2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册4.5.1函数的零点和方程的解教学课件（共22张）

(共22张PPT)
4.5函数的应用(二)
4.5.1函数和零点和方程的解
引入
在前面，我们通过一些实例，初步了解了建立函数模型解决实际问题的过程，学习了用函数描述客观事物变化规律基本方法. 在本节中，我们将先学习运用函数的性质求方程近似解的方法，再结合实例，更深入地理解用函数构建数学模型的基本过程，用模型思想发现问题，提出问题，分析问题和解决问题的方法。
那么，我们为什么要学习运用函数的性质来求方程近似解呢(注意: 不是”准确解”) 主要有以下几个方面的原因：
1.用数学解决实际问题时，经常需要解方程，这没办法回避；
2.从现实生活中抽象出的方程往往是很难得出准确解的; 事实上，就整式方程而言，五次及五次以上方程就没有一般解法了(在19世纪挪威数学家阿贝尔已经证明)，更不要说指数方程、对数方程等超越方程.
3.从实用的角度来看，一定精度的解也是完全可以满足需要的.
知识探究
我们已经学习过用二次函数的观点来认识一元二次方程和不等式，知道一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0) 的解就是对应二次函数 y=ax2+bx+c (a≠0)的零点.
问题1: 完成下列表格. 验证方程的根，对应函数的零点，以及函数图象与x轴的交点的关系，并说说什么是函数的零点？
一元二次方程方程 x2－2x－3=0 x2－2x+1=0 x2－2x+3=0
方程的根
二次函数
函数的零点
函数的图象以及与x轴的公共点
x1=-1,x2=3
x1=x2=1
没有实数解
y=x2－2x－3
y= x2－2x+1
y= x2－2x+3
-1, 3
1
没有零点
(-1, 0)
(3, 0)
(1, 0)
问题2: 类比二次函数的零点，对于一般函数 y=f(x)，你能说说什么是函数 y=f(x)的零点吗？
函数的零点
对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。
方程f(x)=0
的实数解
函数y=f(x)的零点
方程f(x)=0
的实数根
数
形
同有无，值相等，个相同。
2.函数的零点与方程的根，函数图象与轴公共点的横坐标的关系：
1.概念：
返回
例 析
（1）由f(x)=0得
lgx-2=0,即lgx=2
解得x=100
∴函数的零点为100.
（2）由f(x)=0得
ex-1=0,即ex=1
解得x=0
∴函数的零点为0.
（3）由f(x)=0得
-2|x|+6=0,
解得x=-3或3
∴函数的零点为-3和3.
（4)由f(x)=0得
x2-4x-12=0,
即(x-6)(X+2)=0
解得x=6或x=-2
∴函数的零点为-2和6.
解:
思考4: 结合函数零点的几何意义，你还能想用别的方法来求零点吗？
根据函数 f(x)的的图象和性质，得出 f(x)的图象与x轴交点的横坐标。
1.写出下列函数的零点：
-1，3
练习
问题3: 由以上可知，当我们无法用公式解方程f(x)=0时，我们可以用怎样的方法来求其实数解？
利用函数y=f(x)的性质和图象，找出函数的零点，从而得到方程的解。
问题4: 对于二次函数 f(x)=x2-2x-3 ，观察它的图象，发现它在区间[2,4]和[-2,0]各有一个零点.
(1)这时，函数图象与x轴有什么关系？
(2)你认为应如何利用函数 f(x) 的取值规律来刻画这种关系？
①在零点及其附近，函数图象连续不断；
②函数图象在零点处穿过了x轴。
函数图象在区间(2,4)上，函数图象从下到上穿过了x轴，即
f(2)<0 ，f(4)>0，∴ f(2)f(4)<0.
在区间(-2,0)上，函数图象从上到下穿过了x轴，即
f(-2)>0 ，f(0)<0 ，∴ f(-2) f(0)<0.
