2021-2022学年人教版八年级数学上册14.3因式分解 同步练习题（Word版含答案）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年人教版八年级数学上册14.3因式分解 同步练习题（Word版含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 179.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-11-29 14:40:02 | ||
图片预览
文档简介
2021-2022学年人教版八年级数学上册《14.3因式分解》同步练习题（附答案）
1．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．x2﹣4x+1＝x（x﹣4）+1 B．（x+1）2＝x2+2x+1
C．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2） D．18a3bc＝3a2b 6ac
2．多项式3x﹣9，x2﹣9与x2﹣6x+9的公因式为（ ）
A．x+3 B．（x+3）2 C．x﹣3 D．x2+9
3．已知x﹣y＝2，xy＝，那么x3y+3x2y2+xy3的值为（ ）
A．3 B．6 C． D．
4．已知：a＝2020x+2019，b＝2020x+2020，c＝2020x+2021，则代数式a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．分解因式：6x2y﹣3y＝ ．
6．因式分解：3m（x﹣y）﹣2n（y﹣x）＝ ．
7．因式分解：a（a﹣b）﹣b（b﹣a）＝ ．
8．因式分解：81x4﹣1＝ ．
9．分解因式：﹣9a2+b2＝ ．
10．分解因式：﹣x2y+6xy﹣9y＝ ．
11．分解因式：4x2﹣12xy+9y2＝ ．
12．在实数范围内分解因式a4﹣64＝ ．
13．已知（2x﹣21）（3x﹣7）﹣（3x﹣7）（x﹣13）可分解因式为（3x+a）（x+b），其中a、b均为整数，则a+3b＝ ．
14．若a2+a﹣1＝0，则1+a2021+a2020﹣a2019＝ ．
15．因式分解：ab2﹣3ab﹣10a．
16．分解因式：（x﹣2y）（2x+3y）﹣2（2y﹣x）（5x﹣y）．
17．分解因式：﹣6m3n+4mn2﹣2mn．
18．分解因式：m2（a+b）﹣16（a+b）．
19．因式分解：4x3﹣8x2+4x．
20．分解因式：2x3﹣2x2y+8y﹣8x．
21．分解因式：a4+4b2c2﹣a2b2﹣4a2c2．
22．将下列各式分解因式：
（1）﹣4a3b2+8a2b2； （2）9（a+b）2﹣4（a﹣b）2； （3）（x2+y2）2﹣4x2y2．
23．因式分解：
（1）4ab2﹣4a2b﹣b3；
（2）ax3﹣16ax；
（3）（x2+2x）2+2（x2+2x）+1．
24．阅读与思考：
整式乘法与因式分解是方向相反的变形
由（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq得，x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）；
利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式，
例如：将式子x2+3x+2分解因式．
分析：这个式子的常数项2＝1×2，一次项系数3＝1+2，所以x2+3x+2＝x2+（1+2）x+1×2．
解：x2+3x+2＝（x+1）（x+2）
请仿照上面的方法，解答下列问题
（1）分解因式：x2+7x﹣18＝
启发应用
（2）利用因式分解法解方程：x2﹣6x+8＝0；
（3）填空：若x2+px﹣8可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值是 ．
25．化简求值：（1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）
26．先阅读材料，再解答下列问题：
材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．
解：将x+y看成整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2，再将A还原，得到原式＝（x+y+1）2．
上述解题用到的是整体思想，整体思想是数学中常用的方法，请根据上面的方法将下面的式子因式分解：
（1）（a+b）（a+b﹣2）+1；
