(共27张PPT)
7.2 相交线
第2课时 垂线
冀教版 七年级下
第七章 相交线与平行线
1
2
3
4
6
C
C
D
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5
A
D
B
7
垂线段最短
8
①
9
C
10
D
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11
6 cm；4.8 cm
12
B
13
C
14
见习题
15
见习题
16
见习题
17
见习题
1．【河北唐山迁安期末】下列各图中，过直线l外一点P画l的垂线CD，三角尺摆放方式正确的是( )
D
2．【河北邢台宁晋县期末】如图，直线AB，CD相交于点O，下列条件中，不能说明AB⊥CD的是( )
A．∠AOD＝90°
B．∠AOC＝∠BOC
C．∠BOC＋∠BOD＝180°
D．∠AOC＋∠BOD＝180°
C
3．如图，如果直线ON⊥a，直线OM⊥a，那么OM与ON重合，其理由是( )
A．过两点只有一条直线
B．在同一平面内，过两点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．在同一平面内，过一点有且只
有一条直线与已知直线垂直
D．两点之间，线段最短
C
4．【2020·河北】如图，在平面内作已知直线m的垂线，可作垂线的条数是( )
A．0条
B．1条
C．2条
D．无数条
D
5．【2021·河北石家庄一模】如图，在笔直小路DE的一侧栽种两棵小树B，C，小明在A处测得AB＝5米，AC＝7米，则点A到DE的距离可能为( )
A．4米
B．5米
C．6米
D．7米
A
6．如图，AD⊥BD，BC⊥CD，AB＝6，BC＝5，则BD的范围是( )
A．BD＞5 B．5＜BD＜6
C．BD≤6 D．5≤BD≤6
B
7．【2020·吉林】如图，某单位要在河岸l上建一个水泵房，引水到C处，他们的做法是：过点C作CD⊥l于点D，将水泵房建在了D处．这样做最节省水管长度，其数学道理是________________．
垂线段最短
8．下图是三个日常现象：
其中，可以用“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”来解释的是________(填序号)．
①
9．【2020·河北石家庄藁城区尚西中学月考】如图，P是直线l外一点，A，B，C在直线l上，且PB⊥l，那么下列说法中不正确的是( )
A．线段BP的长度叫做点P到直线l的距离
B．PA，PB，PC三条线段中，PB最短
C．PA是点P到直线l的垂线段
D．线段AB的长是点A到直线PB的距离
C
10．在下列图形中，线段PQ的长能表示点P到直线l的距离的是( )
D
11．【2019·河北石家庄28中月考】如图所示，已知∠ACB＝90°，若BC＝8 cm，AC＝6 cm，AB＝10 cm，则点A到BC的距离是________，点C到AB的距离是________．
6 cm
4.8 cm
12．【易错：两点之间线段最短和垂线段最短两个性质，理解错误】【2021·河北石家庄长安区期末】如图，河道l的同侧有A，B两个村庄，计划铺设一条管道将河水引至A，B两地，下面的四个方案中，管道长度最短的是( )
B
13．在三角形ABC中，BC＝6，AC＝3，过点C作CP⊥AB，垂足为P，则CP长的最大值为( )
A．5 B．4
C．3 D．2
【点拨】因为CP⊥AB，
所以CP≤AC，CP≤BC，
因为BC＝6，AC＝3，
所以CP≤3，CP≤6，
所以PC≤3，
所以CP长的最大值为3.
【答案】C
14．【教材改编题】把下列推理过程补充完整．
如图，在三角形ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为点D，判断AD与BC的大小关系，并说明理由．
解：AD
理由：
因为∠BAC＝90°(已知)，
所以AC⊥________(____________)．
所以AC_______________________________)．
AB
垂直的定义
直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
因为AD⊥BC(已知)，
所以AD_______________________________)．
所以AD直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
15．画图并回答问题：
(1)如图，点P在∠AOC的边OA上．
①过点P画OA的垂线交OC于B；
②过点P画OB的垂线段PM，交OB于M.
解：如图所示．
(2)指出上述所作图中，哪一条线段的长度表示点P到OB的距离．
解：PM这条线段的长度表示点P到OB的距离．
(3)指出所作图中与∠O互余的角(可以表示出来的角)．
解：所作图中与∠O互余的角为∠OPM，∠OBP.
16．如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD于点O.
(1)若∠AOC＝40°，求∠BOE的度数；
解：因为EO⊥CD，
所以∠DOE＝90°.
又因为∠BOD＝∠AOC＝40°，
所以∠BOE＝90°－40°＝50°.
(2)若∠BOD ∶∠BOC＝1 ∶5，求∠AOE的度数；
解：因为∠BOD∶∠BOC＝1∶5，
所以∠BOD＝ ∠COD＝30°，
所以∠AOC＝30°.
因为EO⊥CD，
所以∠COE＝90°，
所以∠AOE＝90°＋30°＝120°.
(3)在(2)的条件下，请你过点O画直线MN⊥AB，并在直线MN上取一点F(点M在点N左侧，点F与O不重合)，然后直接写出∠EOF的度数．
解：如图，分两种情况：
若点F在射线OM上，则∠EOF＝30°；
若点F′在射线ON上，则∠EOF′＝150°.
17．在如图所示的直角三角形ABC中，斜边为BC，两直角边分别为AB，AC，设BC＝a，AC＝b，AB＝c.
(1)试用所学知识说明：斜边BC是最长的边；
解：因为点C与直线AB上点A，B的连线中，
CA是垂线段，所以AC＜BC.
因为点B与直线AC上点A，C的连线中，AB是垂线段，
所以AB＜BC. 所以斜边BC是最长的边．
解：因为BC＞AC，AB＜BC，AC＋AB＞BC，所以原式＝a－b－(c－a)＋b＋c－a＝a.
(2)试化简|a－b|＋|c－a|＋|b＋c－a|.(共28张PPT)
7.2 相交线
第1课时 相交线
冀教版 七年级下
第七章 相交线与平行线
1
2
3
4
6
C
B
A
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5
B
C
37°
7
B
8
D
9
A
10
B
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11
见习题
12
见习题
13
A
14
见习题
15
40或80
16
见习题
17
见习题
18
见习题
19
2；6；n(n－1)
1．【2020·河北石家庄第二十七中学期中】下列四个图形中，∠1与∠2是对顶角的是( )
C
2．【2021·广西桂林】如图，直线a，b相交于点O，∠1＝110°，则∠2的度数是( )
A．70° B．90°
C．110° D．130°
C
3．【2021·河北期末】如图，直线AB、CD相交于点O，下列结论：①∠1和∠2互为对顶角；②∠1和∠2互为邻补角；③∠1＝∠2；④∠1＝∠3.其中正确的是( )
A．①③ B．②④
C．②③ D．①④
B
4．【2020·贵州贵阳】如图，直线a，b相交于点O，如果∠1＋∠2＝60°，那么∠3是( )
A．150° B．120°
C．60° D．30°
A
5．【2019·河北秦皇岛海港区一模】如图，有一个破损的扇形零件，小明利用量角器量出这个扇形零件的圆心角度数为50°，你认为小明测量的依据是( )
A．同角的余角相等 B．对顶角相等
C．角的定义 D．三角形内角和等于180°
B
6．如图，直线AB、CD相交于点O，OA平分∠COE，若∠DOE＝106°，则∠BOD＝________．
【点拨】因为∠DOE＝106°，
所以∠COE＝180°－∠DOE＝180°－106°＝74°.
因为OA平分∠COE，
所以∠COA＝∠EOA＝ ∠COE＝ ×74°＝37°.
因为∠BOD＝∠AOC，
所以∠BOD＝37°.
【答案】 37°
7．【2019·河北唐山玉田县二模】如图，下列各组角中，互为内错角的是( )
A．∠1和∠2 B．∠2和∠3
C．∠1和∠3 D．∠2和∠4
B
8．下列各图中，∠1和∠2是同位角的是( )
A．①②③ B．②③④
C．③④⑤ D．①②⑤
D
9．【2019·河北邯郸邱县期末】如图，下列结论中不正确的是( )
A．∠1和∠2是同位角
B．∠2和∠3是同旁内角
C．∠1和∠4是同位角
D．∠2和∠4是内错角
A
10．如图所示，内错角共有( )
A．4对
B．6对
C．8对
D．10对
B
11．(1)如图①，直线BD上有一点C，则∠1和∠ABC是直线________，________被直线______所截形成的________角；
AB
CE
BD
同位
(2)如图②，∠EDC和__________是直线DE，BC被直线________所截形成的内错角．
∠BCD
DC
12．【荣德原创】填空：
(1)延长图中的线段，得到∠BAC的同位角，可以延长线段________或线段________.
(2)延长图中的一条线段，既可以得到∠ABC的内错角，又可以得到∠ACB的同位角，可以延长线段________．
AC
AB
CA
13．如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOE＝2∠AOC，若∠1＝38°，则∠DOE等于( )
A．66° B．76°
C．90° D．144°
【点拨】因为∠1＝38°，
所以∠AOC＝∠1＝38°，
又因为∠AOE＝2∠AOC，所以∠AOE＝76°.
所以∠DOE＝180°－∠AOE－∠AOC＝180°－76°－38°＝66°. 故选A.
