(共33张PPT)
8.5 乘法公式
第2课时 完全平方公式
冀教版 七年级下
第八章 整数的乘法
1
2
3
4
6
C
C
x2－2x＋1
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5
D
B
A
7
C
8
A
9
C
10
C
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11
12
见习题
13
A
14
C
15
D
16
8
17
见习题
18
见习题
19
见习题
20
见习题
9；4
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21
见习题
1．【2021·湖北十堰】下列计算正确的是( )
A．a3·a3＝2a3
B．(－2a)2＝4a2
C．(a＋b)2＝a2＋b2
D．(a＋2)(a－2)＝a2－2
B
2．【河北保定唐县期末】计算(－a－b)2等于( )
A．a2＋b2
B．a2－b2
C．a2＋2ab＋b2
D．a2－2ab＋b2
C
3．【2019·河北石家庄新华区月考】计算a2－(b－1)2，结果正确的是( )
A．a2－b2－2b＋1
B．a2－b2－2b－1
C．a2－b2＋2b－1
D．a2－b2＋2b＋1
C
4．【2020·江西】计算：(x－1)2＝_________．
x2－2x＋1
5．【2019·河北石家庄行唐期末】设(2a＋3b)2＝(2a－3b)2＋A，则A＝( )
A．6ab B．12ab
C．0 D．24ab
D
6．将图①中阴影部分拼成图②，根据两个图形中阴影部分的关系，可以验证下列哪个算式？( )
A．(a－b)2＝a2－2ab＋b2
B．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
C．(a－b)2＝(a＋b)2－4ab
D．(a＋b)(a－b)＝a2－b2
A
7．【中考·河北】将9.52变形正确的是( )
A．9.52＝92＋0.52
B．9.52＝(10＋0.5)(10－0.5)
C．9.52＝102－2×10×0.5＋0.52
D．9.52＝92＋9×0.5＋0.52
C
8．若(x－n)2＝x2＋x＋m，则m，n的值分别是( )
A
9．【河北保定莲池区期末】对于任意有理数a，b，现用“☆”定义一种运算：a☆b＝a2－b2，根据这个定义，代数式(x＋y)☆y可以化简为( )
A．xy＋y2 B．xy－y2
C．x2＋2xy D．x2
C
10．如图， 从边长为(a＋1)cm的正方形纸片中剪去一个边长为(a－1)(a>1)cm的正方形，剩余部分沿虚线可剪拼成一个长方形(不重叠无缝隙)，则该长方形的面积是( )
A．2 cm2 B．2a cm2 C．4a cm2 D．(a2－1)cm2
【点拨】本题利用了面积法，长方形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，即(a＋1)2－(a－1)2＝4a(cm2)．
【答案】C
11．【2020·河北唐山月考】已知：(x＋y)2＝17，(x－y)2＝1，则x2＋y2＝________，xy＝________．
9
【点拨】∵(x＋y)2＝17，(x－y)2＝1，
∴x2＋y2＋2xy＝17，x2＋y2－2xy＝1.
∴x2＋y2＝9，xy＝4.
4
12．【2020·河北石家庄红星学校期中】先化简，再求值：(a＋2b)(a－2b)＋(a＋2b)2－4ab，其中a＝1，b＝ .
解：原式＝a2－4b2＋a2＋4ab＋4b2－4ab
＝2a2.
当a＝1，b＝ 时，原式＝2×12＝2.
13．【易错：完全平方公式理解错误而致错】【河北邢台南和期末】计算(－2x＋3y)(2x－3y)的结果为( )
A．－4x2＋12xy－9y2 B．4x2－9y2
C．4x2－12xy＋9y2 D．9y2－4x2
A
C
15．【2019·河北廊坊霸州期末】如图，有三种规格的卡片，其中边长为a的正方形卡片1张，边长为b的正方形卡片4张，长、宽分别为a，b的长方形卡片m张．若使用这些卡片刚好可以拼成一个边长为a＋2b的正方形，则m的值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
D
16．【2020·河北石家庄外国语教育集团期中】若(x＋n)2－1＝x2＋6x＋m，则m＝________．
【点拨】(x＋n)2－1＝x2＋2xn＋n2－1＝x2＋6x＋m.
∴2n＝6，n2－1＝m，∴m＝8.
8
17．计算：(1)(x－2)2－(x＋3)(x－3)；
(2)(2x＋3y)2－2(2x＋3y)(2x－3y)＋(2x－3y)2.
解：原式＝x2－4x＋4－(x2－9)
＝x2－4x＋4－x2＋9
＝－4x＋13.
解：原式＝4x2＋12xy＋9y2－2(4x2－9y2)＋4x2－12xy＋9y2
＝4x2＋12xy＋9y2－8x2＋18y2＋4x2－12xy＋9y2
＝36y2.
18．【2020·江苏宿迁改编】已知a＋b＝3，a2＋b2＝5，求ab的值．
解：∵a＋b＝3，a2＋b2＝5，
∴(a＋b)2－(a2＋b2)＝2ab＝32－5＝4，∴ab＝2.
19．已知m，n满足m＋n＝6，mn＝－3.
(1)求(m－2)(n－2)的值；
(2)求m2＋n2的值．
解：因为m＋n＝6，mn＝－3，
所以(m－2)(n－2)＝mn－2m－2n＋4＝mn－2(m＋n)＋4＝－3－2×6＋4＝－11.
解：m2＋n2＝(m＋n)2－2mn＝62－2×(－3)＝36＋6＝42.
20．【2020·河北石家庄第四十一中学期中】
(1)如图①是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形(如图②)，请你写出(a＋b)2，(a－b)2，ab之间的等量关系是_________________________；
(a＋b)2－(a－b)2＝4ab.
(2)两个边长分别为a和b的正方形如图③放置，求出图③中阴影部分的面积S3；
(3)若a＋b＝10，ab＝22，求S3的值．
21．阅读材料，解决后面的问题：
若m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0，求 的值．
解：因为m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0，
所以(m＋n)2＋(n－3)2＝0.
所以n＝3，m＝－3.
所以
(2)设两个连续奇数为2n＋1，2n－1(其中n为正整数)，写出它们的平方差，并说明结果是8的倍数；
延伸：
直接写出两个连续偶数的平方差是几的倍数．
(1)若x2＋4x＋4＋y2－8y＋16＝0，求 的值；
解：原等式即为(x＋2)2＋(y－4)2＝0，
所以x＝－2，y＝4.
(2)若x2＋2y2－2xy＋2y＋1＝0，求x＋2y的值；
解：原等式即为x2－2xy＋y2＋y2＋2y＋1＝0，
所以(x－y)2＋(y＋1)2＝0.
所以y＝－1，x＝－1.
所以x＋2y＝－1＋2×(－1)＝－3.
(3)试说明：不论x，y取什么值，多项式x2＋y2－2x＋2y＋3的值总是正数；
解：x2＋y2－2x＋2y＋3＝x2－2x＋1＋y2＋2y＋1＋1＝(x－1)2＋(y＋1)2＋1.
因为(x－1)2≥0，(y＋1)2≥0，
所以(x－1)2＋(y＋1)2＋1的最小值为1.
所以不论x，y取什么值，多项式x2＋y2－2x＋2y＋3的值总是正数．
(4)已知a，b，c是三角形ABC的三边长，满足a2＋b2＝10a＋8b－41，且三角形ABC的周长是14，求边长c.
解：因为a2＋b2＝10a＋8b－41，
所以a2－10a＋25＋b2－8b＋16＝0.
所以(a－5)2＋(b－4)2＝0.
所以a＝5，b＝4.
又因为三角形ABC的周长是14，
所以边长c是5.(共26张PPT)
8.2 幂的乘法与积的乘方
第2课时 积的乘方
冀教版 七年级下
第八章 整数的乘法
1
2
3
4
6
D
C
D
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5
C
D
C
7
D
8
C
9
±6
10
见习题
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11
见习题
12
见习题
13
C
14
D
15
见习题
16
见习题
17
见习题
1．【2021·河北邯郸第十一中学期末】计算： ＝a2·
＝a2·a6＝a8，其中，第一步运算的依据是( )
A．同底数幂的乘法法则
B．幂的乘方法则
C．乘法分配律
D．积的乘方法则
D
2．下列运算正确的是( )
A．a2·a3＝a6
B．(3a)3＝9a3
C．3a－2a＝1
D．(－2a2)3＝－8a6
D
3．【2020·陕西】计算： ＝( )
C
4．下列计算中，不正确的有( )
①(ab2)3＝ab6；②(3xy2)3＝9x3y6；③(－2x3)2＝－4x6；④(－a2m)3＝a6m.
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
D
5．【河北石家庄桥西区期中】若(2ambn)3＝8a9b15成立，则m，n的值分别是( )
A．m＝2，n＝3
B．m＝9，n＝6
C．m＝3，n＝5
D．m＝6，n＝－3
C
6．计算 ，所得结果为( )
C
7．计算 ×(－1.5)2 024×(－1)2 025的结果是( )
D
8．【教材改编题】下面是小明的小测题，每题5分，满分20分，小明的得分是( )
A．20分 B．15分 C．10分 D．5分
【点拨】(1)原式＝9x2y2，故(1)错误．
(2)原式＝(mk)k＝mkkk，故(2)正确．
(3)原式＝27×56＝2×(2×5)6＝2×106＝2 000 000，故(3)正确．
(4)原式＝4x6·125x3＝500x9，故(4)错误．
∴小明的得分是10分．故选C.
【答案】C
9．【易错：乘方运算，考虑不周而出错】若a2n＝4，b2n＝9，则(ab)n＝________．
±6
【点拨】∵a2n＝4，b2n＝9，∴(an)2＝4，(bn)2＝9，
∴an＝±2，bn＝±3，当an＝2，bn＝3时，(ab)n＝an·bn＝6. 当an＝－2，bn＝3时，(ab)n＝an·bn＝－6. 当an＝2，bn＝－3时，(ab)n＝an·bn＝－6. 当an＝－2，bn＝－3时，(ab)n＝an·bn＝6. 综上所述，(ab)n的值为±6.
