2021-2022学年湘教新版九年级上册数学《第4章 锐角三角函数》单元测试卷（word版含解析）

2021-2022学年湘教新版九年级上册数学《第4章 锐角三角函数》单元测试卷
一．选择题
1．已知α是锐角，且sinα＝0.75，则（　　）
A．0°＜α＜30° B．30°＜α＜45° C．45°＜α＜60° D．60°＜α＜90°
2．如果锐角α的正弦值为，那么下列结论中正确的是（　　）
A．α＝30° B．α＝45° C．30°＜α＜45° D．45°＜α＜60°
3．已知α为锐角，且sinα＝，那么α的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
4． cos30°的值是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，则等于（　　）
A．sinA B．sinB C．tanA D．tanB
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则sinA的值为（　　）
A． B． C． D．
7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，AB＝，则tanB的值是（　　）
A． B．2 C． D．
8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝3，则sinB的值为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC：AB＝3：5，则tanA的值为（　　）
A． B． C． D．
10．在 Rt△ABC中，∠C＝90°，cosB＝，则tanA的值为（　　）
A． B． C． D．
二．填空题
11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝3，则sinA的值是　 　．
12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，sinA＝，那么BC＝　 　．
13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，则sinB的值是　 　．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD垂直于AB，tan∠DCB＝，AC＝12，则BC＝　 　．
15．如图所示的网格是正方形网格，∠AOB　 　∠COD．（填“＞“，“＝”或“＜“）
16．比较大小：tan40°　 　tan70°（填“＞”或“＜”）
17．在△ABC中，若，则∠C的度数是　 　．
18．如图，在5×5的正方形网格中，△ABC的三个顶点A，B，C均在格点上，则tanA的值为　 　．
19．△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，则sinA+cosA＝　 　．
20．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D．给出下列四个结论：①sinα＝sinB；②sinβ＝sinC；③sinB＝cosC；④sinα＝cosβ．其中正确的结论有　 　．
三．解答题
21．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，AB＝3．
（1）求BC的长；
（2）求sinA的值．
22．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，求sinB和tanB的值．
23．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，AC＝2，求AB的长．
24．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AC＝8，AB＝10，求cos∠BCD的值．
25．已知：如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D、E都在小正方形的顶点上，求tan∠ADC的值．
26．（1）如图，锐角的正弦和余弦都随着锐角的确定而确定，也随着其变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值的变化规律；
（2）根据你探索到的规律，试比较18°，34°，52°，65°，88°，这些角的正弦值的大小和余弦值的大小；
（3）比较大小：（在空格处填写“＜”或“＞”或“＝”）
若∠α＝45°，则sinα　 　cosα；若∠α＜45°，则sinα　 　cosα；若∠α＞45°，则sinα　 　cosα；
（4）利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比较下列正弦值和余弦值的大小：
sin10°，cos30°，sin50°，cos70°．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：∵sin60°＝≈0.87，sin45°＝≈0.7，正弦值随角度的增大而增大，
∴sinα＝0.75，则45°＜α＜60°．
故选：C．
2．解：由＜＜，得
30°＜α＜45°，
