北京课改版九上数学 专项综合全练2
一、选择题（共2小题；共10分）
1. 《九章算术》是中国古代的数学专著．书中有下列问题：“今有邑方不知大小，各中开门．出北门八十步有木，出西门二百四十五步见木．问邑方有几何 ”大致意思：如图，点 、点 分别是正方形 的边 ， 的中点，，， 过点 ，且 步， 步，则正方形的边长为
A. 步 B. 步 C. 步 D. 步
2. 据《九章算术》记载：“今有山居木西，不知其高．山去五十三里，木高九丈五尺，人立木东三里，望木末适与山峰斜平．人目高七尺．问山高几何 ”译文：如图，今有山 位于树的西面．山高 为未知数，山与树相距 里，树高 丈 尺，人站在离树 里的地方，观察到树梢 恰好与山峰 处在同一条直线上，人眼离地 尺，则山 的高约为 （保留到整数， 丈 尺）
A. 丈 B. 丈 C. 丈 D. 丈
二、解答题（共2小题；共26分）
3. 《孙子算经》有这样一题：“今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸．问竿长几何 ”
友情提醒：
①大致意思：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长为一丈五尺．同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长为五寸．
②丈和尺是古代的长度单位， 丈 尺， 尺 寸．
请你算一算竹竿的长度．
4. “今有井径五尺，不知其深，立五尺于井上，从木末望水岸，入径 尺，问井深几何 ”这是我国古代数学《九章算术》中的，“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，请你求出井深 ．
答案
第一部分
1. A 【解析】设正方形的边长为 步，
点 、点 分别是正方形 的边 ， 的中点，
，，
，
由题意，得 ，
，
，
步，
步．
2. D 【解析】由题意，得 里， 尺， 尺， 里，如图，过 作 于 ，交 于 ，
则 尺， 里， 里，
，
，
，
，
丈，
丈，即山 的高约为 丈．
第二部分
3. 设竹竿的长度为 尺，
因为竹竿的影长 一丈五尺 尺，小标杆长 一尺五寸 尺，小标杆的影长 五寸 尺，
所以 ，
解得 ．
答：竹竿的长度是 尺．
4. 依题意，得 ，
，
即 ，
解得 ，
．
所以井深 为 ．
第1页（共1 页）北京课改版九上数学 专项综合全练1
一、选择题（共6小题；共30分）
1. 如图，在 中，点 ， 分别在 ， 边上， 若 ，，，则 的长是
A. B. C. D.
2. 如图，点 ， 分别在 的 ， 边上，连接 ，添加下列一个条件，① ；② ；③ ，可使 与 一定相似的是
A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③
3. 中，，， 为 边上一点，且 ， 为 边上一点（不与 ， 重合），若 与 相似，则
A. B. C. 或 D. 或
4. 如图，平行四边形 中， 是边 上一点， 交 于 ，若 ，，则 与 的周长之比为
A. B. C. D.
5. 如图，在等腰三角形 中，，图中所有的三角形均相似，其中最小的三角形面积为 ， 的面积为 ，则四边形 的面积是
A. B. C. D.
6. 如图，点 和点 都在坐标轴上，， 为 的中点，， 交 轴于点 ，交 轴于点 ， 交 轴于点 ，交 轴于点 ， 在 的左侧以 为中心旋转，设 的长为 （）， 的长为 ，则下列结论正确的是
A. B.
C. D.
二、填空题（共6小题；共30分）
7. 如图所示，， 分别是 的边 ， 上的点，，若 ，则 ．
8. 如图，在 中，， 分别是 ， 上的点，．若 ，，，则 ．
9. 如图，点 为 的边 上一点，，．若 ，则 ．
10. 如图，在正方形 中，对角线 ， 相交于点 ， 是 的中点，连接 并延长交 于点 ．若 的面积为 ，则 的面积为 ．
11. 如图，直角三角形纸片 ， 边的长为 ，现从下往上依次裁剪宽为 的矩形纸条，若剪得的第二张矩形纸条恰好是正方形，那么 的长度是 ．
12. 将三角形纸片（）按如图所示的方式折叠，使点 落在边 上，记为点 ，折痕为 ．已知 ，，若以点 ，， 为顶点的三角形与 相似，那么 的长度是 ．
三、解答题（共3小题；共39分）
13. 如图， 和 都是直角三角形，， 与 相交于点 ，，，，，问 是不是等腰三角形 试说明理由．
14. 如图，平行四边形 中，过点 作 交 于点 ，交 于点 ，交 的延长线于点 ，若 ，，求 的长．
15. 如图，在边长为 的等边 中， 是 上一点，．
（1）求证：．
（2）当 ， 时，求 的长．
答案
第一部分
1. A 【解析】，
，
，，，
，
解得 ．
2. C 【解析】，
当 时，；
当 时，．
若只添加 ，无法判定 与 相似．
3. D 【解析】①当 时，有 ，
，，，
；
②当 时，有 ，
，，，
，
等于 或 ．
4. C 【解析】 四边形 是平行四边形，
，，
，，
，
，
，
与 的周长之比 ．
5. D
【解析】如图，
根据题意，得 ，，
设 ，则 ，
，
解得 ．
，
四边形 的面积 ．
6. B 【解析】，
，，
是 的中点，
点 的坐标为 ．
，，
，
，．
，
．
．
，故A选项不符合题意．
，
，即 ，
，
故B选项符合题意；
根据已知条件，无法证明 ，故选项C不符合题意．
，
，
故选项D不符合题意．
第二部分
7.
【解析】，
，
，
，
，
．
8.