（2）（x2﹣2x﹣1）（x2﹣2x+3）+4．
27．所谓完全平方式，就是对一个整式M，如果存在另一个整式N，使M＝N2，则称M是完全平方式，如：x4＝（x2）2、x2+2xy+y2＝（x+y）2，则称x4、x2+2xy+y2是完全平方式．
（1）下列各式中是完全平方式的编号有 ．
①a2+4a+4b2；②4x2；③x2﹣xy+y2；④y2﹣10y﹣25；⑤x2+12x+36；⑥﹣2a+49．
（2）已知a、b、c是△ABC的三边长，满足a2+b2+2c2＝2c（a+b），判定△ABC的形状．
（3）证明：多项式x（x+4）2（x+8）+64是一个完全平方式．
28．阅读材料并回答问题：如图，有足够多的边长为a的小正方形卡片（A类）、长为a宽为b的长方形卡片（B类）以及边长为b的大正方形卡片（C类），发现利用图①中的三种卡片各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式，比如图②可以解释为：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．
（1）取图①中卡片若干张（A、B、C三种卡片都要取到）拼成一个长方形，使其面积为（2a+b）（a+2b），在虚框Ⅰ中画出图形，并根据图形回答（2a+b）（a+2b）＝ ．
（2）取图①中卡片若干张（A、B、C三种卡片都要取到）拼成一个长方形，使其面积为a2+5ab+6b2．
①你的图中需要A类、B类、C类卡片共 张．
②根据图形，可将多项式a2+5ab+6b2分解因式为 ．
（3）试在虚框Ⅱ中画出一个几何图形，结合面积表示，把多项式b2﹣3ab+2a2因式分解．
29．阅读并解决问题．
对于形如x2+2ax+a2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成（x+a）2的形式．但对于二次三项式x2+2ax﹣3a2，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x2+2ax﹣3a2中先加上一项a2，使它与x2+2ax的和成为一个完全平方式，再减去a2，整个式子的值不变，于是有：
x2+2ax﹣3a2＝（x2+2ax+a2）﹣a2﹣3a2＝（x+a）2﹣（2a）2＝（x+3a）（x﹣a）．
像这样，先添﹣适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．
（1）利用“配方法”分解因式：a2﹣6a+8．
（2）若a+b＝5，ab＝6，求：①a2+b2；②a4+b4的值．
（3）已知x是实数，试比较x2﹣4x+5与﹣x2+4x﹣4的大小，说明理由．
30．a、b、c是△ABC的三边，且有a2+b2＝4a+10b﹣29．
（1）求a、b的值．
（2）若c为整数，求c的值．
（3）若△ABC是等腰三角形，求这个三角形的周长．
31．阅读材料：常用的分解因式方法有提公因式、公式法等，但有的多项式只有上述方法就无法分解，如x2﹣4y2+2x﹣4y，细心观察这个式子会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式，过程为：
x2﹣4y2+2x﹣4y
＝（x2﹣4y2）+（2x﹣4y）
＝（x+2y）（x﹣2y）+2（x﹣2y）
＝（x﹣2y）（x+2y+2）
这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题：
（1）分解因式：x2﹣6xy+9y2﹣3x+9y
（2）△ABC的三边a，b，c满足a2﹣b2﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状．
32．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，请解答下列问题：
（1）写出图2中所表示的数学等式；
（2）根据整式乘法的运算法则，通过计算验证上述等式；
（3）若a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，利用得到的结论，求a2+b2+c2的值．
参考答案
1．解：A．右边不是整式的积的形式，不符合因式分解的定义，故此选项不符合题意；
B．是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
C．左边是多项式，右边是整式的积的形式，符合因式分解的定义，故此选项符合题意；
D．左边不是多项式，不符合因式分解的定义，故此选项不符合题意．
故选：C．
2．解：因为3x﹣9＝3（x﹣3），x2﹣9＝（x+3）（x﹣3），x2﹣6x+9＝（x﹣3）2，
