安徽省马鞍山市2021-2022学年九年级上学期期中考试数学试卷（word解析版）

2021-2022学年第一学期九年级数学期中试题卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．下列函数表达式中，一定是二次函数的是（　　）
A．y＝3x﹣1 B．y＝ax2+bx+c C．y＝2x2﹣2x+1 D．y＝x2+
2．如图，下列条件中不能判定△ACD∽△ABC的是（　　）
A．∠ADC＝∠ACB B． C．∠ACD＝∠B D．AC2＝AD AB
3．反比例函数，下列说法不正确的是（　　）
A．图象经过点（1，﹣1） B．图象位于第二、四象限
C．图象关于直线y＝﹣x对称 D．y随x的增大而增大
4．将抛物线y＝x2向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得到的抛物线为（　　）
A．y＝（x+3）2+5 B．y＝（x﹣3）2+5 C．y＝（x+5）2+3 D．y＝（x﹣5）2+3
5．下面四组图形中，必是相似三角形的为（　　）
A．两个直角三角形相似
B．两条边对应成比例，一个对应角相等的两个三角形相似
C．有一个角为40°的两个等腰三角形
D．有一个角为100°的两个等腰三角形
6．在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx2+k与y＝的图象可能是（　　）
7．已知二次函数y＝ax2+bx+c与自变量x的部分对应值如表，下列说法错误的是（　　）
x … ﹣1 0 1 3 …
y … ﹣3 1 3 1 …
A．a＜0 B．方程ax2+bx+c＝﹣2的正根在4与5之间
C．2a+b＞0 D．若点（5，y1）、（﹣，y2）都在函数图象上，则y1＜y2
8．如图所示，AD是△ABC的中线，E是AD上一点，AE：ED＝1：3，BE的延长线交AC于F，AF：AC＝（　　）
A．1：4 B．1：5 C．1：6 D．1：7
9．如图，△ABC和△DEF都是边长为2的等边三角形，它们的边BC，EF在同一条直线l上，点C，E重合．现将△ABC沿着直线l向右移动，直至点B与F重合时停止移动．在此过程中，设点C移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，则y随x变化的函数图象大致为（　　）
10．已知二次函数y＝﹣x2+2x+3，截取该函数图象在0≤x≤4间的部分记为图象G，设经过点（0，t）且平行于x轴的直线为l，将图象G在直线l下方的部分沿直线l翻折，图象G在直线上方的部分不变，得到一个新函数的图象M，若函数M的最大值与最小值的差不大于5，则t的取值范围是（　　）
A．0≤t≤1 B．﹣1≤t≤0 C．﹣5≤t≤4 D．﹣1≤t≤1
填空题（每小题3分，共24分）
11．抛物线y＝3（x﹣1）2+8的顶点坐标为　 　．
12．已知：＝＝，且3a﹣2b+c＝9，则2a+4b﹣3c＝　 　．
13．已知点A（﹣1，y1），B（2，y2）在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，则y1　 　y2（填“＞”“＜”或“＝”）
14．已知抛物线y＝﹣x2+bx+4经过（﹣2，n）和（4，n）两点，则b的值为　 　．
15．当﹣4≤x≤2时，函数y＝﹣x2﹣6x﹣7的取值范围为　 　．
16．如图，一直线经过原点O，且与反比例函数y＝（k＞0）相交于点A、点B，过点A作AC⊥y轴，垂足为C，连接BC．若△ABC面积为8，则k＝　 　．
17．如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝8，AC＝7，点D，E分别在AB，BC上，将△BDE沿ED折叠，点B的对应点F刚好落在AC上．当△CEF与△ABC相似时，BE的长为　 　．
