椭圆练习题集（含解析）
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椭圆
一：椭圆的定义
1．（2015秋 鞍山校级期中）平面上到点A（﹣5，0）、B（5，0）距离之和为10的点的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．圆 C．线段 D．射线
2.（2013秋 惠城区校级月考）已知平面内动点P到两定点F1，F2的距离的和等于常数2a，关于动点P的轨迹正确的说法是 ．
①点P的轨迹一定是椭圆；
②2a＞|F1F2|时，点P的轨迹是椭圆；
③2a＝|F1F2|时，点P的轨迹是线段F1F2；
④点P的轨迹一定存在；
⑤点P的轨迹不一定存在．
3．（2016秋 滁州期末）平面内有两定点A、B及动点P，设命题甲是：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙是：“点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆”，那么（ ）
A．甲是乙成立的充分不必要条件
B．甲是乙成立的必要不充分条件
C．甲是乙成立的充要条件
D．甲是乙成立的非充分非必要条件
二：点与椭圆的位置关系
4.（2012秋 达州期末）点（α∈R）与椭圆的位置关系是（ ）
A．点P在椭圆C上
B．点P与椭圆C的位置关系不能确定，与α的取值有关
C．点P在椭圆C内
D．点P在椭圆C外
5. （2015秋 天津期末）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的焦点为F1，F2，点P满足|PF1|+|PF2|＞2a，则（ ）
A．点P在椭圆C外
B．点P在椭圆C内
C．点P在椭圆C上
D．点P与椭圆C的位置关系不能确定
三：椭圆的方程（标准方程、一般形式、共焦点椭圆系方程）“焦点位置看大小，焦点随着大的跑”
焦点坐标
6.（2019秋 雁塔区校级月考）椭圆4x2+3y2＝12的焦点是（ ）
A．（﹣2，0）和（2，0） B．（﹣1，0）和（1，0）
C．（0，﹣2）和（0，2） D．（0，﹣1）和（0，1）
7.（2019秋 广陵区校级月考）椭圆x2+ky2＝1的焦距为，则k的值为（ ）
A．2 B．2或 C． D．1或
8.（2017秋 榆树市校级期中）已知椭圆方程9x2+4y2＝1，则椭圆的焦点坐标（ ）
A．（，0），（﹣，0） B．（0，），（0，﹣）
C．（，0），（﹣，0） D．（0，），（0，﹣）
＆待定系数法（先定位，再定量）
9.（2015秋 河南校级月考）根据下列条件，求椭圆的标准方程．
（1）两个焦点的坐标分别是（﹣3，0），（3，0），椭圆上任一点P到两焦点的距离之和等于10；
（2）两个焦点的坐标分别是（0，﹣2），（0，2），并且椭圆过点．
10..（2016秋 盐池县期末）求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）两个焦点的坐标分别是（0，5），（0，﹣5），椭圆上一点P到两焦点的距离之和为26；
（2）焦点在坐标轴上，且经过A（，﹣2）和B（﹣2，1）两点．
11..（2017秋 六合区校级月考）求满足下列条件的椭圆的标准方程：
（1）焦点是、，且过点P（3，2）；
（2）焦距为10且焦点在x轴上，椭圆上一点P到两焦点的距离分别为．
＆轨迹法
12. （2018秋 广安期末）△ABC的周长是8，B（﹣1，0），C（1，0），则顶点A的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
13. 已知A（﹣2，0），B（2，0），且△ABM的周长等于2+4，求动点M的轨迹G的方程：
14. （2013秋 金台区校级期末）已知△ABC的周长等于18，B、C两点坐标分别为（0，4），（0，﹣4），求A点的轨迹方程．
15. （2013春 延川县校级期中）已知B、C是两个定点，|BC|＝10，且△ABC的周长等于24，求顶点A的轨迹方程．
16. 在△ABC中，A、B、C所对三边分别为a、b、c，且B（﹣1，0）、C（1，0），求满足b＞a＞c，b、a、c成等差数列时．顶点A的轨迹方程．
＆共焦点系椭圆方程
17. （2019秋 东湖区校级月考）求离心率为且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程．
18.（2016秋 武侯区校级期中）求满足下列条件的椭圆的标准方程：
（1）经过两点；
（2）过点P（﹣3，2），且与椭圆有相同的焦点．
19.（2013秋 柯城区校级期末）求满足下列条件的椭圆标准方程
（1）与椭圆有相同的焦点，且经过点P（2，﹣3）
（2）离心率，短轴长为4．
20.（2016秋 伊春区校级期中）过点（，﹣），且与椭圆+＝1有相同的焦点的椭圆的标准方程 ．
＆相同离心率的椭圆
21.求经过点M（1，2），且与椭圆+＝1有相同离心率的椭圆的标准方程
四：椭圆标准方程的应用
22.（2015秋 南关区校级期末）若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是（ ）
A．（﹣16，25） B． C． D．
23.（2016春 南安市校级月考）如果方程表示椭圆，则实数a的取值范围是（ ）
A．a＞﹣6 B．﹣2＜a＜3
C．a＜﹣2或a＞3 D．a＞﹣6且a≠0且a≠﹣2且a≠3
24.（2016秋 定州市校级月考）已知方程+＝﹣1表示椭圆，求k的取值范围． ．
25. （2015秋 涵江区校级期末）方程x2sinθ﹣y2cosθ＝1（0＜θ＜π）表示焦点在y轴上的椭圆，则θ的取值范围是 ．
26. （2018春 东城区校级月考）已知方程（m﹣1）x2+（3﹣m）y2＝（m﹣1）（3﹣m）表示椭圆，则m的取值范围为 ．
五：焦点三角形问题
＆焦点三角形计算问题
27. （2019秋 清江浦区校级月考）已知点P为椭圆C：＝1在第一象限内一点，F1，F2为椭圆C两焦点，且＝0，则△PF1F2的面积为（ ）
A．1 B．2 C．2 D．2
