2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.2双曲线 分类练习（Word含答案解析）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.2双曲线 分类练习（Word含答案解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.4MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-11-30 09:18:46 | ||
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文档简介
双曲线标准方程及其几何性质分类巩固提升
双曲线的定义
1．已知，动点P满足，则P点的轨迹是
A．双曲线 B．双曲线的一支 C．直线 D．一条射线
2．与圆及圆都外切的圆的圆心在（ ）
A．椭圆上 B．双曲线的一支上 C．线段上 D．圆上
双曲线的方程
1．已知点F1(，0)和F2(4，0)，一曲线上的动点P到F1，F2的距离的差的绝对值是6，该曲线方程是_____.
2．双曲线C的两焦点分别为(－6，0)，(6，0)，且经过点(－5，2)，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．求适合下列条件的双曲线的标准方程：
（1）焦点在x轴上，，；
（2）焦点在x轴上，经过点，
（3）焦点为，，且经过点．
双曲线的基础性质
1．双曲线的实轴长等于______，虚轴长等于______，焦点坐标是______，离心率是______，渐近线方程是______ .
2．以坐标轴为对称轴的等轴双曲线C经过点，则C的标准方程为______．
3．若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为_______．
4．求下列双曲线的标准方程
（1）与双曲线有共同渐近线，且过点；
（2）与双曲线有公共焦点，且过点
双曲线离心率及范围问题
1．点M为双曲线上任意一点，点O是坐标原点，则的最小值是
A．1 B． C．2 D．
2．如图，椭圆，与双曲线，的离心率分别是，，与，则，，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知双曲线的左 右焦点分别为，过的直线分别交双曲线的两条渐近线于点，若点是线段的中点，且，则此双曲线的离心率为
（ ）
A． B． C． D．
4．已知双曲线的左、右焦点分别为是双曲线右支上的一点，且的周长为，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
双曲线与直线交点个数问题
1．已知双曲线与直线有交点，则双曲线离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．直线与双曲线的交点情况是（ ）
A．恒有一个交点 B．存在m有两个交点
C．至多有一个交点 D．存在m有三个交点
3．已知双曲线的右焦点为，直线与双曲线的右支有两个交点，则
A． B． C． D．
双曲线的对称性问题
1．若双曲线上存在四点，使得以这四点为顶点的四边形是菱形，则该双曲线的离心率的取值范围是
A． B． C． D．
2．设，分别为双曲线的左，右焦点，A为C的左顶点，以为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
双曲线几何性质综合（最值、定值、定点等）
1．在平面直角坐标系中，双曲线左、右焦点分别为．
（1）若直线l过点，且与双曲线C的左、右支各有一个公共点，求直线l的斜率k的取值范围；
（2）若点P为双曲线C上一点，求的最小值．
2．已知双曲线的实轴长为，焦点到渐近线的距离为
（1）求双曲线的方程；
（2）已知直线y＝x－2与双曲线的右支交于M，N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使（O为坐标原点)，求t的值及点D的坐标．
3．已知双曲线的右焦点为，一条渐近线方程为．
（1）求双曲线的方程；
（2）记的左、右顶点分别为，过的直线交的右支于两点，连结交直线于点，求证：三点共线．
4．已知双曲线的方程为，椭圆的方程为，双曲线右焦点到双曲线渐近线的距离为，椭圆的焦点为，，短轴端点为，．
（1）求双曲线的方程与椭圆的方程；
（2）过点作椭圆的两条互相垂直的弦，，证明：过两弦，中点的直线恒过定点．
巩固提升
一、单选题
1．已知双曲线过点且渐近线为，则下列结论正确的是（ ）
A．双曲线的顶点坐标为
B．双曲线的离心率为
C．曲线经过双曲线的一个焦点
D．双曲线与双曲线有相同的渐近线