所以多项式3x﹣9，x2﹣9与x2﹣6x+9的公因式为（x﹣3）．
故选：C．
3．解：∵x﹣y＝2，xy＝，
∴原式＝xy（x2+3xy+y2）
＝xy（x2﹣2xy+y2+5xy）
＝xy[（x﹣y）2+5xy]
＝×（4+）
＝3．
故选：D．
4．解：∵a＝2020x+2019，b＝2020x+2020，c＝2020x+2021，
∴a﹣b＝﹣1，a﹣c＝﹣2，b﹣c＝﹣1．
设S＝a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc，
则2S＝2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc．
∵2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc
＝a2﹣2ab+b2+a2﹣2ac+c2+b2﹣2bc+c2
＝（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2
＝（﹣1）2+（﹣2）2+（﹣1）2
＝6，
∴S＝3．
∴a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝3．
故选：D．
5．解：6x2y﹣3y
＝3y（2x2﹣1）
＝3y（x﹣1）（x+1）．
故答案为：3y（x﹣1）（x+1）．
6．解：3m（x﹣y）﹣2n（y﹣x）＝3m（x﹣y）+2n（x﹣y）＝（x﹣y）（3m+2n）．
故答案为：（x﹣y）（3m+2n）．
7．解：原式＝a（a﹣b）+b（a﹣b）＝（a﹣b）（a+b），
故答案为：（a﹣b）（a+b）．
8．解：原式＝（9x2+1）（9x2﹣1）
＝（9x2+1）（3x+1）（3x﹣1），
故答案为：（9x2+1）（3x+1）（3x﹣1）．
9．解：﹣9a2+b2＝b2﹣9a2＝（b+3a）（b﹣3a）．
故答案为：（b+3a）（b﹣3a）．
10．解：原式＝﹣y（x2﹣6x+9）＝﹣y（x﹣3）2．
故答案为：﹣y（x﹣3）2．
11．解：原式＝（2x﹣3y）2．
故答案是：（2x﹣3y）2．
12．解：原式＝（a2）2﹣82
＝（a2+8）（a2﹣8）
＝（a2+8）（a+2）（a﹣2）．
故答案为：（a2+8）（a+2）（a﹣2）．
13．解：（2x﹣21）（3x﹣7）﹣（3x﹣7）（x﹣13），
＝（3x﹣7）（2x﹣21﹣x+13），
＝（3x﹣7）（x﹣8）
＝（3x+a）（x+b），
则a＝﹣7，b＝﹣8，
故a+3b＝﹣7﹣24＝﹣31，
故答案为：﹣31．
14．解：∵a2+a﹣1＝0，
∴1+a2021+a2020﹣a2019＝1+a2019（a2+a﹣1）＝1+a2019×0＝1+0＝1．
故答案为：1．
15．解：ab2﹣3ab﹣10a
＝a（b2﹣3b﹣10）
＝a（b﹣5）（b+2）．
16．解：原式＝（x﹣2y）（2x+3y）+2（x﹣2y）（5x﹣y）
＝（x﹣2y）[2x+3y+2（5x﹣y）]
＝（x﹣2y）（2x+3y+10x﹣2y）
＝（x﹣2y）（12x+y）．
17．解：﹣6m3n+4mn2﹣2mn＝﹣2mn（3m2﹣2n+1）．
18．解：m2（a+b）﹣16（a+b）
＝（a+b）（m2﹣16）
＝（a+b）（m+4）（m﹣4）．
19．解：原式＝4x（x2﹣2x+1）
＝4x（x﹣1）2．
20．解：原式＝2x2（x﹣y）﹣8（x﹣y）
＝2（x﹣y）（x2﹣4）
＝2（x﹣y）（x+2）（x﹣2）．
21．解：原式＝（a4﹣a2b2）﹣（4a2c2﹣4b2c2）
＝a2（a2﹣b2）+4c2（a2﹣b2）
＝（a2﹣b2）（a2﹣4c2）
＝（a+b）（a﹣b）（a+2c）（a﹣2c）．
22．解：（1）﹣4a3b2+8a2b2，
＝﹣4a2b2（a﹣2）；
（2）9（a+b）2﹣4（a﹣b）2，
＝[3（a+b）+2（a﹣b）][3（a+b）﹣2（a﹣b）]，
＝（5a+b）（a+5b）；
（3）（x2+y2）2﹣4x2y2，
＝（x2+y2+2xy）（x2+y2﹣2xy），
＝（x+y）2（x﹣y）2．
23．解：（1）原式＝﹣b（4a2﹣4ab+b2）
＝﹣b（2a﹣b）2；
（2）原式＝ax（x2﹣16）
＝ax（x+4）（x﹣4）；
（3）原式＝（x2+2x+1）2
＝（x+1）4．
24．解：（1）原式＝（x﹣2）（x+9）；
（2）方程分解得：（x﹣2）（x﹣4）＝0，
可得x﹣2＝0或x﹣4＝0，
解得：x＝2或x＝4；
（3）﹣8＝﹣1×8；﹣8＝﹣8×1；﹣8＝﹣2×4；﹣8＝﹣4×2，