18．在直角坐标系中，点A的坐标为（3，0），若抛物线y＝x2﹣2x+n﹣1与线段OA有且只有一个公共点，则n的取值范围为　 　．
解答题（共6小题，46分）
19．(6分)如图，a∥b∥c．直线m、n与a、b、c分别相交于点A、B、C和点D、E、F．
若AB：BC＝2：5，DF＝10，求EF的长．
20．(6分)如图，在△ABC中，AD＝DB，∠1＝∠2．求证：△ABC∽△EAD．
21．(8分)如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于A（﹣2，1），B（1，n）两点．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）根据所给条件，请直接写出不等式kx+b＜的解集．
22．(8分)如图△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD为∠ABC的平分线，
（1）求证：AD2＝AC DC；
（2）若AC＝a，求AD．
23．(9分)某社区决定把一块长50m，宽30m的矩形空地建成居民健身广场，设计方案如图，阴影区域为绿化区（四块绿化区为大小、形状都相同的矩形），空白区域为活动区，且四周的4个出口宽度相同，其宽度不小于14m，不大于26m，设绿化区较长边为xm，活动区的面积为ym2．为了想知道出口宽度的取值范围，小明同学根据出口宽度不小于14m，算出x≤18．
（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；
（2）求活动区的最大面积；
（3）预计活动区造价为50元/m2，绿化区造价为40元/m2，若社区的此项建造投资费用不得超过72000元，求投资费用最少时活动区的出口宽度？
24．(9分)如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），过点D作DF⊥x轴于点F，交直线BC于点E，连接BD，直线BC能否把△BDF分成面积之比为2：3的两部分？若能，请求出点D的坐标；若不能，请说明理由．
（3）若M为抛物线对称轴上一动点，使得△MBC为直角三角形，请直接写出点M的坐标．
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．下列函数表达式中，一定是二次函数的是（　　）
A．y＝3x﹣1 B．y＝ax2+bx+c C．y＝2x2﹣2x+1 D．y＝x2+
【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数进行分析．
【解答】解：A、是一次函数，故此选项错误；
B、当a＝0时，y＝ax2+bx+c不是二次函数，故此选项错误；
C、是二次函数，故此选项正确；
D、含有分式，不是二次函数，故此选项错误；
故选：C．
2．如图，下列条件中不能判定△ACD∽△ABC的是（　　）
A．∠ADC＝∠ACB B． C．∠ACD＝∠B D．AC2＝AD AB
【分析】根据相似三角形的判定逐一判断可得．
【解答】解：A、由∠ADC＝∠ACB，∠A＝∠A可得△ACD∽△ABC，此选项不符合题意；
B、由不能判定△ACD∽△ABC，此选项符合题意；
C、由∠ACD＝∠B，∠A＝∠A可得△ACD∽△ABC，此选项不符合题意；
D、由AC2＝AD AB，即＝，且∠A＝∠A可得△ACD∽△ABC，此选项不符合题意；
故选：B．
3．反比例函数，下列说法不正确的是（　　）
A．图象经过点（1，﹣1） B．图象位于第二、四象限
C．图象关于直线y＝﹣x对称 D．y随x的增大而增大
【分析】反比例函数y＝（k≠0）的图象k＞0时位于第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小；k＜0时位于第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大；在不同象限内，y随x的增大而增大，根据这个性质选择则可．
