《变化率与导数》
一、平均变化率
1．一物体的运动方程是，则t在内的平均速度为
【解析】
2．函数在区间上的平均变化率等于（ ）．
A．4 B． C． D．
【解析】因函数，则在区间上的函数增量有：
，于是有，
所以所求平均变化率等于.故选：B
3．函数从到的平均变化率为，则实数a=
【解析】∵，∴，解得．
4．求函数在下列区间上的平均变化率：
（1）；（2）以1和为端点的闭区间.
【解析】（1）依定义可知，
即在上的平均变化率为4.
（2）依定义可知，
在以1和为端点的闭区间上的平均变化率为.
二、瞬时变化率及其导数
1．一质点的位移与时间的关系为，则该质点在处的瞬时速度为
【解析】因为，，当时，，
所以该质点在处的瞬时速度为.
2．已知某物体的运动方程是，则当t＝2s时的瞬时速度是
【解析】因为，所以，
由导数的定义可知：当t＝2s时的瞬时速度即为.
3．已知函数在处的瞬时变化率为，则______．
【解析】由题知，，得，
∴．
4．函数在处的导数为
【解析】，
所以函数在处的导数为.
5．设函数在附近有定义，且有，其中a，b为常数，则（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为，所以，则，即.故选：C.
6．设函数，若，则
【解析】∵，且，
∴．
7．已知f(x)＝x2－3x，则f′(0)＝（ ）
A．Δx－3 B．(Δx)2－3Δx C．－3 D．0
【解析】f′(0)＝＝
＝(Δx－3)＝－3.故选：C.
8．若函数在处的导数是8，则________．
【解析】根据导数的定义知，
，解得．
9．一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是（位移：m，时间：s）．
（1）求此物体的初速度；
（2）求此物体在时的瞬时速度；
（3）求到时的平均速度．
【解析】（1）运动物体的初速度即时的瞬时速度，即 ，即物体的初速度为3m/s．
（2）根据题意，可知 ，即此物体在时的瞬时速度为．
（3），即到时的平均速度为1m/s．
10．已知函数f(x)＝.
（1）求函数f(x)在区间[]上的平均变化率；
（2）求函数f(x)在区间[2，2.01]上的平均变化率；
（3）求函数f(x)在x＝2处的瞬时变化率．
【解析】（1）由已知∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝2(x0＋Δx)2＋1－2－1＝2Δx(2x0＋Δx)，
∴
（2）由（1）可知：=4x0＋2Δx，当x0＝2，Δx＝0.01时，
＝4×2＋2×0.01＝8.02.
（3）在x＝2处取自变量的增量Δx，得一区间[2，2＋Δx]．
∴Δy＝f(2＋Δx)－f（2）＝2(2＋Δx)2＋1－(2·22＋1)＝2(Δx)2＋8Δx.
∴＝2Δx＋8，当Δx→0时，→8.
11．设某质点的位移与时间的关系是，求：
（1）质点开始运动后内的平均速度；
（2）质点在到内的平均速度；
（3）质点在第时的瞬时速度.
【解析】（1）由已知得：质点开始运动后内的平均速度为
（2）由已知得：质点在到内的平均速度为
（3）由已知得：质点在第时的瞬时速度为
.
12．已知函数，其中a，b，c为常数，求这个函数在和处的导数.
【解析】，
，
当时，瞬时变化率为，即函数的导数为，
当时，瞬时变化率为，即函数的导数为.
所以，.
13．已知.
（1）求f（x）在x=1处的导数；
（2）求f（x）在x=a处的导数.
【解析】（1）因为，
所以；
（2）因为，
所以.
三、导数中极限的简单计算
1．若，则
【解析】根据导数的定义，
所以
2．已知函数的导函数为，且，则实数的值为
【解析】，解得
3．设为可导函数，且满足，则为
【解析】因为，所以，
即所以.
4．若，则
【解析】因为，
所以．
5．函数f（x）＝2x2－3x，则等于
【解析】由题意有，由导数定义知，
所以
6．已知，求_____________.
【解析】
所以《变化率与导数》
一、平均变化率
1．一物体的运动方程是，则t在内的平均速度为
2．函数在区间上的平均变化率等于（ ）．
3．函数从到的平均变化率为，则实数a=
4．求函数在下列区间上的平均变化率：
（1）；（2）以1和为端点的闭区间.
二、瞬时变化率及其导数
1．一质点的位移与时间的关系为，则该质点在处的瞬时速度为
2．已知某物体的运动方程是，则当t＝2s时的瞬时速度是
3．已知函数在处的瞬时变化率为，则______．
4．函数在处的导数为
5．设函数在附近有定义，且有，其中a，b为常数，则（ ）
A． B． C． D．
6．设函数，若，则
7．已知f(x)＝x2－3x，则f′(0)＝（ ）
A．Δx－3 B．(Δx)2－3Δx C．－3 D．0
8．若函数在处的导数是8，则________．
9．一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是（位移：m，时间：s）．
（1）求此物体的初速度；
（2）求此物体在时的瞬时速度；
（3）求到时的平均速度．
10．已知函数f(x)＝.
（1）求函数f(x)在区间[]上的平均变化率；
（2）求函数f(x)在区间[2，2.01]上的平均变化率；
（3）求函数f(x)在x＝2处的瞬时变化率．
11．设某质点的位移与时间的关系是，求：
（1）质点开始运动后内的平均速度；
（2）质点在到内的平均速度；
（3）质点在第时的瞬时速度.
12．已知函数，其中a，b，c为常数，求这个函数在和处的导数.
13．已知.
（1）求f（x）在x=1处的导数；
（2）求f（x）在x=a处的导数.
三、导数中极限的简单计算
1．若，则
2．已知函数的导函数为，且，则实数的值为
3．设为可导函数，且满足，则为
4．若，则
5．函数f（x）＝2x2－3x，则等于
6．已知，求_____________.
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