2021-2022学年青岛新版八年级上册数学《第5章 几何证明初步》单元测试卷（word版含解析）

2021-2022学年青岛新版八年级上册数学《第5章 几何证明初步》单元测试卷
一．选择题
1．下列说法正确的是（　　）
A．垂直于同一条直线的两直线互相垂直
B．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行
C．如果两条直线被第三条直线所截，那么同位角相等
D．从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离
2．下列说法正确的个数有（　　）
①同位角相等；
②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
④若a∥b，b∥c，则a∥c．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，在下列给出的条件中，不能判定AC∥DE的是（　　）
A．∠1＝∠A B．∠A＝∠3 C．∠3＝∠4 D．∠2+∠4＝180°
4．下列命题是真命题的是（　　）
A．相等的角是对顶角 B．互补的两个角是邻补角
C．同位角相等 D．若|y|＝2，则y＝±2
5．在甲组图形的四个图中，每个图是由四种图形A，B，C，D（不同的线段或圆）中的某两个图形组成的，例如由A，B组成的图形记为A*B，在乙组图形的（a），（b），（c），（d）四个图形中，表示“A*D”和“A*C”的是（　　）
A．（a），（b） B．（b），（c） C．（c），（d） D．（b），（d）
6．用反证法证明“若l1∥l2，l2∥l3，则l1∥l3”时应假设（　　）
A．l1⊥l3
B．l1⊥l2，l2⊥l3
C．l1与l3相交
D．l1与l2不平行，l2与l3不平行
7．下列命题中真命题是（　　）
A．无限小数都是无理数
B．9的立方根是3
C．坐标轴上的点不属于任何象限
D．非负数都有两个平方根
8．用反证法证明“三角形中最多有一个钝角”时，第一步应假设（　　）
A．三角形中有一个钝角
B．三角形中有两个钝角或三个钝角
C．三角形中有一个锐角
D．三角形中有两个锐角
9．下列说法中，正确的个数为（　　）
（1）过一点有无数条直线与已知直线平行
（2）如果a∥b，a∥c，那么b∥c
（3）如果两线段不相交，那么它们就平行
（4）如果两直线不相交，那么它们就平行
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．小宇设计了一个随机碰撞模拟器：在模拟器中有A，B，C三种型号的小球，它们随机运动，当两个小球相遇时会发生碰撞（不考虑多个小球相撞的情况）．若相同型号的两个小球发生碰撞，会变成一个C型小球；若不同型号的两个小球发生碰撞，则会变成另外一种型号的小球，例如，一个A型小球和一个C型小球发生碰撞，会变成一个B型小球．现在模拟器中有A型小球12个，B型小球9个，C型小球10个，如果经过各种两两碰撞后，最后只剩一个小球．以下说法：其中正确的说法是（　　）
①最后剩下的小球可能是A型小球；
②最后剩下的小球一定是B型小球；
③最后剩下的小球一定不是C型小球．
A．① B．②③ C．③ D．①③
二．填空题
11．用反证法证明命题“如果a＞b，那么”时，假设的内容是　 　．
12．若AB∥CD，AB∥EF，则　 　∥　 　，理由是　 　．
13．“如果两个实数的平方相等，那么这两个实数也相等”是　 　命题．（填“真”或“假”）
14．夏洛特去山里寻宝，来到藏有宝藏的地方，发现这里有编号分为一，二，三，四，五的五扇大门，每扇门上都写有一句话：一，宝藏在五号大门的后面；二，宝藏或者在三号大门的后面，或者在五号的后面；三，宝藏不在五号大门的后面；四，宝藏不在此门后面；五，宝藏在二号大门的后面，夏洛特从当地人得到，五句话中只有一句是真的，那么夏洛特应该去　 　号大门后面寻找宝藏．
15．用反证法证明“一个三角形不能有两个角是直角”时应首先假设　 　．
16．设a、b、c为平面上三条不同直线，