10．计算：
(1)(－2a2bc3)4；
(2)x4·x3·x＋(x4)2＋(－2x2)4；
解：原式＝(－2)4a2×4b4c3×4
＝16a8b4c12.
解：原式＝x4＋3＋1＋x4×2＋(－2)4x2×4
＝x8＋x8＋16x8
＝18x8.
(3)－(－x2)3·(－3x2)2－x·(－x3)3.
解：原式＝－(－x6)·9x4－x·(－x9)
＝9x10＋x10
＝10x10.
11．已知ax＝4，bx＝5，求(ab)2x的值．
解：(ab)2x＝(axbx)2
＝(4×5)2
＝202＝400.
12．已知两组算式：(3×5)2与32×52，
(1)计算每组两个算式的结果，它们是否相等？
解：因为(3×5)2＝152＝225，32×52＝9×25＝225，
所以(3×5)2＝32×52.
(2)想一想，(ab)3等于什么？猜一猜，当n为正整数时，(ab)n等于什么？你能用一句话叙述你所得到的结论吗？
解：(ab)3＝a3b3，当n为正整数时，(ab)n＝anbn.
用一句话概括为积的乘方，等于各因式乘方的积．
(3)你能运用上述结论计算下列各组题吗？
①(－0.125)2 023×(－8)2 023；
解：(－0.125)2 023×(－8)2 023＝[(－0.125)×(－8)]2 023＝12 023＝1；
13．已知(－2a1＋xb2)y＝－8a9b6，则x的值是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
C
14．【2019·河北邯郸丛台区期中】已知2n＝a，5n＝b，20n＝c，那么a，b，c之间满足的等量关系是( )
A．c＝ab B．c＝ab2
C．c＝a2b2 D．c＝a2b
D
15．已知|a－2|＋ ＝0，求a2 022b2 023的值．
∴a－2＝0，b＋ ＝0，
解得a＝2，b＝－ .
∴a2 022b2 023＝a2 022b2 022·b
＝(ab)2 022·b
16．计算：
(1)(－3x3)2－[(－2x)2]3；
(2)x·x5＋(－2x2)2·x2＋(－2x2)3；
解：原式＝9x6－(4x2)3＝9x6－64x6＝－55x6；
解：原式＝x6＋4x4·x2－8x6＝x6＋4x6－8x6＝－3x6；
(4)0.042 022×(52 023)2.
解：原式＝0.24 044×54 046＝(0.2×5)4 044×52＝25.
17．已知a＝5，b＝－ ，n为正整数，求a2n＋2·b2n·b4的值．
解：因为a＝5，b＝－ ，
所以ab＝5× ＝－1.
所以原式＝a2n·a2·b2n·b4＝a2n·b2n·a2·b2·b2＝(ab)2n·(ab)2·b2＝(－1)2n×(－1)2× ＝ .(共17张PPT)
8.4 整式的乘法
第1课时 单项式乘单项式
冀教版 七年级下
第八章 整数的乘法
1
2
3
4
6
C
D
见习题
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5
见习题
C
4
7
1
8
－36m6n3
9
1.2×1013
10
C
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11
A
12
见习题
13
见习题
1．【2020·浙江台州】计算2a2·3a4的结果是( )
A．5a6 B．5a8
C．6a6 D．6a8
C
2．【2021·贵州遵义】下列计算正确的是( )
A．a3·a＝a3
B．(a2)3＝a5
C．4a·(－3ab)＝－12a2b
D．(－3a2)3＝－9a6
C
3．【易错：单项式乘单项式法则理解不透出错】下列计算中，不正确的是( )
D
·
·
·
4．在每条横线上写出得出该式的依据．
(6an－1)(－2ab)
＝6×(－2)(an－1a)·b____________________，
＝－12an－1＋1·b_____________________________
_____________________________，
＝－12anb.
乘法交换律和结合律
有理数的乘法法则和同底数幂的乘法法则
5．计算：
(2)(－2x3y)2·(－x2y2)．
解：(－2x3y)2·(－x2y2)＝4x6y2·(－x2y2)＝－4x8y4.
6．若(xa＋1yb＋1)·(x2b－1·y)＝x5y3，则a＋b＝________.
4
7．若1＋2＋3＋…＋n＝m，且ab＝1，则(abn)(a2bn－1)…(an－1b2)(anb)＝________．
1
【点拨】∵1＋2＋3＋…＋n＝m，
且ab＝1，
∴(abn)(a2bn－1)…(an－1b2)(anb)＝a1＋2＋…＋(n－1)＋nbn＋(n－1)＋…＋2＋1＝ambm＝(ab)m＝1m＝1.
8．“三角” 表示3xyz，“方框” 表示－4abdc，则 ＝________.
【点拨】 ＝9mn·(－4n2m5)＝－36m6n3.
－36m6n3
9．一台计算机每秒可做2×1010次运算，它工作600 s可做____________次运算．
1.2×1013
10．计算(－3a2b)· ·(－2b)，下列正确的是( )
A．a5b4 B．－a5b2
C．－a5b4 D．－a6b2
C
11．如果单项式－3x4m－ny2与 x3ym＋n的和仍是单项式，那么这两个单项式的积为( )
A．－x6y4 B．x6y4
C．x3y2 D．－3x3y2
A
12．计算：
(2)5a3b·(－3b)2＋(－ab)·(－6ab)2；
解：原式＝5a3b·9b2＋(－ab)·36a2b2＝45a3b3－36a3b3＝9a3b3.
13．已知(2x2y)m·(－xynz)3·3y4z6＝－24xqy10zp，求mn＋pq的值．
解：(2x2y)m·(－xynz)3·3y4z6＝2mx2mym·(－x3y3nz3)·3y4z6＝－3·2m·x2m＋3ym＋3n＋4z9＝－24xqy10zp，
故mn＋pq＝3×1＋9×9＝3＋81＝84.(共16张PPT)
8.4 整式的乘法
第2课时 单项式乘多项式
冀教版 七年级下
第八章 整数的乘法
1
2
3
4
6
a2b＋ab
－18a3＋6a2＋4a
x2
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5
见习题
D
见习题
7
6x3－8x2
8
4
9
见习题
10
见习题
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11
见习题
1．【2021·湖北恩施】下列运算正确的是( )
A．7a3－3a2＝4a
B. 3＝a5
C．a6÷a3＝a2
D．－a(－a＋1)＝a2－a
D
2．【2020·广西桂林】计算：ab·(a＋1)＝________．
a2b＋ab
3．【2020·河北唐山月考】计算 ·(－9a)的结果是_________________．
－18a3＋6a2＋4a
4．【2020·贵州安顺】化简x(x－1)＋x的结果是________．
x2
5．计算：
(1)3a(5a－2b)；
(2)2x(3x2＋1)．
解：3a(5a－2b)＝15a2－6ab.
解：2x(3x2＋1)
＝2x·3x2＋2x·1
＝6x3＋2x.
6．先化简，再求值：3(2x＋1)＋2(3－x)，其中x＝－1.
解：原式＝6x＋3＋6－2x＝4x＋9.
当x＝－1时，原式＝4×(－1)＋9＝5.
7．【2020·河北保定期末】一个长方体的长、宽、高分别是3x－4，2x和x，它的体积等于________．
6x3－8x2
8．【2020·湖南岳阳】已知x2＋2x＝－1，则代数式5＋x(x＋2)的值为________．
4
9．已知x(x－m)＋n(x＋m)＝x2＋5x－6，求m(n－1)＋n(m＋1)的值．
解：x(x－m)＋n(x＋m)＝x2－mx＋nx＋mn＝x2＋(n－m)x＋mn＝x2＋5x－6，∴
则m(n－1)＋n(m＋1)＝n－m＋2mn＝5－12＝－7.
10．【2021·四川成都棕北中学期中】如图，大小两个正方形的边长分别为a，b.
(1)用含a，b的代数式表示阴影部分的面积S；
解：根据题意，得
S＝a2＋b2－ a2－ (a＋b)b
＝ a2＋ b2－ ab.
(2)如果a＝6，b＝4，求阴影部分的面积．
解：当a＝6，b＝4时，
S＝ a2＋ b2－ ab
＝ ×62＋ ×42－ ×6×4
＝18＋8－12
＝14.
所以阴影部分的面积是14.
11．小明外祖母家的住房装修三年后，地砖出现破损，破损部分的图形如图：现有A、B、C三种地砖可供选择，请问需要A砖、B砖、C砖各多少块？
解：A砖的面积为a2，B砖的面积为ab，C砖的面积为b2，
∵(4a＋b)·2b＝8ab＋2b2，∴需要B砖8块，C砖2块(不需要A砖)．(共29张PPT)
提分专项（五）
整式运算河北中考考法
冀教版 七年级下
第八章 整数的乘法
1
2
3
4
6
7
见习题
B
C
见习题
见习题
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5
=
见习题
8
见习题
9
见习题
10
见习题
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11
见习题
1.【2020·河北唐山丰南区月考】解决下列问题.
(1)先化简，再求值：（a＋b）（a－b）＋（a＋b）2，其中a＝3，b＝
解：(a＋b)(a－b)＋(a＋b)2
＝a2－b2＋a2＋2ab＋b2
＝2a2＋2ab.
(2)已知m＋n＝8，mn＝15，求m2－mn＋n2的值.
解：∵m＋n＝8，mn＝15，
∴m2＋n2＝(m＋n)2－2mn＝82－2×15＝34.
∴m2－mn＋n2＝m2＋n2－mn＝34－15＝19.
2.【2019·河北邯郸凌云中学一模】数学活动课上，张老师用图①中的1张边长为a的正方形A、1张边长为b的正方形B和2张宽和长分别为a与b的长方形C纸片，拼成了如图②中的大正方形.观察图形并解答下列问题.