28. （2017秋 泉港区校级期中）椭圆上的一点A关于原点的对称点为B，F为它的右焦点，若AF⊥BF，则△AFB的面积是（ ）
A．2 B．4 C．1 D．
29.. （2016秋 泉港区校级期中）若椭圆+＝1的两个焦点F1，F2，M是椭圆上一点，且|MF1|﹣|MF2|＝1，则△MF1F2是（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形
30.（2018秋 辽源期末）已知椭圆的左焦点是F1，右焦点是F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF2|：|PF1|＝（ ）
A．3：5 B．3：4 C．4：3 D．5：3
31.（2017秋 曲沃县校级月考）已知P为椭圆C上一点，F1，F2为椭圆的焦点，且|F1F2|＝2，若|PF1|与|PF2|的等差中项为|F1F2|，则椭圆C的标准方程为（ ）
A．
B．或
C．
D．或
32.（2018秋 洛阳期末）已知椭圆的两个焦点分别为F1，F2，P是椭圆上一点，且∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积等于（ ）
A． B． C．6 D．3
33.（2018秋 秦州区校级期末）设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上任意一点，则△PF1F2的周长为（ ）
A．9 B．13 C．15 D．18
34.（2017 重庆模拟）椭圆的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝4，则∠F1PF2的大小（ ）
A．60° B．120° C．150° D．30°
35.（2012秋 太康县校级期中）已知椭圆中，点P是椭圆上一点，F1，F2是椭圆的焦点，且∠PF1F2＝120°，求△PF1F2的面积．
36.（2015秋 徐州期末）已知椭圆+＝1的两个焦点分别为F1，F2，点P是椭圆上一点，则△PF1F2的周长为 ．
＆基于定义的几何最值问题
37.（2017秋 郑州期末）设P是椭圆上的一点，M，N分别是圆（x+3）2+y2＝1和圆（x﹣3）2+y2＝4上的点，则|PM|+|PN|的取值范围是（ ）
A．[7，13] B．[8，12] C．[7，12] D．[8，13]
38.（2001 上海）设F1，F2为椭圆的两个焦点，P为椭圆上的一点，已知P，F1，F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|＞|PF2|，求的值．
39.（2014秋 高阳县校级期中）已知F1、F2是椭圆+＝1的两个焦点，P是椭圆上任意一点．
（1）求PF1 PF2的最大值．
（2）若∠F1PF2＝，求△F1PF2的面积．
40.（2012秋 鼓楼区校级期末）设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，若点P椭圆上，且，则|PF1| |PF2|＝ ．
41.已知F1，F2是椭圆+＝1的两个焦点，P为椭圆上一点，则|PF1| |PF2|的最大值是 ．
42.已知椭圆的焦距为4，椭圆上动点P与两个焦点距离乘积的最大值为13，则该椭圆的标准方程是 ．
六：直线与椭圆（位置关系的判断及求参问题、求弦长）
43.（2016秋 武邑县校级月考）已知直线y＝kx+1，椭圆+＝1，试判断直线与椭圆的位置关系（ ）
A．相切 B．相离 C．相交 D．相切或相交
44.（2016秋 南郑县校级期末）已知椭圆+＝1，直线mx+y+m﹣1＝0，那么直线与椭圆位置关系（ ）
A．相交 B．相离 C．相切 D．不确定
45.（2013秋 长春校级月考）已知直线1：x+y﹣3＝0，椭圆，则直线与椭圆的位置关系式（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．相切或相交
46.（2012秋 保山期中）已知椭圆方程为，直线l的方程为：y＝mx+m，则l与椭圆的位置关系为（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定
七：椭圆的几何性质
47.（2019秋 五华区校级月考）椭圆＝1（0＜m＜4）的离心率为，则m＝（ ）
A．1 B． C．2 D．2
答案
1.【解答】解：∵点A（﹣5，0）、B（5，0），∴|AB|＝10，
∴平面上到点A（﹣5，0）、B（5，0）距离之和为10的点的轨迹是线段AB．
故选：C．
2.【解答】解：由平面内动点P到两定点F1，F2的距离的和等于常数2a，可知：
当2a＞|F1F2|时，点P的轨迹是椭圆；当2a＝|F1F2|时，点P的轨迹是线段F1F2； 当2a＜|F1F2|时，动点P的轨迹不存在．
由以上结论可知：只有②③⑤正确．
故答案为：②③⑤．
3.【解答】解：命题甲是：“|PA|+|PB|是定值”，
命题乙是：“点P的轨迹是以A．B为焦点的椭圆
∵当一个动点到两个定点距离之和等于定值时，
再加上这个和大于两个定点之间的距离，
可以得到动点的轨迹是椭圆，没有加上的条件不一定推出，
而点P的轨迹是以A．B为焦点的椭圆，一定能够推出|PA|+|PB|是定值，
∴甲是乙成立的必要不充分条件
故选：B．
4.【解答】解：把点（α∈R）代入椭圆方程的左边＝＝cos2α+sin2α＝1，满足椭圆的方程，因此点P在椭圆上．
故选：A．
5.【解答】解：由题意可知，若M在椭圆上，
可得|MF1|+|MF2|＝2a，
由点P满足|PF1|+|PF2|＞2a，
即有|PF1|+|PF2|＞|MF1|+|MF2|，
得出点P在椭圆外部，
故选：A．
6.【解答】解：椭圆4x2+3y2＝12的标准方程为：，
所以a＝2，b＝，则c＝1，
所以椭圆的焦点坐标为（0，﹣1）和（0，1）．
故选：D．
7.【解答】解：椭圆x2+ky2＝1转换为标准形式，
当焦点在x轴上时，，即，解得k＝2，
当焦点在y轴上时，，即，解得k＝．
故选：B．
8.【解答】解：由椭圆方程9x2+4y2＝1，得，
∴，则，得c＝．