2．若双曲线的一条渐近线与直线相互垂直，则双曲线的两个焦点与虚轴的一个端点构成的三角形的面积为（ ）
A． B． C．6 D．8
3．过双曲线的右焦点作垂直于实轴的弦，是左焦点，若，则双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．
4．已知双曲线的右支上一点到其渐近线的距离为，为双曲线的左焦点，则的最小值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
5．已知是双曲线的右焦点，是左支上一点，，当周长最小时，该三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
6．双曲：与：（且）的（ ）
A．顶点相同 B．焦点相同
C．离心率相同 D．渐近线相同
7．已知F1，F2分别是双曲线C：y2－x2＝1的上、下焦点，点P是其一条渐近线上一点，且以线段F1F2为直径的圆经过点P，则（ ）
A．双曲线C的渐近线方程为y＝±x
B．以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1
C．点P的横坐标为±1
D．△PF1F2的面积为
8．如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇羡，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线的右支与直线围成的曲边四边形绕y旋转一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为，下底外直径为，则下列曲线中与双曲线C不是共渐近线的有（ ）
A． B． C． D．
9．已知是双曲线的左右焦点，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，且轴，下列判断正确的是（ ）
A． B．的离心率等于
C．的内切圆半径 D．若A，为上的两点且关于原点对称，则的斜率存在时其乘积为2
三、填空题
10．双曲线的右焦点到直线的距离为______________.
11．已知双曲线的左 右焦点分别为，M为C左支上一点，N为线段上一点，且，P为线段的中点.若(O为坐标原点)，则C的渐近线方程为___________.
12．圆锥曲线光学性质（如图1所示）在建筑、通讯、精密仪器制造等领域有着广泛的应用.如图2，一个光学装置由有公共焦点，的椭圆与双曲线构成，一光线从左焦点发出，依次经过与的反射，又回到点历时秒；若将装置中的去掉，则该光线从点发出，经过两次反射后又回到点历时秒.若与的离心率之比为，则__________.
四、解答题
13．设双曲线的上焦点为是双曲线上的两个不同的点．
（1）求双曲线的渐近线方程；
（2）若，求点纵坐标的值；
（3）设直线与轴交于点关于轴的对称点为．若三点共线，求证：为定值．
14．已知双曲线过点，焦距为，．
（1）求双曲线C的方程；
（2）是否存在过点的直线与双曲线C交于M，N两点，使△构成以为顶角的等腰三角形？若存在，求出所有直线l的方程；若不存在，请说明理由．
参考答案
双曲线的定义
1．D
由于，即，
所以点轨迹是一条射线，
故选：．
2．B
设动圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，
由可得：，所以圆心为，半径为，
则，
根据双曲线得定义可得圆心在双曲线的一支上，
故选：B.
双曲线的方程
1．
∵，，
∴点轨迹是以为焦点，实轴长为6的双曲线，
，，又，∴，
∴曲线方程是．
故答案为：．
2．B
2a＝
所以，又c＝6，
所以b2＝c2－a2＝36－20＝16.
所以双曲线的标准方程为
故选：B
3．（1）；（2）；（3）
（1）因为焦点在x轴上，设双曲线方程为，
因为，，所以双曲线方程为；
（2）因为焦点在x轴上，设双曲线方程为，
因为经过点，，代入可得，
令，可得，
双曲线的基础性质
1．2 4 F1（-3，0），F2（3，0） y=±x
由双曲线方程可得：，且双曲线的焦点在x轴上，
则实轴长为，虚轴长为4，焦点坐标为，离心率，渐近线方程为.
故答案为：；4；；；.
2．
由双曲线为等在双曲线，设其方程为：
由双曲线C经过点,则，即
所以双曲线方程为：
故答案为：
3．
双曲线的离心率为，则，
所以，，则渐近线方程为．
故答案为：.
4．（1），（2）
解：（1）由题意设所求双曲线方程为，
因为双曲线过点，
所以，得，
所以，即
所以所求双曲线方程为，
（2）由题意设所求双曲线方程为，
因为双曲线过点，
所以，得，，
解得或，
所以所求双曲线方程为
双曲线离心率及范围问题
1．B
设M(x,y),∵ 点M为双曲线上,∴
=
故选B.
