4.5.2用二分法求方程的近似解 课件(共18张PPT)

(共18张PPT)
4.5.2用二分法求方程的近似解
人教A（2019）版
必修一
新知导入
温故知新
1、函数的零点的定义：
使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点
方程f(x)=0有实根
函数y=f(x)的图像与x轴有交点
函数y=f(x)有fwhk
2、零点存在性定理
如果函数y＝f(x)在区间［a，b］上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间（a，b）内至少有一个零点，即存在
x∈（a，b），使得f(x)＝０，这个x也就是方程f(x)=0的解.
(1)连续不断
(2)两端点函数值
符号相反。
两个要点：
下面的方程你会用什么方法来求解这些方程？
对于方程（1），可以利用一元二次方程的求根公式求解, 但对于(2)的方程，我们却没有公式可用来求解.
对于(2)，令f(x)=lnx+2x-6，f(2)f(3)<0，则存在定理知
f(x)=0至少存在一个根，那么我们如何求出这个根或其近
似值呢？
接下来我们研究这种求没有公式方法求零点的近似值的方法。
新知导入
新知讲解
如何缩小零点所在的范围，得到一个越来越小的区间，以使零点
仍在此区间内 我们首先研究下列问题。
在从甲地到乙地有一段10千米的通讯线路有一点断路，如何通过
缩小检测范围快速找到这个断点呢？
为了缩小检测范围，一般先以甲乙中点将线路分为两段，则必有一段通而另一段不通，然后再将不通的一段重复上述操作。从而达到缩小检测范围的目的．过程如下图：
甲0km
乙10km
。
。
不通
。
断点。
通
不通
。
通
不通
。
A.5km
B.
7.5km
C
8.75km
分析：我们已经确定在甲乙（0，10）范围内有断点，第一次检测确定
断点在（5，10）范围，第二次就缩小到（7.5，10）范围内，第
三次则缩小到（7.5，8.25）的更小范的围内。
上述方法的要点：1、选取中点；2、通过检测通与不通确定范围；
3、重复前面的操作。
类比这种方法，我们用在缩小零点范围上：
1、利用存在定理确定存在的一个比较大的范围(a,b)
2、取中点c，把原区间分成两个(a,c)，(c,b)
3、重复上述操作
新知讲解
新知讲解
通过这个问题的解决，能不能应用到缩小f(x)=lnx+2x-6零点所在的范围呢？
我们已知f(2)f(3)<0，由定理知零点在区间(2,3)内。类比上述方法：
f(2)<0
f(2.5)<0
f(2.75)>0
f(2.5625)>0
f(2.53125)<0
f(2.546875)>0
f(2.5390625)>0
f(3)>0
x0∈(2,3)
x0∈(2.5,2.75)
x0∈(2.5625,2.53125)
x0∈(2.546875,2.5390625)
通过反复上述操作，最终把零点锁定在一个符合我们要求的近似区间
这种求零点的方法叫二分法
下面我们给出二分法求零点的定义和具体操作步骤
新知讲解
对于在区间[a,b]上连续不断、且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断把函
数f(x)的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得
到零点近似值的方法叫二分法。
二分法定义
是不是任意函数都可以用二分法来求零点的近似值呢？
x
y
o
x
y
o
观察下面两个函数的零点，能不能用二分法呢？
显然不可以，因为这两个函数在零点两侧函数值符号相同。
因此，用二分法的两个条件：
(1)在闭区间上连续不断。
(2)区间两端点函数值符号相反。
新知讲解
给定精确度ε，用二分法求函数y＝f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下：
1、确定初始区间[a,b]，验证f(a)f(b)<0
2、求区间[a,b]的中点x1＝
3、列表计算：f(x1)判断：
(1)如果f(x1)=0，则x1就是f(x)的零点，计算终止;
(2)如果f(a)f(x1)<0，则令b=x1 (此时零点x0∈(a,x1)中)
(3)如果f(a)f(x1)>0，则令a=x1(此时零点x0∈(x1,b)中)
