北京课改版九上数学 18.1 比例线段 全练
一、选择题（共3小题；共15分）
1. 已知 ，则下列各式错误的是
A. B. C. D.
2. 已知 ，则 的值是
A. B. C. D.
3. 若 ，且 ，则 的值是
A. B. C. D.
二、填空题（共3小题；共15分）
4. 若 ，则 ．
5. 若 ，则 ．
6. 已知 且 ，则 的值为 ．
三、解答题（共4小题；共52分）
7. 已知 ，求 的值．
8. 如图，四边形 与四边形 都是矩形，，，．
（1）求下列各线段的比：，，；
（2）指出 ，，，，， 这六条线段中的成比例线段（写一组即可）．
9. 阅读下列材料，然后解题．
题目：已知 （，， 互不相等），求 的值．
解：设 ，
则 ，，，
于是，．
依照上述方法解答下列问题：
已知 （），求 的值．
10. 已知 的三边长分别为 ，，，且 ，试判断 的形状．
答案
第一部分
1. C 【解析】由 得 ，
又 ，故C选项错误．
2. A 【解析】，，．
3. A 【解析】由 知 ，所以 ．
又 ，所以 ，
解得 ，
所以 ，
所以 ．
第二部分
4.
【解析】，
，
即 ，
则 ．
5.
【解析】，
，
故 ，
故 ．
6.
【解析】根据题意可设 ，，，
，
，解得 ，
．
第三部分
7. 根据题意可设 ，
则 ，，，
所以 ．
8. （1） 四边形 与四边形 都是矩形，，，，
，，，
，，．
（2） 由（）可知 ，
所以 ，，， 是成比例线段．（答案不唯一）
9. 设 ，
则 ，，，
所以 ，又 ，
所以 ，
所以 ，，，
所以 ，
则 ．
10. 由已知及比例的基本性质得 ．
设 ，
则 解得
所以 ，，
所以 ，故 是直角三角形．
第1页（共1 页）北京课改版九上数学 18.6 相似三角形的性质 全练
一、选择题（共5小题；共25分）
1. 如果 ，相似比为 ，且 的面积为 ，那么 的面积为
A. B. C. D.
2. 如图，在 中，， 分别是 ， 上的点，且 ，若 ，则
A. B. C. D.
3. 如图，在 中，，，则 的值是
A. B. C. D.
4. 制作一块 的长方形广告牌的成本是 元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的 倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是
A. 元 B. 元 C. 元 D. 元
5. 如图，将 沿 边上的中线 平移到 的位置，已知 的面积为 ，阴影部分三角形的面积为 ，若 ，则 等于
A. B. C. D.
二、填空题（共4小题；共20分）
6. 如图，把 沿 边平移到 的位置，它们重叠部分（即图中的阴影部分）的面积是 的面积的一半，若 ，则 移动的距离 ．
7. 如图，在 中，， 分别与 ， 交于点 ，，若 ，，则 ．
8. 如图，在 中，， 分别为 ， 的中点．若 ，则 ．
9. 在平行四边形 中， 是 上一点，且点 将 分为 的两部分，连接 ， 相交于 ，则 是 ．
三、解答题（共2小题；共26分）
10. 已知 和点 ，如图
（1）以点 为一个顶点作 ，使 ，且 的面积等于 面积的 倍；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）设 ，， 分别是 三边 ，， 的中点，，， 分别是你所作的 三边 ，， 的中点，求证：．
11. 如图所示，有一块锐角三角形卡纸余料（），，，为使卡纸余料得到充分利用，现把它裁剪成一个邻边之比为 的矩形纸片 和正方形纸片 ，裁剪时，矩形纸片的较长边在 上，正方形纸片一边在矩形纸片的较长边 上，， 分别在 ， 上，具体裁剪方式如图所示．
（1）求矩形纸片较长边 的长．
（2）裁剪正方形纸片时，小聪同学是按以下方法进行裁剪的：先沿着剩余料 中与边 平行的中位线剪一刀，再沿过该中位线两端点向边 所作的垂线剪两刀，请你通过计算，判断小聪的剪法是否正确．
答案
第一部分
1. D 【解析】，相似比为 ，
和 的面积比为 ，
又 的面积为 ，
的面积为 ．
2. B 【解析】过点 作 交 于点 ，如图所示，
因为 ，，，
所以 ，
又因为 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
又因为 ，
所以 ．
3. A 【解析】，
，
，
．
4. C 【解析】，
每平方米广告牌的成本是 元，扩大后的面积 ，
扩大后长方形广告牌的成本是 元．
5. B
【解析】如图，设 ， 与 分别交于点 ，，
由平移可得，，设相似比为 ，
，，
，
，
和 分别为两个三角形的中线，
，
，
，
，
．
第二部分
6.