2．A
解：对于椭圆、，它们有相同的值，设它们的短轴分别为和，焦距分别为和，
，，
可得，即；
对于双曲线、，它们也有相同的值，设它们的虚轴分别为和，焦距分别为和，
双曲线的张口小于双曲线的张口，
得双曲线的渐近线所夹的锐角要小于双曲线的渐近线所夹的锐角
，得，即
由此可得，得，即．
、都小于1，、都大于1，
故选：A．
3．C
如图所示：
因为，所以是直角三角形，又因为是的中点，
所以是直角斜边中线，因此，而点是线段的中点，
所以是等腰三角形，因此，由双曲线渐近线的对称性可知中：
，于是有：，因为双曲线渐近线的方程为：，因此有：
，
故选：C
4．A
设双曲线的焦距为，.
是双曲线右支上的一点，，
的周长为，,
，，，，
,，，,
双曲线的离心率的取值范围为.
故选：A
双曲线的对称性问题
1．C
解：不妨设该双曲线方程为，
由双曲线的对称性质可知，该四边形为正方形，
所以直线与双曲线有交点，
所以其渐近线与轴的夹角大于，即．
离心率．
所以该双曲线的离心率的取值范围是，．
故选：．
2．D
设以为直径的圆与渐近线相交于点，
由对称性得，
由，
解得，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴渐近线方程为．
故选：D
双曲线与直线交点个数问题
1．C
因为双曲线的一条渐近线方程为，由题意得，
所以双曲线的离心率．
故选：C.
2．C
将代入得
当时，无解；
当时，，所以至多有一个交点．
故选：C
3．A
解：双曲线的渐近线方程为，
直线经过焦点，，
当时，可得，
当时，，
故，
故选A．
双曲线几何性质综合（最值、定值、定点等）
1．
（1）.
（2）-1
解：（1）
显然，直线l的斜率不存在时，与双曲线不相交，故l的斜率必存在，设其为k，则直线l：，代入双曲线方程得：.
要使l与双曲线C的左、右支各有一个公共点，
只需，解得：.
即斜率k的取值范围为.
（2）
双曲线左、右焦点分别为.
设，则，所以，
因为，所以，所以，即的最小值为-1.
2．
（1）＝1
（2）t＝4，点D的坐标为(4，3)
解：（1）
由题意知a＝2，所以一条渐近线方程为y＝，
因为焦点到渐近线的距离为，所以，所以b2＝3．
所以双曲线的方程为＝1．
（2）
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，
因为，
所以x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0．
将直线方程与双曲线方程联立，得x2－16，
则x1＋x2＝，y1＋y2＝12．
所以，解得，
由＝t，得，
所以t＝4，点D的坐标为(4，3)．
3．（1）；（2）证明见解析.
解:（1）依题意可得，，
解得，故的方程为.
（2）易得，
显然，直线的斜率不为0，设其方程为，，
联立方程，消去整理得，
所以，．
直线，令得，故
，，
，（*）
又
，即的值为0．
所以故A、Q、N三点共线．﹒
4．
（1）因为双曲线的右焦点为到双曲线渐近线的距离为，不妨设渐近线方程为，所以.
在椭圆中，因为，则，又，所以，
所以双曲线的方程为，椭圆的方程为．
（2）根据题意可得当直线与直线的斜率存在且不为0时，
设直线的方程为，则直线的方程设为，
联立，消去，可得，
则．
设，，则，，
所以的中点．同理可得的中点，
所以直线的斜率，
所以直线的方程为，整理可得，
所以直线恒过定点；
当直线的斜率不存在时，弦的中点，的中点，
此时过弦，的中点的直线为，经过定点．
综上可得，过两弦，中点的直线恒过定点．
巩固提升
1．C
由题意可知，双出线的渐近线为，所以双曲线的方程可设为，代入点，解得，所以双曲线的方程为.