(1)由图①和图②可以得到的等式为 （用含a，b的代数式表示），并验证你得到的等式；
(2)嘉琪用这三种纸片拼出一个面积为（2a＋b）（a＋2b）的大长方形，求需要A、B、C三种纸片各多少张；
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
验证：(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)＝a2＋ab＋ab＋b2＝a2＋2ab＋b2.
解：∵(2a＋b)(a＋2b)＝2a2＋5ab＋2b2，
∴所需A、B两种纸片各2张，C种纸片5张．
(3)如图③，已知点C为线段AB上的动点，分别以AC、BC为边在AB的两侧作正方形ACDE和正方形BCFG.若AB＝6，且两正方形的面积之和S1＋S2＝20，利用（1）中得到的结论求图中阴影部分的面积.
解：设AC＝a，BC＝CF＝b则a＋b＝6.
∵S1＋S2＝20，∴a2＋b2＝20.
∵(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，
∴a2＋b2＝(a＋b)2－2ab，
∴20＝62－2ab，
∴ab＝8.
3.【2020·河北保定期末】若x＋m与2－x的乘积中不含x的一次项，则m的值为（ ）
A.－2 B.2 C.0 D.1
B
【点拨】根据题意，得(x＋m)(2－x)＝2x－x2＋2m－mx＝－x2＋(2－m)x＋2m，
∵x＋m与2－x的乘积中不含x的一次项，∴m＝2.
故选B.
4.【2021·河北石家庄第四十一中学期末】若（x2－px＋3）（x－q）的乘积中不含x2项，则（ ）
A.p＝q B.p＝±q C.p＝－q D.无法确定
【点拨】(x2－px＋3)(x－q)＝x3－qx2－px2＋pqx＋3x－3q＝x3＋(－p－q)x2＋(pq＋3)x－3q，
∵乘积中不含x2项，∴－p－q＝0，即p＝－q.
故选C.
C
5.【中考·河北】把三张大小相同的正方形卡片A，B，C叠放在一个底面为正方形的盒底上，底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示.若按图①摆放时，阴影部分的面积为S1；若按图②摆放时，阴影部分的面积为S2，则S1 S2（填“＞”“＜”或“＝”）.
【点拨】设底面的正方形的边长为a，正方形卡片A、B、C的边长为b，
由题图①，得S1＝(a－b)(a－b)＝(a－b)2，
由题图②，得S2＝(a－b)(a－b)＝(a－b)2，
∴S1＝S2.
【答案】=
6.【2021·河北石家庄长安区期末】两个边长分别为a和b的正方形按图①放置，其未叠合部分（阴影）的面积记作S1，若再在图①中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形，如图②所示，两个小正方形叠合部分（阴影）面积记作S2.
(1)用含a，b的代数式分别表示S1，S2；
解：由题意及题图可得
S1＝a2－b2，S2＝a2－a(a－b)－b(a－b)－b(a－b)＝2b2－ab.
(2)若a＋b＝15，ab＝5，求S1＋S2的值.
解：由(1)知：S1＝a2－b2，S2＝2b2－ab，
∴S1＋S2＝a2－b2＋2b2－ab＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，
∵a＋b＝15，ab＝5，
∴S1＋S2＝152－3×5＝210.
7.【2021·河北邯郸期中】利用乘法公式进行简便计算.
(1)899×901； (2)1232－124×122.
解：899×901
＝(900－1)×(900＋1)
＝9002－1
＝810 000－1
＝809 999.
解：1232－124×122
＝1232－(123＋1)×(123－1)
＝1232－1232＋1
＝1.
8.【2021·河北唐山路北区二模】树兰学校初中部和小学部一起在操场做课间操.初中部排成长方形，每排(4a－b)人站成(3a＋2b)排；小学部排成一个边长为2(a＋b)的方阵.
(1)初中部比小学部多多少人？(用含字母a，b的式子表示)
解：树兰学校初中部学生人数为(4a－b)(3a＋2b)＝12a2＋8ab－3ab－2b2＝12a2＋5ab－2b2.
小学部学生人数为2(a＋b)×2(a＋b)＝4(a2＋2ab＋b2)＝4a2＋8ab＋4b2，
∴树兰学校初中部比小学部多的学生数＝(12a2＋5ab－2b2)－(4a2＋8ab＋4b2)＝12a2＋5ab－2b2－4a2－8ab－4b2＝8a2－3ab－6b2.
答：树兰学校初中部比小学部多(8a2－3ab－6b2)人．
(2)当a＝10，b＝2时，该学校的学生一共有多少人？
解：树兰学校初中部和小学部一共的学生数＝(12a2＋5ab－2b2)＋(4a2＋8ab＋4b2)＝12a2＋5ab－2b2＋4a2＋8ab＋4b2＝16a2＋13ab＋2b2，
当a＝10，b＝2时，原式＝16×102＋13×10×2＋2×22＝1 868.
答：该学校的学生一共有1 868人．
9.【中考·河北】发现：任意五个连续整数的平方和是5的倍数.
验证：
(1)(－1)2＋02＋12＋22＋32的结果是5的几倍？
解：验证：(－1)2＋02＋12＋22＋32＝1＋0＋1＋4＋9＝15，15÷5＝3，
即(－1)2＋02＋12＋22＋32的结果是5的3倍．
(2)设五个连续整数的中间一个为n，写出它们的平方和，并说明是5的倍数.
解：由五个连续整数的中间一个为n，得其余的四个整数分别为n－2，n－1，n＋1，n＋2.它们的平方和为(n－2)2＋(n－1)2＋n2＋(n＋1)2＋(n＋2)2＝n2－4n＋4＋n2－2n＋1＋n2＋n2＋2n＋1＋n2＋4n＋4＝5n2＋10＝5(n2＋2)．∵n为整数，∴n2＋2是整数，
∴五个连续整数的平方和是5的倍数．
延伸： 任意三个连续整数的平方和被3除的余数是几呢？请写出理由.
延伸：余数是2.理由：设三个连续整数的中间一个为m，则其余的两个整数分别为m－1，m＋1，它们的平方和为(m－1)2＋m2＋(m＋1)2＝m2－2m＋1＋m2＋m2＋2m＋1＝3m2＋2，
∵m是整数，∴m2是整数，
∴任意三个连续整数的平方和被3除的余数是2.
10.【2019·河北石家庄第二十八中学模拟】在一次数学课上，李老师对大家说：“你任意想一个非零数，然后按下列步骤操作，我会直接说出你运算的最后结果.”操作步骤如下：
第一步：计算这个数与1的和的平方，减去这个数与1的差的平方；
第二步：把第一步得到的数乘25；
第三步：把第二步得到的数除以你想的这个数.
(1)若小明同学心里想的是数8，请帮他计算出最后结果：[（8＋1）2－（8－1）2]×25÷8；
解：原式＝(81－49)×25÷8＝800÷8＝100.
(2)老师说：“同学们，无论你们心里想的是什么非零数，按照以上步骤进行操作，得到的最后结果都相等.”小明同学想验证这个结论，于是，设心里想的数是a（a≠0），请你帮小明完成这个验证过程.
解：根据题意，得[(a＋1)2－(a－1)2]×25÷a＝4a×25÷a＝100.
11.【2019·河北衡水安平县期末】阅读下面的材料：
我们可以用配方法求一个二次三项式的最大值或最小值，例如：求代数式a2－2a＋5的最小值.方法如下：
(1)仿照上述方法求代数式x2＋10x＋7的最小值；
(2)代数式－a2－8a＋16有最大值还是最小值？请用配方法求出这个最值.(共32张PPT)
提分专项（四）
乘法公式的常见题型
冀教版 七年级下
第八章 整数的乘法
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1．【2020·河北唐山月考】(x＋2)(x－2)(x2＋4)的计算结果是( )
A．x4＋16 B．－x4－16
C．x4－16 D．16－x4
C
2．【2020·河北石家庄红星学校模拟】下列计算中可采用平方差公式的是( )
A．(x＋y)(x－z)
B．(－x＋2y)(x＋2y)
C．(－3x－y)(3x＋y)
D．(2a＋3b)(2b－3a)
B
3．【2021·石家庄桥西区期末】将982变形正确的是( )
A．982＝902＋82
B．982＝902－90×8＋82
C．982＝1002－2×100×2＋22
D．982＝(100＋2)(100－2)
C
4．【2021·浙江杭州一模】以下是方方化简(2x＋y)(2x－y)＋4(x＋y)2的解答过程．
解：(2x＋y)(2x－y)＋4(x＋y)2
＝4x2－y2＋4(x2＋y2)
＝4x2－y2＋4x2＋y2
＝8x2.
方方的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程．
解：方方的解答过程有错误，正确的解答过程如下：
(2x＋y)(2x－y)＋4(x＋y)2
＝4x2－y2＋4(x2＋2xy＋y2)
＝4x2－y2＋4x2＋8xy＋4y2
＝8x2＋8xy＋3y2.
5．先化简，再求值．
(1)【2020·河北定州宝塔初级中学月考】(x－2y)2－(x＋2y)(x－2y)，其中x＝－2，y＝ ；
(2)[(x＋2y)2－(3x＋y)(－y＋3x)－5y2]· ，其中(x＋1)2＋|y－2|＝0.
＝4x3－2x2y.
∵(x＋1)2＋|y－2|＝0，∴(x＋1)2＝0，|y－2|＝0.
∴x＝－1，y＝2.
∴原式＝4x3－2x2y＝4×(－1)3－2×(－1)2×2＝－4－4＝－8.
6．已知a－b＝3，则a2－b2－6b的值是________．
9
【点拨】a2－b2－6b＝(a＋b)(a－b)－6b，当a－b＝3时，
原式＝3(a＋b)－6b
＝3a＋3b－6b
＝3a－3b
＝3(a－b)．
当a－b＝3时，
原式＝3×3＝9.
7．已知a－b＝5，ab＝4，求：
(1)3a2＋3b2的值；
(2)(a＋b)2的值．
解：3a2＋3b2＝3(a2＋b2)＝3[(a－b)2＋2ab]＝3×(52＋2×4)＝3×33＝99.