【答案】A
14．如图，直线l截直线a，b所得的同位角有____对，它们是_________________________________________；内错角___对，它们是___________________；同旁内角有___对，它们是___________________；对顶角有__对，它们是_____________________________________________．
4
∠6与∠4，∠5与∠1，∠7与∠3，∠8与∠2
2
∠4与∠8，∠3与∠5
2
∠4与∠5，∠3与∠8
4
∠1与∠3，∠2与∠4，∠5与∠7，
∠6与∠8
15．【易错：未给出图形，考虑不周全致错】两条直线相交所成的四个角中，有两个角分别是(2x－10)°和(110－x)°，则x＝________．
【点拨】①当两个角为对顶角时，2x－10＝110－x.
解得x＝40.
②当两个角为邻补角时，2x－10＋110－x＝180.
解得x＝80.
40或80
16．【2019·河北衡水武邑县月考】如图，已知a，b，c三条直线两两相交，∠1＝2∠3，∠1＋∠3＝150°，求∠1＋∠2＋∠3.
解：因为∠1＝2∠3，∠1＋∠3＝150°，
∠2＝∠3，
所以∠1＋∠2＋∠3＝2∠3＋∠3＋∠3＝4∠3，
2∠3＋∠3＝150°.
所以∠3＝50°.
所以∠1＋∠2＋∠3＝4∠3＝200°.
17．两条直线被第三条直线所截，∠1是∠2的同旁内角，∠2是∠3的内错角．
(1)画出示意图；
解：如图所示．
(2)若∠1＝2∠2，∠2＝2∠3，求∠1，∠2的度数．
解：因为∠1＝2∠2，∠2＝2∠3，
所以∠1＝4∠3.
又因为∠1＋∠3＝180°，
所以4∠3＋∠3＝180°.
所以∠3＝36°.
所以∠1＝144°，∠2＝72°.
18．如图，把一根筷子的一端放在水里，另一端露出水面，筷子变弯了，它真的弯了吗？其实没有，这是光的折射现象，光从空气中射入水中，光的传播方向发生了改变．
(1)与∠1是同旁内角的角有哪些？与∠2是内错角的角有哪些？
解：与∠1是同旁内角的角有∠AOE，∠MOE，∠ADE；
与∠2是内错角的角有∠MOE，∠AOE.
(2)若∠AOE＝65°，∠BOM＝145°，从水面上看斜插入水中的筷子，水下部分向上弯折了多少度？
解：因为∠AOE＝65°，
所以∠BOE＝115°.
因为∠BOM＝145°，
所以∠MOE＝∠BOM－∠BOE＝145°－115°＝30°，
所以水下部分向上弯折了30°.
19．【2020·河北石家庄外国语教育集团开学考试】观察图形，按要求找角(不含平角)．如图①，两条直线交于点O，共有____对对顶角；如图②，三条直线交于同一点O，共有____对对顶角……
探究：若有n条直线相交于同一点，则可形成_________对对顶角．
2
6
n(n－1)(共28张PPT)
提分专项（三）
平行线与角的常见题型
冀教版 七年级下
第七章 相交线与平行线
1
2
3
4
6
7
见习题
见习题
见习题
见习题
见习题
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5
见习题
A
8
见习题
9
见习题
1．【2020·辽宁朝阳】如图，四边形ABCO是长方形(长方形的对边平行)，点D是BC边上的动点(点D与点B、点C不重合)，则 的值为( )
A．1
B.
C．2
D．无法确定
【答案】A
【点拨】如图，过点D作DE∥AB交AO于点E.
∵四边形ABCO是长方形，
∴AB∥OC. ∵DE∥AB，∴AB∥DE∥OC.
∴∠BAD＝∠ADE，∠DOC＝∠ODE.
故选A.
2．如图，AB∥CD，点P在AB，CD之间，则∠B，∠D，∠BPD之间有何数量关系？并说明理由．
解：∠B＋∠D＝∠BPD.
理由如下：如图，作PQ∥AB，则∠B＝∠BPQ.
∵AB∥CD，∴CD∥PQ.
∴∠D＝∠DPQ，
∴∠B＋∠D＝∠BPQ＋∠DPQ＝∠BPD.
3．已知直线a∥b，将一块含30°角的直角三角尺按图中方式放置，其中点A和点B分别落在直线a和b上．若∠2＝50°，求∠1的度数．
解：∵直线a∥b，∠2＝50°，
∴∠1＋90°＋∠2＋30°＝180°，
即∠1＋90°＋50°＋30°＝180°，
∴∠1＝10°.
4．课题学行线的“等角转化”功能．
阅读理解：
如图①，已知点A是BC外一点，连接AB，AC.求∠BAC＋∠B＋∠C的度数．
(1)阅读并补充下面的推理过程．
解：过点A作ED∥BC，所以∠B＝________，∠C＝________．
又因为∠EAB＋∠BAC＋∠DAC＝180°，
所以∠BAC＋∠B＋∠C＝180°.
∠EAB
∠DAC
解题反思：
从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC，∠B，∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
方法运用：
(2)如图②，已知AB∥ED，求∠B＋∠BCD＋∠D的度数．
深化拓展：
解：如图①，过点C作CF∥AB，
∵AB∥DE， ∴CF∥DE，
∴∠D＝∠FCD，
∵CF∥AB，
∴∠B＝∠BCF，
∵∠BCF＋∠BCD＋∠FCD＝360°，
∴∠B＋∠BCD＋∠D＝360°.
(3)如图③，已知AB∥CD，∠ADC＝70°，∠ABC＝60°，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE，DE所在的直线交于点E，求∠BED的度数．
解：如图②，过点E作EF∥AB，∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，∴∠ABE＝∠BEF，∠CDE＝∠DEF，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝60°，∠ADC＝70°，∴∠ABE＝ ∠ABC＝30°，∠CDE＝ ∠ADC＝35°，
∴∠BED＝∠BEF＋∠DEF＝
∠ABE＋∠CDE＝30°＋35°＝65°.
5．【2021·河北衡水武强县期末】已知AB∥CD，试解决下列问题：
(1)如图①，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4的度数；
解：如图，过点E作EM∥AB，
过点F作FN∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥EM∥FN∥CD，
∴∠1＋∠AEM＝180°，∠MEF＋∠EFN＝180°，∠NFC＋∠4＝180°，
∵∠2＝∠AEM＋∠MEF，∠3＝∠EFN＋∠NFC，
∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝540°.
(2)如图②，直接写出∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋…＋∠n的度数．
解：[180(n－1)]°.
6．【河北唐山路北区月考】如图所示，已知AB∥DE，∠ABC＝80°，∠CDE＝140°，求∠BCD的度数．
解：如图，过点C作FG∥AB，
则∠B＝∠BCF，因为AB∥DE，
所以 FG∥DE，
所以∠CDE＋∠DCF＝180°，
又因为∠B＝80°，∠CDE＝140°，
所以∠BCF＝80°，
∠DCF＝180°－∠CDE＝40°，
所以∠BCD＝∠BCF－∠DCF＝40°.
7．【2020·河北石家庄期中】如图，已知直线AB∥CD，∠B＝115°，∠D＝25°，BE与CD相交于点F，求∠BED的度数．
解：如图，∵直线AB∥CD，
∠B＝115°，∴∠1＝180°－∠B＝65°.
∴∠2＝∠1＝65°. 又∵∠D＝25°，
∴∠BED＝180°－∠2－∠D＝
180°－65°－25°＝90°.
8．【河北衡水武邑县月考】有一天，小虎同学用“几何画板”画图，他先画了两条平行线AB，CD，然后在平行线间画了一点E，连接BE，DE后(如图①)，他用鼠标左键点住点E，拖动后，分别得到如图②、图③、图④等图形，这时他突然一想，∠B，∠D与∠BED之间的度数有没有某种联系呢？接着小虎同学通过利用“几何画板”的“度量角度”和“计算”的功能，找到了这三个角之间的关系．
(1)你能探讨出图①至图④各图中的∠B，∠D与∠BED之间的关系吗？
解：①∠B＋∠D＝∠BED；
②∠B＋∠D＋∠BED＝360°；
③∠BED＝∠D－∠B；
④∠BED＝∠B－∠D.
(2)请从所得的四个关系中选一个，说明它成立的理由．
解：(答案不唯一)选题图③.
如图，过点E作EF∥AB，
则∠B＝∠BEF. ∵AB∥CD，
∴EF∥CD，∴∠D＝∠DEF，
又∵∠BED＝∠DEF－∠BEF，
∴∠BED＝∠D－∠B.
9．已知直线AB∥CD，直线EF与AB，CD分别相交于点E，F.
(1)如图①，若∠1＝60°，求∠2，∠3的度数；
解：∵∠2＝∠1，∠1＝60°，
∴∠2＝60°.
∵AB∥CD，∴∠3＝∠1＝60°.
(2)若点P是平面内的一个动点，连接PE，PF，探索∠EPF，∠PEB，∠PFD三个角之间的关系：
①当点P在图②的位置时，可得∠EPF＝∠PEB＋∠PFD；
请阅读下面的解答过程，并填空(理由或数学式)．
解：如图②，过点P作MN∥AB，
则∠EPM＝∠PEB(_______________________)．
两直线平行，内错角相等
∵AB∥CD，MN∥AB，
∴MN∥CD(________________________________)．
∴∠MPF＝∠PFD(________________________)．
∴_______________＝∠PEB＋∠PFD(等式的性质)．
即∠EPF＝∠PEB＋∠PFD.
②当点P在图③的位置时，请直接写出∠EPF，∠PEB，∠PFD三个角之间的关系：______________________________；
平行于同一条直线的两条直线平行
两直线平行，内错角相等
∠EPM＋∠MPF
∠EPF＋∠PEB＋∠PFD＝360°
③当点P在图④的位置时，请直接写出∠EPF，∠PEB，∠PFD三个角之间的关系：_______________________.