对于A：，顶点坐标为.故A错误；
对于B：此时，所以，故B错误；
对于C：，过双曲线的右焦点，故C正确；
对于D：双曲线的渐近线方程为，与双曲线的渐近线方程不同，故D错误.
故选：C．
2．B
因为双曲线的一条渐近线与直线相互垂直，
所以，解得：m=9.
双曲线的两个焦点为，虚轴的一个端点.
所以三角形的面积为.
故选：B
3．B
由轴，且
所以， 点满足，，
，即，
，又，故，
故选：B.
4．C
不妨设双曲线的右焦点为，则
且点在右支上，故
故
记表示到渐近线的距离，则
双曲线的渐近线方程为：，
故
故，
则的最小值为11
故答案为：C
5．D
由双曲线的方程可得，，因为，所以，
设双曲线的左焦点为，由双曲线定义知，，
所以的周长为：，
要使的周长最小，则最小，即、、共线，
因为，，所以直线的方程为，
即代入整理得，
解得：或（舍），所以点的纵坐标为，
所以，
故选：D.
6．CD
由：，又因为且，所以，顶点不同，A错，对：，，渐近线为，
对：，，渐近线为，
由此判断B错，CD正确.
故选：CD
7．ACD
等轴双曲线C：y2－x2＝1的渐近线方程为y＝±x，故A正确；
由双曲线的方程可知F1F2＝，
所以以F1F2为直径的圆,圆心为，半径为，则圆的方程为x2＋y2＝2，故B错误；
点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝2上，
不妨设点P(x0，y0)在直线y＝x上，
所以由解得|x0|＝1，
则点P的横坐标为±1，故C正确；
由上述分析可得△PF1F2的面积为，故D正确．
故选：ACD.
8．BCD
依题意可知，，
将、的坐标分别代入，
得，解得，，
所以双曲线C的方程为：，其渐近线为，
对于A，，其渐近线为，不符合题意，
对于B，，其渐近线为，符合题意，
对于C，，其渐近线为，符合题意，
对于D，，其渐近线为，符合题意.
故选：BCD
9．ABD
解：对于A，如图所示，直线的倾斜角为，且轴，
则且，所以，故A正确；
对于B，在中，，直线的倾斜角为，
则，，
所以，得，故B正确；
对于C，的周长为：，
设的内切圆为，根据三角形的等面积法可知，
，解得：，
所以是与有关的式子，故C错误；
对于D，由于A，关于原点对称，可设，
根据，得，
所以当斜率存在时，，
因为A，在双曲线上，所以，即，得：，
所以，故D正确.
故选：ABD.
10．
双曲线的右焦点，
所以右焦点到直线的距离为．
故答案为：．
11．
因为，所以，所以，又，所以，所以，则.
故的渐近线方程为.
故答案为：
12．
设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，
在图2左图中，由椭圆定义可得 ①
由双曲线定义可得 ②
①-②得，
所以的周长为.
在图2右图中，光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后经过椭圆的另一个焦点，
即直线过点，所以的周长为，
又因为椭圆与双曲线焦点相同，离心率之比为，
所以，又两次所用时间分别为，，
而光线速度相同，所以.
故答案为：.
13．（1）；（2）；（3）证明见解析．
【详解】
（1）令则，
∴双曲线的渐近线方程为．
（2）由题意知，，
设为，则，且，
又，解得，
所以点M纵坐标的值为
（3）①当直线MN的斜率不存在时，其方程为与轴有无数个交点，不符合题意；
②当直线的斜率存在时，设为，则其方程为，
设，则，
联立，得，
所以，
因为三点共线，
所以，即，即，
所以，即，
所以，
化简得，为定值，
故命题得证．
14．
（1）.
（2）存在，直线为或.
（1）
由题设，，又在双曲线上，
∴，可得，
∴双曲线C的方程为.
（2）
由（1）知：，设直线为，，
联立双曲线方程可得：，由题设，
∴，，则.
要使△构成以为顶角的等腰三角形，则，
∴的中点坐标为，
∴，可得或.