解：(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab＝52＋4×4＝41.
8．【2020·河北唐山二模】将2 001×1 999变形正确的是( )
A．2 0002－1
B．2 0002＋1
C．2 0002＋2×2 000＋1
D．2 0002－2×2 000＋1
A
9．【2020·河北保定模拟】利用平方差公式可以进行简便计算：
例1：99×101＝(100－1)×(100＋1)＝1002－12＝10 000－1＝9 999.
例2：39×410＝39×41×10＝(40－1)×(40＋1)×10＝(402－12)×10＝(1 600－1)×10＝1 599×10＝15 990.
请你参考上述例子，运用平方差公式简便计算：
10．从边长为a的正方形中减掉一个边长为b的正方形(如图①)，然后将剩余部分拼成一个长方形(如图②)．
(1)上述操作能验证的等式是___________________；
a2－b2＝(a＋b)(a－b)
(2)运用(1)中得出的等式，完成下列各题：
①若a－b＝4，a2－b2＝24，求a＋b的值；
解：①∵a2－b2＝(a＋b)(a－b)
∴把a－b＝4，a2－b2＝24代入得：24＝4(a＋b)，
∴(a＋b)＝6.
②计算：1012－2×992＋972.
解：1012－2×992＋972
＝1012－992＋972－992
＝(101＋99)×(101－99)＋(97＋99)×(97－99)
＝200×2＋196×(－2)
＝8.
11．计算：
12．【2020·江苏淮安】如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“幸福数”．下列数中为“幸福数”的是( )
A．205 B．250 C．502 D．520
【点拨】设两个连续奇数中的一个奇数为x，则另一个奇数为x＋2.
由这两个奇数得到的“幸福数”为(x＋2)2－x2＝2(2x＋2)＝4(x＋1)．
观察四个选项可知，只有选项D中的520能够整除4.
【答案】D
13．【2020·河北定州宝塔初级中学月考】如图，有一位狡猾的地主，把一块边长为a m的正方形的土地，租给李老汉种植，他对李老汉说：“我把你这块地的一边减少4 m，另一边增加4 m，继续租给你，你也没有吃亏，你看如何．”李老汉一听，觉得自己好像没有吃亏，就答应了．同
学们，你们觉得李老汉有没有
吃亏？请说明理由．
解：李老汉吃亏了．理由：原来的种植面积为a2 m2，变化后的种植面积为(a＋4)(a－4)＝a2－16(m2)．
因为a2>a2－16，所以李老汉吃亏了．
14．296－1可以被60至70之间的哪两个整数整除？
解：296－1＝(248＋1)(248－1)＝(248＋1)(224＋1)(224－1)＝(248＋1)(224＋1)(212＋1)(212－1)＝(248＋1)(224＋1)(212＋1)(26＋1)(26－1)．
因为26＋1＝65，26－1＝63，65和63都在60至70之间，
所以296－1能被60至70之间的65和63整除．
15．观察下列各式：
(x－1)(x＋1)＝x2－1；
(x－1)(x2＋x＋1)＝x3－1；
(x－1)(x3＋x2＋x＋1)＝x4－1；
(x－1)(x4＋x3＋x2＋x＋1)＝x5－1；
…
(1)试求26＋25＋24＋23＋22＋2＋1的值；
解：26＋25＋24＋23＋22＋2＋1＝(2－1)(26＋25＋24＋23＋22＋2＋1)＝27－1＝128－1＝127.
(2)判断22 020＋22 019＋…＋2＋1的值的个位数字．
解：22 020＋22 019＋…＋2＋1＝(2－1)(22 020＋22 019＋…＋2＋1)＝22 021－1.
∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，…，
∴2n的个位数字依次为2，4，8，6……每4个为一个循环．
∵2 021÷4＝505……1，
∴22 021的个位数字为2.
∴22 020＋22 019＋…＋2＋1的值的个位数字为1.
16．如图为杨辉三角的一部分，它的作用是指导读者按规律写出形如(a＋b)n(n为正整数)的展开式中各项的系数，请你仔细观察下列等式中的规律，利用杨辉三角解决问题：
(1)（a＋b）4的展开式中第二项是 ；
(2)求（2a＋1）5的展开式；
4a3b
解：(2a＋1)5＝(2a)5＋5·(2a)4＋10·(2a)3＋10·(2a)2＋5·2a＋1＝32a5＋80a4＋80a3＋40a2＋10a＋1.(共29张PPT)
第八章
综合复习训练
冀教版 七年级下
第八章 整数的乘法
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1.【2021·福建】下列运算正确的是( )
A.2a－a＝2 B.(a－1)2＝a2－1
C.a6÷a3＝a2 D.(2a3)2＝4a6
D
2.【2021·河北唐山一模】a14不等于下列各式中的( )
A.(a7)7 B.a2·a3·a4·a5
C.(a3)3·a5 D.(a2)3·(a4)2
A
3.计算：
(2)a3·a＋(－a2)3÷a2.
解：a3·a＋(－a2)3÷a2
＝a4－a6÷a2
＝a4－a4
＝0.
4.计算：
(1)x(x－1)＋2x(x＋1)－3x(2x－5)；
(2)(2a－3b)(a＋5b)－7a(a＋b).
解：原式＝x2－x＋2x2＋2x－6x2＋15x＝－3x2＋16x.
解：原式＝2a2＋10ab－3ab－15b2－7a2－7ab
＝－5a2－15b2.
5.若(x2＋mx)(x2－3x＋n)的展开式中不含x2和x3项，求m和n的值.
解：原式＝x4－3x3＋nx2＋mx3－3mx2＋mnx＝x4＋(m－3)x3＋(n－3m)x2＋mnx，
根据展开式中不含x2和x3项，得
6.已知a＋b＝4，a2＋b2＝8，则ab的值是 .
4
7.【2021·河北石家庄新华区模拟】嘉琪通过计算和化简下列两式，发现了一个结论，请你帮助嘉琪完成这一过程.
(1)计算：[(9＋2)2－(9－2)2]×(－25)÷9；
解：原式＝(112－72)×(－25)÷9
＝(11－7)×(11＋7)×(－25)÷9
＝4×18×(－25)÷9
＝－200.
(2)化简：[(a＋2)2－(a－2)2]×(－25)÷a；
解：原式＝[(a＋2)－(a－2)][(a＋2)＋(a－2)]×(－25)÷a
＝4×2a×(－25)÷a＝－200.
(3)请写出嘉琪发现的结论.
解：当a取不为0的数时，[(a＋2)2－(a－2)2]×(－25)÷a均等于－200.
8.【2020·浙江杭州期末】如图①所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，图②是由图①中阴影部分拼成的一个长方形，设图①中阴影部分的面积为S1，图②中阴影部分的面积为S2.
(1)请直接用含a和b的代数式表示S1＝ ，S2＝ ；写出利用图形的面积关系所得到的公式： (用式子表达)；
a2－b2
(a＋b)(a－b)
(a＋b)(a－b)＝a2－b2
(3)应用公式计算：(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(232＋1)＋1.
解：(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(232＋1)＋1
＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(232＋1)＋1
＝(22－1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(232＋1)＋1
＝(24－1)(24＋1)(28＋1)…(232＋1)＋1
…
＝(232－1)(232＋1)＋1
＝264－1＋1
＝264.
9.【2021·河北石家庄新华区期末】先化简，再求值：(x－1)2－(x＋3)(x－3)＋2x(x－1)，其中x＝3.
解：原式＝x2－2x＋1－(x2－9)＋2x2－2x
＝x2－2x＋1－x2＋9＋2x2－2x
＝2x2－4x＋10.
当x＝3时，
原式＝18－12＋10＝16.
10.已知m2－5m－14＝0，求(m－1)(2m－1)－(m＋1)2＋1的值.
解：(m－1)(2m－1)－(m＋1)2＋1＝2m2－m－2m＋1－(m2＋2m＋1)＋1＝2m2－m－2m＋1－m2－2m－1＋1＝m2－5m＋1.
由题意知m2－5m＝14，
∴原式＝(m2－5m)＋1＝14＋1＝15.
11.【2020·河北唐山第三十三中学月考】已知某种植物花粉的直径约为0.000 000 95 m，那么可以用科学记数法表示该种花粉的直径为( )
A.9.5×10－8 m B.9.5×10－7 m
C.0.95×10－6 m D.95×10－8 m
B
12.【2020·河北秦皇岛昌黎县期末】据网络数据显示，昌黎县常住人口约为560 900人，数字560 900用科学记数法可表示为( )
A.5 609×102 B.5.609×105
C.56.09×104 D.0.560 9×106
B
13.一个长5微米，宽4微米，高3微米的长方体微机零件的体积是多少立方厘米？(1微米＝10－4厘米)
解：5微米＝5×10－4厘米，4微米＝4×10－4厘米，3微米＝3×10－4厘米．
∴依题意得：长方体微机零件的体积是(5×10－4)×(4×10－4)×(3×10－4)＝6×10－11(立方厘米)．
14.【2021·河北唐山乐亭县一模】若k为正整数，则(k2)3表示的是( )
A.3个k2相加 B.2个k3相加
C.3个k2相乘 D.5个k相乘
C
15.【2021·河北模拟】若a为正整数，则 的结果是( )
A.a2a B.2aa C.aa D.a2
A
16.【2021·四川雅安】我国在2020年10月开展了第七次人口普查，普查数据显示，我国2020年总人口达到14.1亿，将14.1亿用科学记数法表示为( )
A.14.1×107 B.14.1×108
C.1.41×109 D.1.41×1010
C
17.【中考·四川乐山】已知a，b满足a＋b＝2，ab＝ ，则a－b＝( )
【答案】C
【点拨】∵a＋b＝2，ab＝ ，
∴(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2＝4.
∴a2＋b2＝ .∴(a－b)2＝a2－2ab＋b2＝ －2× ＝1.
∴a－b＝±1.
18.【2020·河北石家庄模拟】张老师在黑板上布置了一道题：
计算：2(x＋1)2－(4x－5)，求当x＝ 和x＝－ 时式子的值.