∠EPF＋∠PFD＝∠PEB(共19张PPT)
7.1 命题
第1课时 命题
冀教版 七年级下
第七章 相交线与平行线
1
2
3
4
6
C
②③
B
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5
见习题
B
见习题
7
D
8
B
9
B
10
D
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11
见习题
12
见习题
13
见习题
1．下列语句不是命题的是( )
A．锐角小于钝角 B．作∠A的平分线
C．若|a|＝|b|，则a＝b D．小明是七年级的学生
B
2．【2020·河北秦皇岛期末】下列语句是命题的是( )
A．延长线段AB
B．你吃过午饭了吗
C．直角都相等
D．连接A，B两点
C
3．下列语句是命题的是________．(填序号)
①画一条线段等于已知线段；②今天是晴天；③若a＞b，则－a＞－b；④一个角的补角一定大于这个角吗？
②③
4．【荣德原创】关于命题“两个数的乘积是0，这两个数都是0”的条件和结论，浩浩认为：条件是“两个数”，结论是“都是0”；彤彤认为：条件是“两个数的乘积是0”，结论是“这两个数都是0”．他们的说法( )
A．浩浩对，彤彤错 B．浩浩错，彤彤对
C．浩浩和彤彤都对 D．浩浩和彤彤都错
B
5．【易错：命题的条件和结论理解错误】【2021·河北唐山路南区月考】同角的补角相等，改写成“如果……那么……”的形式：________________________________________________．条件：_______________________，结论：________________．
如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等
两个角是同一个角的补角
这两个角相等
6．把下列命题改写成“如果……那么……”的形式，再分别写出条件和结论．
(1)负数的偶次幂是正数；
解：如果一个数是负数，那么这个数的偶次幂是正数．
条件：一个数是负数； 结论：这个数的偶次幂是正数．
(2)绝对值相等的两个数一定相等；
解：如果两个数的绝对值相等，那么这两个数一定相等．
条件：两个数的绝对值相等；结论：这两个数一定相等．
(3)两个角的和是180°，这两个角都是锐角．
解：如果两个角的和是180°，那么这两个角都是锐角．
条件：两个角的和是180°；结论： 这两个角都是锐角．
7．下列是命题，而且是真命题的是( )
①AC＋BC＝AB，则点C是AB的中点；
②AC＝BC，则点C是AB的中点；
③延长线段AB到点C，使AC＝2AB；
④ AB＝2AC＝2BC, 则点C是AB的中点；
⑤点C是AB的中点．
A．①②⑤ B．②③④ C．①②③ D．④
D
8．下列命题：①两个有理数相乘是正数，则这两个数都是正数；②任何有理数都有相反数；③一个有理数的平方等于它本身，则这个数是1或0；④如果一个有理数的绝对值等于它本身，那么这个数是正数．其中真命题有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
B
9．【2020·河北邯郸期末】说明“如果x＜2，那么x2＜4”是假命题，能作为反例的x值可以为( )
A．－1 B．－3 C．0 D．1.5
B
10．【易错：反例的概念理解错误】说明“若a>b，则a2>b2”是假命题的反例，下列说法正确的是( )
A．反例是a＝－3，b＝1，因为(－3)2>12
B．反例是a＝－1，b＝0，因为0>－1
C．反例是a＝－1，b＝－3，因为－1>－3
D．反例是a＝1，b＝－3，因为1>－3，且(－3)2>12
D
11．“末位数字是0的正整数能被2整除”这个命题的条件是____________________________，结论是_____________________，它是一个_________命题(填“真”或“假”)．
一个正整数，它的末位数字是0
这个正整数能被2整除
真
12．【教材改编题】写出命题“所有分数一定可以写成有限小数”的条件和结论，并判断命题的真假性，如果是假命题，举出一个反例．
【点拨】所举反例不唯一．
解：命题的条件是一个数是分数，
结论是这个数一定可以写成有限小数．
这是一个假命题，
13．用a＞b，ab＞0，|a|＞|b|中的两个作为条件，余下的一个作为结论，组成一个命题，并指出命题的真假性．
解：①如果a＞b，ab＞0，那么|a|＞|b|.是假命题；
②如果a＞b，|a|＞|b|，那么ab＞0.是假命题；
③如果ab＞0，|a|＞|b|，那么a＞b.是假命题．(共31张PPT)
冀教版 七年级下
第七章 相交线与平行线
7.5 平行线的性质
第2课时 平行线的性质和判定的综合应用
1
2
3
4
6
180°
见习题
D
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5
D
A
A
7
A
8
D
9
80°
10
A
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11
见习题
12
见习题
13
见习题
14
见习题
15
见习题
1．【2020·河北邢台期中】平面内有三条直线a，b，c，下列说法：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c，其中正确的是( )
A．只有①
B．只有②
C．①②都正确
D．①②都不正确
A
2．如图，若AB∥EF，AB∥CD.则∠2＋∠3－∠1＝________．
【点拨】∵AB∥EF，AB∥CD(已知)，
∴EF∥CD(平行于同一条直线的两条直线平行)，
∴∠3＝∠CGE(两直线平行，内错角相等)，
∴∠3－∠1＝∠CGE－∠1＝∠BGE(等式的性质)．
∵AB∥EG(已知)，
∴∠2＋∠BGE＝180°(两直线平行，同旁内角互补)，
即∠2＋∠3－∠1＝180°(等量代换)．
【答案】180°
3．下图是我们常用的折叠式小刀，刀柄外形是一个长方形挖去一个小半圆形，其中刀片的两条边缘线可看成两条平行的线段，转动刀片时会形成∠1与∠2，若∠1＝60°，求∠2的度数．
解：如图，过点E作EF∥AB，
∴∠1＝∠AEF.
∵AB∥CD，∴EF∥CD，
∴∠2＝∠CEF，
∴∠1＋∠2＝∠AEF＋∠CEF＝∠AEC＝90°.
又∵∠1＝60°，∴∠2＝30°.
4．【易错：平行线的性质和判定识别不清，产生错误】【2020·河北邯郸育华中学月考】如图所示，下列推理及括号中所注明的推理依据错误的是( )
A．∵∠1＝∠3，∴AB∥CD(内错角相等，两直线平行)
B．∵AB∥CD，∴∠1＝∠3(两直线平行，内错角相等)
C．∵AD∥BC，∴∠BAD＋∠ABC＝180°(两直线平行，同旁内角互补)
D．∵∠DAM＝∠CBM，∴AB∥CD(两直线平行，同位角相等)
【答案】D
5．【2020·广东深圳改编】含30°的直角三角尺中三个角的度数分别是30°，60°，90°，一把直尺与30°的直角三角尺如图所示，如果∠1＝40°，那么∠2＝( )
A．50° B．60°
C．70° D．80°
【点拨】如图，由题易知∠3＝60°.
∵直尺两边平行，
∴∠1＋∠2＋∠3＝180°.
∴∠2＝180°－∠3－∠1＝80°.
故选D.
【答案】D
6．如图，∠B＝∠C，∠A＝∠D，有下列结论：
①AB∥CD；②AE∥DF；③AE⊥BC；④∠AMC＝∠BND.
其中正确的有( )
A．①②④ B．②③
C．③④ D．①②③④
A
7．【2019·河北唐山丰南区期末】如图，∠1＋∠2＝180°，∠3＝124°，则∠4的度数为( )
A．56° B．46°
C．66° D．124°
A
8．【2020·湖南岳阳】如图，DA⊥AB，CD⊥DA，∠B＝56°，则∠C的度数是( )
A．154°
B．144°
C．134°
D．124°
【点拨】∵DA⊥AB，CD⊥DA，
∴AB∥CD，
∴∠C＋∠B＝180°，
∵∠B＝56°，
∴∠C＝124°. 故选D.
【答案】D
9．如图，石家庄市为缩小城乡差距，大力改善农村设施，某乡村要修建一条公路，从A村沿北偏东75°方向到B村，从B村沿北偏西25°方向到C村．若要保持公路CE与AB的方向一致，则∠ECB的度数为________．
【点拨】如图，由题意，得AN∥FB，EC∥BD，
故∠FBD＝∠NAB＝75°，
∵∠CBF＝25°，
∴∠CBD＝100°，
则∠ECB＝180°－100°＝80°.
【答案】80°
10．【2020·江苏南通】如图，已知AB∥CD，∠A＝54°，∠E＝18°，则∠C的度数是( )
A．36° B．34°
C．32° D．30°
【点拨】过点E作EF∥AB，则EF∥CD，如图所示．
∵EF∥AB，
∴∠AEF＝∠A＝54°，
∵∠CEF＝∠AEF－∠AEC＝54°－18°
＝36°.
又∵EF∥CD，∴∠C＝∠CEF＝36°. 故选A.
【答案】A
11．【荣德原创】如图，CD平分∠ACM，∠B＝∠DCM＝62°，求∠A的度数．
解：∵CD平分∠ACM，∠DCM＝62°，
∴∠ACD＝∠DCM＝62°.
∵∠B＝∠DCM＝62°，
∴AB∥CD.
∴∠A＝∠ACD＝62°.
12．【2019·河北唐山迁安期末】如图，点A，B分别在直线EF和DF上，且∠1＋∠C＝180°，∠2＝∠3.
(1)请你判断AD与EC的位置关系，并说明理由；
解：AD∥EC.