∴存在直线为或，使△构成以为顶角的等腰三角形.
双曲线的定义
1．已知，动点P满足，则P点的轨迹是
A．双曲线 B．双曲线的一支 C．直线 D．一条射线
2．与圆及圆都外切的圆的圆心在（ ）
A．椭圆上 B．双曲线的一支上 C．线段上 D．圆上
双曲线的方程
1．已知点F1(，0)和F2(4，0)，一曲线上的动点P到F1，F2的距离的差的绝对值是6，该曲线方程是_____.
2．双曲线C的两焦点分别为(－6，0)，(6，0)，且经过点(－5，2)，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．求适合下列条件的双曲线的标准方程：
（1）焦点在x轴上，，；
（2）焦点在x轴上，经过点，
（3）焦点为，，且经过点．
双曲线的基础性质
1．双曲线的实轴长等于______，虚轴长等于______，焦点坐标是______，离心率是______，渐近线方程是______ .
2．以坐标轴为对称轴的等轴双曲线C经过点，则C的标准方程为______．
3．若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为_______．
4．求下列双曲线的标准方程
（1）与双曲线有共同渐近线，且过点；
（2）与双曲线有公共焦点，且过点
双曲线离心率及范围问题
1．点M为双曲线上任意一点，点O是坐标原点，则的最小值是
A．1 B． C．2 D．
2．如图，椭圆，与双曲线，的离心率分别是，，与，则，，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知双曲线的左 右焦点分别为，过的直线分别交双曲线的两条渐近线于点，若点是线段的中点，且，则此双曲线的离心率为
（ ）
A． B． C． D．
4．已知双曲线的左、右焦点分别为是双曲线右支上的一点，且的周长为，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
双曲线与直线交点个数问题
1．已知双曲线与直线有交点，则双曲线离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．直线与双曲线的交点情况是（ ）
A．恒有一个交点 B．存在m有两个交点
C．至多有一个交点 D．存在m有三个交点
3．已知双曲线的右焦点为，直线与双曲线的右支有两个交点，则
A． B． C． D．
双曲线的对称性问题
1．若双曲线上存在四点，使得以这四点为顶点的四边形是菱形，则该双曲线的离心率的取值范围是
A． B． C． D．
2．设，分别为双曲线的左，右焦点，A为C的左顶点，以为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
双曲线几何性质综合（最值、定值、定点等）
1．在平面直角坐标系中，双曲线左、右焦点分别为．
（1）若直线l过点，且与双曲线C的左、右支各有一个公共点，求直线l的斜率k的取值范围；
（2）若点P为双曲线C上一点，求的最小值．
2．已知双曲线的实轴长为，焦点到渐近线的距离为
（1）求双曲线的方程；
（2）已知直线y＝x－2与双曲线的右支交于M，N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使（O为坐标原点)，求t的值及点D的坐标．
3．已知双曲线的右焦点为，一条渐近线方程为．
（1）求双曲线的方程；
（2）记的左、右顶点分别为，过的直线交的右支于两点，连结交直线于点，求证：三点共线．
4．已知双曲线的方程为，椭圆的方程为，双曲线右焦点到双曲线渐近线的距离为，椭圆的焦点为，，短轴端点为，．
（1）求双曲线的方程与椭圆的方程；
（2）过点作椭圆的两条互相垂直的弦，，证明：过两弦，中点的直线恒过定点．
巩固提升
一、单选题
1．已知双曲线过点且渐近线为，则下列结论正确的是（ ）
A．双曲线的顶点坐标为
B．双曲线的离心率为
C．曲线经过双曲线的一个焦点
D．双曲线与双曲线有相同的渐近线
2．若双曲线的一条渐近线与直线相互垂直，则双曲线的两个焦点与虚轴的一个端点构成的三角形的面积为（ ）
A． B． C．6 D．8
3．过双曲线的右焦点作垂直于实轴的弦，是左焦点，若，则双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．
4．已知双曲线的右支上一点到其渐近线的距离为，为双曲线的左焦点，则的最小值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
5．已知是双曲线的右焦点，是左支上一点，，当周长最小时，该三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
6．双曲：与：（且）的（ ）
A．顶点相同 B．焦点相同
C．离心率相同 D．渐近线相同
7．已知F1，F2分别是双曲线C：y2－x2＝1的上、下焦点，点P是其一条渐近线上一点，且以线段F1F2为直径的圆经过点P，则（ ）
A．双曲线C的渐近线方程为y＝±x
B．以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1
C．点P的横坐标为±1
D．△PF1F2的面积为
8．如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇羡，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线的右支与直线围成的曲边四边形绕y旋转一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为，下底外直径为，则下列曲线中与双曲线C不是共渐近线的有（ ）
A． B． C． D．
9．已知是双曲线的左右焦点，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，且轴，下列判断正确的是（ ）
A． B．的离心率等于
C．的内切圆半径 D．若A，为上的两点且关于原点对称，则的斜率存在时其乘积为2
三、填空题
10．双曲线的右焦点到直线的距离为______________.
