1，
∴AE＝CE＝1，
∴BE＝3AE＝3，
∴BC＝BE+CE＝4；
（2）∵AD是△ABC的中线，
∴DE＝CD﹣CE＝1，
∵AE⊥BC，DE＝AE，
∴∠ADC＝45°．
一、教学目标
知识技能目标：1.了解三角函数的概念，学会在直角三角形中进行一些简单的计算。
2.知道30°、45°、60°角的三角函数值；会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值， 由已知三角函数值求它对应的锐角。
3.理解并掌握直角三角形边角之间的关系
过程方法目标：
（1）通过体验三角函数概念的形成过程增进学生的数学经验
（2）渗透数形结合的数学思想方法
（3）培养学生主动探索，敢于实践，勇于发现，合作交流的精神。
情感态度目标：
（1）让学生感受数学来源于生活又应用于生活，体验数学的生活化经历。
（2）通过实际问题情境的经历探究性的学习培养学生学习数学的兴趣，培养学生热爱数学、热爱生活的情感。
二、教学重点：
锐角三角函数的概念及其简单的计算
三、教学难点：
三角函数概念的形成
操场里有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆高度，小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为34度，并已知目高为1.65米．然后他很快就算出旗杆的高度了。
1.65米
10米
你想知道小明怎样算出的吗？
引例
∠A的对边 a
∠A的邻边 b
直角三角形ABC可以简记为Rt△ABC
直角∠C所对的边AB称为斜边，用c表示
另两条直角边分别叫∠A的对边与邻边，用a、b表示.
A
B
C
斜边 C
Rt△OPM∽Rt△OP1M1
P1M1
OP1
PM
OP
所以
OM
OP
OM1
OP1
PM
OM
OM
PM
P1M1
OM1
=______,
=______,
=______,
OM1
P1M1
=______,
B
A
M1
M
O
P
P1
图中的Rt△OPM和Rt△OP1M1，它们之间有什么关系？
在Rt△ABC中，对于锐角A的每一个确定的值，
①∠A的对边与斜边的比值与△ABC的边长大小有关系吗？
②∠A的邻边与斜边的比值呢？
③∠A的对边与邻边的比值呢？
在Rt△ABC中，对于锐角A的每一个确定的值，其对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边的比值是惟一确定的.
由此可见
这几个比值都是锐角∠A的函数，记作sin A、cosA、tan A，即
sin A=
cosA=
tan A=
分别叫做锐角∠A的正弦、余弦、正切，统称为锐角∠A的三角函数.
方法指导:
(1)我们现阶段所研究的锐角三角函数都是在直角三角形中定义的;
(2) sinA ,cosA、 tanA 都是表达符号,它们是一个整体,不能拆开来理解:
(3) sinA , cosA、 tanA 中 ∠A 的角的记号“ ∠ ”习惯上省略不写 ，但对于用三个字母和阿拉伯数字表示的角,角的记号“∠”不能省略,例如 sin∠1不能写成 sin1 .
0﹤ sin A﹤1, 0﹤ cos A﹤1 为什么
根据三角函数定义,我们还可以得出
你能够证明这两个公式吗？试试看
显然
求出如图所示的Rt△ABC中∠A的三角函数值.