∴椭圆的焦点坐标为：（0，），（0，﹣）．
故选：D．
9.【解答】解：（1）由题意可设椭圆方程为，且知c＝3，2a＝10，a＝5，
∴b2＝a2﹣c2＝16，
∴椭圆方程为；
（2）由题意可设椭圆方程为（a＞b＞0），且c＝2，
又椭圆过点，∴＝．
∴a＝，则b2＝a2﹣c2＝6．
则椭圆方程为：．
10.【解答】解：（1）由题意，2a＝26，c＝5，∴a＝13，b＝12，
∴椭圆的标准方程：＝1；
（2）依题意，可设椭圆的方程为mx2+ny2＝1（m＞0，n＞0），则
点A（，﹣2）和B（﹣2，1）代入可得，
∴m＝，n＝，
∴椭圆的标准方程为＝1．
11.【解答】解：（1）由题意知焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为，
由题意知：，解得：，
所以椭圆的标准方程为．
（2）因为焦点在x上，设椭圆的标准方程为，
由题意知，
所以从而得b2＝a2﹣c2＝45﹣25＝20，
所以椭圆的标准方程为．
12.【解答】解：∵△ABC的两顶点B（﹣1，0），C（1，0），周长为8，∴BC＝2，AB+AC＝6，
∵6＞2，∴点A到两个定点的距离之和等于定值，
∴点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，且2a＝6，c＝1，b＝2，
所以椭圆的标准方程是．
故选：A．
13.【解答】解：设M（x，y），由题意可得
|AB|+|AM|+|BM|＝2+4，
即为|AM|+|BM|＝2＞|AB|＝4，
由椭圆的定义可得，
M的轨迹为以A，B为焦点的椭圆（除去A，B两点），
可得c＝2，a＝，b＝＝，
轨迹G的方程为+＝1（y≠0）．
14【解答】解：由已知|AB|+|AC|+|BC|＝18，|BC|＝8，得|AB|+|AC|＝10＞8＝|BC|，
由定义可知A点的轨迹是一个椭圆，且2c＝8，2a＝10，
即c＝4，a＝5，
∴b2＝a2﹣c2＝9
当A在直线BC上，即x＝0时，A，B，C三点不能构成三角形．
因此，A点的轨迹方程为（x≠0）．
15【解答】解：以BC所在直线为x轴，BC的中垂线为y轴建立直角坐标系，
设顶点A（x，y），由已知可得：|AB|+|AC|＝14＞10＝|BC|，
根据椭圆的定义可知：点A的轨迹是椭圆（去掉长轴的两个端点），其中a＝7，c＝5，b＝．
∴椭圆的标准方程为（y≠0）．
16.【解答】解：b＞a＞c，b、a、c成等差数列，a＝|CB|＝2，
则c+b＝2a＝4＞|CB|＝2，且b＞a＞c，
B（﹣1，0）、C（1，0），由椭圆的定义，
可知顶点A的轨迹为椭圆的位于y轴右边的部分．
其长轴长为4，焦距为2，则短轴长为2．
则有顶点A的轨迹方程为：+＝1（x＜0）．
17.【解答】解：椭圆的焦点（±4，0），
所求椭圆的离心率为：，可得c＝4，a＝6，则：b＝2．
所求椭圆的标准方程为：．
18.【解答】解：（1）设所求的椭圆方程为mx2+ny2＝1，（m＞0，n＞0，m≠n），
∵椭圆经过点，
∴，
解得m＝，n＝，
∴所求的椭圆方程为；
（2）∵椭圆的焦点为F（±，0），
∴设所求椭圆的方程为，（a2＞5），
把点（﹣3，2）代入，得，
整理，得a4﹣18a2+45＝0，
解得a2＝15，或a2＝3（舍）．
∴所求的椭圆方程为．
19. 【解答】解：（1）∵椭圆有相同的焦点为，），
∴设椭圆有相同的焦点的椭圆方程为，
把点P（2，﹣3）代入，得，
整理，得a4﹣18a2+45＝0，
解得a2＝15，或a2＝3（舍），
∴所求的椭圆方程为：．
（2）∵离心率，短轴长为4，
∴，解得a＝，b＝2，c＝1，
∴所求的椭圆方程为或．
20. 【解答】解：椭圆+＝1的焦点为（0，±4），
则所求椭圆的c＝4，
可设椭圆方程为＝1（a＞b＞0），
则有a2﹣b2＝16，①
再代入点（，﹣），得，
＝1，②
由①②解得，a2＝20，b2＝4．
则所求椭圆方程为＝1．
故答案为：＝1．
21【解答】解：由题意，当焦点在x轴上时，设所求椭圆的方程为椭圆+＝t（t＞0），
∵椭圆过点M（1，2），∴t＝＝，∴椭圆标准方程为＝1，
当焦点在y轴上时，设方程为＝m（m＞0），
∵椭圆过点M（1，2），∴m＝＝，∴椭圆标准方程为＝1
故所求椭圆标准方程为＝1或＝1．
22【解答】解：若方程表示焦点在y轴上的椭圆，
则根据椭圆的性质得
16+m＞25﹣m＞0，解得．
故选：B．
23.【解答】解：∵方程表示椭圆，
∴，解得a＞﹣6且a≠0且a≠﹣2且a≠3．
故选：D．
24.【解答】解：由+＝﹣1，得，
∵方程+＝﹣1表示椭圆，
∴，解得k＜﹣3．
∴k的取值范围是（﹣∞，﹣3）．
故答案为：（﹣∞，﹣3）．
25.【解答】解：由x2sinθ﹣y2cosθ＝1，得，
∵方程x2sinθ﹣y2cosθ＝1表示焦点在y轴上的椭圆，
∴，得sinθ＞﹣cosθ＞0，
又0＜θ＜π，∴．
故答案为：（）．
26.【解答】解：根据题意，方程（m﹣1）x2+（3﹣m）y2＝（m﹣1）（3﹣m），
当（m﹣1）（3﹣m）≠0时，变形可得+＝1，
若其表示椭圆，则有，解可得：1＜m＜2或2＜m＜3；
即m的取值范围为：（1，2）∪（2，3）；
故答案为：（1，2）∪（2，3）．
27.【解答】解：∵椭圆C：＝1，∴a＝2，b＝1，c＝；
∴|PF1|+|PF2|＝2a＝4①，
|PF1|2+|PF2|2＝|F1F2|2＝（2c）2＝12②；
∴①的平方﹣②得，
2|PF1| |PF2|＝4，
即|PF1| |PF2|＝2；
∴△PF1F2面积为：
|PF1| |PF2|＝×2＝1．
故选：A．
28【解答】解：椭圆中a＝4，b＝2，c＝2，
∵椭圆上的一点A关于原点的对称点为B，F为它的右焦点，若AF⊥BF，
∴AO＝BO＝OF＝2，
设A（x，y），则x2+y2＝12，
∵椭圆，联立消去x，化简可得|y|＝，
∴三角形△AF2B的面积是2××2×＝4，
故选：B．
29.【解答】解：由题意，
|F1F2|＝2，|MF1|+|MF2|＝4，
∵|MF1|﹣|MF2|＝1，
∴|MF1|＝，|MF2|＝，
∴|MF2|2+|F1F2|2＝|MF1|2，