理由如下：∵∠1＋∠C＝180°，∴AD∥EC(同旁内角互补，两直线平行)．
(2)若DA平分∠BDC，CE⊥AE，垂足为E，∠1＝40°，求∠4的度数．
解：∵DA平分∠BDC，∴∠1＝∠3.
又∵∠2＝∠3，∴∠1＝∠2＝40°.
∵CE⊥AE，∴∠E＝90°.
∵AD∥EC，∴∠FAD＝∠E＝90°，
∴∠4＝∠FAD－∠2＝90°－40°＝50°.
13．【2019·河北石家庄新华区期末】如图，已知∠1＋∠2＝180°，∠3＝∠B，试说明DE∥BC.
解：∵∠1＋∠2＝180°(已知)，且∠1＋________＝180°(邻补角的定义)，
∴∠2＝________(同角的补角相等)，
∴BD∥EF(__________________________)，
∴∠3＝_________(两直线平行，内错角相等)．
又∵∠3＝∠B(已知)，
∴________＝________(等量代换)，
∴DE∥BC(__________________________)．
∠4
∠4
内错角相等，两直线平行
∠5
∠5
∠B
同位角相等，两直线平行
14．如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐的角∠A是110°，第二次拐的角∠B是140°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，求∠C的大小．
解：如图，过点B作BE∥AM.
∵AM∥CN，∴AM∥BE∥CN.
∴∠A＝∠ABE，∠CBE＋∠C＝180°.
∵∠A＝110°，∴∠ABE＝110°.
∵∠ABC＝140°，
∴∠CBE＝140°－110°＝30°，
∴∠C＝180°－30°＝150°.
15．直线l1平行于直线l2，直线l3，l4分别与l1，l2交于点B，F和A，E，点D是直线l3上一动点，DC∥AB交l4于点C.
(1)如图，当点D在l1，l2两线之间运动时，∠BAD，∠DEF，∠ADE之间的关系是________．
【点拨】∵AB∥CD，∴∠BAD＝∠ADC(两直线平行，内错角相等)．∵l1∥l2，AB∥CD，∴CD∥EF.∴∠DEF＝∠CDE(两直线平行，内错角相等)．故∠BAD＋∠DEF＝∠ADC＋∠CDE，即∠BAD＋∠DEF＝∠ADE.
【答案】∠BAD＋∠DEF＝∠ADE.
(2)当点D在l1，l2两线外侧运动时，试探究∠BAD，∠DEF，∠ADE之间的关系(点D和B，F不重合)，画出图形，给出结论，不必说明理由．
解：有两种情况：①当点D在BF的延长线上运动时(如图①)，∠BAD＝∠ADE＋∠DEF；②当点D在FB的延长线上运动时(如图②)，∠DEF＝∠ADE＋∠BAD.(共13张PPT)
7.1 命题
第2课时 说理
冀教版 七年级下
第七章 相交线与平行线
1
2
3
4
6
见习题
B
见习题
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5
见习题
A
见习题
7
见习题
8
见习题
1．下列命题属于“基本事实”的是( )
①两点之间，线段最短；②两点确定一条直线；③同号相乘得正，异号相乘得负；④在数轴上一个数的绝对值等于这个数到原点的距离．
A．①② B．①③ C．②③ D．③④
A
2．判断下列关于“基本事实”的说法是否正确．
(1)经过证明正确的命题，都可以作为基本事实；
(2)基本事实不一定是真命题；
(3)定义都一定是基本事实；
(4)基本事实可以作为证明其他命题的依据．
解：错误．
解：错误．
解：错误．
解：正确．
3．下面关于基本事实和定理的说法不正确的是( )
A．基本事实和定理都是真命题
B．基本事实就是定理，定理就是基本事实
C．基本事实和定理都可以作为推理论证的依据
D．基本事实的正确性不需证明，定理的正确性需证明
B
4．填空：
(1)若∠1＋∠2＝90°，∠2＋∠3＝90°，则∠1＝___．
依据是________________．
(2)如果a＝b，那么a±c＝________；
依据是_________________．
∠3
同角的余角相等
b±c
等式的基本性质1
5．将下面的说理过程补充完整．
如图，点O在直线CD上，∠1＝∠3，试说明A，O，B三点在同一条直线上．
解：因为点O在直线CD上( )，
所以∠1＋∠2＝________( )．
因为∠1＝∠3( )，
所以__________＋∠3＝__________( )，
所以A，O，B三点在同一条直线上( )．
已知
180°
平角的定义
已知
∠2
180°
等量代换
平角的定义
6．【2021·河北石家庄期末改编】把下面的说理过程补充完整．
如图，O为直线AB上一点，∠DOE＝90°.若∠AOC＝130°，OD平分∠AOC.
(1)求∠BOD的度数；
(2)试说明OE平分∠BOC.
解：(1)因为OD平分∠AOC，∠AOC＝130°，
所以∠AOD＝∠DOC＝∠AOC＝×130°＝65°( )，
所以∠BOD＝180°－∠AOD＝180°－65°＝115°( )．
角平分线的定义
补角的定义
(2)因为∠DOE＝90°，∠DOC＝65°，
所以∠COE＝∠DOE－( )＝90°－65°＝25°，
因为∠BOD＝115°，∠DOE＝90°，
所以∠BOE＝∠BOD－∠DOE＝115°－90°＝25°( )，
所以∠COE＝∠BOE，
即OE平分∠BOC( )．
∠DOC
两角差的定义
角平分线的定义
7．【教材改编题】说明“3个连续整数的和一定是3的倍数．”
解：设中间的整数为n，则较小的整数为n－1，较大的整数为n＋1.
所以三个连续整数的和为(n－1)＋n＋(n＋1)＝3n.
因为n为整数，所以3n是3的倍数．
所以3个连续整数的和一定是3的倍数．
8．【创新考法】某参观团依据下列约束条件，从A，B，C，D，E五个地方选定参观地点：
①如果去A地，那么也必须去B地；
②D，E两地至少去一处；
③B，C两地只去一处；
④C，D两地都去或都不去；
⑤如果去E地，那么A，D两地也必须去．
依据上述条件，你认为参观团只能去哪些地方？
解：由②知，D，E两地至少去一处，若去E地，则由⑤知必须去A，D两地，
由①和④可知必须去B，C两地，但与③矛盾，
所以不能去E地，因此必须去D地．
由④知必须去C地，
再由③知，不能去B地，从而由①知也不能去A地，故参观团只能去C，D两地．(共26张PPT)
提分专项（二）
利用相交线和平行线的性质求角的度数
冀教版 七年级下
第七章 相交线与平行线
1
2
3
4
6
7
见习题
D
72°
50
20°
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5
见习题
见习题
8
见习题
9
见习题
10
见习题
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11
见习题
1．如图，直线AB，CD，EF相交于一点O，∠AOD＝3∠AOF，∠AOC＝120°，求∠BOE的度数．
解：∵∠AOD＝3∠AOF，
∴设∠AOF＝x，则∠AOD＝3x.
∵∠AOD＋∠AOC＝180°，
∴3x＋120°＝180°，
解得x＝20°，∴∠BOE＝∠AOF＝20°.
2．如图，已知直线AB以及点C、点D、点E.
(1)画直线CD交直线AB于点O，画射线OE；
解：如图所示．
(2)在(1)所画的图中，若∠AOE＝40°，∠EOD ∶∠AOC＝3 ∶4，求∠AOC的度数．
解：∵∠EOD ∶∠AOC＝3 ∶4，
∴设∠EOD＝3x，∠AOC＝4x，
∵∠BOD＝∠AOC，∴∠BOD＝4x，
∵∠AOB＝180°，∴40°＋3x＋4x＝180°，
∴x＝20°，∴∠AOC＝4x＝80°.
3．【2021·河北石家庄第四十一中学期中】如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为点O，若∠COA＝60°，则∠EOD的度数是( )
A．60° B．100°
C．130° D．150°
【点拨】∵∠COA＝60°，
∴∠BOD＝∠COA＝60°，
∵EO⊥AB，∴∠EOB＝90°.
∴∠EOD＝∠EOB＋∠BOD＝90°＋60°＝150°.
故选D.
【答案】D
4．【2020·黑龙江大庆】将两个三角尺的直角顶点重合为如图所示的位置，若∠AOD＝108°，则∠COB＝________．
72°
5．如图，直线AB与CD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CD.
(1)①图中与∠AOF互余的角是_________________；
②图中与∠COE互补的角是
________________．
(把符合条件的角都写出来)
∠BOD，∠AOC
∠EOD，∠BOF
(2)如果∠AOC比∠EOF的 小6°，求∠BOD的度数．
解：∵OE⊥AB，OF⊥CD，∴∠EOC＋∠AOC＝90°，∠AOF＋∠AOC＝90°，∴∠EOC＝∠AOF.
设∠AOC＝x°，则∠EOC＝∠AOF＝(90－x)°.
∴∠EOF＝∠EOC＋∠AOC＋∠AOF＝(180－x)°.
依题意，列方程得x＝ (180－x)－6，解得x＝25.
∴∠BOD＝∠AOC＝25°.
6．【2021·湖南湘潭】如图，直线a，b被直线c所截，已知a∥b，∠1＝130°，则∠2为________度．
50
7．【2020·辽宁盘锦】如图，直线a∥b，三角形ABC的顶点A和C分别落在直线a和b上，若∠1＝60°，∠ACB＝40°，则∠2的度数是________．
【点拨】∵直线a∥b，
∴∠1＝∠ACB＋∠2，
又∵∠1＝60°，∠ACB＝40°，
∴∠2＝20°.
【答案】20°
8．如图①所示，AB∥CD，E为直线CD下方的一点，BF平分∠ABE.