【解答】解：A、图象经过点（1，﹣1），正确；
B、图象位于第二、四象限，故正确；
C、双曲线关于直线y＝﹣x成轴对称，正确；
D、在每个象限内，y随x的增大而增大，故错误，
故选：D．
4．将抛物线y＝x2向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得到的抛物线为（　　）
A．y＝（x+3）2+5 B．y＝（x﹣3）2+5 C．y＝（x+5）2+3 D．y＝（x﹣5）2+3
【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：由“上加下减”的原则可知，将抛物线y＝x2向上平移3个单位所得抛物线的解析式为：y＝x2+3；
由“左加右减”的原则可知，将抛物线y＝x2+3向右平移5个单位所得抛物线的解析式为：y＝（x﹣5）2+3；
故选：D．
5．下面四组图形中，必是相似三角形的为（　　）
A．两个直角三角形相似
B．两条边对应成比例，一个对应角相等的两个三角形相似
C．有一个角为40°的两个等腰三角形
D．有一个角为100°的两个等腰三角形
【分析】根据等腰三角形的性质和相似三角形的判定方法得出A、B、C不一定相似，D一定相似；即可得出结果．
【解答】解：两个直角三角形不一定相似；
因为只有一个直角相等，
∴A不一定相似；
两条边对应成比例，一个对应角相等的两个三角形不一定相似；
因为这个对应角不一定是夹角；
∴B不一定相似；
有一个角为40°的两个等腰三角形不一定相似；
因为40°的角可能是顶角，也可能是底角，
∴C不一定相似；
有一个角为100°的两个等腰三角形一定相似；
因为100°的角只能是顶角，
所以两个等腰三角形的顶角和底角分别相等，
∴D一定相似；
故选：D．
6．在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx2+k与y＝的图象可能是（　　）
【分析】分k＞0和k＜0分析两函数图象大致位置，对照四个选项即可得出结论．
【解答】解：当k＞0时，函数y＝kx2+k的图象开口向上，顶点坐标在y轴正半轴上，
此时，函数y＝的图象在第一、三象限，
∴A选项中图形合适；
当k＜0时，函数y＝kx2+k的图象开口向下，顶点坐标在y轴负半轴上，
此时，函数y＝的图象在第二、四象限，
∴无合适图形．
故选：A．
7．已知二次函数y＝ax2+bx+c与自变量x的部分对应值如表，下列说法错误的是（　　）
x … ﹣1 0 1 3 …
y … ﹣3 1 3 1 …
A．a＜0 B．方程ax2+bx+c＝﹣2的正根在4与5之间
C．2a+b＞0 D．若点（5，y1）、（﹣，y2）都在函数图象上，则y1＜y2
【分析】利用表中函数值的变换情况可判断抛物线的开口方向，则可对A进行判断；利用抛物线的对称性可得x＝﹣1和x＝4的函数值相等，则可对B进行判断；利用x＝0和x＝3时函数值相等可得到抛物线的对称轴方程，则可对C进行判断；利用二次函数的性质则可对D进行判断．
【解答】解：∵二次函数值先由小变大，再由大变小，
∴抛物线的开口向下，
∴a＜0，
故A正确；
∵x＝﹣1时，y＝﹣3，
∴x＝4时，y＝﹣3，
∴二次函数y＝ax2+bx+c的函数值为﹣2时，﹣1＜x＜0或3＜x＜4，
即方程ax2+bx+c＝﹣2的负根在﹣1与0之间，正根在3与4之间，
故B错误；
∵抛物线过点（0，1）和（3，1），
∴抛物线的对称轴为直线x＝，
∴﹣＝＞1，
∴2a+b＞0，
故C正确；
∵（﹣，y2）关于直线x＝的对称点为（，y2），
∵＜5，
∴y1＜y2，
故D正确；
故选：B．
8．如图所示，AD是△ABC的中线，E是AD上一点，AE：ED＝1：3，BE的延长线交AC于F，AF：AC＝（　　）
A．1：4 B．1：5 C．1：6 D．1：7
【分析】作DH∥BF交AC于H，根据三角形中位线定理得到FH＝HC，根据平行线分线段成比例定理得到，计算得到答案．
