（教师版）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{﹣1，1，2}，则（ UA）∪（ UB）＝（ ）
A．{﹣1，1} B．{﹣2，3} C．{﹣1，0，1，2} D．{﹣2，0，2，3}
答案：解：∵U＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，A＝{﹣1，0，1}，B＝{﹣1，1，2}，
∴ UA＝{﹣2，2，3}， UB＝{﹣2，0，3}，
∴（ UA）∪（ UB）＝{﹣2，0，2，3}．
故选：D．
2．命题“ x∈[﹣2，+∞），x+3≥1”的否定为（ ）
A． x∈[﹣2，+∞），x+3＜1 B． x0∈[﹣2，+∞），x0+3≥1
C． x0∈[﹣2，+∞），x0+3＜1 D． x0∈（﹣∞，﹣2），x0+3＜1
答案：解：∵全称命题的否定是特称命题，
∴命题“ x∈[﹣2，+∞），x+3≥1”的否定是 x0∈[﹣2，+∞），x0+3＜1，
故选：C．
3．命题p：函数f（x）＝x+的最小值为2，命题q：x＞0，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
答案：解：由对勾函数的性质得，当x∈（0，+∞）时，f（x）＝x+在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，
∴当x＝时，f（x）取得最小值2，
∴命题q：x＞0 命题p：函数f（x）＝x+的最小值为2，即命题p是命题q的必要条件；
又当x∈（1，+∞）时，函数f（x）＝x+的最小值为2，即命题p不是命题q的充分条件，
∴p是q的必要不充分条件，
故选：B．
4．函数f（x）＝的部分图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
答案：解：函数f（x）＝的定义域为{x|x≠0，x∈R}，故排除A选项，
f（﹣x）＝，故函数为奇函数，
∵x∈（0，），cos2x＞0，f（x）＞0，故排除B，C选项．
故选：D．
5．（5分）（2021 甲卷）若α∈（0，），tan2α＝，则tanα＝（ ）
A． B． C． D．
答案：解：由tan2α＝，得，
即，
∵α∈（0，），∴cosα≠0，
则2sinα（2﹣sinα）＝1﹣2sin2α，解得sinα＝，
则cosα＝＝，
∴tanα＝．
故选：A．
6．《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗．问五人各得几何？”其意思为“有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问5人各得多少子，”这个问题中，得到橘子最少的人所得的橘子个数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
答案：解：根据题意，设5人分得的橘子数目从小到大依次为a1、a2、a3、a4、a5，则这5个数组成以3为公差的等差数列，
则a5＝a1+3（5﹣1）＝12+a1，
又由5人共分得60个橘子，则有S5＝＝5a1+10×3＝60，
解可得a1＝6；
即得到橘子最少的人得到6个橘子；
故选：C．
7．定义在R上的奇函数f（x）在（﹣∞，0）上是增函数，若，b＝f（log24.1），c＝f（20.8），则a，b，c的大小关系为（ ）
A．c＜b＜a B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．a＜b＜c
答案：解：因为f（x）为R上的奇函数，
所以＝，
又奇函数f（x）在（﹣∞，0）上是增函数，
则f（x）在（0，+∞）上也为增函数，
因为20.8＜2＜log24.1＜log25，
则f（20.8）＜f（log24.1）＜f（log25），
所以c＜b＜a．
故选：A．
8．（5分）（2017 西安一模）函数f（x）＝lnx+x2﹣bx+a（b＞0，a∈R）的图象在点（b，f（b））处的切线斜率的最小值是（ ）
A．2 B． C．1 D．2
答案：解：由f（x）＝lnx+x2﹣bx+a，得f′（x）＝+2x﹣b（x＞0），
∴f′（b）＝+b（b＞0）
∴f′（b）＝+b≥2，
当且仅当b＝，即b＝1时上式取“＝”，切线斜率的最小值是2．
故选：D．
9．（5分）（2021 道里区校级一模）已知函数，若的零点个数为4，则实数a取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
答案：解：函数，
作出f（x）的图象，
令f（x）＝t，那么F（x）转化为g（t）＝t2﹣2at+
要使t2﹣2at+＝0零点个数为4，
结合f（x）的图象，可知0＜t1≤1，0＜t2＜1，
或t1＞2且t2＞2或0＜t1≤1且t2＞2．
令g（t）＝t2﹣2at+，
根据二次函数根的分布，
可得或或，
即或或，
解得：．
故选：D．
二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分.