则p的可能值为﹣1+8＝7；﹣8+1＝﹣7；﹣2+4＝2；﹣4+2＝﹣2．
故答案为：（1）（x﹣2）（x+9）；（3）7或﹣7或2或﹣2．
25．解：原式＝（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）（1﹣），
＝×××××××××××××，
＝×，
＝．
26．解：（1）设a+b＝A，则，
原式＝A（A﹣2）+1
＝A2﹣2A+1
＝（A﹣1）2
＝（a+b﹣1）2；
（2）设x2﹣2x＝B，则
原式＝（B﹣1）（B+3）+4
＝B2+2B+1
＝（B+1）2
＝（x2﹣2x+1）2
＝[（x﹣1）2]2
＝（x﹣1）4．
27．解：（1）②4x2＝（2x）2，是完全平方式．
⑤x2+12x+36＝（x+6）2，是完全平方式．
⑥，是完全平方式．
故答案是：②、⑤、⑥．
（2）∵a2+b2+2c2＝2ac+2bc，
∴a2+b2+2c2﹣2ac﹣2bc＝0．
∴（a﹣c）2+（b﹣c）2＝0．
∴．
∴a＝b＝c．
∴△ABC是等边三角形．
（3）x（x+4）2（x+8）+64
＝x（x+8）（x+4）2+64
＝（x2+8x）（x2+8x+16）+64
＝（x2+8x）2+16（x2+8x）+64
＝[（x2+8x）+8]2
＝（x2+8x+8）2，
∴多项式x（x+4）2（x+8）+64是完全平方式．
28．解：（1）拼出一个长为2b+a，宽为2a+b的长方形需要A类图形2个，B类图形5个，C类图形2个，
拼出的长方形如下：
根据图象可知，
长方形的面积为2a2+5ab+2b2，
∴（2a+b）（a+2b）＝2a2+5ab+2b2，
故答案为2a2+5ab+2b2；
（2）①由a2+5ab+6b2可得需要A类、B类、C类图形共1+5+6＝12个，
故答案为12；
②∵一个A类图形，5个B类图形，6个C类图形可拼如下图形，
由图象可知，长方形的面积可表示为（a+2b）（a+3b），
∴a2+5ab+6b2＝（a+2b）（a+3b），
故答案为（a+2b）（a+3b）；
（3）根据b2﹣3ab+2a2可知需要A类图象2个，B类图形3个，C类图形一个，
拼出的图形如下：
由图象可知b2﹣3ab+2a2＝（b﹣a）（b﹣2a）．
29．解：（1）a2﹣6a+8，
＝a2﹣6a+9﹣1，
＝（a﹣3）2﹣1，
＝（a﹣3﹣1）（a﹣3+1），
＝（a﹣2）（a﹣4）；
（2）a2+b2，
＝（a+b）2﹣2ab，
＝52﹣2×6，
＝13；
a4+b4＝（a2+b2）2﹣2a2b2
＝132﹣2×62
＝169﹣2×36
＝169﹣72
＝97；
（3）∵x2﹣4x+5，
＝x2﹣4x+4+1，
＝（x﹣2）2+1≥1＞0
﹣x2+4x﹣4，
＝﹣（x2﹣4x+4），
＝﹣（x﹣2）2≤0
∴x2﹣4x+5＞﹣x2+4x﹣4．
（若用”作差法”相应给分）
30．（1）∵a2+b2＝4a+10b﹣29，
∴a2+b2﹣4a﹣10b+29＝0．
∴a2﹣4a+4+b2﹣10b+25＝0．
∴（a﹣2）2+（b﹣5）2＝0．
∴a﹣2＝0，b﹣5＝0．
解得a＝2，b＝5．
（2）∵a＝2，b＝5，根据三角形三边关系，
∴3＜c＜7．
∵c为整数，
∴c的值为4，5，6．
（3）当△ABC是等腰三角形时，a＝2，b＝c＝5，此时，该三角形的周长为2+5+5＝12．
31．解：（1）x2﹣6xy+9y2﹣3x+9y
＝（x2﹣6xy+9y2）﹣（3x﹣9y）
＝（x﹣3y）2﹣3（x﹣3y）
＝（x﹣3y）（x﹣3y﹣3）；
（2）∵a2﹣b2﹣ac+bc＝0，
∴（a2﹣b2）﹣（ac﹣bc）＝0，
∴（a+b）（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0，
∴（a﹣b）[（a+b）﹣c]＝0，
∵a，b，c是△ABC的三边，
∴（a+b）﹣c＞0，
∴a﹣b＝0，
得a＝b，
∴△ABC是等腰三角形．
32．解：（1）∵边长为（a+b+c）的正方形的面积为：（a+b+c）2，
分部分来看的面积为a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，
∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；
（2）∵（a+b+c）2
＝（a+b+c）（a+b+c）
＝a2+ab+ac+ab+b2+bc+ac+bc+c2
＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，
∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；
