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26.1.2反比例函数的图像和性质---第2课时 学案
课题 26.1.2反比例函数的图像和性质---第2课时 单元 第26单元 学科 数学 年级 九年级下册
学习目标 1．使学生进一步理解和掌握反比例函数及其图象与性质。2．能灵活运用函数图象和性质解决一些较综合的问题。3．深刻领会解析式与图象之间联系，体会数形结合及转化思想方法。
重点 通过对反比例函数图像的分析，探究反比例函数的增减性。
难点 理解反比例函数性质，并能灵活应用。
教学过程
导入新课 【引入思考】回顾：反比例函数的图像及性质： 上一节课，我们共同学习了反比例函数的图像及性质，今天，我们进一步探究反比例函数的图像和性质的应用。
新知讲解 提炼概念 (1)、当k＞0，在图象所在的每一个象限内，当x增大时，y随之减小.(2)、当k＜0，在图象所在的每一个象限内，当x增大时，y随之增大.典例精讲 例3：已知反比例函数的图象经过点A（2，6）。这个函数的图象分布在哪些象限？随的增大如何变化？点B（3,4）、C（）和D（2，5）和是否在这个函数图象上？例4:图中 是反比例函数ｙ＝的图象的一支,根据图象回答下列问题：图象的另一支在哪个象限？常数m的取值范围是什么？在这个函数图象的某一支上任取点A（a，b）和点B(a`,b`).如果a>a`,那么b和b`有怎样的大小关系 k 的几何意义(知识拓展):如图所示，点A在反比例函数y＝的图象上，AC垂直x轴于点C，且△AOC的面积为2，求该反比例函数的表达式．
课堂练习 巩固训练 1.已知(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)是反比例函数y＝的图象上的三个点，且x1＜x2＜0，x3＞0，则y1，y2，y3的大小关系是 ( )A．y3＜y1＜y2 B．y2＜y1＜y3C．y1＜y2＜y3 D．y3＜y2＜y12.已知（ 1，y1 ），（3,y2 ），（-2,y3 ）是反比例函数的图象上的三个点，则 y1 ,y2 ,y3 的大小关系是: 3．已知反比例函数 ．（1）当x＞5时，0 y 1；（2）当x≤5时，则y 1,或y＜ ．4. 如图，已知A(－4，2)，B(n，－4)是一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝的图象的两个交点．(1)求此反比例函数和一次函数的解析式； (2)根据图象写出使一次函数值小于反比例函数值的取值范围． 答案引入思考 容易误将反比例函数的增减性的前提条件在每一个象限内，当成了在全体实数内，特别注意y随x的增大而增大或减小具体在各个象限内的情况，而不是笼统地概括．提炼概念k的符号作用：反比例函数中的k的符号决定函数图象所在象限，反之由图象所在象限也可确定函数中的k的符号．典例精讲 例3：解：（1）因为点 A (2，6) 在第一象限， 所以这个函数的图象位于第一、第三象限， 在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小.（2）设这个反比例函数的解析式为 ，因为点A (2，6)在其图象上，所以有 ，解得 k =12. 所以反比例函数的解析式y=12/x .因为点 B，C 的坐标都满足该解析式，而点 D的坐标不满足，所以点 B，C 在这个函数的图象上，点 D 不在这个函数的图象上.例4：解：（１）反比例函数图象的分布只有两种可能，分布在第一、第三象限，或者分布在第二、第四象限。这个函数的图象的一支在第一象限，则另一支必在第三象限。∵函数的图象在第一、第三象限∴ ｍ－５＞０,解得 ｍ＞５（２）∵ｍ－５＞０，在这个函数图象的任一支上，ｙ随ｘ的增大而减小，∴当x1＞x2时y1＜y2k 的几何意义(知识拓展):解：∵点A在反比例函数y＝的图象上，∴xA·yA＝k，∴S△AOC＝·k＝2，∴k＝4，∴反比例函数的表达式为y＝.结论:过P作x轴的垂线，垂足为A,则它与x轴围成的直角三角形的面积是不变的，且 .巩固训练1.B.2. y3＞ y2＞ 1. 3．（1）当x＞5时，0＜y ＜ 1；（2）当x≤5时，则y ＞ 1,或y＜ 0 ．4.解：(1)∵点A(－4，2)和点B(n，－4)都在反比例函数y＝的图象上，∴解得又∵点A(－4，2)和点B(2，－4)都在一次函数y＝kx＋b的图象上，∴解得∴反比例函数的解析式为y＝－，一次函数的解析式为y＝－x－2；(2)x的取值范围是x＞2或－4＜x＜0.