10．集合A＝{x||x﹣3|＜1}，B＝{x|3x﹣7≥8﹣2x}，则A∩B＝ {x|3≤x＜4} ．
答案：解：∵集合A＝{x||x﹣3|＜1}＝{x|2＜x＜4}，
B＝{x|3x﹣7≥8﹣2x}＝{x|x≥3}，
∴A∩B＝{x|3≤x＜4}．
故答案为：{x|2＜x≤3}．
11．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a：b：c＝4：5：6，则三个内角中最大角的余弦值为 ．
答案：解：根据题意开设：a＝4k，b＝5k，c＝6k，k＞0，且最大角为C，
可得cosC＝＝＝．
故答案为：．
12．（5分）（2018秋 宁城县期末）设2a＝5b＝10，则+＝ 1 ．
答案：解：设2a＝5b＝10，
则a＝log210，b＝log510，
则+
＝+
＝lg2+lg5
＝1
故答案为：1
13．已知数列{an}中，a1＝﹣1，an＝2an﹣1+3，则通项公式an＝ 2n﹣3 ；前n项和Sn＝ 2n+1﹣3n﹣2 ．
答案：解：根据题意，将an＝2an﹣1+3变形可得an+3＝2（an﹣1+3），
因此可得数列{an+3}是以a1+3＝2为首项，2为公比的等比数列，
所以，所以．
由此可得＝（2+22+23+…+2n）﹣3n
＝．
故答案为：2n﹣3；2n+1﹣3n﹣2．
14．（5分）（2020 江苏）已知5x2y2+y4＝1（x，y∈R），则x2+y2的最小值是 ．
答案：解：方法一、由5x2y2+y4＝1，可得x2＝，
由x2≥0，可得y2∈（0，1]，
则x2+y2＝+y2＝＝（4y2+）
≥ 2＝，当且仅当y2＝，x2＝，
可得x2+y2的最小值为；
方法二、4＝（5x2+y2） 4y2≤（）2＝（x2+y2）2，
故x2+y2≥，
当且仅当5x2+y2＝4y2＝2，即y2＝，x2＝时取得等号，
可得x2+y2的最小值为．
故答案为：．
15．（5分）（2021 甲卷）已知函数f（x）＝2cos（ωx+φ）的部分图像如图所示，则满足条件（f（x）﹣f（﹣））（f（x）﹣f（））＞0的最小正整数x为 2 ．
答案：解：由图像可得，即周期为π，
∵，T＝π，
∴，
观察图像可知当，
，，
∵2∈（），且，
∴x＝2时最小，且满足题意，
故答案为：2．
三.解答题：本大题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16．（14分）（在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．
（Ⅰ）求cosA的值；
（Ⅱ）求的值．
答案：解：（Ⅰ）因为，
所以由正弦定理可得sinAcosC+sinC＝sinB，
又sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC，
所以sinC＝sinCcosA，
因为sinC≠0，
所以cosA＝．
（Ⅱ）因为cosA＝，可得sinA＝＝，可得sin2A＝2sinAcosA＝，cos2A＝2cos2A﹣1＝﹣，
所以＝sin2A﹣cos2A＝﹣×（﹣）＝．
17．（15分）（2020 临川区校级一模）已知函数f（x）＝sin2x﹣sin2（x﹣），x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在区间[﹣]的最大值和最小值．
答案：解：（1）化简可得f（x）＝sin2x﹣sin2（x﹣）
＝（1﹣cos2x）﹣[1﹣cos（2x﹣）]
＝（1﹣cos2x﹣1+cos2x+sin2x）
＝（﹣cos2x+sin2x）
＝sin（2x﹣），
∴f（x）的最小正周期T＝＝π；
（2）∵x∈[﹣，]，∴2x﹣∈[﹣，]，
∴sin（2x﹣）∈[﹣1，]，∴sin（2x﹣）∈[﹣，]，
∴f（x）在区间[﹣，]内的最大值和最小值分别为，﹣．
18．（15分）（2020春 兴庆区校级期末）设函数f（x）＝ax2+（b﹣2）x+3（a≠0）．
（1）若不等式f（x）＞0的解集（﹣1，1），求a，b的值；
（2）若f（1）＝2，
①a＞0，b＞0，求的最小值；
②若f（x）＞1在R上恒成立，求实数a的取值范围．
答案：解：（1）由f（x）＞0的解集是（﹣1，1）知﹣1，1是方程f（x）＝0的两根，
由根与系数的关系可得，解得；
（2）由f（1）＝2得a+b＝1，
①a＞0，b＞0，
∴+＝（+）（a+b）＝++5≥2+5＝9，
当且仅当b＝2a，即时取等号，
∴+的最小值是9．
②不等式f（x）＞1在R上恒成立，则ax2+（b﹣2）x+3＞1在R上恒成立，
即ax2﹣（a+1）x+2＞0恒成立，∴，
解得3﹣2＜a＜3+2，
∴实数a的取值范围是．
19．（15分）（2019 揭阳模拟）等差数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}是等比数列，满足a1＝3，b1＝1，b2+S2＝10，a5﹣2b2＝a3．
（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）令Cn＝设数列{cn}的前n项和Tn，求T2n．
答案：解：（Ⅰ）设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q，
由b2+S2＝10，a5﹣2b2＝a3．
得，解得
∴an＝3+2（n﹣1）＝2n+1，．
（Ⅱ）由a1＝3，an＝2n+1得Sn＝n（n+2），
则n为奇数，cn＝＝，
n为偶数，cn＝2n﹣1．
∴T2n＝（c1+c3+…+c2n﹣1）+（c2+c4+…+c2n）
＝
＝＝．
20．（16分）（2016 河西区二模）函数f（x）＝，若曲线f（x）在点（e，f（e））处的切线与直线e2x﹣y+e＝0垂直（其中e为自然对数的底数）．
（1）若f（x）在（m，m+1）上存在极值，求实数m的取值范围；
（2）求证：当x＞1时，＞．
答案：解：（1）∵f′（x）＝，