（1）若a∥b，b∥c，则a与c的位置关系是　 　；
（2）若a⊥b，b⊥c，则a与c的位置关系是　 　．
17．命题：“如果a＝b，那么a2＝b2”的逆命题是　 　命题（填“真”或“假”）．
18．甲、乙、丙三位同学中有一位做了一件好事，老师问他们是谁做的，他们这样回答：
甲说：“我没有做这件事，乙也没有做这件事．”
乙说：“我没有做这件事，丙也没有做这件事．”
丙说：“我没有做这件事，也不知道谁做了这件事．”
他们三人的回答中都有一句真话，一句假话．根据这些条件判断，做好事的是　 　．
19．下列四种说法：
①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
②在同一平面内，两条不相交的线段是平行线段；
③相等的角是对顶角；
④在同一平面内，若直线AB∥CD，直线AB与EF相交，则CD与EF相交．
其中，错误的是　 　（填序号）．
20．如图，有下列条件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③∠B＝∠5；④∠B+∠BAD＝180°．其中能得到AB∥CD的是　 　（填写编号）．
三．解答题
21．聪聪同学要证明平行四边形的判定定理“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”是正确的，他先画出如图的四边形ABCD，并写出了如下不完整的已知和求证．
已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，　 　．求证：四边形ABCD是　 　四边形．
（1）补全方框中的已知和求证，并写出证明过程；
（2）用文字叙述所证命题的逆命题．
22．如图，AB∥CD，AB∥GE，∠B＝110°，∠C＝100°．∠BFC等于多少度？为什么？
23．如图，在△ABC和△DEF中，B、E、C、F在同一直线上，下面有四个条件，请你从中选三个作为题设，余下的一个作为结论，写出一个正确的命题，并加以证明．
①AB＝DE；②AC＝DF；③∠ABC＝∠DEF；④BE＝CF；
解：我写的真命题是：
在△ABC和△DEF中，
已知：　 　．
求证：　 　．（不能只填序号）
证明如下：
24．能否在图中的四个圆圈内填入4个互不相同的数，使得任意两个圆圈中所填的数的平方和等于另外两个圆圈中所填数的平方和？如果能填，请填出一组数字；如果不能填，请说明理由．
25．A，B，C，D四支足球队分在同一小组进行单循环足球比赛，争夺出线权，比赛规则规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，小组中积分最高的两个队（有且只有两个队）出线，小组赛结束后，如果A队没有全胜，那么A队的积分至少要几分才能保证一定出线？请说明理由．
[注：单循环比赛就是小组内的每一个队都要和其他队赛一场]．
26．有12名游客要赶往离住地40千米的一个火车站去乘火车，离开车时间只有3小时了，他们步行的速度为每小时6千米，靠走路是来不及了，唯一可以利用的交通工具只有一辆小汽车，但这辆小汽车连司机在内最多能乘5人，汽车的速度为每小时60千米．
（1）甲游客说：我们肯定赶不上火车；（2）乙游客说：只要我们肯吃苦，一定能赶上火车；（3）丙游客说：赶上或赶不上火车，关键取决于我们自己．
亲爱的同学，当你身处其境，一定也有自己的想法，请你就某位游客的说法，用数学知识以理其人，由于难度不同，请你慎重选择．
选择（1）答对只能给3分，选择（2）答对可以给4分，选择（3）答对我们奖赏你满分6分．
27．在两个三角形的六对元素（三对角与三对边）中，即使有五对元素分别相等，这两个三角形也未必全等．
（1）试给出一个这样的例子，画出简图，分别标出两个三角形的边长．
（2）为了把所有这样的反例都构造出来，试探求并给出构造反例的一般规律（要求过程完整，述理严密，结论明晰）．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：A、同一平面内，垂直于同一条直线的两直线应是平行不是垂直，故该选项错误；