【解析】设 与 交于点 ，由平移的性质知，，
，
，
，
，
．
7.
【解析】，
，
，
又 ，
．
8.
【解析】， 分别为 ， 的中点，
，且 ，
，且相似比为 ，
，
，
．
9. 或
【解析】在平行四边形 中，
，
，
如图 ，
当 时，，
，
，
；
如图 ，
当 时，，
，
，
．
第三部分
10. （1） 如图，作线段 ，，，
则 即为所求作三角形．
（2） ，， 分别是 三边 ，， 的中点，
，，，
，
同理，，
由（）可知 ，
．
11. （1） 设 ，则 ，
，
，
，即 ，解得 ，
，
矩形纸片较长边 的长为 ．
（2） 小聪的剪法不正确．
理由如下：设正方形的边长为 ，
则 ，，
由题意知，，
，即 ，解得 ，
与边 平行的中位线的长为 ，
，
小聪的剪法不正确．
第1页（共1 页）北京课改版九上数学 18.7 应用举例 全练
一、选择题（共2小题；共10分）
1. 为了加强视力保护意识，小明要在书房里挂一张视力表．由于书房空间狭小，他想根据测试距离为 的大视力表制作一个测试距离为 的小视力表．如图，如果大视力表中“”的高度是 ，那么小视力表中相应“”的高度是
A. B. C. D.
2. 如图，在一斜边长 的直角三角形木板（即 ）中截取一个正方形 ，点 在边 上，点 在斜边 上，点 在边 上，若 ，则这块木板截取正方形 后，剩余部分的面积为
A. 平方厘米 B. 平方厘米 C. 平方厘米 D. 平方厘米
二、填空题（共3小题；共15分）
3. 如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点 处放一水平的平面镜，光线从点 出发经平面镜反射后刚好到古城墙 的顶端 处，已知 ，，测得 米， 米， 米，那么该古城墙的高度 是 米．
4. 在某一时刻，测得一根高为 的竹竿的影长为 ，同时同地测得一栋楼的影长为 ，则这栋楼的高度为 ．
5. 如图，一等腰三角形，底边长是 厘米，底边上的高是 厘米，现在沿底边从下往上依次画宽度均为 厘米的矩形，画出的矩形是正方形时停止，则画到第 个时应停止．
三、解答题（共4小题；共52分）
6. 在同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离，如图，在一个路口，一辆长为 的大巴车遇红灯后停在距交通信号灯 的停止线处，小张驾驶一辆小轿车跟随大巴车行驶，小张距大巴车尾 处刹车，若大巴车车顶高于小张的水平视线 ，红灯下沿高于小张的水平视线 ，若小张能看到整个红灯，求此时 的最小值．
7. 一天，某校数学课外活动小组的同学们，带着皮尺去测量某河道因挖沙形成的“圆锥形坑”的深度，来评估这些深坑对河道的影响．如图是同学们选择（确保测量过程中无安全隐患）的测量对象，测量方案如下：
①先测量出沙坑坑沿圆周的周长约为 米；
②甲同学直立于沙坑坑沿圆周所在平面上，经过适当调整自己所处的位置，当他位于点 时，恰好他的视线经过沙坑坑沿圆上的一点 看到坑底 （甲同学的视线起点 与点 、点 三点共线）．经测量： 米， 米．
根据以上测量数据，求“圆锥形坑”的深度（圆锥的高）．（ 取 ，结果精确到 米）
8. 如图，为了测量一栋楼的高度 ，小明同学先在操场上 处放一面镜子，向后退到 处，恰好在镜子中看到楼的顶部 ；再将镜子放到 处，然后后退到 处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部 （ ， ， ， ， 在同一条直线上），测得 ， ，如果小明眼睛距地面高度 ， 为 ，试确定楼的高度 ．
9. 猜想归纳：为了建设经济型节约型社会，“先锋”材料厂把一批三角形废料重新利用，因此工人师傅需要把它们截成不同大小的正方形铁片．如图，已知 ，，．
（1）如图①，若截取 的内接正方形 ，请你求出此正方形的边长；
（2）如图②，若在 内并排截取两个相同的正方形（它们组成的矩形内接于 ），请你求出截取的正方形的边长；
（3）如图③，若在 内并排截取三个相同的正方形（它们组成的矩形内接于 ），请你求出截取的正方形的边长；
（4）猜想：如图④，假设在 内并排截取 个相同的正方形，使它们组成的矩形内接于 ，则截取的正方形的边长是多少
答案
第一部分
1. D 【解析】由题意得：，
，
，，，
，
．
2. D 【解析】设 ，则 ，
四边形 为正方形，
，，
，
，
，
，
在 中，，
，解得 ，
，，
剩余部分的面积
故选：D．
第二部分
3.
【解析】如图所示，
由题意可得：，
．
，，
，
，
．
米， 米， 米，
，
米．
4.
【解析】设这栋楼的高度为 ．
在某一时刻，测得一根高为 的竹竿的影长为 ，同时测得一栋楼的影长为 ，
，解得 ．
5.