11．已知双曲线的左 右焦点分别为，M为C左支上一点，N为线段上一点，且，P为线段的中点.若(O为坐标原点)，则C的渐近线方程为___________.
12．圆锥曲线光学性质（如图1所示）在建筑、通讯、精密仪器制造等领域有着广泛的应用.如图2，一个光学装置由有公共焦点，的椭圆与双曲线构成，一光线从左焦点发出，依次经过与的反射，又回到点历时秒；若将装置中的去掉，则该光线从点发出，经过两次反射后又回到点历时秒.若与的离心率之比为，则__________.
四、解答题
13．设双曲线的上焦点为是双曲线上的两个不同的点．
（1）求双曲线的渐近线方程；
（2）若，求点纵坐标的值；
（3）设直线与轴交于点关于轴的对称点为．若三点共线，求证：为定值．
14．已知双曲线过点，焦距为，．
（1）求双曲线C的方程；
（2）是否存在过点的直线与双曲线C交于M，N两点，使△构成以为顶角的等腰三角形？若存在，求出所有直线l的方程；若不存在，请说明理由．
参考答案
双曲线的定义
1．D
由于，即，
所以点轨迹是一条射线，
故选：．
2．B
设动圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，
由可得：，所以圆心为，半径为，
则，
根据双曲线得定义可得圆心在双曲线的一支上，
故选：B.
双曲线的方程
1．
∵，，
∴点轨迹是以为焦点，实轴长为6的双曲线，
，，又，∴，
∴曲线方程是．
故答案为：．
2．B
2a＝
所以，又c＝6，
所以b2＝c2－a2＝36－20＝16.
所以双曲线的标准方程为
故选：B
3．（1）；（2）；（3）
（1）因为焦点在x轴上，设双曲线方程为，
因为，，所以双曲线方程为；
（2）因为焦点在x轴上，设双曲线方程为，
因为经过点，，代入可得，
令，可得，
双曲线的基础性质
1．2 4 F1（-3，0），F2（3，0） y=±x
由双曲线方程可得：，且双曲线的焦点在x轴上，
则实轴长为，虚轴长为4，焦点坐标为，离心率，渐近线方程为.
故答案为：；4；；；.
2．
由双曲线为等在双曲线，设其方程为：
由双曲线C经过点,则，即
所以双曲线方程为：
故答案为：
3．
双曲线的离心率为，则，
所以，，则渐近线方程为．
故答案为：.
4．（1），（2）
解：（1）由题意设所求双曲线方程为，
因为双曲线过点，
所以，得，
所以，即
所以所求双曲线方程为，
（2）由题意设所求双曲线方程为，
因为双曲线过点，
所以，得，，
解得或，
所以所求双曲线方程为
双曲线离心率及范围问题
1．B
设M(x,y),∵ 点M为双曲线上,∴
=
故选B.