（3）∵a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，
∴a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2ab﹣2bc﹣2ac
＝102﹣2×35
＝30，
∴a2+b2+c2的值为30．
1．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．x2﹣4x+1＝x（x﹣4）+1 B．（x+1）2＝x2+2x+1
C．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2） D．18a3bc＝3a2b 6ac
2．多项式3x﹣9，x2﹣9与x2﹣6x+9的公因式为（ ）
A．x+3 B．（x+3）2 C．x﹣3 D．x2+9
3．已知x﹣y＝2，xy＝，那么x3y+3x2y2+xy3的值为（ ）
A．3 B．6 C． D．
4．已知：a＝2020x+2019，b＝2020x+2020，c＝2020x+2021，则代数式a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．分解因式：6x2y﹣3y＝ ．
6．因式分解：3m（x﹣y）﹣2n（y﹣x）＝ ．
7．因式分解：a（a﹣b）﹣b（b﹣a）＝ ．
8．因式分解：81x4﹣1＝ ．
9．分解因式：﹣9a2+b2＝ ．
10．分解因式：﹣x2y+6xy﹣9y＝ ．
11．分解因式：4x2﹣12xy+9y2＝ ．
12．在实数范围内分解因式a4﹣64＝ ．
13．已知（2x﹣21）（3x﹣7）﹣（3x﹣7）（x﹣13）可分解因式为（3x+a）（x+b），其中a、b均为整数，则a+3b＝ ．
14．若a2+a﹣1＝0，则1+a2021+a2020﹣a2019＝ ．
15．因式分解：ab2﹣3ab﹣10a．
16．分解因式：（x﹣2y）（2x+3y）﹣2（2y﹣x）（5x﹣y）．
17．分解因式：﹣6m3n+4mn2﹣2mn．
18．分解因式：m2（a+b）﹣16（a+b）．
19．因式分解：4x3﹣8x2+4x．
20．分解因式：2x3﹣2x2y+8y﹣8x．
21．分解因式：a4+4b2c2﹣a2b2﹣4a2c2．
22．将下列各式分解因式：
（1）﹣4a3b2+8a2b2； （2）9（a+b）2﹣4（a﹣b）2； （3）（x2+y2）2﹣4x2y2．
23．因式分解：
（1）4ab2﹣4a2b﹣b3；
（2）ax3﹣16ax；
（3）（x2+2x）2+2（x2+2x）+1．
24．阅读与思考：
整式乘法与因式分解是方向相反的变形
由（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq得，x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）；
利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式，
例如：将式子x2+3x+2分解因式．
分析：这个式子的常数项2＝1×2，一次项系数3＝1+2，所以x2+3x+2＝x2+（1+2）x+1×2．
解：x2+3x+2＝（x+1）（x+2）
请仿照上面的方法，解答下列问题
（1）分解因式：x2+7x﹣18＝
启发应用
（2）利用因式分解法解方程：x2﹣6x+8＝0；
（3）填空：若x2+px﹣8可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值是 ．
25．化简求值：（1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）
26．先阅读材料，再解答下列问题：
材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．
解：将x+y看成整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2，再将A还原，得到原式＝（x+y+1）2．
上述解题用到的是整体思想，整体思想是数学中常用的方法，请根据上面的方法将下面的式子因式分解：
（1）（a+b）（a+b﹣2）+1；
（2）（x2﹣2x﹣1）（x2﹣2x+3）+4．
27．所谓完全平方式，就是对一个整式M，如果存在另一个整式N，使M＝N2，则称M是完全平方式，如：x4＝（x2）2、x2+2xy+y2＝（x+y）2，则称x4、x2+2xy+y2是完全平方式．
（1）下列各式中是完全平方式的编号有 ．