【解析】如图，
当画出的矩形是正方形时， 厘米，设 厘米，
易知 ，
，即 ，
解得 ，则 厘米，，
所以画到第 个时应停止．
第三部分
6. 如图，当红灯下沿，大巴车车顶，小张的眼睛三点共线时，
，
，
，
，解得 ．
7. 如图所示，取圆锥底面圆圆心 ，连接 、 ，
则 ，．
．
．
．
．
，，，
．
“圆锥形坑”的深度约为 米．
8. 设 关于 的对称点为 ，由光的反射定律知，延长 ， 相交于点 ，连接 并延长交 于点 ，
，
，
，
即 ，
，
．
答：楼的高度 为 米．
9. （1） 如图 ，作 的高 ，交 于 ，交 于 ，
在 中，
，，
，
，
，
，
．
设正方形的边长为 ，
则 ，
解得 ，
即正方形的边长为 ．
（2） 如图 ，作 ，交 于 ，交 于 ，
，
，
则 ．
设截取的正方形的边长为 ，
则 ．
解得 ，
即截取的正方形的边长为 ．
（3） 如图 ，作 ，交 于 ，交 于 ，
，
，
，
设截取的正方形的边长为 ，
则 ，
解得 ，
即截取的正方形的边长为 ．
（4） 如图 ，
设截取的正方形的边长为 ，
同理得到 ，
，
截取的正方形的边长为 ．
第1页（共1 页）北京课改版九上数学 18.5 相似三角形的判定 全练
一、选择题（共3小题；共15分）
1. 如图所示， 中，，，．甲、乙、丙、丁四名同学分别在 内画出一个阴影三角形与 相似，其中画的错误的是
A. B.
C. D.
2. 如图，每个小正方形的边长均为 ，则下列图形中的三角形（阴影部分）与 相似的是
A. B.
C. D.
3. 如图， 是 的边 上异于 ， 的点，过点 作直线截得的三角形与 相似，那么这样的直线可以作的条数是
A. B. C. D.
二、填空题（共5小题；共25分）
4. 如图，点 为 外一点， 与 边的交点为 ，，，，要使 ，且点 ， 的对应点分别为 ，，那么线段 的长为 ．
5. 如图， 是 的边 上的点，请你添加一个条件，使 与 相似，你添加的条件是 ．
6. 如图，在矩形 中， 是边 的中点，连接 交对角线 于点 ，若 ，，则 的长为 ．
7. 如图，在 中，，，，， 的平分线 交 于点 ，则 ．
8. 如图，在三角形 中，，，若进行以下操作，在边 上从左到右依次取点 ，，，，；过点 作 ， 的平行线分别交 ， 于点 ，；过点 作 ， 的平行线分别交 ， 于点 ，；过点 作 ， 的平行线分别交 ， 于点 ，，，则 ．
三、解答题（共4小题；共52分）
9. 如图，在平行四边形 中，点 在 边上，点 在 的延长线上，且 ．
（1）求证：；
（2）若 ，，，求 的长．
10. 如图，， 平分 ，过点 作 交 于 ．连接 交 于 ．
（1）求证：；
（2）若 ，，求 的长．
11. 从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的优美线．
（1）如图，在 中， 为角平分线，，，求证： 为 的优美线；
（2）在 中，， 是 的优美线，且 是以 为腰的等腰三角形，求 的度数．
12. 如图，在 和 中，，，．
（1）判断这两个三角形是否相似，为什么
（2）能否分别作一条辅助线将这两个三角形分割，使 分割成的两个三角形与 分割成的两个三角形分别对应相似 如果能，请设计分割方案，并给出说明；如果不能，请说明理由．
（3）写出所有符合（）的对应相似的两个三角形的相似比．
答案
第一部分
1. D 【解析】A．满足两组角分别相等，则阴影三角形与 相似；B．满足两组角分别相等，则阴影三角形与 相似；C．满足两边对应成比例且夹角相等，则阴影三角形与 相似，故选D．
2. B 【解析】因为 中有一个角是 ，选项中，有 角的三角形只有B，且满足两边对应成比例且夹角相等．
3. D 【解析】如图，过点 分别作与 ， 平行的直线，
截得的三角形都与 相似；
过点 作 ，交 于 ，则 ；
过点 作 ，交 于 ，则 ．
故选D．
第二部分
4.
【解析】，
当 时，，
，
．
5.
【解析】因为 ，
所以 ．
所以添加条件
即可判定 ．
6.
【解析】 四边形 是矩形，
，，，
，又 ，
，
．
是边 的中点，，
．
，，，
，
，
．
7.
【解析】，，，
，
平分 ，
，
，
，
，
．
，
，
，
，
，
．
8.