B、根据平行线的性质可知经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，该选项错误；
C、如果两条平行的直线被第三条直线所截，那么同位角才相等，故该选项错误；
D、从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，这一说法是正确的，
故选：D．
2．解：①如图，直线AB、CD被直线GH所截，∠AGH与∠CHF是同位角，但它们不相等，故说法错误；
②根据垂线的性质，应该加上前提：平面内，说法正错误；
③应为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故说法错误；
④平行于同一直线的两条直线平行，是平行公理的推论，故说法正确．
综上所述，正确的说法是④共1个．
故选：A．
3．解：当∠1＝∠A时，可知是DE和AC被AB所截得到的同位角，可得到DE∥AC，故A可以；
当∠A＝∠3时，可知是AB、DF被AC所截得到的同位角，可得AB∥DF，故B不可以；
当∠3＝∠4时，可知是DE和AC被AB所截得到的内错角，可得DE∥AC，故C可以；
当∠2+∠A＝180°时，是一对同旁内角，可得DE∥AC；故D可以；
故选：B．
4．解：A、相等的角不一定是对顶角，是假命题；
B、互补的两个角不一定是邻补角，是假命题；
C、两直线平行，同位角相等，是假命题；
D、若|y|＝2，则y＝±2，是真命题，
故选：D．
5．解：如图
由甲组的A*B B*C B*D可知
B是稍大一点的圆，
C为横线段，
D为稍小一点的圆，
A为竖线段．
所以“A*D”应当选（b），“A*C”应当选（d）．
故选：D．
6．解：∵求证：l1∥l3，若用反证法证明该题，则需要从结论的反面出发，
∴第一步应假设l1与l3不平行，则l1与l3相交．
故选：C．
7．解：A、无限不循环小数是无理数，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B、9的立方根是，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
C、坐标轴上的点不属于任何象限，正确，是真命题，符合题意；
D、非负数中的0有一个平方根，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
故选：C．
8．解：根据反证法的步骤，则可假设为三角形中三角形中有两个钝角或三个钝角．
故选：B．
9．解：（1）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故错误；
（2）根据平行公理的推论，正确；
（3）线段的长度是有限的，不相交也不一定平行，故错误；
（4）应该是“在同一平面内”，故错误．
正确的只有一个，故选A．
10．解：假设12个A球中每两个A球进行碰撞，则可以得到6个C球，9个B球中让其中8个B球每两个进行碰撞，则可以得到4个C球，加上原来的C球，共20个C球，让这20个C球互相碰撞，重复进行直至剩下一个C球，再和剩下的B球碰撞，可以得到一个A球，由此可知①正确，②错误．
事实上，无论怎么碰撞，A球数量与B球数量奇偶性总是不一样（一奇一偶）．
（AA）→C，A与B一奇一偶；
（BB）→C，A与B一奇一偶；
（CC）→C，A与B一奇一偶；
（AB）→C，A与B一奇一偶；
（AC）→B，A与B一奇一偶；
（BC）→A，A与B一奇一偶．
由此可知，A与B的数量不可能同时为0，所以最后剩下的小球一定不是C型小球，③正确．
故选：D．
二．填空题
11．解：由于命题“＞”的否定为“或”，故用反证法证明命题“如果a＞b，那么＞”时，
应假设＜或＝，
故答案为：＜或＝．
12．解：∵AB∥CD，AB∥EF，
∴CD∥EF，
理由是：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行，
故答案为平行于同一条直线的两条直线互相平行．
13．解：∵如果两个实数的平方相等，那么这两个实数也相等或互为相反数，