①a2+4a+4b2；②4x2；③x2﹣xy+y2；④y2﹣10y﹣25；⑤x2+12x+36；⑥﹣2a+49．
（2）已知a、b、c是△ABC的三边长，满足a2+b2+2c2＝2c（a+b），判定△ABC的形状．
（3）证明：多项式x（x+4）2（x+8）+64是一个完全平方式．
28．阅读材料并回答问题：如图，有足够多的边长为a的小正方形卡片（A类）、长为a宽为b的长方形卡片（B类）以及边长为b的大正方形卡片（C类），发现利用图①中的三种卡片各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式，比如图②可以解释为：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．
（1）取图①中卡片若干张（A、B、C三种卡片都要取到）拼成一个长方形，使其面积为（2a+b）（a+2b），在虚框Ⅰ中画出图形，并根据图形回答（2a+b）（a+2b）＝ ．
（2）取图①中卡片若干张（A、B、C三种卡片都要取到）拼成一个长方形，使其面积为a2+5ab+6b2．
①你的图中需要A类、B类、C类卡片共 张．
②根据图形，可将多项式a2+5ab+6b2分解因式为 ．
（3）试在虚框Ⅱ中画出一个几何图形，结合面积表示，把多项式b2﹣3ab+2a2因式分解．
29．阅读并解决问题．
对于形如x2+2ax+a2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成（x+a）2的形式．但对于二次三项式x2+2ax﹣3a2，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x2+2ax﹣3a2中先加上一项a2，使它与x2+2ax的和成为一个完全平方式，再减去a2，整个式子的值不变，于是有：
x2+2ax﹣3a2＝（x2+2ax+a2）﹣a2﹣3a2＝（x+a）2﹣（2a）2＝（x+3a）（x﹣a）．
像这样，先添﹣适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．
（1）利用“配方法”分解因式：a2﹣6a+8．
（2）若a+b＝5，ab＝6，求：①a2+b2；②a4+b4的值．
（3）已知x是实数，试比较x2﹣4x+5与﹣x2+4x﹣4的大小，说明理由．
30．a、b、c是△ABC的三边，且有a2+b2＝4a+10b﹣29．
（1）求a、b的值．
（2）若c为整数，求c的值．
（3）若△ABC是等腰三角形，求这个三角形的周长．
31．阅读材料：常用的分解因式方法有提公因式、公式法等，但有的多项式只有上述方法就无法分解，如x2﹣4y2+2x﹣4y，细心观察这个式子会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式，过程为：
x2﹣4y2+2x﹣4y
＝（x2﹣4y2）+（2x﹣4y）
＝（x+2y）（x﹣2y）+2（x﹣2y）
＝（x﹣2y）（x+2y+2）
这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题：
（1）分解因式：x2﹣6xy+9y2﹣3x+9y
（2）△ABC的三边a，b，c满足a2﹣b2﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状．
32．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，请解答下列问题：
（1）写出图2中所表示的数学等式；
（2）根据整式乘法的运算法则，通过计算验证上述等式；
（3）若a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，利用得到的结论，求a2+b2+c2的值．
参考答案
1．解：A．右边不是整式的积的形式，不符合因式分解的定义，故此选项不符合题意；
B．是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
C．左边是多项式，右边是整式的积的形式，符合因式分解的定义，故此选项符合题意；
D．左边不是多项式，不符合因式分解的定义，故此选项不符合题意．
故选：C．
2．解：因为3x﹣9＝3（x﹣3），x2﹣9＝（x+3）（x﹣3），x2﹣6x+9＝（x﹣3）2，
所以多项式3x﹣9，x2﹣9与x2﹣6x+9的公因式为（x﹣3）．
故选：C．
3．解：∵x﹣y＝2，xy＝，
∴原式＝xy（x2+3xy+y2）
＝xy（x2﹣2xy+y2+5xy）
＝xy[（x﹣y）2+5xy]
＝×（4+）
＝3．
故选：D．