课堂小结 小 1．反比例函数的性质性质：反比例函数y＝(k为常数，k≠0)的图象，当k＞0时，在图象所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而_______；当k＜0时，在图象所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而_______．（减小，增大）k的符号作用：反比例函数中的k的符号决定函数图象所在象限，反之由图象所在象限也可确定函数中的k的符号．2．运用反比例函数的性质解决一些简单的实际问题.注意：(1)自变量不仅要使反比例函数自身有意义，而且要符合实际问题中的具体意义及附加条件；(2)对于在自变量的取值范围内画函数图象，应注意图象的完整性；(3)一般有两种方法求自变量的取值范围：一种是利用函数的增减性，另一种是利用图解法．
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26.1.2反比例函数的图像和性质---第2课时教案
课题 26.1.2反比例函数的图像和性质---第2课时 单元 第26单元 学科 数学 年级 九年级（下）
学习目标 1．使学生进一步理解和掌握反比例函数及其图象与性质。2．能灵活运用函数图象和性质解决一些较综合的问题。3．深刻领会解析式与图象之间联系，体会数形结合及转化思想方法。
重点 通过对反比例函数图像的分析，探究反比例函数的增减性。
难点 理解反比例函数性质，并能灵活应用。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 一、创设情景，引出课题导入：议一议 反比例函数的性质1.当k>0时,图象的两个分支分别在第一、三象限内；2.当k<0时,图象的两个分支分别在第二、四象限内.3.图象的两个分支关于直角坐标系的原点成中心对称.上一节课，我们共同学习了反比例函数的图像及性质，今天，我们进一步探究反比例函数的图像和性质的应用。 思考自议理解k的符号作用：反比例函数中的k的符号决定函数图象所在象限，反之由图象所在象限也可确定函数中的k的符号． 容易误将反比例函数的增减性的前提条件在每一个象限内，当成了在全体实数内，特别注意y随x的增大而增大或减小具体在各个象限内的情况，而不是笼统地概括．
讲授新课 提炼概念(1)、当k＞0，在图象所在的每一个象限内，当x增大时，y随之减小.(2)、当k＜0，在图象所在的每一个象限内，当x增大时，y随之增大.三、典例精讲例3：已知反比例函数的图象经过点A（2，6）。这个函数的图象分布在哪些象限？随的增大如何变化？点B（3,4）、C（）和D（2，5）和是否在这个函数图象上？教师巡视解答过程并给予指导。在此活动中教师应重点关注：①是否理解反比例函数解析式的确定就是值的确定。②点是否在图象上，只需将点的横纵坐标代入解析式，看是否符合解析式，即可判断。解：（1）因为点 A (2，6) 在第一象限， 所以这个函数的图象位于第一、第三象限， 在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小.（2）设这个反比例函数的解析式为 ，因为点A (2，6)在其图象上，所以有 ，解得 k =12. 所以反比例函数的解析式y=12/x .因为点 B，C 的坐标都满足该解析式，而点 D的坐标不满足，所以点 B，C 在这个函数的图象上，点 D 不在这个函数的图象上.例4:图中 是反比例函数ｙ＝的图象的一支,根据图象回答下列问题：图象的另一支在哪个象限？常数m的取值范围是什么？在这个函数图象的某一支上任取点A（a，b）和点B(a`,b`).如果a>a`,那么b和b`有怎样的大小关系 解：（１）反比例函数图象的分布只有两种可能，分布在第一、第三象限，或者分布在第二、第四象限。这个函数的图象的一支在第一象限，则另一支必在第三象限。∵函数的图象在第一、第三象限∴ ｍ－５＞０,解得 ｍ＞５（２）∵ｍ－５＞０，在这个函数图象的任一支上，ｙ随ｘ的增大而减小，∴当x1＞x2时y1＜y2k 的几何意义(知识拓展):如图所示，点A在反比例函数y＝的图象上，AC垂直x轴于点C，且△AOC的面积为2，求该反比例函数的表达式．解析：先设点A的坐标，然后用点A的坐标表示△AOC的面积，进而求出k的值．