(1)试说明：∠ABE＋∠C－∠E＝180°.
解：过点E作EK∥AB，如图，
∴∠ABE＝∠BEK.
∵AB∥CD，∴EK∥CD，
∴∠CEK＋∠C＝180°，
∴∠ABE＋∠C－∠BEC＝∠BEK＋∠C－∠BEC＝∠BEC＋∠CEK＋∠C－∠BEC＝∠CEK＋∠C＝180°.
(2)如图②，EG平分∠BEC，过点B作BH∥GE，求∠FBH与∠C之间的数量关系．
解：∵BF，EG分别平分∠ABE，∠BEC，
∴∠ABF＝∠EBF，∠BEG＝∠CEG，
设∠ABF＝∠EBF＝α，∠BEG＝∠CEG＝β，
∵BH∥EG，∴∠HBE＝∠BEG＝β，
∴∠FBH＝∠FBE－∠HBE＝α－β，
由(1)知，∠ABE＋∠C－∠BEC＝180°，
即2α＋∠C－2β＝2(α－β)＋∠C＝180°，
∴2∠FBH＋∠C＝180°.
(3)如图③，CN平分∠ECD，若BF的反向延长线和CN的反向延长线交于点M，且∠E＋∠M＝130°，请直接写出∠E的度数．
解：∠E＝80°.
9．在解答一道习题时，两位同学呈现了不同的做法．
题目：如图，AB∥CD，要使∠ABE＝∠DCF，还需要添加什么条件？说明你的结论．
(1)小明添加的条件是“CF∥BE”．根据这一条件完成以下分析过程．
①处应填_______________________．
②处应填________________．
两直线平行，内错角相等
∠FCB＝∠EBC
(2)小刚添加的条件是“CF平分∠DCB，BE平分∠ABC”，根据这一条件请你完成说明过程．
解：∵AB∥CD，∴∠DCB＝∠ABC.
∵CF平分∠DCB，BE平分∠ABC，
∴∠DCB＝2∠DCF，∠ABC＝2∠ABE，
∴∠ABE＝∠DCF.
10．【2019·河北石家庄新华区28中月考】如图，AD∥BC，∠EAD＝∠C，∠FEA＝∠BAE.试说明：
(1)AE∥CD；
解：∵AD∥BC，
∴∠EAD＝∠AEB.
∵∠EAD＝∠C，∴∠AEB＝∠C，
∴AE∥CD.
(2)∠BAE＝∠EFC.
解：∵AE∥CD，
∴∠EFC＝∠FEA.
∵∠FEA＝∠BAE，
∴∠BAE＝∠EFC.
11．如图，直线AB，ED被直线BC所截，∠1＝∠2＝50°.
(1)判断AB和CD是否平行，请说明理由．
解：AB∥CD.
理由如下：∵∠1＝∠2，∠1＝∠ABC，
∴∠2＝∠ABC，
∴AB∥CD.
(2)若CA平分∠BCE，求∠3的度数．
解：∵∠2＝50°，
∴∠BCE＝180°－∠2＝130°.
∵CA平分∠BCE，
∴∠ECA＝ ∠BCE＝65°.
∵AB∥CD，∴∠3＝∠ECA＝65°.(共27张PPT)
7.4 平行线的判定
冀教版 七年级下
第七章 相交线与平行线
1
2
3
4
6
D
见习题
15°
提示：点击 进入习题
答案显示
5
见习题
D
D
7
B
8
C
9
36
10
见习题
提示：点击 进入习题
答案显示
11
A
12
C
13
见习题
14
见习题
15
见习题
1．【2020·河北唐山模拟】将一块直角三角尺ABC按如图方式放置，其中∠ABC＝30°，A，B两点分别落在直线m，n上，∠1＝20°，添加下列哪一个条件可使直线m∥n？( )
A．∠2＝20°
B．∠2＝30°
C．∠2＝45°
D．∠2＝50°
D
2．如图，已知∠1＝∠2，其中能判定AB∥CD的是( )
D
3．【2021·河北沧州期中】如图，两块三角尺的形状、大小完全相同，边AB∥CD的依据是_____________________________________________________________．
内错角相等，
两直线平行
4．如图，若将木条a绕点O旋转后与木条b平行，则旋转角的最小度数是________．
15°
5．如图，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠AEF＝∠EFD，EP和FQ分别是∠AEF和∠EFD的平分线，判断EP和FQ的位置关系，并说明理由．
解：EP∥FQ. 理由如下：
∵EP和FQ分别是∠AEF和∠EFD的平分线，
∴∠PEF＝ ∠AEF，∠EFQ＝ ∠EFD.
又∵∠AEF＝∠EFD，
∴∠PEF＝∠EFQ. ∴EP∥FQ.
6．【2020·湖南郴州改编】如图，直线a，b被直线c，d所截．下列条件能判定a∥b的是( )
A．∠1＝∠3
B．∠2＋∠4＝180°
C．∠4＝∠5
D．∠1＋∠5＝180°
D
7．【易错：角的位置关系理解错误而致错】如图，下列条件：①∠1＝∠3；②∠2＋∠4＝180°；③∠4＝∠5；④∠2＝∠3；⑤∠6＝∠2＋∠3.其中能判定直线l1∥l2的有( )
A．5个 B．4个
C．3个 D．2个
B
8．【2019·河北唐山玉田县期中】在如图所示的四种沿AB进行折叠的方法中，不一定能判定纸带两条边a，b互相平行的是( )
A．如图①，展开后测得∠1＝∠2
B．如图②，展开后测得∠1＝∠2且∠3＝∠4
C．如图③，测得∠1＝∠2
D．在图④中，展开后测得∠1＋∠2＝180°
【答案】C
9．【2021·河北衡水武强县期中】如图，BA⊥AC，若∠ABC＝54°，则∠EAC＝________度时，DE∥BC.
36
10．如图，已知∠1＝65°，∠2＝65°，∠3＝115°. 试说明：DE∥BC，DF∥AB.
根据图形，完成下面的推理：
∵∠1＝65°，∠2＝65°，∴∠1＝∠2.
∴________∥________(________________________)．
∵AB与DE相交，∴∠1＝∠4(___________________)．
∴∠4＝65°.
又∵∠3＝115°，∴∠3＋∠4＝180°.
∴_____∥______(____________________________)．
DE
BC
同位角相等，两直线平行
对顶角相等
DF
AB
同旁内角互补，两直线平行
11．如图，将三个相同的三角尺不重叠不留空隙地拼在一起，观察图形，在线段BA，AC，CE，EA，ED，CD，BC中，相互平行的线段有( )
A．4组
B．3组
C．2组
D．1组
【点拨】由题意知：∠BCA＝∠EAC，∠DCE＝∠AEC，∠BAC＝∠ECA，∠ACE＝∠DEC.
∴BC∥AE，CD∥AE，AB∥EC，AC∥DE.
∴相互平行的线段有4组．
故选A.
【答案】A
12．【2020·河北石家庄藁城区尚西中学月考】下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容，则回答正确的是( )
已知：如图，∠BEC＝∠B＋∠C，试说明：AB∥CD.
解：延长BE交____※____于点F，易得∠BEC＝____⊙____＋∠C，
∵∠BEC＝∠B＋∠C，
∴∠B＝____▲____．
∴AB∥CD(____□____相等，两直线平行).
(第12题)
A． ⊙代表∠FEC B．□代表同位角
C．▲代表∠EFC D．※代表AB
【答案】C
13．【教材改编题】如图①，在三角形ABC中，∠A＝42°，∠C＝80°，BC边绕点C按逆时针方向旋转一周回到原来的位置．在旋转的过程中(图②)，当旋转角α＝________时，CB′∥AB，并说明理由．
解：58°或238° 理由如下：如图①，
当α＝238°时，
∠ACB′＝360°－∠ACB－α＝360°－80°－238°＝42°，
∵∠A＝42°，∴∠ACB′＝∠A.
∴CB′∥AB.
如图②，
当α＝58°时，∠ACB′＝∠ACB＋α＝80°＋58°＝138°，
∵∠A＝42°，
∴∠ACB′＋∠A＝138°＋42°＝180°.
∴CB′∥AB.
综上，当α＝58°或238°时，CB′∥AB.
14．如图，已知点E在直线DC上，射线EF平分∠AED，过E点作EB⊥EF，G为射线EC上一点，连接BG，且∠EBG＋∠BEG＝90°.
(1)试说明：∠DEF＝∠EBG；
解：∵EB⊥EF，∴∠FEB＝90°，
∴∠DEF＋∠BEG＝180°－90°＝90°，
又∵∠EBG＋∠BEG＝90°，
∴∠DEF＝∠EBG.
(2)若∠EBG＝∠A，试判断AB与EF的位置关系，并说明理由．
解：AB∥EF.理由如下：
∵EF平分∠AED，∴∠AEF＝∠DEF＝∠AED.
∵∠EBG＝∠A，∠DEF＝∠EBG，∴∠A＝∠DEF.
又∵∠DEF＝∠AEF，∴∠A＝∠AEF.
∴AB∥EF.
15．【创新考法】如图，在海上巡逻的缉私艇正在向北航行，当它航行到A处时，发现在它的北偏东32°51′的B处有一条走私船，缉私艇马上调转船的方向直追走私船并一举截获．这时从雷达上看出，港
口就在正南面D处．于是船长下令：将船
头调转147°9′，直接返港．试问：船长下
令返航的航向是否正确？并说明理由．
解：船长下令返航的航向正确．理由如下：
∵∠ABD＝180°－147°9′＝32°51′，∠CAB＝32°51′，
∴∠ABD＝∠CAB. ∴AC∥BD.