【解答】解：作DH∥BF交AC于H
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝DC，
∴FH＝HC，
∵DH∥BF，
∴
∴AF：FC＝1：6，
∴AF：AC＝1：7，
故选：D．
9．如图，△ABC和△DEF都是边长为2的等边三角形，它们的边BC，EF在同一条直线l上，点C，E重合．现将△ABC沿着直线l向右移动，直至点B与F重合时停止移动．在此过程中，设点C移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，则y随x变化的函数图象大致为（　　）
【分析】分为0＜x≤2、2＜x≤4两种情况，然后依据等边三角形的性质和三角形的面积公式可求得y与x的函数关系式，于是可求得问题的答案．
【解答】解：如图1所示：当0＜x≤2时，过点G作GH⊥BF于H．
∵△ABC和△DEF均为等边三角形，
∴△GEJ为等边三角形．
∴GH＝EJ＝x，
∴y＝EJ GH＝x2．
当x＝2时，y＝，且抛物线的开口向上．
如图2所示：2＜x≤4时，过点G作GH⊥BF于H．
y＝FJ GH＝（4﹣x）2，函数图象为抛物线的一部分，且抛物线开口向上．
故选：A．
10．已知二次函数y＝﹣x2+2x+3，截取该函数图象在0≤x≤4间的部分记为图象G，设经过点（0，t）且平行于x轴的直线为l，将图象G在直线l下方的部分沿直线l翻折，图象G在直线上方的部分不变，得到一个新函数的图象M，若函数M的最大值与最小值的差不大于5，则t的取值范围是（　　）
A．0≤t≤1 B．﹣1≤t≤0 C．﹣5≤t≤4 D．﹣1≤t≤1
【分析】找到最大值和最小值差刚好等于5的时刻，则t的范围可知．
【解答】解：如图1所示，当t等于0时，
∵y＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点坐标为（1，4），
当x＝0时，y＝3，
∴A（0，3），
当x＝4时，y＝﹣5，
∴C（4，﹣5），
∴当t＝0时，
D（4，5），
∴此时最大值为5，最小值为0；
如图2所示，当t＝﹣1时，
此时最小值为﹣1，最大值为4．
综上所述：﹣1≤t≤0，
故选：B．
填空题（每小题3分，共24分）
11．抛物线y＝3（x﹣1）2+8的顶点坐标为　 　．
【分析】已知抛物线顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k）．
【解答】解：∵抛物线y＝3（x﹣1）2+8是顶点式，
∴顶点坐标是（1，8）．
故答案为：（1，8）．
12．已知：＝＝，且3a﹣2b+c＝9，则2a+4b﹣3c＝　 　．
【分析】根据题意列出三元一次方程组，求得a，b，c的值后，代入代数式求值．
【解答】解：由于＝＝，3a﹣2b+c＝9，
∴，
解得：b＝7，a＝5，c＝8，
把a，b，c代入代数式得：
2a+4b﹣3c＝2×5+4×7﹣3×8＝14，
故本题答案为：14，
另解：设：＝＝＝x，
则：a＝5x，b＝7x，c＝8x
3a﹣2b+c＝9可以转化为：15x﹣14x+8x＝9，解得x＝1
那么 2a+4b﹣3c＝10x+28x﹣24x＝14x＝14．
故答案为：14．
13．已知点A（﹣1，y1），B（2，y2）在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，则y1　 　y2（填“＞”“＜”或“＝”）
【分析】先根据反比例函数的性质判断出函数图象所在的象限，再判断出在每一象限内的增减性，根据点A（﹣1，y1），B（2，y2）即可得出结论．
【解答】解：∵反比例函数y＝中，k＜0，
∴此函数的图象在二四象限，
∵A（﹣1，y1），B（2，y2），
∴点A在第二象限，点B在第四象限，
∴y1＞0，y2＜0，
∴y1＞y2．
故答案为：＞．
14．已知抛物线y＝﹣x2+bx+4经过（﹣2，n）和（4，n）两点，则b的值为　 　．