解：∵点A在反比例函数y＝的图象上，∴xA·yA＝k，∴S△AOC＝·k＝2，∴k＝4，∴反比例函数的表达式为y＝.方法总结：过双曲线上任意一点与原点所连的线段与坐标轴和向坐标轴作垂线所围成的直角三角形的面积等于|k|的一半．设P（m,n）是双曲线上任意一点,过P作x轴的垂线，垂足为点A，则分析：思路① 思路②结论:过P作x轴的垂线，垂足为A,则它与x轴围成的直角三角形的面积是不变的，且 . 一般有两种方法求自变量的取值范围：一种是利用函数的增减性，另一种是利用图解法。 根据函数图象求函数解析式，应弄清函数图象上点的坐标与函数解析式之间的关系，即图象上的点的坐标满足函数解析式，因此得到关于待定系数的方程(组)，再通过解方程(组)的方法求待定系数的值．而求x的取值范围，利用图象的直观性是最佳方法．
课堂检测 四、巩固训练 1.已知(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)是反比例函数y＝的图象上的三个点，且x1＜x2＜0，x3＞0，则y1，y2，y3的大小关系是 ( )A．y3＜y1＜y2 B．y2＜y1＜y3C．y1＜y2＜y3 D．y3＜y2＜y1【解析】 反比例函数y＝的图象在每一个象限内y随着x值的增大而减小，∵x1＜x2＜0，∴y2＜y1＜0.∵x3＞0，∴y3＞0，∴y2＜y1＜y3，选择B.2.已知（ 1，y1 ），（3,y2 ），（-2,y3 ）是反比例函数的图象上的三个点，则 y1 ,y2 ,y3 的大小关系是: y3＞ y2＞ 1. 3．已知反比例函数 ．（1）当x＞5时，0＜y ＜ 1；（2）当x≤5时，则y ＞ 1,或y＜ 0 ． 4. 如图，已知A(－4，2)，B(n，－4)是一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝的图象的两个交点．(1)求此反比例函数和一次函数的解析式； (2)根据图象写出使一次函数值小于反比例函数值的取值范围．解：(1)∵点A(－4，2)和点B(n，－4)都在反比例函数y＝的图象上，∴解得又∵点A(－4，2)和点B(2，－4)都在一次函数y＝kx＋b的图象上，∴解得∴反比例函数的解析式为y＝－，一次函数的解析式为y＝－x－2；(2)x的取值范围是x＞2或－4＜x＜0.【点悟】根据函数图象求函数解析式，应弄清函数图象上点的坐标与函数解析式之间的关系，即图象上的点的坐标满足函数解析式，因此得到关于待定系数的方程(组)，再通过解方程(组)的方法求待定系数的值．而求x的取值范围，利用图象的直观性是最佳方法．
课堂小结 1．反比例函数的性质性质：反比例函数y＝(k为常数，k≠0)的图象，当k＞0时，在图象所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而_______；当k＜0时，在图象所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而_______．（减小，增大）k的符号作用：反比例函数中的k的符号决定函数图象所在象限，反之由图象所在象限也可确定函数中的k的符号．2．运用反比例函数的性质解决一些简单的实际问题.注意：(1)自变量不仅要使反比例函数自身有意义，而且要符合实际问题中的具体意义及附加条件；(2)对于在自变量的取值范围内画函数图象，应注意图象的完整性；(3)一般有两种方法求自变量的取值范围：一种是利用函数的增减性，另一种是利用图解法．
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人教版 九年级下
26.1.2反比例函数的图像和性质---第2课时
新知导入
情境引入
反比例函数 (k≠0) 图象 k
图象的 性质
图象位于第一、三象限
图象位于第二、四象限
在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小
在每一个象限内，y 随x 的增大而增大
说一说：反比例函数 (k≠0)的图像和性质分别是什么？完成下面的表格。
关于原点中心对称的双曲线
k > 0
k < 0
新知导入
合作学习
典例精讲
例3 已知反比例函数的图象经过点 A(2，6).