小亮和小新展开了下面的讨论(如图)，你认为他们两人谁说的对，并说明理由.
解：小亮说的对．理由如下：2(x＋1)2－(4x－5)＝2x2＋4x＋2－4x＋5＝2x2＋7，(共27张PPT)
8.1 同底数幂的乘法
冀教版 七年级下
第八章 整数的乘法
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1．【2020·重庆B卷】计算a·a2，结果正确的是( )
A．a B．a2
C．a3 D．a4
C
2．【2019·河北邢台桥西区期中】(a＋b)3(a＋b)4＝( )
A．a7＋b7 B．(a－b)7
C．(a＋b)7 D．(a＋b)12
C
3．【2021·河北】不一定相等的一组是( )
A．a＋b与b＋a
B．3a与a＋a＋a
C．a3与a·a·a
D．3(a＋b)与3a＋b
D
4．【2021·河北石家庄一模改编】a12可以写成( )
A．a6＋a6 B．a2·a6
C．a6·a6 D．a12·a
C
5．【2021·湖北】若等式2a2·a＋( )＝3a3成立，则括号中填写的单项式可以是( )
A．a B．a2 C．a3 D．a4
C
6．计算：
(1) ＝________．
(2)103×104×105＝________．
(3)a10·a2·a＝________．
1012
a13
7．【2020·河北石家庄月考】若ax＝3，ay＝2，则ax＋y的值为( )
A．6 B．5 C．1 D．1.5
A
【点拨】∵ax＝3，ay＝2，
∴ax＋y＝ax·ay＝3×2＝6. 故选A.
8．若25＝m·22，则m的值为( )
A．2 B．6 C．8 D．12
C
9．已知x＋y－3＝0，则2y·2x的值是( )
A．6
B．－6
C.
D．8
D
10．【2020·河北模拟】若整数n满足2n·2n·2n＝8，则n的值为( )
A．1 B．2
C．3 D．6
【点拨】∵2n·2n·2n＝2n＋n＋n＝23n＝8＝23，
∴3n＝3，
∴n＝1. 故选A.
A
11．23×8×16×32(用幂的形式表示)．
解：23×8×16×32
＝23×23×24×25
＝23＋3＋4＋5
＝215.
12．计算：
(1)－a2·a5＋a·a3·a3；
(2)a＋2a＋3a＋a2·a5＋a·a3·a3.
解：原式＝－a7＋a7
＝0.
解：原式＝(a＋2a＋3a)＋(a7＋a7)
＝6a＋2a7.
13．规定a※b＝2a×2b.
(1)求2※3的值；
(2)若2※(x＋1)＝16，求x的值．
解：2※3＝22×23＝25＝32.
解：∵2※(x＋1)＝16，
∴22×2x＋1＝2x＋3＝16＝24，
∴x＋3＝4，
∴x＝1.
14．【创新考法】【2020·河北承德隆化县第二中学期中】若x，y为正整数，且2x·22y＝29，则x，y的值有( )
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【点拨】∵2x·22y＝29，∴2x＋2y＝29，
∴x＋2y＝9，∴x＝9－2y，
∵x，y为正整数，∴当y＝1时，x＝7，
当y＝2时，x＝5，
当y＝3时，x＝3，
当y＝4时，x＝1. 故x，y的值有4对．故选D.
【答案】D
15．【2020·河北保定期末】计算 ＝( )
C
16．【教材改编题】计算：
(1)(a－b)3(b－a)4＋(b－a)5(a－b)2；
(2)3×5n＋2×5n.
解：原式＝(a－b)3(a－b)4＋[－(a－b)5](a－b)2
＝(a－b)7－(a－b)7
＝0.
解：原式＝(3＋2)×5n
＝5×5n
＝5n＋1.
17．若2a＋b＝56，2a＝7，求b的值．
解：因为2a＝7，
所以2a＋b＝56＝7×8＝2a×23＝2a＋3，
所以b＝3.
18．已知3x＝5，3x＋y＝15，3z＝11，3m＝33，试判断y，z，m之间的数量关系，并说明理由．
解：m＝y＋z.理由如下：
∵3x＋y＝15，3x＝5，
∴3x·3y＝5·3y＝15.∴3y＝3.
∵3m＝33＝3×11，3y＝3，3z＝11，
∴3m＝3y·3z＝3y＋z.
∴m＝y＋z.
19．如果ac＝b，那么我们规定(a，b)＝c，例如：因为23＝8，所以(2，8)＝3.
(1)根据上述规定，填空：
(3，27)＝________，(2，4)＝________；
3
2
(2)记(3，5)＝a，(3，6)＝b，(3，30)＝c.试说明：a＋b＝c.
解：∵(3，5)＝a，(3，6)＝b，(3，30)＝c，
∴3a＝5，3b＝6，3c＝30，
∴3a×3b＝30，
∴3a×3b＝3c，
∴a＋b＝c.
20．阅读下面的材料：
求1＋2＋22＋23＋24＋…＋22 023＋22 024的值．
解：设S＝1＋2＋22＋23＋24＋…＋22 023＋22 024.①
将等式两边同时乘2，得2S＝2＋22＋23＋24＋25＋…＋22 024＋22 025.②
②－①，得2S－S＝22 025－1，即S＝22 025－1.
所以1＋2＋22＋23＋24＋…＋22 023＋22 024＝22 025－1.
请你仿照此方法计算：
(1)1＋2＋22＋23＋24＋…＋29＋210；
解：设M＝1＋2＋22＋23＋24＋…＋29＋210.①
将等式两边同时乘2，得2M＝2＋22＋23＋24＋25＋…＋210＋211.②
②－①，得2M－M＝211－1，
即M＝211－1.
所以1＋2＋22＋23＋24＋…＋29＋210＝211－1.
(2)1＋3＋32＋33＋34＋…＋3n－1＋3n(其中n为正整数)．
解：设N＝1＋3＋32＋33＋34＋…＋3n－1＋3n.①
将等式两边同时乘3，得3N＝3＋32＋33＋34＋35＋…＋3n＋3n＋1.②
②－①，得3N－N＝3n＋1－1，
即N＝ (3n＋1－1)．
所以1＋3＋32＋33＋34＋…＋3n－1＋3n＝ (3n＋1－1)．(共25张PPT)
8.6 科学计数法
冀教版 七年级下
第八章 整数的乘法
1
2
3
4
6
B
A
C
提示：点击 进入习题
答案显示
5
见习题
A
C
7
C
8
D
9
B
10
B
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11
12
见习题
13
B
14
D
15
见习题
16
见习题
17
见习题
18
见习题
19
见习题
20
D
D
1.【2021·河北期末】据不完全统计，2021年河北省中考报名人数已经超过了886 000人，数据886 000用科学记数法可以表示为( )
A.8.86×105 B.8.86×106
C.88.6×105 D.88.6×106
A
2.【2021·河北二模】一个整数81 555…0用科学记数法表示为8.155 5×1010，则原数中“0”的个数为( )
A.4 B.6
C.7 D.10
B
3.【易错：“万”这一记数单位理解错误而致错】【2020·湖南怀化】《三国演义》《红楼梦》《水浒传》《西游记》是我国古典长篇小说四大名著.其中2016年光明日报出版社出版的《红楼梦》有350万字，则“350万”用科学记数法表示为( )
A.3.5×106 B.0.35×107
C.3.5×102 D.350×104
A
4.【2021·贵州毕节】6月6日是全国“放鱼日”.为促进渔业绿色发展，今年“放鱼日”当天，全国同步举办增殖放流200余场，放流各类水生生物苗种近30亿尾.数30亿用科学记数法表示为( )
A.0.3×109 B.3×108
C.3×109 D.30×108
C
5.某种液体每升含有1012个细菌，某种杀菌剂1滴可以杀死109个此种有害细菌.现在将3升这种液体中的有害细菌杀死，要用这种杀菌剂多少滴？(结果用科学记数法表示)
解：3×1012÷109＝3×103(滴)．
6.【2020·广西贵港】目前世界上刻度最小的标尺是钻石标尺，它的最小刻度为0.2 nm(其中1 nm＝10－9 m)，用科学记数法表示这个最小刻度(单位：m)，结果是( )
A.2×10－8 m B.2×10－9 m
C.2×10－10 m D.2×10－11 m
C
7.【2020·河北唐山第五十四中学月考】将数字2.03×10－3化为小数是( )
A.0.203 B.0.020 3
C.0.002 03 D.0.000 203
C
8.【2021·河北】一种细菌的半径用科学记数法表示为3.68×10－5米，则这个数据可以写成( )
A.368 000米 B.0.003 68
C.0.000 368 D.0.000 036 8
D
9.【2020·山东威海】人民日报讯，2020年6月23日，中国成功发射北斗系统第55颗导航卫星.至此中国提前半年全面完成北斗三号全球卫星导航系统星座部署.北斗三号卫星上配置的新一代国产原子钟，使北斗导航系统授时精度达到了十亿分之一秒，十亿分之一用科学记数法可以表示为( )
A.10×10－10 B.1×10－9
C.0.1×10－8 D.1×109
B
10.【2020·河北石家庄模拟】世界上最薄的纳米材料其理论厚度是 ，该数据用科学记数法表示为3.4×10－10 m，则a的值为( )
A.8 B.9
C.10 D.11
B
11.【2019·河北】一次抽奖活动特等奖的中奖率为 ，把 用科学记数法表示为( )
A.5×10－4 B.5×10－5
C.2×10－4 D.2×10－5
D
12.【2021·江苏扬州宝应县月考】一个正方体包装盒的棱长为0.4 m.
(1)这个包装盒的体积是多少(用科学记数法表示)？
解：∵一个正方体包装盒的棱长为0.4 m，
∴这个包装盒的体积是0.4×0.4×0.4＝6.4×10－2(m3)．
答：这个包装盒的体积是6.4×10－2 m3.