4．解：∵a＝2020x+2019，b＝2020x+2020，c＝2020x+2021，
∴a﹣b＝﹣1，a﹣c＝﹣2，b﹣c＝﹣1．
设S＝a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc，
则2S＝2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc．
∵2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc
＝a2﹣2ab+b2+a2﹣2ac+c2+b2﹣2bc+c2
＝（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2
＝（﹣1）2+（﹣2）2+（﹣1）2
＝6，
∴S＝3．
∴a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝3．
故选：D．
5．解：6x2y﹣3y
＝3y（2x2﹣1）
＝3y（x﹣1）（x+1）．
故答案为：3y（x﹣1）（x+1）．
6．解：3m（x﹣y）﹣2n（y﹣x）＝3m（x﹣y）+2n（x﹣y）＝（x﹣y）（3m+2n）．
故答案为：（x﹣y）（3m+2n）．
7．解：原式＝a（a﹣b）+b（a﹣b）＝（a﹣b）（a+b），
故答案为：（a﹣b）（a+b）．
8．解：原式＝（9x2+1）（9x2﹣1）
＝（9x2+1）（3x+1）（3x﹣1），
故答案为：（9x2+1）（3x+1）（3x﹣1）．
9．解：﹣9a2+b2＝b2﹣9a2＝（b+3a）（b﹣3a）．
故答案为：（b+3a）（b﹣3a）．
10．解：原式＝﹣y（x2﹣6x+9）＝﹣y（x﹣3）2．
故答案为：﹣y（x﹣3）2．
11．解：原式＝（2x﹣3y）2．
故答案是：（2x﹣3y）2．
12．解：原式＝（a2）2﹣82
＝（a2+8）（a2﹣8）
＝（a2+8）（a+2）（a﹣2）．
故答案为：（a2+8）（a+2）（a﹣2）．
13．解：（2x﹣21）（3x﹣7）﹣（3x﹣7）（x﹣13），
＝（3x﹣7）（2x﹣21﹣x+13），
＝（3x﹣7）（x﹣8）
＝（3x+a）（x+b），
则a＝﹣7，b＝﹣8，
故a+3b＝﹣7﹣24＝﹣31，
故答案为：﹣31．
14．解：∵a2+a﹣1＝0，
∴1+a2021+a2020﹣a2019＝1+a2019（a2+a﹣1）＝1+a2019×0＝1+0＝1．
故答案为：1．
15．解：ab2﹣3ab﹣10a
＝a（b2﹣3b﹣10）
＝a（b﹣5）（b+2）．
16．解：原式＝（x﹣2y）（2x+3y）+2（x﹣2y）（5x﹣y）
＝（x﹣2y）[2x+3y+2（5x﹣y）]
＝（x﹣2y）（2x+3y+10x﹣2y）
＝（x﹣2y）（12x+y）．
17．解：﹣6m3n+4mn2﹣2mn＝﹣2mn（3m2﹣2n+1）．
18．解：m2（a+b）﹣16（a+b）
＝（a+b）（m2﹣16）
＝（a+b）（m+4）（m﹣4）．
19．解：原式＝4x（x2﹣2x+1）
＝4x（x﹣1）2．
20．解：原式＝2x2（x﹣y）﹣8（x﹣y）
＝2（x﹣y）（x2﹣4）
＝2（x﹣y）（x+2）（x﹣2）．
21．解：原式＝（a4﹣a2b2）﹣（4a2c2﹣4b2c2）
＝a2（a2﹣b2）+4c2（a2﹣b2）
＝（a2﹣b2）（a2﹣4c2）
＝（a+b）（a﹣b）（a+2c）（a﹣2c）．
22．解：（1）﹣4a3b2+8a2b2，
＝﹣4a2b2（a﹣2）；
（2）9（a+b）2﹣4（a﹣b）2，
＝[3（a+b）+2（a﹣b）][3（a+b）﹣2（a﹣b）]，
＝（5a+b）（a+5b）；
（3）（x2+y2）2﹣4x2y2，
＝（x2+y2+2xy）（x2+y2﹣2xy），
＝（x+y）2（x﹣y）2．
23．解：（1）原式＝﹣b（4a2﹣4ab+b2）
＝﹣b（2a﹣b）2；
（2）原式＝ax（x2﹣16）
＝ax（x+4）（x﹣4）；
（3）原式＝（x2+2x+1）2
＝（x+1）4．
24．解：（1）原式＝（x﹣2）（x+9）；
（2）方程分解得：（x﹣2）（x﹣4）＝0，
可得x﹣2＝0或x﹣4＝0，
解得：x＝2或x＝4；
（3）﹣8＝﹣1×8；﹣8＝﹣8×1；﹣8＝﹣2×4；﹣8＝﹣4×2，
则p的可能值为﹣1+8＝7；﹣8+1＝﹣7；﹣2+4＝2；﹣4+2＝﹣2．
故答案为：（1）（x﹣2）（x+9）；（3）7或﹣7或2或﹣2．
25．解：原式＝（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）（1﹣），
＝×××××××××××××，
＝×，
＝．