(3)再任意画几个函数图象，观察零点所在的区间，以及在这这一区间上函数图象与x轴的关系. 类似地，你得到用函数 f(x) 的取值规律的方法吗？
函数图象在区间[1,3]上连续不断；并在(1,3)上从上到下穿过了x轴。
函数图象在区间[2,4]上连续不断；并在(2,4)上从下到上穿过了x轴。
函数图象在区间[0,2]上连续不断；并在(0,2)上从下到上穿过了x轴。
问题5: 由以上的分析，你能说说在区间(a,b)上，y=f(x)在什么样的情况下一定有零点？
一般地，如果函数 y=f(x) 在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有 f(a) f(b)<0 ，那么
函数 y=f(x)在区间 (a,b) 内有零点， 即
存在 c ∈ (a,b), 使得 f(c) =0 , 这个c也就是方程 f(x)=0 的解.
函数零点存在性定理
问题6：(1)如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上有 f(a) f(b)<0，那么函数 y=f(x)在区间 (a,b) 内是否一定有零点？
(2)如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上是连续不断的一条曲线，那么函数 y=f(x)在区间 (a,b) 内是否一定有零点？
“在区间[a,b]上图象连续不断”和“f(a) f(b)<0”这两个条件缺一不可。
(3)如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上是一条连续不断的曲线，且在区间 (a,b) 内有零点，是否一定有f(a) f(b)<0 ？
(4)如果函数 y=f(x) 在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有 f(a) f(b)<0 ，那么函数 y=f(x)在区间 (a,b) 内有零点，但是否只有一个零点呢？
“在区间[a,b]上图象连续不断”和“f(a) f(b)<0”是函数 y=f(x)在区间 (a,b) 内有零点的充分不必要条件。
即此定理不可逆。
函数零点存在定理可以判定函数有零点，但不能判定零点的个数。
(5)如何理解函数零点存在定理？
如果函数 y=f(x) 在区间[a,b]具有单调性呢？
若函数又同时具有单调性，则可以判定函数只有一个有零点。
一般地，如果函数 y=f(x) 在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有 f(a) f(b)<0 ，那么
函数 y=f(x)在区间 (a,b) 内有零点， 即
存在 c ∈ (a,b), 使得 f(c) =0 , 这个c也就是方程 f(x)=0 的解.
函数零点存在性定理
理解此定理时应注意以下几个问题：
(1)此定理不可逆. 即
若函数y=f(x)同时满足上述两个条件，则y=f(x)在区间(a,b)内一定存在零点，但有零点，却不一定满足上述两个条件.
因此 ，上述两个条件是函数y=f(x)在区间(a,b)内存在零点的充分不必要条件。
(2)此定理不能确定零点的个数. 即
若函数y=f(x)同时满足上述两个条件，则y=f(x)在区间(a,b)内一定存在零点，但零点不一定只有一个。
但若函数y=f(x)在区间(a,b)内还同时具有单调性，则函数在这区间(a,b)上只有一个零点.
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练习
下列三图分别是同一个函数在不同范围的图象，你能仅根据其中的某一图象，得出函数在某一个区间上只有一个零点的判断？为什么？(教材P144练习第1题)
不能。
因为当自变量在不同的范围内取值时，图象呈现的细节有可能不相同。
在本题中，当x∈(-200,200),x∈(-20,20),x∈(-2,2)时，看到的零点个数是不同的。所以确定函数的零点往往需要函数的了解函数的性质，并借助相关的定理
例2.求方程lnx+2x－6=0实数解的个数
例 析
解：
设函数f(x)=lnx+2x－6，则
f(x)的定义域为(0,+∞)
列表，并作出f(x)的图象
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
f(x) -4 -1.3069 1.0986 3.3863 5.6094 7.7918 9.9459 12.0794 14.1972
f(2)<0, f(3)>0，
即 f(2) f(3)<0.
由函数零点存在定理，
f(x)在(2,3)内至少有一个零点.