(2)若有一个小立方块的棱长为1×10－3 m，则需要多少个这样的小立方块才能将包装盒装满？
解：6.4×10－2÷(1×10－3)3＝64 000 000(个)．
答：需要64 000 000个这样的小立方块才能将包装盒装满．
13.【2020·河北唐山二模】已知a＝3.1×10－4，b＝4.2×10－6，判断下列关于ab的值正确的是( )
A.比1大 B.介于0，1之间
C.介于－1，0之间 D.比－1小
B
【点拨】∵a＝3.1×10－4＝0.000 31，
b＝4.2×10－6＝0.000 004 2，
∴0
D
14.【荣德原创】石家庄建设绿水青山，打造旅游城市，2018年到2020年累计约3.1×106人次观光旅游，各地统计的实际数据可能是( )
A.3.049×106 B.3.15×106
C.3.14亿 D.309万
15.【2020·上海静安区实验中学练习】下列用科学记数法写出的数，原来分别是什么数？
1×106，3.2×105，－7.05×10－8.
解：1×106＝1 000 000
3．2×105＝320 000
－7.05×10－8＝－0.000 000 070 5
16.用科学记数法表示下列各数：
(1)(1×103)－4；
(2)0.007 12.
解：(1×103)－4＝1×10－12.
解：0.007 12＝7.12×10－3.
17.有一句谚语说：“捡了芝麻，丢了西瓜.”意思是说有些人办事只抓一些无关紧要的小事，却忽略了具有重大意义的大事.据测算，5万粒芝麻才200克，你能换算出1粒芝麻有多少克吗？可别“占小便宜吃大亏”噢！(把你的结果用科学记数法表示).
18.【2021·河北】某书店新进了一批图书，甲、乙两种书的进价分别为4元/本、10元/本.现购进m本甲种书和n本乙种书，共付款Q元.
(1)用含m，n的代数式表示Q；
解：Q＝4m＋10n.
(2)若共购进5×104本甲种书及3×103本乙种书，用科学记数法表示Q的值.
解：∵m＝5×104，n＝3×103，
∴Q＝4×5×104＋10×3×103
＝20×104＋3×104＝23×104＝2.3×105.
19.鸵鸟是世界上最大的鸟，体重约160 kg，蜂鸟是世界上最小的鸟，体重仅2 g，一只鸵鸟的体重相当于多少只蜂鸟的体重？(结果用科学记数法表示)
解：160 kg＝160 000 g，
160 000÷2＝80 000＝8×104.
答：一只鸵鸟的体重相当于8×104只蜂鸟的体重．
20.十进制数278记作278(10)，其实278(10)＝2×102＋7×101＋8×100，二进制数101(2)＝1×22＋0×21＋1×20.有一个k(0A.10 B.9 C.8 D.7
【点拨】由题意得：3(k2＋6k＋5)＝5k2＋6k＋1，可以用赋值法找出方程的解．k＝7成立．
D(共30张PPT)
8.5 乘法公式
第1课时 平方差公式
冀教版 七年级下
第八章 整数的乘法
1
2
3
4
6
C
A
B
提示：点击 进入习题
答案显示
5
D
D
B
7
见习题
8
B
9
B
10
A
提示：点击 进入习题
答案显示
11
12
D
13
x2－1
14
见习题
15
D
16
1
17
见习题
18
见习题
19
见习题
20
见习题
D
1．平方差公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2中的a，b( )
A．是数或单个字母
B．是单项式
C．是多项式
D．以上均正确
D
2．【2021·湖南岳阳】下列运算结果正确的是( )
A．3a－a＝2
B．a2·a4＝a8
C．(a＋2)(a－2)＝a2－4
D．(－a)2＝－a2
C
3．【易错：平方差公式理解错误而致错】【2021·河北保定高碑店期中】在下列多项式的乘法中，不可以用乘法公式计算的是( )
A
4．【2020·河北一模】计算(200－2)×(200＋2)的结果是( )
A．39 998 B．39 996
C．29 996 D．39 992
B
5．【河北定州期末】若(2a＋3b)(____)＝9b2－4a2，则横线上应填的代数式是( )
A．－2a－3b B．2a＋3b
C．2a－3b D．3b－2a
D
6．【荣德原创】(5a－3b)(－3b＋ma)可以用平方差公式计算，m的值为( )
A．5
B．－5
C．5或－5
D．以上说法都不对
B
7．计算．
(1)【2019·河北石家庄新华区期末】(－3a＋4b)(－3a－4b)；
(2)【河北唐山路北区期中】(m2＋1)(m＋1)(m－1)－(m4＋1)．
解：原式＝9a2－16b2.
解：(m2＋1)(m＋1)(m－1)－(m4＋1)
＝(m2＋1)(m2－1)－(m4＋1)
＝m4－1－m4－1
＝－2.
8．【2020·河北石家庄模拟】用简便方法计算106×94时，变形正确的是( )
A．1002－6
B．1002－62
C．1002＋2×100＋6
D．1002－2×100＋4
B
9．【2020·河北石家庄月考】计算(x4＋1)(x2＋1)(x＋1)(x－1)的结果是( )
A．x8＋1 B．x8－1
C．(x＋1)8 D．(x－1)8
B
10．若m2－n2＝5，则(m＋n)2(m－n)2的值是( )
A．25 B．5 C．10 D．15
【点拨】∵m2－n2＝5，
∴(m＋n)2(m－n)2＝(m2－n2)2＝25.故选A.
A
11．如图所示的图形可以用来验证平方差公式的有( )
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
D
12．一个正整数若能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“创新数”，例如27＝62－32，63＝82－12，故27，63都是“创新数”，下列各数中，不是“创新数”的是( )
A．31 B．41 C．16 D．54
D
13．【2020·浙江衢州】定义a※b＝a(b＋1)，例如2※3＝2×(3＋1)＝2×4＝8.则(x－1)※x的结果为________．
x2－1
14．计算：
(1)【2020·湖南衡阳】b(a＋b)＋(a＋b)(a－b)；
(2)2x(x－1)－(2x＋4)(2x－4)．
解：b(a＋b)＋(a＋b)(a－b)
＝ab＋b2＋a2－b2
＝a2＋ab.
解：2x(x－1)－(2x＋4)(2x－4)
＝2x2－2x－4x2＋16
＝－2x2－2x＋16.
【点拨】
【答案】D
16．如果(2a＋2b＋1)(2a＋2b－1)＝3，那么(a＋b)2的值为________．
【点拨】由(2a＋2b＋1)(2a＋2b－1)＝3，
得(2a＋2b)2－1＝3，
∴4(a＋b)2＝4，
∴(a＋b)2＝1.
1
17．【2019·河北唐山路南区期中】利用乘法公式有时能进行简便计算
例：101×99＝(100＋1)(100－1)＝1002－12＝10 000－1＝9 999.
请参考给出的例题，通过简便方法计算：
2 002×1 998.
解：2 002×1 998
＝(2 000＋2)(2 000－2)
＝2 0002－22
＝4 000 000－4
＝3 999 996.
18．【中考·吉林】某同学化简a(a＋2b)－(a＋b)(a－b)时出现了错误，解答过程如下：
原式＝a2＋2ab－(a2－b2)(第一步)
＝a2＋2ab－a2－b2(第二步)
＝2ab－b2(第三步)．
(1)该同学解答过程从第______步开始出错，错误原因是____________________；
二
去括号时没有变号
(2)写出此题正确的解答过程．
解：原式＝a2＋2ab－(a2－b2)＝a2＋2ab－a2＋b2＝2ab＋b2.
19．【教材改编题】说明：两个相邻整数的平方差一定是奇数．
解：设较小的整数为n，则较大的数为n＋1.
∴(n＋1)2－n2
＝(n＋1＋n)(n＋1－n)
＝2n＋1.
∵n为整数，∴2n＋1为奇数．即两个相邻整数的平方差一定是奇数．
20．【2020·河北二模】小亮在课余时间写了三个算式：32－12＝8×1，52－32＝8×2，72－52＝8×3，通过认真观察，发现任意两个连续奇数的平方差是8的倍数．
验证：
(1)92－72的结果是8的几倍？
解：验证：∵92－72＝(9＋7)×(9－7)＝16×2＝8×4，
∴92－72的结果是8的4倍．
(2)设两个连续奇数为2n＋1，2n－1(其中n为正整数)，写出它们的平方差，并说明结果是8的倍数；
延伸：
直接写出两个连续偶数的平方差是几的倍数．
【点拨】设两个连续偶数为2n，2n＋2，
根据题意，得(2n＋2)2－(2n)2＝(2n＋2＋2n)(2n＋2－2n)＝2(4n＋2)＝4(2n＋1)，
∵2n＋1为正整数，
∴两个连续偶数的平方差是4的倍数．
解：由两个连续奇数为2n＋1，2n－1(其中n为正整数)，得它们的平方差＝(2n＋1)2－(2n－1)2＝(2n＋1－2n＋1)(2n＋1＋2n－1)＝2×4n＝8n.
∵8n÷8＝n，n为正整数，
∴两个连续奇数的平方差是8的倍数．
延伸：两个连续偶数的平方差是4的倍数．(共37张PPT)
8.3 同底数幂的除法
冀教版 七年级下
第八章 整数的乘法
1
2
3
4
6
A
C
D
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5
D
B
x17
7
C
8
C
9
0
10
2
提示：点击 进入习题
答案显示
11
12
－3
13
－3
14
D
15
C
16
B
17
B
18
D
19
0
20
8
提示：点击 进入习题
答案显示
21
D
22
见习题
23
见习题
24
见习题
25
见习题
26
见习题
1．【2020·江苏常州】计算m6÷m2的结果是( )
A．m3 B．m4
C．m8 D．m12
B
2．【2021·湖南湘潭】下列计算正确的是( )
A．m3÷m2＝m
B．(a3)2＝a5
C．x2·x3＝x6
D．3a3－a2＝2a
A
3．【2020·安徽】计算(－a)6÷a3的结果是( )
A．－a3 B．－a2
C．a3 D．a2
C
4．【2020·河北】墨迹覆盖了等式“x3 x＝x2(x≠0)”中的运算符号，则覆盖的是( )
A．＋ B．－
C．× D．÷
D
5．【河北石家庄裕华区期末】若a＞0且ax＝2，ay＝3，则ax－y的值为( )
A．6
B．5
C．－1
D.