26．解：（1）设a+b＝A，则，
原式＝A（A﹣2）+1
＝A2﹣2A+1
＝（A﹣1）2
＝（a+b﹣1）2；
（2）设x2﹣2x＝B，则
原式＝（B﹣1）（B+3）+4
＝B2+2B+1
＝（B+1）2
＝（x2﹣2x+1）2
＝[（x﹣1）2]2
＝（x﹣1）4．
27．解：（1）②4x2＝（2x）2，是完全平方式．
⑤x2+12x+36＝（x+6）2，是完全平方式．
⑥，是完全平方式．
故答案是：②、⑤、⑥．
（2）∵a2+b2+2c2＝2ac+2bc，
∴a2+b2+2c2﹣2ac﹣2bc＝0．
∴（a﹣c）2+（b﹣c）2＝0．
∴．
∴a＝b＝c．
∴△ABC是等边三角形．
（3）x（x+4）2（x+8）+64
＝x（x+8）（x+4）2+64
＝（x2+8x）（x2+8x+16）+64
＝（x2+8x）2+16（x2+8x）+64
＝[（x2+8x）+8]2
＝（x2+8x+8）2，
∴多项式x（x+4）2（x+8）+64是完全平方式．
28．解：（1）拼出一个长为2b+a，宽为2a+b的长方形需要A类图形2个，B类图形5个，C类图形2个，
拼出的长方形如下：
根据图象可知，
长方形的面积为2a2+5ab+2b2，
∴（2a+b）（a+2b）＝2a2+5ab+2b2，
故答案为2a2+5ab+2b2；
（2）①由a2+5ab+6b2可得需要A类、B类、C类图形共1+5+6＝12个，
故答案为12；
②∵一个A类图形，5个B类图形，6个C类图形可拼如下图形，
由图象可知，长方形的面积可表示为（a+2b）（a+3b），
∴a2+5ab+6b2＝（a+2b）（a+3b），
故答案为（a+2b）（a+3b）；
（3）根据b2﹣3ab+2a2可知需要A类图象2个，B类图形3个，C类图形一个，
拼出的图形如下：
由图象可知b2﹣3ab+2a2＝（b﹣a）（b﹣2a）．
29．解：（1）a2﹣6a+8，
＝a2﹣6a+9﹣1，
＝（a﹣3）2﹣1，
＝（a﹣3﹣1）（a﹣3+1），
＝（a﹣2）（a﹣4）；
（2）a2+b2，
＝（a+b）2﹣2ab，
＝52﹣2×6，
＝13；
a4+b4＝（a2+b2）2﹣2a2b2
＝132﹣2×62
＝169﹣2×36
＝169﹣72
＝97；
（3）∵x2﹣4x+5，
＝x2﹣4x+4+1，
＝（x﹣2）2+1≥1＞0
﹣x2+4x﹣4，
＝﹣（x2﹣4x+4），
＝﹣（x﹣2）2≤0
∴x2﹣4x+5＞﹣x2+4x﹣4．
（若用”作差法”相应给分）
30．（1）∵a2+b2＝4a+10b﹣29，
∴a2+b2﹣4a﹣10b+29＝0．
∴a2﹣4a+4+b2﹣10b+25＝0．
∴（a﹣2）2+（b﹣5）2＝0．
∴a﹣2＝0，b﹣5＝0．
解得a＝2，b＝5．
（2）∵a＝2，b＝5，根据三角形三边关系，
∴3＜c＜7．
∵c为整数，
∴c的值为4，5，6．
（3）当△ABC是等腰三角形时，a＝2，b＝c＝5，此时，该三角形的周长为2+5+5＝12．
31．解：（1）x2﹣6xy+9y2﹣3x+9y
＝（x2﹣6xy+9y2）﹣（3x﹣9y）
＝（x﹣3y）2﹣3（x﹣3y）
＝（x﹣3y）（x﹣3y﹣3）；
（2）∵a2﹣b2﹣ac+bc＝0，
∴（a2﹣b2）﹣（ac﹣bc）＝0，
∴（a+b）（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0，
∴（a﹣b）[（a+b）﹣c]＝0，
∵a，b，c是△ABC的三边，
∴（a+b）﹣c＞0，
∴a﹣b＝0，
得a＝b，
∴△ABC是等腰三角形．
32．解：（1）∵边长为（a+b+c）的正方形的面积为：（a+b+c）2，
分部分来看的面积为a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，
∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；
（2）∵（a+b+c）2
＝（a+b+c）（a+b+c）
＝a2+ab+ac+ab+b2+bc+ac+bc+c2
＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，
∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；
（3）∵a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，
∴a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2ab﹣2bc﹣2ac
＝102﹣2×35
＝30，
∴a2+b2+c2的值为30．