【解析】，，
，即 ，
，，
，
同理，，，，
第三部分
9. （1） 四边形 是平行四边形，
，，
，，
又 ，
，
．
（2） ，
，
四边形 是平行四边形，
，
，
，
．
10. （1） 平分 ，
，且 ，
，
，
．
（2） ，
，
，且 ，
，，
，
，且 ，，
，
，
，
，
，
，
，且 ，
．
11. （1） ，，
．
为角平分线，
，
，
，
是等腰三角形．
，，
，
为 的优美线．
（2） 是 的优美线，且 是以 为腰的等腰三角形，
，
．
是以 为腰的等腰三角形，
分两种情况：
当 时，
．
又 ，
，不符合题意，这种情况不存在．
当 时，
，
，
的度数为 ．
12. （1） 不相似．
理由：在 中，，，，
在 中，，，，
，，
，
与 不相似．
（2） 能．
方案：作 ， 交 于 ；作 ， 交 于 ．
证明：由作法知，，，
．
，，
．
，，
，
．
（3） 与 ， 与 的相似比分别为 ，．
证明：，
，
与 的相似比为 ．
，
，
与 的相似比为 ．
第1页（共1 页）北京课改版九上数学 18.4 相似多边形 全练
一、选择题（共4小题；共20分）
1. 如图，，，，则 等于
A. B. C. D.
2. 已知 ，，，则
A. B. C. D.
3. 如图，，若 ，，，则 的长是
A. B. C. D.
4. 手工制作课上，小红将一些花布的边角料剪裁后装饰手工画，下面四个图案是她剪裁出的空心不等边三角形、等边三角形、正方形、矩形花边，其中，每个图案花边的宽度都相等，那么，每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不一定相似的是
A. B.
C. D.
二、填空题（共3小题；共15分）
5. 如图，，，，，则 ．
6. 两个相似多边形的相似比是 ，其中一个多边形的最长边的长是 ，则另一个多边形的最长边的长是 ．
7. 矩形 中，，．点 在矩形 的内部，点 在边 上，满足 ．若 是等腰三角形，则 的长为 ．
三、解答题（共1小题；共13分）
8. 若矩形 能以某种方式分割成 个小矩形，使得每个小矩形都与原矩形 相似，则此时我们称矩形 可以自相似 分割，已知 ，．
（1）若如图可以自相似 分割，请在图中画出分割草图，并求出 的值；
（2）若矩形 可以自相似 分割，请画出两种不同分割的草图，并直接写出相应的 值．
答案
第一部分
1. C 【解析】，
．
2. B 【解析】，
．
3. C 【解析】，
，
，，，
，
解得 ．
4. D 【解析】分析过程如下：
第二部分
5.
【解析】，
，
即 ，
解得 ．
6. 或
【解析】设所求最长边的长为 ，由题意得， 或 ，解得 ．
7. 或
【解析】如图，