故选：B．
30.【解答】解：∵o也是F1F2的中点，
∴PF2平行y轴，即PF2平垂直于x轴，
∵c＝＝2，
∴|F1F2|＝4，
设|PF1|＝t，根据椭圆定义可知|PF2|＝8﹣t，
∴（8﹣t）2+16＝t2，解得t＝5，
∴|PF2|＝3，
∴|PF1|：|PF2|＝5：3，
|PF2|：|PF1|＝3：5．
故选：A．
31.【解答】解：由已知得|PF1|+|PF2|＝2|F1F2|＝4，
∴，
解得a＝2，c＝，b2＝（2）2﹣（）2＝9，
∴椭圆C的标准方程为或．
故选：B．
32.【解答】解：如图所示，椭圆，可得a＝5，b＝3，c＝＝4．
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，
则m+n＝2a＝10，
在△F1PF2中，由余弦定理可得：（2c）2＝m2+n2﹣2mncos60°，可得（m+n）2﹣3mn＝64，即102﹣3mn＝64，解得mn＝12．
∴△F1PF2的面积S＝mnsin60°＝＝3．
故选：B．
33【解答】解：根据题意，椭圆，
其中a＝＝5，b＝＝3，
则c＝＝4，
P是C上任意一点，
则△PF1F2的周长l＝|PF1|+|PF2|+|F1F2|＝2a+2c＝10+8＝18；
故选：D．
34【解答】解：∵椭圆中，a2＝9，b2＝2，
∴a＝3，b＝，c＝＝，可得F1（﹣，0）、F2（，0），
根据椭圆的定义，得|PF1|+|PF2|＝2a＝6，结合|PF1|＝4，得|PF2|＝6﹣|PF1|＝2．
△F1PF2中，根据余弦定理得：|F1F2|2＝|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1| |PF2|cos∠F1PF2，
∴（2）2＝42+22﹣2 4 2 cos∠F1PF2，解之得cos∠F1PF2＝﹣
结合为三角形的内角，可得∠F1PF2＝120°．
故选：B．
35【解答】解：由已知得a＝2，b＝，所以c＝
在△PF1F2中，由余弦定理，得①
即
由椭圆定义，得|PF1|+|PF2|＝4，即|PF2|＝4﹣|PF1|②
将②代入①解得|PF1|＝
∴＝|PF1| |F1F2| sin120°＝＝
即△PF1F2的面积是
36【解答】解：由题意作图如右图，
∵椭圆的标准方程为+＝1，
∴a＝5，b＝3，c＝4，
∴|PF1|+|PF2|＝2a＝10，
|F1F2|＝2c＝8，
∴△PF1F2的周长为10+8＝18；
故答案为：18．
37【解答】解：依题意，椭圆的焦点（﹣3，0），3，0），
分别是两圆（x+3）2+y2＝4和（x﹣3）2+y2＝1的圆心，
两圆的半径分别为2，1，
所以由椭圆的定义可得（|PM|+|PN|）max＝2×5+3＝13，
（|PM|+|PN|）min＝2×5﹣3＝7，
则|PM|+|PN|的取值范围是[7，13]．
故选：A．
38【解答】解：由题意得 a＝3，b＝2，c＝，F1（﹣，0），F2 （，0）．
当PF2⊥x轴时，P的横坐标为，其纵坐标为±，∴＝＝＝．
当PF1⊥PF2 时，设|PF2|＝m，则|PF1|＝2a﹣m＝6﹣m，3＞m＞0，由勾股定理可得
4c2＝m2+（6﹣m）2，即 20＝2 m2﹣12 m+36，解得 m＝2 或 m＝4（舍去），
故 ＝＝2．
综上，的值等于 或2．
39【解答】解：（1）在椭圆+＝1中，a＝10，
根据椭圆的定义得PF1+PF2＝20，
∵PF1+PF2≥2，
∴PF1 PF2≤（）2＝（）2＝100，
当且仅当PF1＝PF2＝10时，等号成立；
∴PF1 PF2的最大值为100； …（4分）
（2）设PF1＝m，PF2＝n（m＞0，n＞0），
根据椭圆的定义得m+n＝20；
在△F1PF2中，由余弦定理得+﹣2PF1 PF2 cos∠F1PF2＝F1，
即m2+n2﹣2mn cos＝122；
∴m2+n2﹣mn＝144，即（m+n）2﹣3mn＝144；
∴202﹣3mn＝144，即mn＝；
又∵S△F1PF2＝PF1 PF2 sin∠F1PF2＝mn sin，
∴S△F1PF2＝××＝．…（10分）
40【解答】解：椭圆可知，a＝5，b＝3，c＝4，
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，
由椭圆的定义可知m+n＝2a＝10，
∴m2+n2+2nm＝100，
∴m2+n2＝100﹣2nm
由余弦定理可知cos60°＝＝＝，求得mn＝．
即|PF1| |PF2|＝．
故答案为：．
41【解答】解：∵F1，F2是椭圆+＝1的两个焦点，
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，
根据椭圆的定义得m+n＝20，
m+n＝20≥2，
∴mn≤（）2＝100，
当且仅当m＝n＝10时，等号成立；
∴|PF1|PF2|的最大值为100．
故答案为：100．
42【解答】解：不妨设椭圆的焦点在x轴上，设椭圆标准方程为：＝1（a＞b＞0）．
2c＝4，解得c＝2．
|PF1||PF2|≤13，
|PF1|+|PF2＝2a≥2，可得a2＝13，b2＝a2﹣c2＝1．
∴该椭圆的标准方程是＝1．
故答案为：＝1．
43.【解答】解：由y＝kx+1，过A（0，1），
把（0，1）代入椭圆方程可知＜1，即（0，1）在椭圆内部，
∴直线y＝kx+1与椭圆+＝1，必相交，
故选：C．
44.【解答】解：由mx+y+m﹣1＝0，则m（x+1）+y﹣1＝0，
则直线mx+y+m﹣1＝0，恒过定点（﹣1，1），
由＜1，
则点（﹣1，1），在椭圆+＝1内部，
∴直线与椭圆相交．
故选：A．
45.【解答】解：直线1：x+y﹣3＝0，可得x＝3﹣y，代入椭圆，可得5y2﹣6y+5＝0，
∴△＝36﹣4×5×5＜0，
∴直线与椭圆相离．
故选：C．
46【解答】解：∵直线l的方程为：y＝mx+m，∴直线l恒过定点（﹣1，0）
∵
∴（﹣1，0）在椭圆的内部
∴l与椭圆恒相交
故选：C．
47.【解答】解：椭圆＝1（0＜m＜4）的离心率为，
可得，解得m＝2．
故选：C．