【分析】根据（﹣2，n）和（4，n）可以确定函数的对称轴x＝1，再由对称轴的x＝即可求解；
【解答】解：抛物线y＝﹣x2+bx+4经过（﹣2，n）和（4，n）两点，
可知函数的对称轴x＝1，
∴＝1，
∴b＝2；
故答案为2．
15．当﹣4≤x≤2时，函数y＝﹣x2﹣6x﹣7的取值范围为　 　．
【分析】先根据a＝﹣1判断出抛物线的开口向下，故有最大值，可知对称轴x＝﹣3，再根据﹣4≤x≤2，可知当x＝﹣3时y最大，把x＝2时y最小代入即可得出结论．
【解答】解：∵a＝﹣1，
∴抛物线的开口向下，故有最大值，
∵对称轴x＝﹣3，
∴当x＝﹣3时y最大为2，
当x＝2时y最小为﹣23，
∴函数y的取值范围为﹣23≤y≤2，
故答案为﹣23≤y≤2．
16．如图，一直线经过原点O，且与反比例函数y＝（k＞0）相交于点A、点B，过点A作AC⊥y轴，垂足为C，连接BC．若△ABC面积为8，则k＝　 　．
【分析】首先根据反比例函数与正比例函数的图象特征，可知A、B两点关于原点对称，则O为线段AB的中点，故△BOC的面积等于△AOC的面积，都等于4，然后由反比例函数y＝的比例系数k的几何意义，可知△AOC的面积等于|k|，从而求出k的值．
【解答】解：∵反比例函数与正比例函数的图象相交于A、B两点，
∴A、B两点关于原点对称，
∴OA＝OB，
∴△BOC的面积＝△AOC的面积＝8÷2＝4，
又∵A是反比例函数y＝图象上的点，且AC⊥y轴于点C，
∴△AOC的面积＝|k|，
∴|k|＝4，
∵k＞0，
∴k＝8．
故答案为8．
17．如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝8，AC＝7，点D，E分别在AB，BC上，将△BDE沿ED折叠，点B的对应点F刚好落在AC上．当△CEF与△ABC相似时，BE的长为　 　．
【分析】根据折叠的性质得到BE＝EF，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵将△BDE沿DE翻折得到△FDE，
∴BE＝EF，
∵BC＝8，
∴CE＝8﹣BE，
当△CEF与△ABC相似时，＝或＝，即＝或＝，
解得：BE＝或，
故答案是：或．
18．在直角坐标系中，点A的坐标为（3，0），若抛物线y＝x2﹣2x+n﹣1与线段OA有且只有一个公共点，则n的取值范围为　 　．
【分析】根据题意可以将函数解析式化为顶点式，由抛物线y＝x2﹣2x+n﹣1与线段OA有且只有一个公共点，可以得到顶点的纵坐标为0或当x＝0时y＜0且当x＝3时，y不小于0，从而可以求得x的取值范围．
【解答】解：∵点A的坐标为（3，0），抛物线y＝x2﹣2x+n﹣1＝（x﹣1）2+n﹣2与线段OA有且只有一个公共点，
∴n﹣2＝0或，
解得，﹣2≤n＜1或n＝2，
故答案为：﹣2≤n＜1或n＝2．
解答题（共6小题，46分）
19．(6分)如图，a∥b∥c．直线m、n与a、b、c分别相交于点A、B、C和点D、E、F．
若AB：BC＝2：5，DF＝10，求EF的长．
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到，然后利用比例性质求EF即可．
【解答】解：∵a∥b∥c，
∴，
∴，
解得．
20．(6分)如图，在△ABC中，AD＝DB，∠1＝∠2．求证：△ABC∽△EAD．
【分析】根据已知得出∠C＝∠ADE，进而利用相似三角形的判定方法得出答案．
【解答】证明：∵AD＝DB，
∴∠B＝∠BAD．
∵∠BDA＝∠1+∠C＝∠2+∠ADE，
又∵∠1＝∠2，
∴∠C＝∠ADE．
∴△ABC∽△EAD．
21．(8分)如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于A（﹣2，1），B（1，n）两点．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）根据所给条件，请直接写出不等式kx+b＜的解集．