四边形 为矩形，
，
，当 时，，
，
，即 ，
；当 时，
点 为 的中点，
．综上， 的长为 或 ．
第三部分
8. （1） 如图①，
是自相似 分割，
，
根据相似矩形对应边成比例，得 ，
，
．
（2） ；
；
【解析】如图②，， 三等分矩形，
则 ，
，
．
如图③，点 为 的中点，
则 ，
，
又 ，
，
即 ，
．
第1页（共1 页）北京课改版九上数学 18.2 黄金分割 全练
一、选择题（共3小题；共15分）
1. “黄金分割”是一条举世公认的美学定律，例如在摄影中，人们常依据黄金分割进行构图，使画面整体和谐．目前，照相机和手机自带的九宫格就是黄金分割的简化版，如图，要拍摄草坪上的小狗，按照黄金分割的原则，应该使小狗置于画面中的位置
A. ① B. ② C. ③ D. ④
2. 黄金分割数 是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面，则 的值
A. 在 和 之间 B. 在 和 之间
C. 在 和 之间 D. 在 和 之间
3. 矩形的两边长分别为 ，，下列数据能构成黄金矩形的是
A. ， B. ，
C. ， D. ，
二、填空题（共2小题；共10分）
4. 把长为 的线段进行黄金分割（黄金比为 ），则较长线段的长约为 （结果精确到 ）．
5. 勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比黄金，后者堪称珠玉．生活中到处可见黄金分割的美．如图，线段 ，点 是线段 的黄金分割点（），点 是线段 的黄金分割点（），点 是线段 的黄金分割点（），，依此类推， 的长度是 ．
三、解答题（共2小题；共26分）
6. 在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的办法．如图所示，以线段 为边作正方形 ，取 的中点 ，连接 ，延长 至 ，使得 ，以 为边作正方形 ．
（1）求证：点 是线段 的黄金分割点；
（2）若记正方形 的面积为 ，矩形 的面积为 ，则 （填“”“”或“”）．
7. 折纸与证明——用纸折出黄金分割点：
第一步：如图①，先将一张正方形纸片 对折，再还原，得到折痕 ；再折出矩形 的对角线 ，再还原．
第二步：如图②，将 边折到 上，点 落在点 处，再还原，得到折痕 ．
试说明点 为线段 的黄金分割点（）．
答案
第一部分
1. B 【解析】如图，
易知 ，，
按照黄金分割的原则，
应该使小狗置于画面中的位置②．
2. B 【解析】，
．
3. D 【解析】黄金矩形的宽与长之比为 ．
A选项中，，，，；
B选项中，，，，；
C选项中，，，，；
D选项中，，，，．故D选项正确．
第二部分
4.