∵由A处到C处是正北方向，
∴由B处到D处是正南方向．
∴船长下令返航的航向是正确的．(共31张PPT)
7.6 图形的平移
冀教版 七年级下
第七章 相交线与平行线
1
2
3
4
6
D
B
D
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5
D
A
D
7
A
8
A
9
12
10
C
提示：点击 进入习题
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11
4；1
12
见习题
13
B
14
42
15
见习题
16
见习题
17
见习题
1．下列图形中，能由其中一个图形平移得到另一个图形的是( )
A
2．【易错：平移的概念理解错误而致错】【2020·河北张家口期末】下列现象：①电梯的升降运动；②飞机在地面上沿直线滑行；③风车的转动；④冷水加热过程中气泡的上升．其中不属于平移的是( )
A．①② B．①③
C．②③ D．③④
D
3．下列图形中，可以由其中一个图形通过平移得到的是( )
B
4．【2021·天津期末】如图，在一块长方形草地上原有一条等宽的笔直小路，现在要把这条小路改为同样宽度的等宽弯曲小路，则下列结论正确的是( )
A．改造后小路的长度不变
B．改造后小路的长度变小
C．改造后草地部分的面积变小
D．改造后草地部分的面积不变
D
5．【2020·河北邯郸育华中学月考】河北省省教委贯彻“学生要学有价值的知识”，某校数学兴趣小组开展动手操作活动，设计了如图所示的三种图形，现计划用铁丝按照图形制作相应的造型，则所用铁丝的长度关系是( )
A．甲种方案所用铁丝最长
B．乙种方案所用铁丝最长
C．丙种方案所用铁丝最长
D．三种方案所用铁丝一样长
【点拨】由题图可得：甲种方案所用铁丝的长度为2a＋2b.
乙种方案所用铁丝的长度为2a＋2b.
丙种方案所用铁丝的长度为2a＋2b.
故三种方案所用铁丝一样长． 故选D.
【答案】D
6．如图，将三角形ABC平移得到三角形A′B′C′，则图中平行线共有( )
A．3对
B．4对
C．5对
D．6对
D
7．【中考·福建泉州】如图，三角形ABC沿着由点B到点E的方向，平移到三角形DEF，已知BC＝5，EC＝3，那么平移的距离为( )
A．2
B．3
C．5
D．7
A
8．如图，图中的小三角形可以由三角形ABC平移得到的有( )
A．5个
B．6个
C．7个
D．8个
A
9．【2020·青海】如图，将周长为8的三角形ABC沿BC边向右平移2个单位长度，得到三角形DEF，则四边形ABFD的周长为________．
【点拨】由平移的性质得AC＝DF，CF＝AD＝2.
∵三角形ABC的周长为8，
∴AB＋BC＋AC＝8.
∴四边形ABFD的周长为AB＋BF＋DF＋AD＝AB＋(BC＋CF)＋AC＋AD＝AB＋BC＋AC＋2＋2＝8＋2＋2＝12.
【答案】12
10．下列平移作图错误的是( )
·
·
C
11．【教材改编题】下面图形中的A图向右平移________格，再向下平移________格可以到B图的位置．
4
1
12．【2020·河北秦皇岛期末】在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，三角形ABC的顶点都在正方形网格的格点(网格线的交点)上．
(1)画出三角形ABC向左平移3格，再向上平移2格所得的三角形A1B1C1；
解：如图，三角形A1B1C1即为所求．
(2)求三角形A1B1C1的面积．
解：S三角形A1B1C1＝S三角形ABC＝ ×6×4－×3×1－1×1－ ×5×1＝7.
13．【2020·河北邯郸期末】如图，在三角形ABC中，∠ABC＝90°，将三角形ABC沿AB方向平移AD的长度得到三角形DEF，已知EF＝8，BE＝3，CG＝2，则图中阴影部分的面积是( )
A．12.5 B．21
C．42 D．45.5
【点拨】三角形ABC沿AB方向平移AD的长度得到三角形DEF，∴EF＝BC＝8，S三角形DEF＝S三角形ABC，
∴S三角形ABC－S三角形DBG＝S三角形DEF－S三角形DBG，
∴S四边形ACGD＝S梯形BEFG，
∵CG＝2，∴BG＝BC－CG＝8－2＝6，
∴题图中阴影部分的面积＝S梯形BEFG＝ ×(6＋8)×3＝21.
故选B.
【答案】B
14．如图，长8米，宽6米的草坪上有一条宽为1米的弯折的小路，绿地的面积为________平方米．
42
15．如图，多边形的相邻两边均互相垂直，求这个多边形的周长．
解：多边形的周长为(5＋9)×2＝14×2＝28.
16．如图，将方格纸中的三角形ABC先向右平移2格得到三角形DEF，再将三角形DEF向上平移3格得到三角形GPH.
(1)动手操作：按上面步骤作出经过两次平移后分别得到的三角形；
解：如图所示．
(2)设AC与ED相交于点M，则图中与线段AC既平行又相等的线段有_________，图中与∠BAC相等的角有__________________________________；
DF，GH
∠EDF，∠PGH，∠AMD，∠CME
(3)若∠BAC＝α，∠ABC＝β，求∠HAC和∠DMC的度数．(用含α和β的式子表示)
解：如图，由平移的性质得：PH∥BC，AB∥ED，
∵∠BAC＝α，∠ABC＝β，∴∠BCA＝180°－∠BAC－∠ABC＝180°－α－β.
∵PH∥BC，
∴∠HAC＝∠BCA＝180°－α－β.
∵AB∥ED，
∴∠MEC＝∠ABC＝β，
∴∠DMC＝180°－∠EMC＝∠MEC＋∠BCA＝β＋180°－α－β＝180°－α.
17．如图，两个单位位于一条封闭式街道的两旁，分别用点M，N表示，现准备修建一座过街天桥，桥建在何处时才能使点M到点N的路线最短？请说明理由．(注意：桥必须和街道垂直)
解：作法如下：
(1)作NE⊥AB于点E，交CD于点F；
(2)在NE上截取NN′＝EF；
(3)连接MN′，交AB于点P；
(4)过点P作PQ⊥AB交CD于点Q，如图，则PQ为过街天桥应建的位置．
理由如下：如图，连接QN.
∵PQ⊥AB，NE⊥AB，
∴PQ∥NE.
又∵NN′＝EF，易知EF＝PQ，
∴PQ＝NN′(相当于将PQ平移到N′N)．
∴QN＝PN′.
∴MP＋PQ＋QN＝MP＋PN′＋PQ＝MN′＋PQ.
∵MP＋PN′＝MN′最短(两点之间线段最短)，PQ为定值，
∴桥建在PQ处时，点M到点N的路线最短．(共33张PPT)
第七章
综合复习训练
冀教版 七年级下
第七章 相交线与平行线
1
2
3
4
6
7
C
见习题
B
见习题
提示：点击 进入习题
答案显示
5
见习题
A
8
B
9
120°
10
见习题
①②④
11
12
见习题
见习题
提示：点击 进入习题
13
见习题
14
见习题
答案显示
15
B
16
B
17
C
18
见习题
1．下列语句中，是命题的是( )
①若∠1＝50°，∠2＝50°，则∠1＝∠2；②内错角相等吗？③画线段AB＝CD；④如果a＞b，b＞c，那么a＞c；⑤直角都相等．
A．①④⑤ B．①②④
C．①②⑤ D．②③④⑤
A
2．【2020·江苏扬州期末】下列关于命题“若a2>b2，则a>b”的说法，正确的是( )
A．是真命题
B．是假命题，反例是a＝1，b＝2
C．是假命题，反例是a＝－2，b＝1
D．是假命题，反例是a＝－1，b＝－2
C
3．已知命题“如果两条射线是两条平行线被第三条直线所截得到的一对内错角的平分线，那么这两条射线互相平行”．
(1)写出命题的条件和结论；
解：条件：两条射线是两条平行线被第三条直线所截得到的一对内错角的平分线；
结论：这两条射线互相平行．
(2)画出图形，用数学符号叙述这个命题；
解：如图，如果AB∥CD，直线AB，CD被直线EF所截，EG平分∠AEF，FH平分∠EFD，那么EG∥FH.
(3)说明这个命题是真命题．
解：∵EG平分∠AEF，FH平分∠EFD，
∴∠GEF＝ ∠AEF，∠EFH＝ ∠EFD.
∵AB∥CD，
∴∠AEF＝∠EFD.
∴∠GEF＝∠EFH.∴EG∥FH.
∴该命题是真命题．
4．【2021·河北邢台模拟】如图，有两种说法：①线段AB的长是点A到点B的距离；②线段AB的长是直线l1，l2之间的距离．关于这两种说法，正确的是( )
A．①正确，②错误
B．①正确，②正确
C．①错误，②正确
D．①错误，②错误
B
5．如图所示，直线AB与CD相交于O点．
(1)∠BOC的对顶角是________；
(2)若∠1＝∠2，∠BOC＝88°20′，则∠AOE＝________．
∠AOD
134°10′
6．如图，下列说法正确的是________．(填序号)
①∠C没有同位角；②∠B有3个同旁内角；③∠B和∠EAC是同位角；④若AC平分∠EAB, ∠EAC＝50°，则∠B的内错角是80°.
①②④
7．如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB.