又∵ f(x)=lnx+2x－6是增函数,
∴ f(x)是只有一个零点,
方程lnx+2x－6=0有1个实数解.
由表和图象得
f(x)=lnx+2x－6
思考1：以上解法中，列表和作图都借助了工具。事实上，本题还可以先判定函数是增函数，再让x在定义域内取值，由f(x)的符号来得出零点的个数。
除此之外，你还有别的解法吗？
例2.求方程lnx+2x－6=0实数解的个数
另解：
由lnx+2x－6=0得
lnx =-2x+6
设f(x)=lnx, g(x)=-2x+6.
作出函数 f(x)和 g(x)的图象，如右.
由图知，
函数f(x)和 g(x)的图象只有一个公共点P(x0, y0)，其中x0∈(2,3)
∴方程lnx =-2x+6只有一个解,
即lnx+2x－6=0有1个实数解.
f(x)=lnx
g(x)=-2x+6
减函数
增函数
思考2：如何判定函数y=f(x)零点(或方程f(x)=0的解)的个数？
思路1.解方程法：
思路2.性质法：
一是直接解方程f(x)=0或判断方程解的个数;
根据函数f(x)的性质和零点存在定理进行判断
二是利用函数图象. 由函数f(x)=0得g(x)=h(x)，再分别作出g(x)和h(x)的图象，则两图象的交点个数得出结论
例3. 判断函数 f(x)=4-3x+log2 x有多少个零点？
解：
思考1：若不借助计算工具和软件，函数 f(x)=4-3x+log2 x图象容易作出吗？
若不易作出，有哪一些思路？
思路2：转化判断方程4-3x+log2 x=0根的个数.
思路1：在定义域内，让x取一些值，由f(x)的正负来判断；
另解：
由 f(x)=4-3x+log2 x=0得
log2 x=3x -4
设f(x)=log2 x, g(x)=3x -4
作出f(x)和g(x)的图象
由图可得
函数f(x)和g(x)的图象有两个公共点。
∴方程4-3x+log2 x=0有两个实数解，即
f(x)=4-3x+log2 x有2个零点。
g(x)=3x -4
f(x)= log2 x
例3. 判断函数 f(x)=4-3x+log2 x有多少个零点？
思考2：这种解法好不好，为什么？若 f(x)=4+3x+log2 x呢？
不好。
一是事先并不知道各个零点所在的大致区间，二是x取哪一些值不好把握。
但若如例2中，函数是增函数或减函数，则这种方法则比较方便。
思考3：你能用例2的方法来判断方程4-3x+log2 x=0根的个数吗？
增函数
增函数
解：
练习
1.方程ex-8x-8=0 的根所在的区间为（ ）
A.(-2,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D.(1,2)
2.函数 f(x)＝2x |log0.5x|－1的零点个数为(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
简析：
简析：
简析：
简析：
课堂小结
1.说说什么是函数的零点？它与对应方程的解有何关系？
3.说说如何处理有关函数零点或方程根的问题？
2.如何理解函数零点存在定理？
4.本节内容主要的思想方法有哪一些？
函数和方程的思想方法；
数形结合的思想方法。
转化和化归的思想方法；
作 业
教材P155习题4.5
第2，3，7题
方程解法时间图 （ 中国）
公元50年—100年
一次方程、二次方程三次方程根
11世纪·北宋·贾宪
三次方程正根数值解法
13世纪·南宋秦九韶
任意次代数方程正根解法
7世纪·隋唐·王孝通
三次或三次以上方程
方程解法时间图 （ 西方）
一次方程、二次方程的一般解法
1541年·意大利
塔尔塔利亚
三次方程一般解法
1802～1829
挪威·阿贝尔
证明了五次以上一般方程没有求根公式
记载了费拉里的四次方程一般解法
9世纪·阿拉伯
花拉子米
1545年·意大利
卡尔达诺
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