∵
∴ sinA =
cosA =
tanA =
解
例 1
变式练习：
1.下图中∠ACB=90° ，CD⊥AB
指出∠A的对边、邻边。
A
B
C
D
2.上题中如果CD=5，AC=10，
则sin∠ACD=________
sin ∠DCB=________
3（1）在△ABC中，∠B=90 ，BC=3，AB=4，
则tanA=_____ cosA=______
（2）tan20 ·tan(90 -∠A)=1，则锐角∠A=_____
例 2
【点评】本题主要考查了三角函数的定义，正确求出图形中的线段的长是解决本题的关键．
因而可以设CD＝3x，AD＝5x，
根据勾股定理得到AC＝4x，则BC＝AD＝5x，
∵BD＝4，∴5x﹣3x＝4，
解得x＝2，
因而BC＝10，AC＝8，
CD＝6；
如图，在△ABC中∠C＝90°，点D在BC上，BD＝4，AD＝BC，
求：（1）DC的长；（2）sinB的值．
变式练习：
∴AC＝4，
∴BC＝CD+DB＝3+5＝8，
4.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在边BC上，AD＝BD＝5，
【点评】本题考查了直角三角形中正弦值的计算，考查了勾股定理的运用，本题中求AC的长是解题的关键．
变式练习
【解答】解：∵CD⊥AB，∠ACB＝90°，
∴∠B＝∠ACD，
5.已知：如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AB＝8，BC＝3．求：sin∠ACD的值及AD的长．
变式练习
【点评】本题考查解直角三角形，锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
【解答】解：设BC＝x．
∵∠DBC＝45°，EF⊥AE，
∴EF＝BE，BC＝DC，
∴AC＝2+x，
6.如图，在△ADC中，∠A＝30°，∠ACD＝90°，点B在AC上，∠DBC＝45°，点E在BC的延长线上，且AB＝2，CE＝3，过E作EF⊥AE于E，交BD延长线于F．求EF的长．
教学反思：
用特殊值探究锐角的三角函数时，学生们表现得非常积极，从作图，找边、角，计算各个方面进行探究，学生发现:特殊角的三角函数值可以用勾股定理求出，然后就问:三角函数与直角三角形的边、角有什么关系，三角函数与三角形的形状有关系吗 进一步深入地去认识三角函数:当得出正切的概念后，学生们就提出:能不能把公式变形成积的形式，去求边，这个问题已经把本课的内容拓展了，说明学生的问题意识已经增强了，能够合理地提出问题。至此，每个学生在课堂的表现明显改变，表现得积极、主动、问题意识强。
你理解了正弦，余弦正切的涵义了吗？
课后作业：
D
A
D
课后作业：
4.如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AB＝3，则下列结论正确的是（ ）
5．将∠BAC放置在5×5的正方形网格中，顶点A在格点上．则sin∠BAC的值为 ．
D
课后作业：
【解答】解：（1）作AE⊥BC于E，如图，
∵AB＝AC，
（2）作DF⊥BC于F，如图
设DF＝3x，则CF＝5x，
课后作业：
【点评】本题考查了解直角三角形：灵活运用锐角三角形的定义和勾股定理解直角三角形．也考查了等腰三角形的性质．
而DF＝3x，
∴BF＝4x，
∴BC＝BF+CF＝4x+5x＝9x，
8.在Rt△ABC中，∠C＝90°，斜边c＝5，两直角边的长a，b是关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣2＝0的两个根，求Rt△ABC中较小锐角的正弦值．
课后作业：
【点评】本题难度较大，利用了一元二次方程的根与系数的关系，勾股定理，正弦的概念求解．
【解答】解：∵a，b是方程x2﹣mx+2m﹣2＝0的解，
∴a+b＝m，ab＝2m﹣2，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，a2+b2＝c2，
而a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，c＝5
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝25，
即：m2﹣2（2m﹣2）＝25
解得，m1＝7，m2＝﹣3，
∵a，b是Rt△ABC的两条直角边的长．
∴a+b＝m＞0，m＝﹣3不合题意，舍去．
∴m＝7，
当m＝7时，原方程为x2﹣7x+12＝0，
解得，x1＝3，x2＝4，
课后作业：
【点评】本题考查的是解直角三角形的知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键，注意锐角三角函数的概念的正确应用．
【解答】解：（1）过点A作AE⊥BC于点E，
∴∠C＝45°，
在Rt△ACE中，CE＝AC cosC＝1，
∴AE＝CE＝1，
∴BE＝3AE＝3，
∴BC＝BE+CE＝4；
（2）∵AD是△ABC的中线，
∴DE＝CD﹣CE＝1，
∵AE⊥BC，DE＝AE，
∴∠ADC＝45°．