(1)若∠1＝20°，∠2＝20°，则∠DON＝________；
(2)若∠1＝∠2，判断ON与CD的位置关系，并说明理由；
90°
解：ON⊥CD.理由如下：∵OM⊥AB，
∴∠1＋∠AOC＝90°.
又∵∠1＝∠2，
∴∠2＋∠AOC＝90°.
∴∠CON＝90°.∴ON⊥CD.
(3)若∠1＝ ∠BOC，求∠AOC和∠MOD的度数．
解：∵∠1＝ ∠BOC，
∴∠BOC＝4∠1，
即∠BOM＝3∠1.
易知∠BOM＝90°，∴∠1＝30°.
∴∠AOC＝90°－∠1＝60°，
∠MOD＝180°－∠1＝150°.
8．【2020·湖南常德】如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为( )
A．70°
B．65°
C．35°
D．5°
【点拨】如图，作CF∥AB，∵AB∥DE，
∴AB∥DE∥CF，∴∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2，
∵∠1＝30°，∠2＝35°，
∴∠BCF＝30°，∠FCE＝35°，
∴∠BCE＝∠BCF＋∠FCE＝65°.
故选B.
【答案】B
9．如图①是长方形纸带，∠DEF＝20°，将纸带沿EF折叠成图②，再沿GF折叠成图③，则图③中的∠CFE的度数是________．
【点拨】∵AD∥BC，∠DEF＝20°，
∴∠BFE＝∠DEF＝20°，
∴∠EFC＝160°(题图①)，
∴∠BFC＝160°－20°＝140°(题图②)，
∴∠CFE＝140°－20°＝120°(题图③)．
【答案】120°
10．如图，AB∥CD，∠1∶∠2∶∠3＝1∶2∶3.判断BA是否平分∠EBF，并说明理由．
【点拨】当问题中角的数量关系出现倍数、比例时，可通过列方程解决问题．
解：BA平分∠EBF.理由如下：
∵∠1∶∠2∶∠3＝1∶2∶3，
∴设∠1＝k，则∠2＝2k，∠3＝3k.
∵AB∥CD，
∴∠2＋∠3＝180°，
即2k＋3k＝180°，
解得k＝36°.
∴∠1＝36°，∠2＝72°，
∴∠ABE＝180°－∠2－∠1＝72°.
∴∠2＝∠ABE，
即BA平分∠EBF.
11．如图，在五边形ABCDE中，AE∥CD，∠A＝107°，∠ABC＝121°.求∠C的度数．
【点拨】本题通过作辅助线构造基本图形，把问题转化为平行线的性质和判定的问题，从而建立起角之间的关系．
解：如图，作BF∥AE交ED于点F.
∵BF∥AE，∠A＝107°，
∴∠ABF＝180°－107°＝73°.
又∵∠ABC＝121°，
∴∠FBC＝121°－73°＝48°.
∵AE∥CD，BF∥AE，∴BF∥CD.
∴∠C＝180°－∠FBC＝132°.
12．如图，已知直线AB，CD，点P不在直线AB，CD上．按要求作图：
(1)过点P作AB的平行线EF；
(2)过点P作CD的平行线MN.
解：如图所示．
13．如图，将三角形ABC沿射线AB的方向平移2个单位长度到三角形DEF的位置，点A，B，C的对应点分别为点D，E，F.
(1)直接写出图中与AD相等的线段；
(2)若AB＝3，则AE＝________；
(3)若∠ABC＝75°，求∠CFE的度数．
解：与AD相等的线段有：BE，CF.
5
解：由平移的性质得BC∥EF，AE∥CF，∴∠E＝∠ABC＝75°，∠CFE＋∠E＝180°，∴∠CFE＝105°.
14．如图，每个小正方形的边长为1，在方格纸内将三角形ABC经过一次平移后得到三角形A′B′C′.根据下列条件，利用网格点和直尺画图：
(1)补全三角形ABC；
(2)在平移过程中，求线段AB扫过的面积．
解：如图所示，三角形ABC即为所求．
解：所求面积＝4×4× ×2＝16.
15．【2020·浙江金华】如图，工人师傅用角尺画出工件边缘AB的垂线a和b，得到a∥b，理由是( )
A．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行
C．在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线
D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
【答案】B
16．【河北石家庄桥西区期中】下列图形中，由∠1＝∠2可推出直线AB∥CD的是( )
B
17．【2020·河北邯郸育华中学月考】如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的3倍少20°，那么这两个角是( )
A．50°，130°
B．都是10°
C．50°，130°或10°，10°
D．以上都不对
【点拨】∵两个角的两边分别平行，
∴这两个角相等或互补．设其中一个角为x°，
若这两个角相等，则x＝3x－20，解得x＝10，
∴这两个角的度数都是10°. 若这两个角互补，
则180－x＝3x－20，解得x＝50，
∴这两个角的度数分别是50°和130°.
∴这两个角的度数是50°，130°或10°，10°.
【答案】C
18．如图．
(1)如果∠1＝________，那么DE∥AC，理由：_________________________．
(2)如果∠1＝________，那么EF∥BC，理由：________________________．
∠C
同位角相
等，两直线平行
∠FED
内错角相
等，两直线平行
(3)如果∠FED＋∠EFC＝180°，那么_____∥_________，理由：__________________________．
(4)如果∠A＋∠AED＝180°，那么_____∥________，理由：___________________________．
DE
AC
同旁内角互补，两直线平行
DE
AC
同旁内角互补，两直线平行(共29张PPT)
7.5 平行线的性质
第1课时 平行线的性质
冀教版 七年级下
第七章 相交线与平行线
1
2
3
4
6
B
A
B
提示：点击 进入习题
答案显示
5
B
B
55°
7
见习题
8
B
9
A
10
见习题
提示：点击 进入习题
答案显示
11
B
12
∠4＝∠5
13
相等或互补
14
见习题
15
见习题
16
见习题
17
见习题
18
30或110
1．【2020·广西桂林】如图，直线a，b被直线c所截，a∥b，∠1＝50°，则∠2的度数是( )
A．40°
B．50°
C．60°
D．70°
B
2．【2021·贵州遵义】如图，已知直线a∥b，c为截线，若∠1＝60°，则∠2的度数是( )
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
【点拨】如图：
∵直线a∥b，∠1＝60°，
∴∠3＝∠1＝60°，
∵∠2＝∠3，
∴∠2＝60°，
故选B.
【答案】B
3．【2020·湖南娄底】如图，将直尺与三角尺叠放在一起，如果∠1＝28°，那么∠2的度数为( )
A．62° B．56°
C．28° D．72°
A
4．【2019·湖北襄阳】如图，直线BC∥AE，CD⊥AB于点D，若∠BCD＝40°，则∠1的度数是( )
A．60°
B．50°
C．40°
D．30°
B
5．【2019·河北石家庄新华区期中】一副直角三角尺如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠DFE＝∠ACB＝90°，则∠DBC的度数为( )
A．10°
B．15°
C．18°
D．30°
【点拨】∵AB∥CF，∴∠ABD＝∠EDF＝60°.
∵∠ABC＝45°，∴∠DBC＝∠ABD－∠ABC＝15°，
故选B.
【答案】B
6．【2019·河北邯郸武安期末】如图，一把直尺沿直线断开并错位，点E，D，B，F都在这条直线上，若∠ADE＝125°，则∠DBC的度数为________．
55°
7． 【荣德原创】如图，由________∥________，可以得到∠3＝∠4；由________∥_______，可以得到∠1＝∠2.
AD
BC
AB
CD
8．【2020·河北模拟】光线在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从空气射向水中时，会发生折射．如图，在空气中平行的两条入射光线，在水中的两条折射光线也是平行的．若水面和杯底互相平行，且∠1＝122°，则∠2＝( )
A．61° B．58°
C．48° D．41°
【点拨】如图．
∵水面和杯底互相平行，
∴∠1＋∠3＝180°，
∴∠3＝180°－∠1＝180°－122°＝58°.
∵水中的两条折射光线平行，
∴∠2＝∠3＝58°. 故选B.
【答案】B
9．【2021·河北石家庄一模】如图，有A，B，C三个地点，且AB⊥BC，从A地测得B地的方位角是北偏东43°，那么从C地测得B地的方位角是( )
A．南偏东47°
B．南偏西43°
C．北偏东43°
D．北偏西47°
【点拨】如图，
∵AF∥DE，∴∠FAB＋∠ABD＝180°，
∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，
又∵∠FAB＝43°，∴∠CBD＝47°，
∴C地在B地的北偏西47°的方向上．
∴从C地测得B地的方位角是南偏东47°，故选A.
【答案】A
10．【2021·河北廊坊期末】如图，已知∠A＝∠F＝40°，∠C＝∠D＝70°，求∠ABD，∠CED的度数．
解：∵∠A＝∠F＝40°，∴DF∥AC，
∴∠ABD＝∠D，∵∠D＝70°，
∴∠ABD＝70°，∵DF∥AC，
∴∠CED＋∠C＝180°，
∵∠C＝70°，∴∠CED＝110°.
11．【2020·河北唐山期末】如图，DE∥BC，EF∥AB，则图中与∠BFE互补的角的个数为( )
A．5
B．4
C．3
D．2
【答案】B
【点拨】如图，∵DE∥BC，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，
∵EF∥AB，∴∠3＝∠4，∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4，
∵∠4＋∠BFE＝180°，∴∠1＋∠BFE＝180°，∠2＋∠BFE＝180°，∠3＋∠BFE＝180°，
∴∠BFE的补角分别是∠ADE，∠DEF，
∠EFC，∠B. 故选B.