【分析】（1）把点A（﹣2，1）代入反比例函数y＝，得到关于m的一元一次方程，解之，得到m的值，即可得到反比例函数的解析式，把点B（1，n）代入反比例函数y＝﹣得到关于n的一元一次方程，解之，即可得到n的值，得到点A和点B的坐标，利用待定系数法，解之，即可得到k和b的值，即可得到一次函数的表达式，
（2）把y＝0代入一次函数y＝﹣x﹣1，解之，得到点C的横坐标，根据点A和点B的纵坐标，分别求出△OAC和△OBC的面积，二者相加即可得到答案，
（3）根据函数图象，结合点A和点B的横坐标，即可得到答案．
【解答】解：（1）把点A（﹣2，1）代入反比例函数y＝得：
1＝，
解得：m＝﹣2，
即反比例函数的解析式为：y＝﹣，
把点B（1，n）代入反比例函数y＝﹣得：
n＝﹣2，
即点A的坐标为：（﹣2，1），点B的坐标为：（1，﹣2），
把点A（﹣2，1）和点B（1，﹣2）代入一次函数y＝kx+b得：
，
解得：，
即一次函数的表达式为：y＝﹣x﹣1，
（2）把y＝0代入一次函数y＝﹣x﹣1得：
﹣x﹣1＝0，
解得：x＝﹣1，
即点C的坐标为：（﹣1，0），OC的长为1，
点A到OC的距离为1，点B到OC的距离为2，
S△AOB＝S△OAC+S△OBC
＝+
＝，
（3）如图可知：kx+b＜的解集为：﹣2＜x＜0，x＞1．
22．(8分)如图△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD为∠ABC的平分线，
（1）求证：AD2＝AC DC；
（2）若AC＝a，求AD．
【分析】（1）根据两角对应相等证明△BCD∽△ABC，再根据相似三角形的性质即可得到；
（2）结合（1）的结论和已知条件可以得到关于x的方程，从而求解．
【解答】（1）证明：∵∠ABC＝∠C＝∠BDC，
∴△BCD∽△ABC．
∴，
又BC＝BD＝AD，
∴AD2＝AC DC．
（2）解：∵AD2＝AC DC，设AD＝x，AC＝AD+CD，
∴AD2＝（AC-AD） AC，
x2＝（a-x）a，
x（a+x）＝a2，
x2+ax﹣a2＝0，
x＝ （负值舍去）．
即x＝ ．
23．(9分)某社区决定把一块长50m，宽30m的矩形空地建成居民健身广场，设计方案如图，阴影区域为绿化区（四块绿化区为大小、形状都相同的矩形），空白区域为活动区，且四周的4个出口宽度相同，其宽度不小于14m，不大于26m，设绿化区较长边为xm，活动区的面积为ym2．为了想知道出口宽度的取值范围，小明同学根据出口宽度不小于14m，算出x≤18．
（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；
（2）求活动区的最大面积；
（3）预计活动区造价为50元/m2，绿化区造价为40元/m2，若社区的此项建造投资费用不得超过72000元，求投资费用最少时活动区的出口宽度？
【分析】（1）根据“活动区的面积＝矩形空地面积﹣阴影区域面积”列出函数解析式便可，图形可得结论；
（2）根据题意可得y与x的关系式；
（3）根据二次函数的增减性及解一元二次方程可得结论；
【解答】解：（1）根据题意，绿化区的宽为：[30﹣（50﹣2x）]÷2＝x﹣10
∴y＝50×30﹣4x（x﹣10）＝﹣4x2+40x+1500，
∵4个出口宽度相同，其宽度不小于14m，不大于26m，
∴12≤x≤18，
∴y＝﹣4x2+40x+1500（12≤x≤18）；
（2）y＝﹣4x2+40x+1500＝﹣4（x﹣5）2+1600，
∵a＝﹣4＜0，抛物线的开口向下，当12≤x≤18时，y随x的增大而减小，
∴当x＝12时，y最大＝1404，
答：活动区的最大面积为1404m2．
（3）设投资费用为w元，
由题意得，w＝50（﹣4x2+40x+1500）+40×4x（x﹣10）＝﹣40（x﹣5）2+76000，
∴当w＝72000时，解得：x1＝﹣5（不符合题意舍去），x2＝15，