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椭圆
一：椭圆的定义
1．（2015秋 鞍山校级期中）平面上到点A（﹣5，0）、B（5，0）距离之和为10的点的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．圆 C．线段 D．射线
2.（2013秋 惠城区校级月考）已知平面内动点P到两定点F1，F2的距离的和等于常数2a，关于动点P的轨迹正确的说法是 ．
①点P的轨迹一定是椭圆；
②2a＞|F1F2|时，点P的轨迹是椭圆；
③2a＝|F1F2|时，点P的轨迹是线段F1F2；
④点P的轨迹一定存在；
⑤点P的轨迹不一定存在．
3．（2016秋 滁州期末）平面内有两定点A、B及动点P，设命题甲是：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙是：“点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆”，那么（ ）
A．甲是乙成立的充分不必要条件
B．甲是乙成立的必要不充分条件
C．甲是乙成立的充要条件
D．甲是乙成立的非充分非必要条件
二：点与椭圆的位置关系
4.（2012秋 达州期末）点（α∈R）与椭圆的位置关系是（ ）
A．点P在椭圆C上
B．点P与椭圆C的位置关系不能确定，与α的取值有关
C．点P在椭圆C内
D．点P在椭圆C外
5. （2015秋 天津期末）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的焦点为F1，F2，点P满足|PF1|+|PF2|＞2a，则（ ）
A．点P在椭圆C外
B．点P在椭圆C内
C．点P在椭圆C上
D．点P与椭圆C的位置关系不能确定
三：椭圆的方程（标准方程、一般形式、共焦点椭圆系方程）“焦点位置看大小，焦点随着大的跑”
焦点坐标
6.（2019秋 雁塔区校级月考）椭圆4x2+3y2＝12的焦点是（ ）
A．（﹣2，0）和（2，0） B．（﹣1，0）和（1，0）
C．（0，﹣2）和（0，2） D．（0，﹣1）和（0，1）
7.（2019秋 广陵区校级月考）椭圆x2+ky2＝1的焦距为，则k的值为（ ）
A．2 B．2或 C． D．1或
8.（2017秋 榆树市校级期中）已知椭圆方程9x2+4y2＝1，则椭圆的焦点坐标（ ）
A．（，0），（﹣，0） B．（0，），（0，﹣）
C．（，0），（﹣，0） D．（0，），（0，﹣）
＆待定系数法（先定位，再定量）
9.（2015秋 河南校级月考）根据下列条件，求椭圆的标准方程．
（1）两个焦点的坐标分别是（﹣3，0），（3，0），椭圆上任一点P到两焦点的距离之和等于10；
（2）两个焦点的坐标分别是（0，﹣2），（0，2），并且椭圆过点．
10..（2016秋 盐池县期末）求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）两个焦点的坐标分别是（0，5），（0，﹣5），椭圆上一点P到两焦点的距离之和为26；
（2）焦点在坐标轴上，且经过A（，﹣2）和B（﹣2，1）两点．
11..（2017秋 六合区校级月考）求满足下列条件的椭圆的标准方程：
（1）焦点是、，且过点P（3，2）；
（2）焦距为10且焦点在x轴上，椭圆上一点P到两焦点的距离分别为．
＆轨迹法
12. （2018秋 广安期末）△ABC的周长是8，B（﹣1，0），C（1，0），则顶点A的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
13. 已知A（﹣2，0），B（2，0），且△ABM的周长等于2+4，求动点M的轨迹G的方程：
14. （2013秋 金台区校级期末）已知△ABC的周长等于18，B、C两点坐标分别为（0，4），（0，﹣4），求A点的轨迹方程．
15. （2013春 延川县校级期中）已知B、C是两个定点，|BC|＝10，且△ABC的周长等于24，求顶点A的轨迹方程．
16. 在△ABC中，A、B、C所对三边分别为a、b、c，且B（﹣1，0）、C（1，0），求满足b＞a＞c，b、a、c成等差数列时．顶点A的轨迹方程．
＆共焦点系椭圆方程
17. （2019秋 东湖区校级月考）求离心率为且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程．
18.（2016秋 武侯区校级期中）求满足下列条件的椭圆的标准方程：
（1）经过两点；
（2）过点P（﹣3，2），且与椭圆有相同的焦点．
19.（2013秋 柯城区校级期末）求满足下列条件的椭圆标准方程
（1）与椭圆有相同的焦点，且经过点P（2，﹣3）
（2）离心率，短轴长为4．
20.（2016秋 伊春区校级期中）过点（，﹣），且与椭圆+＝1有相同的焦点的椭圆的标准方程 ．
＆相同离心率的椭圆
21.求经过点M（1，2），且与椭圆+＝1有相同离心率的椭圆的标准方程
四：椭圆标准方程的应用
22.（2015秋 南关区校级期末）若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是（ ）
A．（﹣16，25） B． C． D．
23.（2016春 南安市校级月考）如果方程表示椭圆，则实数a的取值范围是（ ）
A．a＞﹣6 B．﹣2＜a＜3
C．a＜﹣2或a＞3 D．a＞﹣6且a≠0且a≠﹣2且a≠3
24.（2016秋 定州市校级月考）已知方程+＝﹣1表示椭圆，求k的取值范围． ．
25. （2015秋 涵江区校级期末）方程x2sinθ﹣y2cosθ＝1（0＜θ＜π）表示焦点在y轴上的椭圆，则θ的取值范围是 ．
26. （2018春 东城区校级月考）已知方程（m﹣1）x2+（3﹣m）y2＝（m﹣1）（3﹣m）表示椭圆，则m的取值范围为 ．
五：焦点三角形问题
＆焦点三角形计算问题
27. （2019秋 清江浦区校级月考）已知点P为椭圆C：＝1在第一象限内一点，F1，F2为椭圆C两焦点，且＝0，则△PF1F2的面积为（ ）
A．1 B．2 C．2 D．2