12．已知l1∥l2，如图标注的角中，利用“两直线平行，同位角相等”可以得到___________．
∠4＝∠5
13．【易错：不能正确画出全部图形导致漏解】一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角的数量关系是___________．
【点拨】如图，AB∥DE，FG∥BC，
则∠ABC＝∠DEG，
∠ABC＋∠DEF＝180°，所以有相等和互补两种情况．
相等或互补
14．如图，a∥b，∠1＋∠3＝180°，∠2＝47°，求∠4的度数．
解：∵a∥b，∠2＝47°，
∴∠1＝∠2＝47°，
∵∠1＋∠3＝180°，
∴∠2＋∠3＝180°.
∴c∥d. ∴∠4＝∠1＝47°.
15．【2019·河北保定二模】如图，直线AB∥CD，直线EF分别与AB，CD交于点E，F，EG平分∠BEF，交CD于点G，若∠1＝70°，求∠2的度数．
解：∵∠1＝70°，
∴∠BEF＝180°－70°＝110°.
∵EG平分∠BEF，
∴∠BEG＝∠GEF＝ ∠BEF＝55°.
∵AB∥CD，∴∠2＝∠BEG＝55°.
16．把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，D，C分别落在D′，C′的位置上，ED′与BC的交点为G，如图所示．若∠EFG＝60°，求∠1与∠2的度数．
解：由题意可知AD∥BC.
∴∠DEF＝∠EFG＝60°，
∠1＋∠2＝180°.
由折叠易得∠DEF＝∠D′EF，
∴∠DEF＝∠D′EF＝60°.
∴∠1＝180°－∠DEF－∠D′EF＝60°.
∵∠1＋∠2＝180°，∴∠2＝120°.
17．【中考·湖南益阳】如图，AB∥CD，∠1＝∠2. 试说明AM∥CN.
解：∵AB∥CD，
∴∠EAB＝∠ECD.
又∵∠1＝∠2，
∴∠EAM＝∠ECN.
∴AM∥CN.
18．【创新考法】某段铁路两旁安置了两个可旋转探照灯，主道路两边平行，即PQ∥MN.如图所示，灯A光束从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B光束从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度．若灯B光束先转动30秒，灯A光束才开始转动，在灯B光束到达BQ之前，灯A光束转动
__________秒，两灯的光束互相平行.
【点拨】设灯A光束转动t秒，两灯的光束互相平行．
①当0∵PQ∥MN，∴∠PBD＝∠BDA.
∵AC∥BD，∴∠CAM＝∠BDA，
∴∠CAM＝∠PBD，
∴2t＝1·(30＋t)．
解得t＝30；
②当90∵PQ∥MN，∴∠PBD＋∠BDN＝180°.
∵AC∥BD，∴∠CAN＝∠BDN，
∴∠PBD＋∠CAN＝180°，
∴1·(30＋t)＋(2t－180)＝180，解得t＝110，综上所述，当t＝30或t＝110时，两灯的光束互相平行．
【答案】30或110(共32张PPT)
7.3 平行线
冀教版 七年级下
第七章 相交线与平行线
1
2
3
4
6
见习题
见习题
D
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5
7 cm或17 cm
D
D
7
C
8
见习题
9
B
10
=
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11
C
12
B
13
见习题
14
见习题
15
见习题
16
见习题
17
见习题
18
见习题
1．【2020 河北邯郸育华中学月考】同一平面内如果两条直线不重合，那么它们( )
A．平行 B．相交
C．相交或垂直 D．平行或相交
D
2．【2021·河北张家口沽源县期末】如图，在长方体ABCD EFGH中，与BC平行的棱是____________________．
棱AD，棱EH，棱FG
3．如图，在方格纸中，点C在直线AB外．
(1)过点C画AB的垂线CE；
(2)过点C画AB的平行线CH；
解：(1)(2)如图所示．
(3)通过你的观察，CH与CE的位置关系为_________．
互相垂直
4．【易错：未给出图形考虑不周全而致错】已知直线a∥b，点M到直线a的距离是5 cm，到直线b的距离是3 cm，那么直线a和b之间的距离是( )
A．2 cm B．6 cm
C．8 cm D．2 cm或8 cm
【点拨】如图①，直线a和b之间的距离为5－3＝2(cm)．
如图②，直线a和b之间的距离为5＋3＝8(cm)．
故选D.
【答案】D
5．【2020·贵州铜仁】设AB，CD，EF是同一平面内三条互相平行的直线，已知AB与CD的距离是12 cm，EF与CD的距离是5 cm，则AB与EF的距离等于______________．
7 cm或17 cm
6．【易错：未给出图形考虑不周全而致错】过一点画已知直线的平行线( )
A．有且只有一条 B．不存在
C．有两条 D．不存在或有且只有一条
D
7．【创新考法】【2021·河北石家庄一模】在同一平面内，经过直线l外一点O的4条直线中，与直线l相交的直线至少有( )
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
C
8．如图，在直线a的同侧有P，Q，R三点，若PQ∥a，QR∥a，则P，Q，R三点_____(填“在”或“不在”)同一条直线上，理由是______________________________________________________________．
在
经过已知直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行
9．如图，当∠A＝∠CBE时，可以判定( )
A．AB∥DC
B．AD∥BC
C．AD∥AE
D．BC∥DC
B
10．【2021·广西桂林】如图，直线a，b被直线c所截，当∠1________∠2时，a∥b.(用“＞”“＜”或“＝”填空)
=
11．如图，甲船从北岸码头A向南行驶，航速为36 km/h，乙船从南岸码头B向北行驶，航速为27 km/h.两船均于7：15出发，两岸平行，水面宽为18.9 km，则两船距离最近时的时刻为( )
A．7：35 B．7：34
C．7：33 D．7：32
【点拨】设x小时后两船距离最近，
如图，当EF⊥BD，AE＝DF时，两船距离最近，
根据题意得出36x＝18.9－27x，
解得x＝0.3，
0．3小时＝18分钟，
则两船距离最近时的时刻为7：33. 故选C.
【答案】C
12．如图，AB∥DC，ED∥BC，AE∥BD，那么图中和三角形ABD面积相等的三角形(不包括三角形ABD)有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【点拨】∵AB∥DC，
∴三角形ABC与三角形ABD的面积相等，∵AE∥BD，
∴三角形BED与三角形ABD的面积相等，
∵ED∥BC找不到与三角形ABD等底等高的三角形，
∴和三角形ABD的面积相等的三角形有三角形ABC，三角形BED，共2个．故选B.
【答案】B
13．【教材改编题】如图，AB⊥MN，CD⊥MN，垂足分别为B，D，判断AB和CD的位置关系，并说明理由．
解：AB∥CD.理由如下：
∵AB⊥MN，CD⊥MN(已知)，
∴∠ABD＝∠CDN＝90°
(垂直的定义)．
∴AB∥CD(同位角相等，两直线平行)．
14．如图，在方格纸中，有两条线段AB，BC.利用方格纸完成以下操作：
(1)过点A作BC的平行线；
(2)过点C作AB的平行线，与(1)中的平行线交于点D；
(3)过点B作AB的垂线BE，
与(1)中的平行线交于点E；
解：(1)(2)(3)如图所示．
(4)用符号表示所作图形中的平行和垂直关系．
解：AB∥CD，AE∥BC，BE⊥AB，BE⊥DC.
15．用一副三角尺拼图，并标点描线如图所示，然后过点C作CF平分∠DCE，交DE于点F.试说明CF∥AB.
解：因为CF平分∠DCE，且∠DCE＝90°，
所以∠DCF＝ ∠DCE＝ ×90°＝45°.
因为∠ABC＝45°，
所以∠ABC＝∠DCF.
所以CF∥AB.
16．如图，∠ABC＝∠ACB，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∠DBF＝∠F.问：CE与DF的位置关系怎样？试说明理由．
解：CE∥DF.理由如下：
因为BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，
所以∠DBC＝∠ABC，
∠ECB＝∠ACB. 又因为∠ABC＝∠ACB，
所以∠DBC＝∠ECB.
又因为∠DBF＝∠F，
所以∠ECB＝∠F.
所以CE∥DF.
17．如图，AD∥BC，E，F是BC上的两点，AF，DE相交于点P，AG⊥BC于点G，DH⊥BC于点H，四边形EPAB的面积与四边形PFCD的面积相等，试判断BE与CF的数量关系．
解：∵四边形EPAB的面积与四边形PFCD的面积相等，
∴S三角形ABF＝S四边形EPAB＋S三角形PEF＝S四边形PFCD＋S三角形PEF＝S三角形DEC.
∴ BF·AG＝ CE·DH.
∵AD∥BC，∴AG＝DH.∴BF＝CE.
∴BF－EF＝CE－EF，即BE＝CF.
18．【操作思考】如图所示，在∠AOB内有一点P，按要求画图．
①过点P画l1∥OA，过点P画l2∥OB；
②用量角器量一量l1与l2相交的角与∠O的大小有怎样的关系？
解：【操作思考】①如图所示．②如图，l1与l2相交的角有四个，分别为∠1，∠2，∠3，∠4，其中∠1＝∠3，∠2＝∠4，经测量知，∠1＝∠O，∠2＋∠O＝180°，所以l1和l2相交的角与∠O相等或互补．
【拓展发现】若点P在∠AOB外部，按照【操作思考】的要求画图并测量，结论仍然成立吗？
结论仍然成立．(画图略)
【归纳提升】你发现了什么结论？把你发现的结论用文字语言概括出来．
一个角的两边和另一个角的两边分别平行，这两个角相等或互补．