【解析】．
故较长线段的长约为 ．
5.
【解析】由题意，得 ，，同理可得，，，，以此类推，．
第三部分
6. （1） 四边形 是正方形，
，
设正方形 的边长为 ，
为 的中点，
，
在 中，，
，
，
，
，，
，
，即 ，
点 是线段 的黄金分割点．
（2）
【解析】，，，
．
7. 如图，连接 ，设正方形 的边长为 ，则 ，
在 中，，
则 ，
设 ，则 ，
易知 ，
即 ，解得 ，
故 ，
则点 是线段 的黄金分割点，且 ．
第1页（共1 页）北京课改版九上数学 18.3 平行线分三角形两边成比例 全练
一、选择题（共4小题；共20分）
1. 如图所示，在 中，， 分别是 ， 上的点，，若 ，，，则 的长是
A. B. C. D.
2. 如图，，若 ，则 与 的关系是
A. B. C. D.
3. 如图，在 中，，，，，则 的长为
A. B. C. D.
4. 如图， 中， 为 的中点， 为 上任意一点， 交 于 ．某同学发现了如下事实：
①当 时，；
②当 时，；
③当 时，；，
则当 时，
A. B. C. D.
二、填空题（共2小题；共10分）
5. 如图，，直线 ， 与 ，， 分别相交于点 ，， 和点 ，，．若 ，，，则 ．
6. 如图，在 中，，，则 ．
三、解答题（共4小题；共52分）
7. 如图，在 中，点 是 边上的一点．
（1）请用尺规作图法，在 内，求作 ，使 ， 交 于 ；（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）在（）的条件下，若 ，求 的值．
8. 如图所示，在 中，，．
（1）求证：；
（2）若 ，，求 的长．
9. 请阅读下面材料，并回答所提出的问题．
三角形内角平分线定理：三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线分对边之比．
已知：如图，
中， 是角平分线，
求证：．
证明：如图，
过点 作 ，交 的延长线于 ．
则 ，．
因为 平分 ，
所以 ．
所以 ，
所以 ．
因为 ，
所以 ，
所以 ．
（1）上述证明过程中，步骤①处的理由是 ；
（2）用三角形内角平分线定理解答：已知， 中， 是角平分线，，，，则 的长为 ．
10. 如图， 是 的中线，点 在 上， 是 的延长线与 的交点．
（1）如果 是 的中点，求证：；
（2）由（）可知，当 是 的中点时， 成立，若 是 上任意一点（ 与 ， 不重合），上述结论是否仍然成立 若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
答案
第一部分
1. A 【解析】，
，
，，，
，
解得 ．
2. B 【解析】，，
，即 ．
3. C 【解析】，
，即 ，
，
．
4. C 【解析】由该同学发现的规律可推测：当 时，，证明过程如下：
取 的中点 ，连接 ，
则 是 的中位线．
，
．
是 的中点，
，
．
，
．
第二部分
5.
【解析】，
，
又 ，，，
．
6.
【解析】如图，过点 作 交 于点 ，
则 ，，
，
，
，
，
设 ，则 ，
，
．
第三部分
7. （1） 如图， 即为所作．
（2） ，
，
．.
8. （1） ，
，
，
，
，即 ．
（2） ，
，
又 ，
，
，
，
，
，
．
9. （1） 平行线分线段成比例定理
（2）
【解析】设 ，则 ，
因为 平分 ，
所以 ，
所以 ，
解得 ，
所以 ．
10. （1） 过点 作 ，交 于点 ，
则 ．
因为 是 的中线，
所以 ，
所以 ．
因为 ，
所以 ，
因为 是 的中点，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ．
（2） 成立．证明过程如下：
由（）可知，．
因为 ，
所以 ．
因为 ，
所以 ．
第1页（共1 页）