28. （2017秋 泉港区校级期中）椭圆上的一点A关于原点的对称点为B，F为它的右焦点，若AF⊥BF，则△AFB的面积是（ ）
A．2 B．4 C．1 D．
29.. （2016秋 泉港区校级期中）若椭圆+＝1的两个焦点F1，F2，M是椭圆上一点，且|MF1|﹣|MF2|＝1，则△MF1F2是（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形
30.（2018秋 辽源期末）已知椭圆的左焦点是F1，右焦点是F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF2|：|PF1|＝（ ）
A．3：5 B．3：4 C．4：3 D．5：3
31.（2017秋 曲沃县校级月考）已知P为椭圆C上一点，F1，F2为椭圆的焦点，且|F1F2|＝2，若|PF1|与|PF2|的等差中项为|F1F2|，则椭圆C的标准方程为（ ）
A．
B．或
C．
D．或
32.（2018秋 洛阳期末）已知椭圆的两个焦点分别为F1，F2，P是椭圆上一点，且∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积等于（ ）
A． B． C．6 D．3
33.（2018秋 秦州区校级期末）设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上任意一点，则△PF1F2的周长为（ ）
A．9 B．13 C．15 D．18
34.（2017 重庆模拟）椭圆的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝4，则∠F1PF2的大小（ ）
A．60° B．120° C．150° D．30°
35.（2012秋 太康县校级期中）已知椭圆中，点P是椭圆上一点，F1，F2是椭圆的焦点，且∠PF1F2＝120°，求△PF1F2的面积．
36.（2015秋 徐州期末）已知椭圆+＝1的两个焦点分别为F1，F2，点P是椭圆上一点，则△PF1F2的周长为 ．
＆基于定义的几何最值问题
37.（2017秋 郑州期末）设P是椭圆上的一点，M，N分别是圆（x+3）2+y2＝1和圆（x﹣3）2+y2＝4上的点，则|PM|+|PN|的取值范围是（ ）
A．[7，13] B．[8，12] C．[7，12] D．[8，13]
38.（2001 上海）设F1，F2为椭圆的两个焦点，P为椭圆上的一点，已知P，F1，F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|＞|PF2|，求的值．
39.（2014秋 高阳县校级期中）已知F1、F2是椭圆+＝1的两个焦点，P是椭圆上任意一点．
（1）求PF1 PF2的最大值．
（2）若∠F1PF2＝，求△F1PF2的面积．
40.（2012秋 鼓楼区校级期末）设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，若点P椭圆上，且，则|PF1| |PF2|＝ ．
41.已知F1，F2是椭圆+＝1的两个焦点，P为椭圆上一点，则|PF1| |PF2|的最大值是 ．
42.已知椭圆的焦距为4，椭圆上动点P与两个焦点距离乘积的最大值为13，则该椭圆的标准方程是 ．
六：直线与椭圆（位置关系的判断及求参问题、求弦长）
43.（2016秋 武邑县校级月考）已知直线y＝kx+1，椭圆+＝1，试判断直线与椭圆的位置关系（ ）
A．相切 B．相离 C．相交 D．相切或相交
44.（2016秋 南郑县校级期末）已知椭圆+＝1，直线mx+y+m﹣1＝0，那么直线与椭圆位置关系（ ）
A．相交 B．相离 C．相切 D．不确定
45.（2013秋 长春校级月考）已知直线1：x+y﹣3＝0，椭圆，则直线与椭圆的位置关系式（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．相切或相交
46.（2012秋 保山期中）已知椭圆方程为，直线l的方程为：y＝mx+m，则l与椭圆的位置关系为（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定
七：椭圆的几何性质
47.（2019秋 五华区校级月考）椭圆＝1（0＜m＜4）的离心率为，则m＝（ ）
A．1 B． C．2 D．2
答案
1.【解答】解：∵点A（﹣5，0）、B（5，0），∴|AB|＝10，
∴平面上到点A（﹣5，0）、B（5，0）距离之和为10的点的轨迹是线段AB．
故选：C．
2.【解答】解：由平面内动点P到两定点F1，F2的距离的和等于常数2a，可知：
当2a＞|F1F2|时，点P的轨迹是椭圆；当2a＝|F1F2|时，点P的轨迹是线段F1F2； 当2a＜|F1F2|时，动点P的轨迹不存在．
由以上结论可知：只有②③⑤正确．
故答案为：②③⑤．
3.【解答】解：命题甲是：“|PA|+|PB|是定值”，
命题乙是：“点P的轨迹是以A．B为焦点的椭圆
∵当一个动点到两个定点距离之和等于定值时，
再加上这个和大于两个定点之间的距离，
可以得到动点的轨迹是椭圆，没有加上的条件不一定推出，
而点P的轨迹是以A．B为焦点的椭圆，一定能够推出|PA|+|PB|是定值，
∴甲是乙成立的必要不充分条件
故选：B．
4.【解答】解：把点（α∈R）代入椭圆方程的左边＝＝cos2α+sin2α＝1，满足椭圆的方程，因此点P在椭圆上．
故选：A．
5.【解答】解：由题意可知，若M在椭圆上，
可得|MF1|+|MF2|＝2a，
由点P满足|PF1|+|PF2|＞2a，
即有|PF1|+|PF2|＞|MF1|+|MF2|，
得出点P在椭圆外部，
故选：A．
6.【解答】解：椭圆4x2+3y2＝12的标准方程为：，
所以a＝2，b＝，则c＝1，
所以椭圆的焦点坐标为（0，﹣1）和（0，1）．
故选：D．
7.【解答】解：椭圆x2+ky2＝1转换为标准形式，
当焦点在x轴上时，，即，解得k＝2，
当焦点在y轴上时，，即，解得k＝．
故选：B．
8.【解答】解：由椭圆方程9x2+4y2＝1，得，
∴，则，得c＝．
∴椭圆的焦点坐标为：（0，），（0，﹣）．
故选：D．