∵a＝﹣40＜0，
∴当x≥15时，w≤72000，
又∵12≤x≤18，
∴15≤x≤18，
∴当x＝18时，投资费用最少，此时出口宽度为50﹣2x＝50﹣2×18＝14（m），
答：投资最少时活动区的出口宽度为14m．
24．(9分)如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），过点D作DF⊥x轴于点F，交直线BC于点E，连接BD，直线BC能否把△BDF分成面积之比为2：3的两部分？若能，请求出点D的坐标；若不能，请说明理由．
（3）若M为抛物线对称轴上一动点，使得△MBC为直角三角形，请直接写出点M的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法求解可得；
（2）利用待定系数法确定直线BC的解析式为y＝﹣x+5，设D（x，﹣x2+4x+5），则E（x，﹣x+5），F（x，0），（0＜x＜5），则DE＝﹣x2+5x，EF＝﹣x+5，利用三角形的面积公式进行讨论：当DE：EF＝2：3时，S△BDE：S△BEF＝2：3；当DE：EF＝3：2时，S△BDE：S△BEF＝3：2，从而可得到关于x的方程，然后解方程求出x就看得到对应的D点坐标；
（3）先确定抛物线的对称轴，如图，设M（2，t），利用两点间的距离公式得到BC2＝50，MC2＝t2﹣10t+29，MB2＝t2+9，利用勾股定理的逆定理分类讨论：当BC2+MC2＝MB2时，△BCM为直角三角形，则50+t2﹣10t+29＝t2+9；当BC2+MB2＝MC2时，△BCM为直角三角形，则50+t2+9＝t2﹣10t+29；当MC2+MB2＝BC2时，△BCM为直角三角形，则t2﹣10t+29+t2+9＝50，然后分别解关于t的方程，从而可得到满足条件的M点坐标．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（5，0）代入y＝ax2+bx+5，
得：，
解得，
则抛物线解析式为y＝﹣x2+4x+5；
（2）能．
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
把C（0，5），B（5，0）代入得，
解得，
所以直线BC的解析式为y＝﹣x+5，
设D（x，﹣x2+4x+5），则E（x，﹣x+5），F（x，0），（0＜x＜5），
∴DE＝﹣x2+4x+5﹣（﹣x+5）＝﹣x2+5x，EF＝﹣x+5，
当DE：EF＝2：3时，S△BDE：S△BEF＝2：3，即（﹣x2+5x）：（﹣x+5）＝2：3，
整理得3x2﹣17x+10＝0，
解得x1＝，x2＝5（舍去），此时D点坐标为（，）；
当DE：EF＝3：2时，S△BDE：S△BEF＝3：2，即（﹣x2+5x）：（﹣x+5）＝3：2，
整理得2x2﹣13x+15＝0，
解得x1＝，x2＝5（舍去），此时D点坐标为（，）；
综上所述，当点D的坐标为（，）或（，）时，直线BC把△BDF分成面积之比为2：3的两部分；
（3）抛物线的对称轴为直线x＝2，如图，
设M（2，t），
∵B（5，0），C（0，5），
∴BC2＝52+52＝50，MC2＝22+（t﹣5）2＝t2﹣10t+29，MB2＝（2﹣5）2+t2＝t2+9，
当BC2+MC2＝MB2时，△BCM为直角三角形，∠BCM＝90°，即50+t2﹣10t+29＝t2+9，解得t＝7，此时M点的坐标为（2，7）；
当BC2+MB2＝MC2时，△BCM为直角三角形，∠CBM＝90°，即50+t2+9＝t2﹣10t+29，解得t＝﹣3，此时M点的坐标为（2，﹣3）；
当MC2+MB2＝BC2时，△BCM为直角三角形，∠CMB＝90°，即t2﹣10t+29+t2+9＝50，解得t1＝6，t2＝﹣1，此时M点的坐标为（2，6）或（2，﹣1），
综上所述，满足条件的M点的坐标为（2，7），（2，﹣3），（2，6），（2，﹣1）．