D
6．【2021·河北唐山期末】x15÷x3·x5＝________．
x17
7．【2019·河北秦皇岛海港区期末】计算 的结果是( )
A．6
B.
C．
8 D.
C
8．下列计算结果是负数的是( )
A．2－3 B．3－2 C．(－2)3 D．(－3)2
C
【点拨】A.因为2－3＝ ，所以此选项不合题意．
B．因为3－2＝ ，所以此选项不合题意．
C．因为(－2)3＝－8，所以此选项符合题意．
D．因为(－3)2＝9，所以此选项不合题意．
故选C.
9．【2021·河北石家庄新华区期末】计算：20－1＝________．
0
10．【2021·江苏泰州海陵区月考】若(x－2)0没有意义，则x的值为________．
【点拨】∵(x－2)0没有意义，
∴x－2＝0，
解得x＝2.
2
11．若m，n 满足|m－2|＋(n－2 024)2＝0，则m－1＋n0＝________．
12．【中考·河北】若7－2×7－1×70＝7p，则p的值为________．
－3
13．【易错：忽略零指数幂有意义的条件而致错】【河北唐山丰南区期末】若|a|－2＝(a－3)0，则a＝________.
－3
14．【2020·山东临沂】计算(－2a3)2÷a2的结果是( )
A．－2a3 B．－2a4
C．4a3 D．4a4
D
15．计算(－a)5·(a2)3÷(－a)4的结果正确的是( )
A．a7 B．－a6
C．－a7 D．a6
C
16．【教材改编题】计算(x－2y)6÷(2y－x)2·(x－2y)－2的结果是( )
A．x－2y B．(x－2y)2
C．(x－2y)5 D．(x－2y)6
B
17．【2020·河北模拟】若2m＝8，2n＝4，则22m－n等于( )
A．12 B．16 C．5 D．4
B
18．计算16m÷4n÷2等于( )
A．2m－n－1 B．22m－n－1
C．23m－2n－1 D．24m－2n－1
D
【点拨】16m÷4n÷2＝(24)m÷(22)n÷2＝24m÷22n÷2＝24m－2n－1.
19．【2020·河北保定模拟】若27n÷9m＝1，则3n－2m＝________．
0
20．若2x－5y－3＝0，则4x÷32y的值为________．
8
【点拨】∵2x－5y－3＝0，
∴2x－5y＝3，
∴4x÷32y＝22x÷25y＝22x－5y＝23＝8.
21．【2021·安徽合肥期中】若a＝ ，b＝ ，c＝0.75－1，则a，b，c三个数的大小关系是( )
A．a＞b＞c B．c＞a＞b
C．c＞b＞a D．a＞c＞b
【点拨】
∴a＞c＞b.
故选D.
【答案】D
22．计算．
(1)【2020·湖北武汉】[a3·a5＋(3a4)2]÷a2；
解：原式＝(a3＋5＋9a8)÷a2
＝(a8＋9a8)÷a2
＝10a8÷a2
＝10a6.
(2)[10a3·a5－(3a4)2]÷a2；
解：原式＝(10a3＋5－9a8)÷a2＝(10a8－9a8)÷a2＝a8÷a2＝a6.
23．已知ma＝4，mb＝8，mc＝16.
(1)求m2a＋b的值；
(2)求mb－2c的值；
解：m2a＋b＝m2a·mb＝(ma)2·mb＝42×8＝16×8＝128.
解：
(3)试说明a＋c＝2b.
解：因为ma＋c＝ma·mc＝4×16＝64，m2b＝(mb)2＝82＝64，
所以ma＋c＝m2b.
所以a＋c＝2b.
请你借鉴小明和小红的解题思路，解决下列问题：
(1)若4a－3b＋1＝0，求32×92a＋1÷27b的值；
解：32×92a＋1÷27b
＝32×(32)2a＋1÷(33)b
＝32×34a＋2÷33b
＝34a＋4－3b.
∵4a－3b＋1＝0，∴4a－3b＝－1.
∴原式＝3－1＋4＝33＝27.
(2)已知x满足22x＋4－22x＋2＝96，求x的值．
解：∵22x＋4－22x＋2＝96，
∴22x＋2×22－22x＋2＝96，
∴22x＋2×(22－1)＝96，
∴22x＋2×3＝96， ∴22x＋2＝32，
∴22x＋2＝25，∴2x＋2＝5，
∴x＝ .
25．【2021·浙江期末】某居民小区响应党的号召，开展全民健身活动．该小区准备修建一座健身馆，其设计方案如图所示，A区为成年人活动场所，B区为未成年人活动场所，其余地方均种花草．
(1)活动场所和花草的面积各是多少？
(2)整座健身馆的面积是成年人活动场所面积的多少倍？
解：(a＋4a＋5a)(1.5a＋3a＋1.5a)÷(3a×4a)＝60a2÷12a2＝5.
所以整座健身馆的面积是成年人活动场所面积的5倍．
26．若(x－1)x＋1＝1，求x的值．
解：当x＋1＝0，即x＝－1时，
(x－1)x＋1＝(－2)0＝1；
当x－1＝1，即x＝2时，(x－1)x＋1＝13＝1；
当x－1＝－1，即x＝0时，(x－1)x＋1＝(－1)1＝－1，舍去．
所以x＝－1或x＝2.(共29张PPT)
8.2 幂的乘法与积的乘方
第1课时 幂的乘方
冀教版 七年级下
第八章 整数的乘法
1
2
3
4
6
B
C
D
提示：点击 进入习题
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5
A
C
0
7
C
8
D
9
C
10
C
提示：点击 进入习题
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11
C
12
C
13
D
14
见习题
15
见习题
16
D
17
A
18
2
19
a3b2
20
见习题
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21
见习题
22
见习题
1．【2019·河北石家庄新华区期末】(72)3表示的是( )
A．3个72相加 B．2个73相加
C．3个72相乘 D．5个7相乘
C
2．【2021·江苏】计算 的结果是( )
A．m5 B．m6 C．m8 D．m9
B
3．【教材改编题】下列各式计算正确的是( )
A．(a3)3＝a6
B．a3＋a3＝a6
C．a3·a3＝a6
D．(a3)2＝a3·a2
C
4．计算(－xn－1)3等于( )
A．x3n－1 B．－x3n－1
C．x3n－3 D．－x3n－3
D
5．已知10x＝a，则1002x的值是( )
A．a4 B．a3
C．a8 D．a5
A
6．【2020·湖北宜昌】数学讲究记忆方法．如计算 时若忘记了法则，可以借助 ＝a5×a5＝a5＋5＝a10，得到正确答案．你计算 －a3×a7的结果是________．
0
7．【2020·河北唐山月考】化简a4·a2＋(a3)2的结果正确的是( )
A．a8＋a6 B．a9＋a6
C．2a6 D．a12
C
8．【2019·河北一模】若55＋55＋55＋55＋55＝25n，则n的值为( )
A．10 B．6
C．5 D．3
D
9．已知2m＝a，2n＝b，则22m＋2n用a，b可以表示为( )
A．a2＋b2 B．2a＋2b
C．a2b2 D．4ab
C
10．【2020·河北定州宝塔初级中学月考】已知a＝96，b＝314，c＝275，则a，b，c的大小关系是( )
A．a＞b＞c B．a＞c＞b
C．c＞b＞a D．b＞c＞a
【点拨】因为a＝96＝312，b＝314，c＝275＝315，
所以c>b>a，故选C.
C
11．【2020·河北模拟】计算3n·( )＝－9n＋1，则括号内应填入的式子为( )
A．3n＋1 B．3n＋2 C．－3n＋2 D．－3n＋1
【点拨】∵－9n＋1＝－(32)n＋1＝－32n＋2＝－3n＋n＋2＝3n·(－3n＋2)，
∴括号内应填入的式子为－3n＋2. 故选C.
C
12．已知a＝－34，b＝(－3)4，c＝(23)4，d＝(22)6，则下列判断正确的是( )
A．a＝b，c＝d B．a＝b，c≠d
C．a≠b，c＝d D．a≠b，c≠d
C
13．【易错：同底数幂的乘法和幂的乘方运算混淆】【2020·河北保定乐凯中学期末】若ax＝8，ay＝4，则a2x＋y的值为( )
A．12 B．20 C．32 D．256
【点拨】a2x＋y＝(ax)2·ay＝82×4＝256.
故选D.
D
14．计算：
(1)(－m2)3·m4·m2－m12；
(2)(x2)3·x2－(x4)2＋x2·x6；
(3)(a2)9＋(a4·a2)3＋[(a3)2]3.
解：原式＝－m6·m4·m2－m12＝－m12－m12＝－2m12.
解：原式＝x6·x2－x8＋x8＝x8.
解：原式＝a18＋(a6)3＋(a6)3＝a18＋a18＋a18＝3a18.
15．已知n为正整数，且x2n＝4.
(1)求xn－3·x3(n＋1)的值；
(2)求9(x3n)2－13(x2)2n的值．
解：∵x2n＝4，
∴xn－3·x3(n＋1)＝xn－3·x3n＋3＝x4n＝(x2n)2＝42＝16.
解：∵x2n＝4，
∴9(x3n)2－13(x2)2n＝9x6n－13x4n＝9(x2n)3－13(x2n)2＝9×43－13×42＝576－208＝368.
16．【中考·北京】若5x＝125y，3y＝9z，则x：y：z等于( )
A．1：2：3 B．3：2：1
C．1：3：6 D．6：2：1
D
17．【2020·河北】若k为正整数，则 ＝( )
A．k2k B．k2k＋1 C．2kk D．k2＋k
A
18．【2020·河北唐山月考】若a5· ＝a11，则m的值为________．
【点拨】由a5·(am)3＝a11，
得a5·a3m＝a11，即a3m＋5＝a11.