f（x）在点（e，f（e））处的切线斜率为﹣，
由切线与直线e2x﹣y+e＝0垂直，
可得f′（e）＝﹣，即有﹣＝﹣
解得得a＝1，
∴f（x）＝，f′（x）＝﹣（x＞0）
当0＜x＜1，f′（x）＞0，f（x）为增函数；
当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）为减函数．
∴x＝1是函数f（x）的极大值点
又f（x）在（m，m+1）上存在极值
∴m＜1＜m+1 即0＜m＜1
故实数m的取值范围是（0，1）；
（2）不等式＞
即为 ＞
令g（x）＝
则g′（x）＝，
再令φ（x）＝x﹣lnx，则φ′（x）＝1﹣＝，
∵x＞1∴φ′（x）＞0，φ（x）在（1，+∞）上是增函数，
∴φ（x）＞φ（1）＝1＞0，g′（x）＞0，
∴g（x）在（1，+∞）上是增函数，
∴x＞1时，g（x）＞g（1）＝2
故＞．
令h（x）＝，则h′（x）＝，
∵x＞1∴1﹣ex＜0，h′（x）＜0，即h（x）在（1，+∞）上是减函数
∴x＞1时，h（x）＜h（1）＝，
所以＞h（x），即＞．河西区2021 -2022 学年度第一学期高三年级期中质量调查
数学试卷
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{﹣1，1，2}，则（ UA）∪（ UB）＝（ ）
A．{﹣1，1} B．{﹣2，3} C．{﹣1，0，1，2} D．{﹣2，0，2，3}
2．命题“ x∈[﹣2，+∞），x+3≥1”的否定为（ ）
A． x∈[﹣2，+∞），x+3＜1 B． x0∈[﹣2，+∞），x0+3≥1
C． x0∈[﹣2，+∞），x0+3＜1 D． x0∈（﹣∞，﹣2），x0+3＜1
3．命题p：函数f（x）＝x+的最小值为2，命题q：x＞0，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．函数f（x）＝的部分图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．若α∈（0，），tan2α＝，则tanα＝（ ）
A． B． C． D．
6．《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗．问五人各得几何？”其意思为“有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问5人各得多少子，”这个问题中，得到橘子最少的人所得的橘子个数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
7．定义在R上的奇函数f（x）在（﹣∞，0）上是增函数，若，b＝f（log24.1），c＝f（20.8），则a，b，c的大小关系为（ ）
A．c＜b＜a B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．a＜b＜c
8．函数f（x）＝lnx+x2﹣bx+a（b＞0，a∈R）的图象在点（b，f（b））处的切线斜率的最小值是（ ）
A．2 B． C．1 D．2
9．已知函数，若的零点个数为4，则实数a取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分.
10．集合A＝{x||x﹣3|＜1}，B＝{x|3x﹣7≥8﹣2x}，则A∩B＝ ．
11．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a：b：c＝4：5：6，则三个内角中最大角的余弦值为 ．
12．（5分）（2018秋 宁城县期末）设2a＝5b＝10，则+＝ ．
13．已知数列{an}中，a1＝﹣1，an＝2an﹣1+3，则通项公式an＝ ；前n项和Sn＝ ．
14．（5分）（2020 江苏）已知5x2y2+y4＝1（x，y∈R），则x2+y2的最小值是 ．
15．（5分）（2021 甲卷）已知函数f（x）＝2cos（ωx+φ）的部分图像如图所示，则满足条件（f（x）﹣f（﹣））（f（x）﹣f（））＞0的最小正整数x为 ．
三.解答题：本大题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16．（14分）（在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．
（Ⅰ）求cosA的值；
（Ⅱ）求的值．
17．（15分）（2020 临川区校级一模）已知函数f（x）＝sin2x﹣sin2（x﹣），x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在区间[﹣]的最大值和最小值．
18．（15分）（2020春 兴庆区校级期末）设函数f（x）＝ax2+（b﹣2）x+3（a≠0）．
（1）若不等式f（x）＞0的解集（﹣1，1），求a，b的值；
（2）若f（1）＝2，
①a＞0，b＞0，求的最小值；
②若f（x）＞1在R上恒成立，求实数a的取值范围．
19．（15分）（2019 揭阳模拟）等差数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}是等比数列，满足a1＝3，b1＝1，b2+S2＝10，a5﹣2b2＝a3．
（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）令Cn＝设数列{cn}的前n项和Tn，求T2n．
20．（16分）（2016 河西区二模）函数f（x）＝，若曲线f（x）在点（e，f（e））处的切线与直线e2x﹣y+e＝0垂直（其中e为自然对数的底数）．
（1）若f（x）在（m，m+1）上存在极值，求实数m的取值范围；
（2）求证：当x＞1时，＞．
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