∴“如果两个实数的平方相等，那么这两个实数也相等”是假命题，
故答案为：假．
14．解：由只有一句话正确可知，一号门和三号门上的话必有一个正确的，而另一个是不正确的．
假设一号门上的话正确，则四号门上的话也是正确的，假设不成立；
假设三号门的话是正确的，因为四号门上的话不正确，可知宝藏在四号门后，证明其它门上的话也是不正确的，假设成立；
所以三号门上的话是正确的，宝藏在四号门后面．
故答案为：四．
15．解：用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”第一步应假设这个三角形中有两个角是直角．
故答案为：这个三角形中有两个角是直角．
16．解：（1）∵a∥b，b∥c，
∴a∥c；
（2）∵a、b、c为平面上三条不同直线，a⊥b，b⊥c，
∴a∥c．
故答案为：a∥c，a∥c．
17．解：命题：“如果a＝b，那么a2＝b2”的逆命题是如果a2＝b2，那么a＝b，是假命题；
故答案为：假．
18．解：当甲说的没有做这件事错误，则乙也没有做这件事就正确，即甲做了好事；
则乙说的没有做这件事就正确，故丙也没有做这件事就错误，即丙做了好事，与甲做了好事冲突．
当甲说的没有做这件事正确，则乙也没有做这件事就错误；
则乙说的没有做这件事就错误，故丙也没有做这件事就正确；
则丙说没有做这件事正确，也不知道谁做了这件事错误，
综上所述：做好事的是乙．
故答案为：乙．
19．解：∵过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，∴①错误；
∵在同一平面内，两条不相交的线段可能在一条直线上，说两线段是平行线段不对，∴②错误；
∵相等的角不一定是对顶角，∴③错误；
∵在同一平面内，若直线AB∥CD，直线AB与EF相交，则CD与EF相交，正确，∴④正确；
故答案为：①②③．
20．解：①∵∠1＝∠2，
∴AD∥BC；
②∵∠3＝∠4，
∴AB∥CD；
③∵∠B＝∠5，
∴AB∥DC；
④∵∠B+∠BAD＝180°，
∴AD∥BC，
∴能够得到AB∥CD的条件是②③，
故答案为：②③．
三．解答题
21．解：（1）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，
求证：四边形ABCD为平行四边形，
证明：连接AC，
∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠DCA，
在△ABC和△CDA中，
，
∴△ABC≌△CDA（SAS）
∴BC＝AD，
∵AB＝CD，BC＝AD，
∴四边形ABCD为平行四边形；
故答案为：AB＝CD；平行；
（2）“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的逆命题是“平行四边形的对边平行且相等”．
22．解：∠BFC等于30度，理由如下：
∵AB∥GE，
∴∠B+∠BFG＝180°，
∵∠B＝110°，
∴∠BFG＝180°﹣110°＝70°，
∵AB∥CD，AB∥GE，
∴CD∥GE，
∴∠C+∠CFE＝180°，
∵∠C＝100°．
∴∠CFE＝180°﹣100°＝80°，
∴∠BFC＝180°﹣∠BFG﹣∠CFE＝180°﹣70°﹣80°＝30°．
23．解：将①②④作为题设，③作为结论，可写出一个正确的命题，如下：
已知：如图，在△ABC和△DEF中，B、E、C、F在同一直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF．
求证：∠ABC＝∠DEF．
证明：在△ABC和△DEF中
∵BE＝CF
∴BC＝EF
又∵AB＝DE，AC＝DF
∴△ABC≌△DEF（SSS）
∴∠ABC＝∠DEF．
将①③④作为题设，②作为结论，可写出一个正确的命题，如下：
已知：如图，在△ABC和△DEF中，B、E、C、F在同一直线上，AB＝DE，∠ABC＝∠DEF，BE＝CF．
求证：AC＝DF．
证明：在△ABC和△DEF中
∵BE＝CF