∴3m＋5＝11.
解得m＝2.
2
19．【2020·河北邯郸期中】已知2m＝a，32n＝b，则23m＋10n＝________．
【点拨】∵32n＝b，
∴25n＝b，
∴23m＋10n
＝23m·210n
＝(2m)3·(25n)2
＝a3b2.
a3b2
20．计算：
(1)[(x－y)4]2；
(2)(a＋b)6·[(b＋a)2]3.
解：[(x－y)4]2＝(x－y)8.
解：(a＋b)6·[(b＋a)2]3＝(a＋b)6·(a＋b)6＝(a＋b)12.
21．已知2x＝a，4y＝b，8z＝ab，试猜想x，y，z之间的数量关系，并说明你的结论的正确性．
解：猜想：x＋2y＝3z.
因为2x·4y＝ab，8z＝ab，
所以2x·4y＝8z，即2x＋2y＝23z.
所以x＋2y＝3z.
22．逆用幂的乘方法则比较大小有两个技巧．
技巧1：底数比较法
(1)阅读下面的题目及解题过程：
试比较4100与575的大小．
解：因为4100＝(44)25＝25625，575＝(53)25＝12525，256>125，
所以4100>575.
请根据上述解答过程，比较255，344，433的大小．
解：因为255＝(25)11＝3211，344＝(34)11＝8111，433＝(43)11＝6411，32＜64＜81，
所以255＜433＜344.
【点拨】逆用幂的乘方法则比较大小的技巧：
底数比较法：逆用幂的乘方法则变形为指数相等，底数不同的形式进行比较；
技巧2：乘方比较法
(2)阅读下列材料：
若a3＝2，b5＝3，比较a，b的大小．
解：因为a15＝(a3)5＝25＝32，b15＝(b5)3＝33＝27，32>27，
所以a15>b15.
所以a>b.
依照上述方法解决问题：
已知a2＝5，b3＝12，且a>0，b>0，试比较a，b的大小．
解：因为a6＝(a2)3＝53＝125，b6＝(b3)2＝122＝144，125＜144，
所以a6＜b6.
又因为a＞0，b＞0，
所以a＜b.
【点拨】乘方比较法：将幂同时乘方化为同指数幂，计算幂的结果，比较幂的大小，从而比较底数的大小．(共31张PPT)
8.4 整式的乘法
第3课时 多项式乘多项式
冀教版 七年级下
第八章 整数的乘法
1
2
3
4
6
D
D
A
提示：点击 进入习题
答案显示
5
B
B
A
7
A
8
见习题
9
见习题
10
见习题
提示：点击 进入习题
答案显示
11
见习题
12
B
13
(ab－a－2b＋2)
14
见习题
15
见习题
16
见习题
1．【2020·江苏连云港】下列计算正确的是( )
A．2x＋3y＝5xy
B．(x＋1)(x－2)＝x2－x－2
C．a2·a3＝a6
D．(a－2)2＝a2－4
B
2．【2021·河北沧州期末】若(x－2)(x＋3)＝x2＋ax＋b，则a，b的值分别为( )
A．a＝5，b＝－6
B．a＝5，b＝6
C．a＝1，b＝6
D．a＝1，b＝－6
D
3．【2020·河北石家庄外国语教育集团期中】已知m＋n＝2，mn＝－2，则(1＋m)(1＋n)的值为( )
A．6 B．－2
C．0 D．1
D
4．【2020·河北定州宝塔初级中学月考】若x－m与x＋3的乘积中不含x的一次项，则m的值为( )
A．3 B．1 C．0 D．－3
A
5．若一个长方体的长、宽、高分别是3x－4，2x－1和x，则它的体积是( )
A．6x3－5x2＋4x B．6x3－11x2＋4x
C．6x3－4x2 D．6x3－4x2＋x
B
6．【2020·河北邢台期末】观察下列两个多项式相乘的运算过程(如图)：
根据你发现的规律，若(x＋a)(x＋b)＝x2－7x＋12，则a，b的值可能分别是( )
A．－3，－4 B．－3，4
C．3，－4 D．3，4
A
7．【2019·河北石家庄平山期末】根据图①的面积可以说明多项式的乘法运算(2a＋b)(a＋b)＝2a2＋3ab＋b2，那么根据图②的面积可以说明多项式的乘法运算是( )
A．(a＋3b)(a＋b)＝a2＋4ab＋3b2
B．(a＋3b)(a＋b)＝a2＋3b2
C．(b＋3a)(b＋a)＝b2＋4ab＋3a2
D．(a＋3b)(a－b)＝a2＋2ab－3b2
A
8．【易错：多项式与多项式相乘漏乘或误判符号导致出错】计算：
(1)【2019·河北衡水武邑期中】(3x－1)(2x2＋3x－4)；
(2)5m2－(m－2)(3m＋1)－2(m＋1)(m－5)．
解：原式＝6x3＋9x2－12x－2x2－3x＋4＝6x3＋7x2－15x＋4.
解：原式＝5m2－(3m2－5m－2)－2(m2－4m－5)＝5m2－3m2＋5m＋2－2m2＋8m＋10＝13m＋12.
9．【2020·黑龙江大庆改编】先化简，再求值：
(x＋5)(x－1)＋(x－2)2，其中x＝3.
解：原式＝x2＋4x－5＋x2－4x＋4＝2x2－1，当x＝3时，原式＝2x2－1＝2×32－1＝17.
10．【2019·河北廊坊模拟】已知(x－1)(x＋3)＝ax2＋bx＋c，求代数式9a－3b＋c的值．
解：∵(x－1)(x＋3)＝x2＋3x－x－3＝x2＋2x－3＝ax2＋bx＋c，∴a＝1，b＝2，c＝－3，
∴原式＝9×1－3×2－3
＝9－6－3
＝0.
11．【教材改编题】解方程：
(1)(x＋2)(x－1)－x(x－3)＝5；
解：去括号，得x2＋x－2－x2＋3x＝5，
移项、合并同类项，得4x＝7.
系数化为1，得x＝ .
解：去括号，得6x2＋10x－6x2－6x＋x＋1＝11，
移项、合并同类项，得5x＝10，
系数化为1，得x＝2.
12．【中考·浙江宁波】在长方形ABCD内，将两张边长分别为a和b(a＞b)的正方形纸片按图①、图②两种方式放置(图①、图②中两张正方形纸片均有部分重叠)，长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图①中阴影部分的面积为S1，图②中阴影部分的面积为S2.当AD－AB＝2时，S2－S1的值为( )
A．2a B．2b C．2a－2b D．－2b
【点拨】由题图可得S1＝(AB－a)·a＋(CD－b)(AD－a)＝(AB－a)·a＋(AB－b)(AD－a)，
S2＝AB(AD－a)＋(a－b)(AB－a)，
∴S2－S1＝AB(AD－a)＋(a－b)(AB－a)－(AB－a)·a－(AB－b)·(AD－a)＝(AD－a)(AB－AB＋b)＋(AB－a)(a－b－a)＝b·AD－ab－b·AB＋ab＝b(AD－AB)＝2b.
【答案】B
13．【2020·浙江金华期中】如图是一块长方形ABCD的场地，长AB＝a m，宽AD＝b m，从A、B两处入口的小路宽都为1 m，两小路汇合处的路宽是2 m，其余部分种植草坪，则草坪面积为________m2.
【点拨】由题图可知，长方形ABCD中去掉小路后，草坪正好可以拼成一个新的长方形．且它的长为(a－2)m，宽为(b－1)m.
∴草坪的面积是(a－2)(b－1)＝ab－a－2b＋2(m2)．
【答案】(ab－a－2b＋2)
14．甲、乙两人分别计算(3x＋a)(4x＋b)．甲抄错了a的符号，得到的结果是12x2＋17x＋6；乙漏抄了第二个括号中x的系数，得到的结果是3x2＋7x－6.
(1)a，b分别是多少？
解：∵乙漏抄了第二个括号中x的系数，得到的结果是3x2＋7x－6，∴(3x＋a)(x＋b)＝3x2＋7x－6，
即3x2＋3bx＋ax＋ab＝3x2＋(3b＋a)x＋ab＝3x2＋7x－6，
∴3b＋a＝7，ab＝－6.
∵甲抄错了a的符号，得到的结果是12x2＋17x＋6，
∴(3x－a)(4x＋b)＝12x2＋17x＋6，即12x2＋3bx－4ax－ab＝12x2＋(3b－4a)x－ab＝12x2＋17x＋6，
∴3b－4a＝17，－ab＝6.
∴a＝－2，b＝3.
(2)该题的正确答案是多少？
解：(3x＋a)(4x＋b)
＝(3x－2)(4x＋3)
＝12x2＋9x－8x－6
＝12x2＋x－6.
15．用比较法解题，可以化难为易，同学们试一下：
(1)如果(x＋3)(x＋a)＝x2－2x－15，则a＝________．
【点拨】由(x＋3)(x＋a)＝x2＋(a＋3)x＋3a＝x2－2x－15，
可得a＋3＝－2，
解得a＝－5.
－5
(2)存不存在m，k的值使(x＋m)(2x2－kx－3)＝2x3－3x2－5x＋6成立，若存在，求出m，k的值；若不存在，请说明理由．
解：存在．(x＋m)(2x2－kx－3)＝2x3＋(－k＋2m)x2＋(－3－mk)x－3m＝2x3－3x2－5x＋6，
则－3m＝6，－k＋2m＝－3，－3－mk＝－5，
所以m＝－2，k＝－1.
16．以下关于x的各个多项式中，a，b，c，m，n均为常数．
(1)根据计算结果填写下表：
5
－1
an＋bm
(3)多项式M与多项式x2－3x＋1的乘积为2x4＋ax3＋bx2＋cx－3，则2a＋b＋c的值为________．
【点拨】由题意设M＝2x2＋mx－3.
【答案】－4