2．A
解：对于椭圆、，它们有相同的值，设它们的短轴分别为和，焦距分别为和，
，，
可得，即；
对于双曲线、，它们也有相同的值，设它们的虚轴分别为和，焦距分别为和，
双曲线的张口小于双曲线的张口，
得双曲线的渐近线所夹的锐角要小于双曲线的渐近线所夹的锐角
，得，即
由此可得，得，即．
、都小于1，、都大于1，
故选：A．
3．C
如图所示：
因为，所以是直角三角形，又因为是的中点，
所以是直角斜边中线，因此，而点是线段的中点，
所以是等腰三角形，因此，由双曲线渐近线的对称性可知中：
，于是有：，因为双曲线渐近线的方程为：，因此有：
，
故选：C
4．A
设双曲线的焦距为，.
是双曲线右支上的一点，，
的周长为，,
，，，，
,，，,
双曲线的离心率的取值范围为.
故选：A
双曲线的对称性问题
1．C
解：不妨设该双曲线方程为，
由双曲线的对称性质可知，该四边形为正方形，
所以直线与双曲线有交点，
所以其渐近线与轴的夹角大于，即．
离心率．
所以该双曲线的离心率的取值范围是，．
故选：．
2．D
设以为直径的圆与渐近线相交于点，
由对称性得，
由，
解得，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴渐近线方程为．
故选：D
双曲线与直线交点个数问题
1．C
因为双曲线的一条渐近线方程为，由题意得，
所以双曲线的离心率．
故选：C.
2．C
将代入得
当时，无解；
当时，，所以至多有一个交点．
故选：C
3．A
解：双曲线的渐近线方程为，
直线经过焦点，，
当时，可得，
当时，，
故，
故选A．
双曲线几何性质综合（最值、定值、定点等）
1．
（1）.
（2）-1
解：（1）
显然，直线l的斜率不存在时，与双曲线不相交，故l的斜率必存在，设其为k，则直线l：，代入双曲线方程得：.
要使l与双曲线C的左、右支各有一个公共点，
只需，解得：.
即斜率k的取值范围为.
（2）
双曲线左、右焦点分别为.
设，则，所以，
因为，所以，所以，即的最小值为-1.
2．
（1）＝1
（2）t＝4，点D的坐标为(4，3)
解：（1）
由题意知a＝2，所以一条渐近线方程为y＝，
因为焦点到渐近线的距离为，所以，所以b2＝3．
所以双曲线的方程为＝1．
（2）
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，
因为，
所以x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0．
将直线方程与双曲线方程联立，得x2－16，
则x1＋x2＝，y1＋y2＝12．
所以，解得，
由＝t，得，
所以t＝4，点D的坐标为(4，3)．
3．（1）；（2）证明见解析.
解:（1）依题意可得，，
解得，故的方程为.
（2）易得，
显然，直线的斜率不为0，设其方程为，，
联立方程，消去整理得，
所以，．
直线，令得，故
，，
，（*）
又
，即的值为0．
所以故A、Q、N三点共线．﹒
4．
（1）因为双曲线的右焦点为到双曲线渐近线的距离为，不妨设渐近线方程为，所以.
在椭圆中，因为，则，又，所以，
所以双曲线的方程为，椭圆的方程为．
（2）根据题意可得当直线与直线的斜率存在且不为0时，
设直线的方程为，则直线的方程设为，
联立，消去，可得，
则．
设，，则，，
所以的中点．同理可得的中点，
所以直线的斜率，
所以直线的方程为，整理可得，
所以直线恒过定点；
当直线的斜率不存在时，弦的中点，的中点，
此时过弦，的中点的直线为，经过定点．
综上可得，过两弦，中点的直线恒过定点．
巩固提升
1．C
由题意可知，双出线的渐近线为，所以双曲线的方程可设为，代入点，解得，所以双曲线的方程为.
对于A：，顶点坐标为.故A错误；
对于B：此时，所以，故B错误；
对于C：，过双曲线的右焦点，故C正确；
对于D：双曲线的渐近线方程为，与双曲线的渐近线方程不同，故D错误.