(1) 这个函数的图象位于哪些象限？y 随 x 的增大如何变化？
解：因为点 A (2，6) 在第一象限，
所以这个函数的图象位于第一、第三象限，
在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小.
合作探究
(2) 点B(3，4)，C ( ， )，D(2，5)是否在这个函数的图象上？
解：设这个反比例函数的解析式为 ，因为点
A (2，6)在其图象上，所以有 ，解得 k =12.
因为点 B，C 的坐标都满足该解析式，而点 D的坐标不满足，所以点 B，C 在这个函数的图象上，点 D 不在这个函数的图象上.
所以反比例函数的解析式为 .
A(2，6)
反比例函数
满足解析式,在
各点坐标
分别代入
不满足解析式,不在
判断点是否在反比例函数图象上的两种方法
(1)将点的横坐标作为x的值代入解析式，计算出y的值， 看点的纵坐标是否与所求出的y值相等；
(2)看点的横、纵坐标之积是否等于反比例函数 的比例系数k.
提炼概念
观察思考
例4：如图是反比例函数 的图象一支，根据图象回答下列问题 ：
（1）图象的另一支在哪个象限？常数m的取值范围是什么？
解：（１）反比例函数图象的分布只有两种可能，分布在第一、第三象限，或者分布在第二、第四象限。这个函数的图象的一支在第一象限，则另一支必在第三象限。
∵函数的图象在第一、第三象限
∴ ｍ－５＞０
解得 ｍ＞５
（２）∵ｍ－５＞０，在这个函数图象的任一支上，ｙ随ｘ的增大而减小，
∴当x1＞x2时y1＜y2
（2）在这个函数图象的某一支上任取点A（x1，y1）和B（x2，y2），如果x1>x2，那 么y1和y2有怎样的大小关系？
归纳概念
比较反比例函数值大小的方法
(1)反比例函数的增减性不是连续的，因此在
涉及反比例函数的增减性时，一般都是指在各自象限内的增减
情况．
(2)反比例函数图象的位置和函数的增减性，都是由反比例
系数 k 的符号决定的；反过来，由双曲线的位置和函数的增减
性，也可以推断出 k 的符号．
(3)解决反比例函数的相关问题时，往往我们需要画出函数
的大致图象(即草图)采用数形结合的方法，解决问题更直观．
如图,点P是反比例函数 图象上的一点,PD⊥x轴于D.则△POD的面积为 .
k 的几何意义(知识拓展)
P
D
o
y
x
S△POD = OD·PD
=
=
P(m,n)
A
o
y
x
归纳：面积性质
P(m,n)
A
o
y
x
课堂练习
A．y3＜y1＜y2 B．y2＜y1＜y3
C．y1＜y2＜y3 D．y3＜y2＜y1
2．已知（ ），（ ），（ ）是反比例函数
的图象上的三个点，则 的大小关系是
．
3．已知反比例函数 ．（1）当x＞5时，0 y 1；
（2）当x≤5时，则y 1,或y＜ ．
<
<
>
0
(1)求此反比例函数和一次函数的解析式；
(2)根据图象写出使一次函数值小于反比例函数值的取值范围．
课堂总结
反比例函数
图象
性质
k 的几何意义
画法
形状
图象位置
增减性
列表、描点、连线
双曲线
作业布置
教材课后配套作业题。
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