∴BC＝EF
又∵AB＝DE，∠ABC＝∠DEF
∴△ABC≌△DEF（SAS）
∴AC＝DF；
故答案为：如图，在△ABC和△DEF中，B、E、C、F在同一直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF；∠ABC＝∠DEF．
24．解：不能填，理由如下：设所填的互不相同的4个数为a，b，c，d；则有
①﹣②得c2﹣d2＝d2﹣c2
∴c2＝d2
因为：c≠d，只能是c＝﹣d④
同理可得c2＝b2因为c≠b，只能c＝﹣b⑤
比较④，⑤得b＝d，与已知b≠d矛盾，所以题设要求的填数法不存在．
25．解：至少要7分才能保证一定出线；
每队都进行3场比赛，本组进行6场比赛．
若A队两胜一平，则积7分．
因此其它队的积分不可能是9分，依据规则，不可能有球队积8分，
每场比赛，两队得分的和是3分或2分．
6场比赛两队的得分之和最少是12分，最多是18分，
∴最多只有两个队得7分．
所以积7分保证一定出线．
若A队两胜一负，积6分．
如表格所示，根据规则，这种情况下，A队不一定出线．
同理，当A队积分是5分、4分、3分、2分时不一定出线．
总之，至少7分才能保证一定出线．
26．解：（1）：用汽车来回送这12名旅客要分3趟，总路程为（3×2﹣1）×40＝200千米，所需的时间为200÷60＝小时＞3小时，因此单靠汽车来回送旅客无法让12名旅客全部赶上火车．
（2）：汽车送前一趟旅客的同时，让其他旅客先步行，这样可以节省一点时间．
第一趟，设汽车来回共用了x小时，这时汽车和其他旅客的总路程为一个来回，所以6x+60x＝40×2，解得x＝小时，此时，剩下8名旅客与车站的距离为40﹣×6＝千米；
第二趟，设汽车来回共用了y小时，那么6y+60y＝×2，解y＝小时，此时剩下的4名旅客与车站的距离为﹣×6＝千米；
第三趟，汽车用了÷60＝小时．
所以共需时间++≈2.6（小时），所以可以赶上．
（3）：先让汽车把4名旅客送到中途某处，再让这4名步行（此时其他8名旅客也在步行），接着汽车回来再送4名旅客（剩下4名旅客继续步行），追上前面4名旅客候也让他们下车一起步行，最后回来接剩下的4名旅客到火车站．适当选取第一批旅客的下车地点使送最后一批旅客的汽车与前面8名旅客同时到达火车站．
设汽车送第一批旅客行驶x千米后让他们下车步行，此时其他旅客步行了4×＝，
6×＝千米，他们之间相差了千米，在以后的时间里，由于步行旅客的速度一样，所以两批步行旅客之间始终相差x千米，而汽车要在这段距离间来回行驶两趟，每来回一趟所用时间为+＝x，而汽车来回两趟所用的时间恰好是第一批旅客步行40﹣x千米所用时间，即2×x＝，
解得x＝千米，故所需时间为÷60+≈2.267小时，所以可以赶上．
27．解：（1）如下图，△ABC与△A′B′C′是相似的（相似比为），但它们并不全等，显然它们之中有五对元素是对应相等的．（5分）（答案不唯一）
（2）容易知道，要构造的两个三角形必不是等腰三角形，同时它们应是相似的．（2分）
设小△ABC的三边长分别为a、b、c，且不妨设a＜b＜c，由小△ABC到大△A′B′C′的相似比为k，则k＞1．
∵△A′B′C′的三边长分别为ka、kb、kc，且a＜ka＜kb＜kc
∴在△ABC中，与△A′B′C′中两边对应相等的两条边只可能是b与c
∵b＜c＜kc
∴在△A′B′C′中，与b、c对应相等的两条边只可能是ka、kb
∴．
∴由a到b、由b到c应具有相同的放大系数（a、b、c成公比为k的等比数列），这个系数恰为△ABC与△A′B′C′的相似比k．
下面考虑相似比k所受到的限制：
∵△ABC的三边长分别为a、ka、k2a，且a＞0，k＞1
∴a+ka＞k2a
解之得1＜k＜（注：≈1.618）（4分）
因此构造反例时，只要先选取一个正数a作为△ABC最小边的长，再设定一个1～1.168之间的放大系数k，从而写出另外两条边的长ka、k2a．然后在△ABC的基础上，以前面的放大系数k为相似比，再写出另一个△A′B′C′的三边长ka、k2a、k3a．通过这种方法，可以构造出大量符合题意的反例．（1分）