故选：C．
2．B
因为双曲线的一条渐近线与直线相互垂直，
所以，解得：m=9.
双曲线的两个焦点为，虚轴的一个端点.
所以三角形的面积为.
故选：B
3．B
由轴，且
所以， 点满足，，
，即，
，又，故，
故选：B.
4．C
不妨设双曲线的右焦点为，则
且点在右支上，故
故
记表示到渐近线的距离，则
双曲线的渐近线方程为：，
故
故，
则的最小值为11
故答案为：C
5．D
由双曲线的方程可得，，因为，所以，
设双曲线的左焦点为，由双曲线定义知，，
所以的周长为：，
要使的周长最小，则最小，即、、共线，
因为，，所以直线的方程为，
即代入整理得，
解得：或（舍），所以点的纵坐标为，
所以，
故选：D.
6．CD
由：，又因为且，所以，顶点不同，A错，对：，，渐近线为，
对：，，渐近线为，
由此判断B错，CD正确.
故选：CD
7．ACD
等轴双曲线C：y2－x2＝1的渐近线方程为y＝±x，故A正确；
由双曲线的方程可知F1F2＝，
所以以F1F2为直径的圆,圆心为，半径为，则圆的方程为x2＋y2＝2，故B错误；
点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝2上，
不妨设点P(x0，y0)在直线y＝x上，
所以由解得|x0|＝1，
则点P的横坐标为±1，故C正确；
由上述分析可得△PF1F2的面积为，故D正确．
故选：ACD.
8．BCD
依题意可知，，
将、的坐标分别代入，
得，解得，，
所以双曲线C的方程为：，其渐近线为，
对于A，，其渐近线为，不符合题意，
对于B，，其渐近线为，符合题意，
对于C，，其渐近线为，符合题意，
对于D，，其渐近线为，符合题意.
故选：BCD
9．ABD
解：对于A，如图所示，直线的倾斜角为，且轴，
则且，所以，故A正确；
对于B，在中，，直线的倾斜角为，
则，，
所以，得，故B正确；
对于C，的周长为：，
设的内切圆为，根据三角形的等面积法可知，
，解得：，
所以是与有关的式子，故C错误；
对于D，由于A，关于原点对称，可设，
根据，得，
所以当斜率存在时，，
因为A，在双曲线上，所以，即，得：，
所以，故D正确.
故选：ABD.
10．
双曲线的右焦点，
所以右焦点到直线的距离为．
故答案为：．
11．
因为，所以，所以，又，所以，所以，则.
故的渐近线方程为.
故答案为：
12．
设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，
在图2左图中，由椭圆定义可得 ①
由双曲线定义可得 ②
①-②得，
所以的周长为.
在图2右图中，光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后经过椭圆的另一个焦点，
即直线过点，所以的周长为，
又因为椭圆与双曲线焦点相同，离心率之比为，
所以，又两次所用时间分别为，，
而光线速度相同，所以.
故答案为：.
13．（1）；（2）；（3）证明见解析．
【详解】
（1）令则，
∴双曲线的渐近线方程为．
（2）由题意知，，
设为，则，且，
又，解得，
所以点M纵坐标的值为
（3）①当直线MN的斜率不存在时，其方程为与轴有无数个交点，不符合题意；
②当直线的斜率存在时，设为，则其方程为，
设，则，
联立，得，
所以，
因为三点共线，
所以，即，即，
所以，即，
所以，
化简得，为定值，
故命题得证．
14．
（1）.
（2）存在，直线为或.
（1）
由题设，，又在双曲线上，
∴，可得，
∴双曲线C的方程为.
（2）
由（1）知：，设直线为，，
联立双曲线方程可得：，由题设，
∴，，则.
要使△构成以为顶角的等腰三角形，则，
∴的中点坐标为，
∴，可得或.
∴存在直线为或，使△构成以为顶角的等腰三角形.