9.【解答】解：（1）由题意可设椭圆方程为，且知c＝3，2a＝10，a＝5，
∴b2＝a2﹣c2＝16，
∴椭圆方程为；
（2）由题意可设椭圆方程为（a＞b＞0），且c＝2，
又椭圆过点，∴＝．
∴a＝，则b2＝a2﹣c2＝6．
则椭圆方程为：．
10.【解答】解：（1）由题意，2a＝26，c＝5，∴a＝13，b＝12，
∴椭圆的标准方程：＝1；
（2）依题意，可设椭圆的方程为mx2+ny2＝1（m＞0，n＞0），则
点A（，﹣2）和B（﹣2，1）代入可得，
∴m＝，n＝，
∴椭圆的标准方程为＝1．
11.【解答】解：（1）由题意知焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为，
由题意知：，解得：，
所以椭圆的标准方程为．
（2）因为焦点在x上，设椭圆的标准方程为，
由题意知，
所以从而得b2＝a2﹣c2＝45﹣25＝20，
所以椭圆的标准方程为．
12.【解答】解：∵△ABC的两顶点B（﹣1，0），C（1，0），周长为8，∴BC＝2，AB+AC＝6，
∵6＞2，∴点A到两个定点的距离之和等于定值，
∴点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，且2a＝6，c＝1，b＝2，
所以椭圆的标准方程是．
故选：A．
13.【解答】解：设M（x，y），由题意可得
|AB|+|AM|+|BM|＝2+4，
即为|AM|+|BM|＝2＞|AB|＝4，
由椭圆的定义可得，
M的轨迹为以A，B为焦点的椭圆（除去A，B两点），
可得c＝2，a＝，b＝＝，
轨迹G的方程为+＝1（y≠0）．
14【解答】解：由已知|AB|+|AC|+|BC|＝18，|BC|＝8，得|AB|+|AC|＝10＞8＝|BC|，
由定义可知A点的轨迹是一个椭圆，且2c＝8，2a＝10，
即c＝4，a＝5，
∴b2＝a2﹣c2＝9
当A在直线BC上，即x＝0时，A，B，C三点不能构成三角形．
因此，A点的轨迹方程为（x≠0）．
15【解答】解：以BC所在直线为x轴，BC的中垂线为y轴建立直角坐标系，
设顶点A（x，y），由已知可得：|AB|+|AC|＝14＞10＝|BC|，
根据椭圆的定义可知：点A的轨迹是椭圆（去掉长轴的两个端点），其中a＝7，c＝5，b＝．
∴椭圆的标准方程为（y≠0）．
16.【解答】解：b＞a＞c，b、a、c成等差数列，a＝|CB|＝2，
则c+b＝2a＝4＞|CB|＝2，且b＞a＞c，
B（﹣1，0）、C（1，0），由椭圆的定义，
可知顶点A的轨迹为椭圆的位于y轴右边的部分．
其长轴长为4，焦距为2，则短轴长为2．
则有顶点A的轨迹方程为：+＝1（x＜0）．
17.【解答】解：椭圆的焦点（±4，0），
所求椭圆的离心率为：，可得c＝4，a＝6，则：b＝2．
所求椭圆的标准方程为：．
18.【解答】解：（1）设所求的椭圆方程为mx2+ny2＝1，（m＞0，n＞0，m≠n），
∵椭圆经过点，
∴，
解得m＝，n＝，
∴所求的椭圆方程为；
（2）∵椭圆的焦点为F（±，0），
∴设所求椭圆的方程为，（a2＞5），
把点（﹣3，2）代入，得，
整理，得a4﹣18a2+45＝0，
解得a2＝15，或a2＝3（舍）．
∴所求的椭圆方程为．
19. 【解答】解：（1）∵椭圆有相同的焦点为，），
∴设椭圆有相同的焦点的椭圆方程为，
把点P（2，﹣3）代入，得，
整理，得a4﹣18a2+45＝0，
解得a2＝15，或a2＝3（舍），
∴所求的椭圆方程为：．
（2）∵离心率，短轴长为4，
∴，解得a＝，b＝2，c＝1，
∴所求的椭圆方程为或．
20. 【解答】解：椭圆+＝1的焦点为（0，±4），
则所求椭圆的c＝4，
可设椭圆方程为＝1（a＞b＞0），
则有a2﹣b2＝16，①
再代入点（，﹣），得，
＝1，②
由①②解得，a2＝20，b2＝4．
则所求椭圆方程为＝1．
故答案为：＝1．
21【解答】解：由题意，当焦点在x轴上时，设所求椭圆的方程为椭圆+＝t（t＞0），
∵椭圆过点M（1，2），∴t＝＝，∴椭圆标准方程为＝1，
当焦点在y轴上时，设方程为＝m（m＞0），
∵椭圆过点M（1，2），∴m＝＝，∴椭圆标准方程为＝1
故所求椭圆标准方程为＝1或＝1．
22【解答】解：若方程表示焦点在y轴上的椭圆，
则根据椭圆的性质得
16+m＞25﹣m＞0，解得．
故选：B．
23.【解答】解：∵方程表示椭圆，
∴，解得a＞﹣6且a≠0且a≠﹣2且a≠3．
故选：D．
24.【解答】解：由+＝﹣1，得，
∵方程+＝﹣1表示椭圆，
∴，解得k＜﹣3．
∴k的取值范围是（﹣∞，﹣3）．
故答案为：（﹣∞，﹣3）．
25.【解答】解：由x2sinθ﹣y2cosθ＝1，得，
∵方程x2sinθ﹣y2cosθ＝1表示焦点在y轴上的椭圆，
∴，得sinθ＞﹣cosθ＞0，
又0＜θ＜π，∴．
故答案为：（）．
26.【解答】解：根据题意，方程（m﹣1）x2+（3﹣m）y2＝（m﹣1）（3﹣m），
当（m﹣1）（3﹣m）≠0时，变形可得+＝1，
若其表示椭圆，则有，解可得：1＜m＜2或2＜m＜3；
即m的取值范围为：（1，2）∪（2，3）；
故答案为：（1，2）∪（2，3）．
27.【解答】解：∵椭圆C：＝1，∴a＝2，b＝1，c＝；
∴|PF1|+|PF2|＝2a＝4①，
|PF1|2+|PF2|2＝|F1F2|2＝（2c）2＝12②；
∴①的平方﹣②得，
2|PF1| |PF2|＝4，
即|PF1| |PF2|＝2；
∴△PF1F2面积为：
|PF1| |PF2|＝×2＝1．
故选：A．
28【解答】解：椭圆中a＝4，b＝2，c＝2，
∵椭圆上的一点A关于原点的对称点为B，F为它的右焦点，若AF⊥BF，
∴AO＝BO＝OF＝2，
设A（x，y），则x2+y2＝12，
∵椭圆，联立消去x，化简可得|y|＝，
∴三角形△AF2B的面积是2××2×＝4，
故选：B．
29.【解答】解：由题意，
|F1F2|＝2，|MF1|+|MF2|＝4，
∵|MF1|﹣|MF2|＝1，
∴|MF1|＝，|MF2|＝，
∴|MF2|2+|F1F2|2＝|MF1|2，
故选：B．
30.【解答】解：∵o也是F1F2的中点，