故选：C．
3．解：∵sin2α+cos2α＝1，
∴cosα＝＝＝．
故选：D．
4．解： cos30°＝×＝．
故选：C．
5．解：在△ABC中，∠C＝90°，sinB＝，
故选：B．
6．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
由勾股定理得，AB＝＝5，
∴sinA＝＝，
故选：D．
7．解：由勾股定理得，BC＝＝＝2，
则tanB＝＝，
故选：A．
8．解：∵∠C＝90°，BC＝4，AC＝3，
∴AB＝＝5，
∴sinB＝＝．
故选：B．
9．解：∵∠ACB＝90°，AC：AB＝3：5，
设AC＝3x，AB＝5x，
∴BC＝＝＝4x，
∴tanA＝＝＝．
故选：B．
10．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴cosB＝＝，
设BC＝x，AB＝3x，则AC＝2x，
∴tanA＝＝＝．
故选：C．
二．填空题
11．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
则sinA＝＝，
故答案为：．
12．解：∵∠C＝90°，
∴sinA＝＝，
∴BC＝AB＝×15＝12．
故答案为12．
13．解：∵∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，
∴AB＝＝13，
∴sinB＝＝．
故答案为．
14．解：∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°
∵CD⊥AB，
∴∠BCD+∠B＝90°，
∴∠BCD＝∠A，
在Rt△ACB中，
∵tanA＝tan∠BCD＝＝，
∴BC＝AC＝×12＝9．
故答案为9．
15．解：连接CD，则CD⊥OD，过B作BE⊥OA于E，
在Rt△OBE中，tan∠AOB＝＝2，
在Rt△OCD中，tan∠COD＝＝＝1，
∵锐角的正切值随着角度的增大而增大，
∴∠AOB＞∠COD，
故答案为：＞．
16．解：∵tanα的值随着α的增大而增大，且40°＜70°，
∴tan40°＜tan70°，
故答案为：＜．
17．解：根据题意可知：
sinA﹣＝0，cosB﹣＝0，
∴sinA＝，cosB＝，
∴∠A＝30°，∠B＝30°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝120°．
故答案为：120°．
18．解：如图：作BD⊥AC于D，
BD＝，AD＝3，
tanA＝＝＝，
故答案为：．
19．解：如图，∵tanA＝＝，
∴设AB＝5x，则BC＝4x，
AC＝3x，
则有：sinA+cosA＝+＝+＝，
故答案为：．
20．解：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，
∴∠α+∠β＝90°，∠B+∠β＝90°，∠B+∠C＝90°，
∴∠α＝∠B，∠β＝∠C，
∴sinα＝sinB，故①正确；
sinβ＝sinC，故②正确；
∵在Rt△ABC中sinB＝，cosC＝，
∴sinB＝cosC，故③正确；
∵sinα＝sinB，cos∠β＝cosC，
∴sinα＝cos∠β，故④正确；
故答案为①②③④．
三．解答题
21．解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，AB＝3，
∴BC＝＝＝；
（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，BC＝，
∴sinA＝＝．
22．解：∵在△ABC中，∠C＝90°，
∴AC＝．
∴，tanB＝．
23．解：在Rt△ABC中
∵tanA＝，AC＝2，
∴BC＝1，
∴AB＝．
24．解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠BDC＝∠ACB＝90°，
∴∠B+∠BCD＝90°，∠BCD+∠ACD＝90°，
∴∠BCD＝∠A，
∵AB＝10，AC＝8，
∴cos∠BCD＝cosA＝＝＝．
25．解：根据题意可得，AC＝BC＝，CD＝CE＝，AD＝BE＝5，（3分）
∴△ACD≌△BCE．（4分）
∴∠ADC＝∠BEC．
∴tan∠ADC＝tan∠BEC＝．（5分）
26．解：（1）在图（1）中，令AB1＝AB2＝AB3，B1C1⊥AC于点C1，B2C2⊥AC于点C2，B3C3⊥AC于点C3，
显然有：B1C1＞B2C2＞B3C3，∠B1AC＞∠B2AC＞∠B3AC．
∵sin∠B1AC＝，sin∠B2AC＝，sin∠B3AC＝，
而＞＞．
∴sin∠B1AC＞sin∠B2AC＞sin∠B3AC．
在图（2）中，Rt△ACB3中，∠C＝90°，
cos∠B1AC＝，cos∠B2AC＝，cos∠B3AC＝，
∵AB3＜AB2＜AB1，
∴＞＞．
即cos∠B3AC＞cos∠B2AC＞cos∠B1AC．
（2）sin88°＞sin65°＞sin52°＞sin34°＞sin18°；
cos88°＜cos65°＜cos52°＜cos34°＜cos18°．
（3）若∠α＝45°，则sinα＝cosα；若∠α＜45°，则sinα＜cosα；若∠α＞45°，则sinα＞cosα．
（4）cos30°＞sin50°＞cos70°＞sin10°．