4、判断是否达到精确度ε：若达到，则得到零点近似值是(a,b)区间内的一
点；否则重复2～4步骤。
合作探究
例1、用二分法求方程lnx+2x-6=0的近似解。(精确到0.01）
解：易知f(2)<0,f(3)>0,所以方程的解在区间(2,3)上。列表如下：
(a，b) 中点x1 f(a) f(x1 )
(2 , 3) 2.5 - -0.084
(2.5,3) 2.75 - 0.512
(2.5,2.75) 2.625 - 0.215
(2.5,2.625) 2.5625 - 0.066
(2.5,2.5625) 2.53125 - -0.009
(2.53125,2.5625) 2.546875 - 0.029
(2.53125,2.546875) 2.5390625 - 0.010
(2.53125,2.5390625) 2.53515625 - 0.001
f(b)
+
+
+
+
+
+
+
+
| 2.5390625 －2.53125|=0.0078125<0．01
综上，2.53或2.54均可作为方程的近似解。
例２、用二分法求方程2x＋3x=7的近似解（精确度为0.1）
合作探究
解：原方程即2x+3x-7=0，令f(x)＝2x +3x-7，画出函数y=f(x)的图象
| | | | | | | | | | | | |
16 14 12 10 8 6 4 2 -2 -4 -6 -8
| | |
-5 5 10
y
x
O
列表
x
y
0 1 2 3 4 5 6 7 8
-6 -2 3 10 21 40 75 142 237
观察图及列表可知f(1)f(2)<0， 说明该函数在区间 (1,2)内存在零点x0．
按着二分法的步骤，列出下表：
零点所在区间 中点的值 中点的函数近似值
(1,2) 1.5 0.33
(1,1.5) 1.25 -0.87
(1.25,1.5) 1.375 -0.28
(1.375,1.5) 1.4375 0.02
(1.375,1.4375)
合作探究
由于 |1.375-1.4375|=0.0625<0.1
此时区间(1.375,1.4375)的两个端点精确到0.1的近似值都是1.4，所以
原方程精确到0.1的近似解为1.4。
课堂练习
1、下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是( )
B
x －1 0 1 2 3
f(x) －0.677 3.011 5.432 5.980 7.651
g(x) －0.530 3.451 4.890 5.241 6.892
2．根据下表，能判断方程f(x)＝g(x)有实数解的区间是(　　)
A.(－1,0) B．(0,1) C．(1,2) D．(2,3)
B
3．下列函数中不能用二分法求零点的是(　　)
A．f(x)＝3x－1　 B．f(x)＝x3 C.f(x)＝|x| D．f(x)＝lnx
C
B
(2,3)
课堂练习
课堂总结
1、确定区间[a,b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε
2、求区间(a,b)的中点c
3、计算f(c);
(1) 若f(c)=0,则c就是函数的零点
(2) 若f(a)·f(c)<0,则令b= c(此时零点x0∈(a,c))
(3) 若f(a)· f(c)>0,则令a= c(此时零点x0∈(c,b))
4、判断是否达到精确度ε，即若|a-b|< ε,则得到零点的近似值a(或b)；否则重复2～4.
一、二分法定义
二、二分法求函数零点的步骤
板书设计
二分法定义
对于在区间[a,b]上连续
不断、且f(a)·f(b)<0的函数
y=f(x)，通过不断把函数
f(x)的零点所在区间一分为
二，使区间的两个端点逐
步逼近零点，进而得到零
点近似值的方法叫二分法。
二分法求函数零点的步骤
1、确定区间[a,b]，验证
f(a)·f(b)<0，给定精
确度ε
2、求区间(a,b)的中点c
3、计算f(c);
4、判断是否达到精确度ε
适用条件
(1)在闭区间上连
续不断。
(2)区间两端点函
数值符号相反。
作业布置
2.课本P146练习1、2
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