∴PF2平行y轴，即PF2平垂直于x轴，
∵c＝＝2，
∴|F1F2|＝4，
设|PF1|＝t，根据椭圆定义可知|PF2|＝8﹣t，
∴（8﹣t）2+16＝t2，解得t＝5，
∴|PF2|＝3，
∴|PF1|：|PF2|＝5：3，
|PF2|：|PF1|＝3：5．
故选：A．
31.【解答】解：由已知得|PF1|+|PF2|＝2|F1F2|＝4，
∴，
解得a＝2，c＝，b2＝（2）2﹣（）2＝9，
∴椭圆C的标准方程为或．
故选：B．
32.【解答】解：如图所示，椭圆，可得a＝5，b＝3，c＝＝4．
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，
则m+n＝2a＝10，
在△F1PF2中，由余弦定理可得：（2c）2＝m2+n2﹣2mncos60°，可得（m+n）2﹣3mn＝64，即102﹣3mn＝64，解得mn＝12．
∴△F1PF2的面积S＝mnsin60°＝＝3．
故选：B．
33【解答】解：根据题意，椭圆，
其中a＝＝5，b＝＝3，
则c＝＝4，
P是C上任意一点，
则△PF1F2的周长l＝|PF1|+|PF2|+|F1F2|＝2a+2c＝10+8＝18；
故选：D．
34【解答】解：∵椭圆中，a2＝9，b2＝2，
∴a＝3，b＝，c＝＝，可得F1（﹣，0）、F2（，0），
根据椭圆的定义，得|PF1|+|PF2|＝2a＝6，结合|PF1|＝4，得|PF2|＝6﹣|PF1|＝2．
△F1PF2中，根据余弦定理得：|F1F2|2＝|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1| |PF2|cos∠F1PF2，
∴（2）2＝42+22﹣2 4 2 cos∠F1PF2，解之得cos∠F1PF2＝﹣
结合为三角形的内角，可得∠F1PF2＝120°．
故选：B．
35【解答】解：由已知得a＝2，b＝，所以c＝
在△PF1F2中，由余弦定理，得①
即
由椭圆定义，得|PF1|+|PF2|＝4，即|PF2|＝4﹣|PF1|②
将②代入①解得|PF1|＝
∴＝|PF1| |F1F2| sin120°＝＝
即△PF1F2的面积是
36【解答】解：由题意作图如右图，
∵椭圆的标准方程为+＝1，
∴a＝5，b＝3，c＝4，
∴|PF1|+|PF2|＝2a＝10，
|F1F2|＝2c＝8，
∴△PF1F2的周长为10+8＝18；
故答案为：18．
37【解答】解：依题意，椭圆的焦点（﹣3，0），3，0），
分别是两圆（x+3）2+y2＝4和（x﹣3）2+y2＝1的圆心，
两圆的半径分别为2，1，
所以由椭圆的定义可得（|PM|+|PN|）max＝2×5+3＝13，
（|PM|+|PN|）min＝2×5﹣3＝7，
则|PM|+|PN|的取值范围是[7，13]．
故选：A．
38【解答】解：由题意得 a＝3，b＝2，c＝，F1（﹣，0），F2 （，0）．
当PF2⊥x轴时，P的横坐标为，其纵坐标为±，∴＝＝＝．
当PF1⊥PF2 时，设|PF2|＝m，则|PF1|＝2a﹣m＝6﹣m，3＞m＞0，由勾股定理可得
4c2＝m2+（6﹣m）2，即 20＝2 m2﹣12 m+36，解得 m＝2 或 m＝4（舍去），
故 ＝＝2．
综上，的值等于 或2．
39【解答】解：（1）在椭圆+＝1中，a＝10，
根据椭圆的定义得PF1+PF2＝20，
∵PF1+PF2≥2，
∴PF1 PF2≤（）2＝（）2＝100，
当且仅当PF1＝PF2＝10时，等号成立；
∴PF1 PF2的最大值为100； …（4分）
（2）设PF1＝m，PF2＝n（m＞0，n＞0），
根据椭圆的定义得m+n＝20；
在△F1PF2中，由余弦定理得+﹣2PF1 PF2 cos∠F1PF2＝F1，
即m2+n2﹣2mn cos＝122；
∴m2+n2﹣mn＝144，即（m+n）2﹣3mn＝144；
∴202﹣3mn＝144，即mn＝；
又∵S△F1PF2＝PF1 PF2 sin∠F1PF2＝mn sin，
∴S△F1PF2＝××＝．…（10分）
40【解答】解：椭圆可知，a＝5，b＝3，c＝4，
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，
由椭圆的定义可知m+n＝2a＝10，
∴m2+n2+2nm＝100，
∴m2+n2＝100﹣2nm
由余弦定理可知cos60°＝＝＝，求得mn＝．
即|PF1| |PF2|＝．
故答案为：．
41【解答】解：∵F1，F2是椭圆+＝1的两个焦点，
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，
根据椭圆的定义得m+n＝20，
m+n＝20≥2，
∴mn≤（）2＝100，
当且仅当m＝n＝10时，等号成立；
∴|PF1|PF2|的最大值为100．
故答案为：100．
42【解答】解：不妨设椭圆的焦点在x轴上，设椭圆标准方程为：＝1（a＞b＞0）．
2c＝4，解得c＝2．
|PF1||PF2|≤13，
|PF1|+|PF2＝2a≥2，可得a2＝13，b2＝a2﹣c2＝1．
∴该椭圆的标准方程是＝1．
故答案为：＝1．
43.【解答】解：由y＝kx+1，过A（0，1），
把（0，1）代入椭圆方程可知＜1，即（0，1）在椭圆内部，
∴直线y＝kx+1与椭圆+＝1，必相交，
故选：C．
44.【解答】解：由mx+y+m﹣1＝0，则m（x+1）+y﹣1＝0，
则直线mx+y+m﹣1＝0，恒过定点（﹣1，1），
由＜1，
则点（﹣1，1），在椭圆+＝1内部，
∴直线与椭圆相交．
故选：A．
45.【解答】解：直线1：x+y﹣3＝0，可得x＝3﹣y，代入椭圆，可得5y2﹣6y+5＝0，
∴△＝36﹣4×5×5＜0，
∴直线与椭圆相离．
故选：C．
46【解答】解：∵直线l的方程为：y＝mx+m，∴直线l恒过定点（﹣1，0）
∵
∴（﹣1，0）在椭圆的内部
∴l与椭圆恒相交
故选：C．
47.【解答】解：椭圆＝1（0＜m＜4）的离心率为，
可得，解得m＝2．
故选：C．
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