【解析】，
，
，
又 ，，，则 ，
．
9.
【解析】，，
，
，
即 ，
．
10.
【解析】 四边形 是正方形，
，，
，
，
是 的中点，
，
，
，
．
11.
【解析】如图所示．
根据矩形的性质可知，，
，
，
即 ，
．
12. 或
【解析】① 时 ，
又 ，，，
，
解得 ；
时，，
，
，
，
又 ，即 ，解得 ．
故 的长度是 或 ．
第三部分
13. 是等腰三角形．理由如下：
在 和 中，
，，
，
，
．
是等腰三角形．
14. 四边形 是平行四边形，
，
，
．
同理可证 ，
．
，，
．
，
．
15. （1） 是等边三角形，
．
，，
，
．
（2） 等边 的边长为 ，，
．
，
，
，
．
第1页（共1 页）北京课改版九上数学 专项综合全练3
一、选择题（共6小题；共30分）
1. 抛物线 与 轴交点的纵坐标为
A. B. C. D.
2. 关于抛物线 ，下列说法中错误的是
A. 开口方向向上
B. 对称轴是直线
C. 当 时， 随 的增大而减小
D. 顶点坐标为
3. 将二次函数 的图象向左平移 个单位，再向上平移 个单位．若得到的函数图象与直线 有两个交点，则 的取值范围是
A. B. C. D.
4. 选一选。
在同一平面直角坐标系中，若抛物线与关于轴对称，则符合条件的，的值为（ ）
A. ， B. ， C. ， D. ，
5. 设计师以 的图象为灵感设计杯子如图所示，若 ，，则杯子的高
A. B. C. D.
6. 下图是二次函数 的图象，对于下列说法：① ，② ，③ ，④ ，⑤当 时， 随 的增大而减小，其中正确的是
A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ③④⑤
二、填空题（共4小题；共20分）
7. 二次函数 的图象与 轴有交点，则 的取值范围是 ．
8. 已知二次函数 ，其中 ，若当 时， 随着 的增大而减小，当 时， 随着 的增大而增大，则 的值是 ．
9. 铅球行进高度 与水平距离 之间的关系为 ，铅球推出后最大高度是 ，铅球落地时的水平距离是 ．
10. 已知二次函数 的 与 的部分对应值如下表：
下列结论：
①抛物线的开口向上；
②抛物线的对称轴为直线 ；
③当 时，；
④抛物线与 轴的两个交点间的距离是 ；
⑤若 ， 是拋物线上两点，则 ，其中正确的是 （填序号）．
三、解答题（共4小题；共52分）
11. 已知二次函数 ．
（1）将 用配方法化成 的形式；
（2）在图中，画出该函数的图象；
（3）（）中图象与 轴的交点记为 ，（ 在 的左侧），若该图象上存在一点 ，且 的面积为 ，求点 的坐标．
12. 北京亦庄实验中学动物社团的成员计划用总长为 米的篱笆围成一个矩形迷你动物园，养小兔子和小猫咪，图是迷你动物园的平面图，中间用篱笆分隔成两个小矩形，设大矩形的宽 长为 米，面积为 平方米．
（1）求面积 与 之间的关系式，并指出 的取值范围；
（2）当 为多少米时，迷你动物园的面积最大 最大面积是多少平方米
13. 小哲的姑妈经营一家花店，随着越来越多的人喜爱“多肉植物”，姑妈也打算销售“多肉植物”．小哲帮助姑妈针对某种“多肉植物”做了市场调查后，绘制了如图所示的两张图：
（1）如果在三月份出售这种植物，单株获利 元；
（2）请你运用所学知识，帮助姑妈求出在哪个月销售这种多肉植物，单株获利最大．（提示：单株获利 单株售价 单株成本）
14. 对于一些比较复杂的方程，可以利用函数图象来研究方程的根．
问题：探究方程 的实数根的情况．
下面是小董同学的探究过程，请帮她补全：
（1）设函数 ，这个函数的图象与直线 的交点的横坐标就是方程 的实数根；
（2）注意到函数表达式中含有绝对值，所以可得：
当 时，；
当 时， ；
（3）在如图的坐标系中，已经画出了当 时的函数图象，请根据（）中的表达式，通过描点，连线，画出当 时的函数图象；
（4）画直线 ，由此可知 的实数根有 个；
（5）深入探究：若关于 的方程 有三个不相等的实数根，且这三个实数根的和为非负数，求 的取值范围．
答案
第一部分
1. A 【解析】将 代入 ，得 ．
2. C 【解析】分析过程如下：
3. D 【解析】
将二次函数 的图象向左平移 个单位，
再向上平移 个单位，得到的函数解析式为 ，
即 ，其图象开口向上，顶点坐标为 ，
故 ，解得 ．
4. D 【解析】∵抛物线与关于轴对称，
∴
，解之得
，
故选：D．
5. B
【解析】，
抛物线顶点 的坐标为 ．
，
点 的横坐标为 ，把 代入 ，得到 ，
，
．
6. C 【解析】分析过程如下：
第二部分
7.
【解析】因为二次函数 的图象与 轴有交点，
所以 ，
所以 ．
8.
【解析】 当 时， 随着 的增大而减小，当 时， 随着 的增大而增大，
对称轴是直线 ，
抛物线 与 轴交点坐标为 ，，
，
．
9. ，
【解析】，
因为 ，
所以当 时， 有最大值，为 ．
所以铅球推出后最大高度是 ．
令 ，即 ，解得 ，（舍去）．
所以铅球落地时的水平距离是 ．
10. ①②④
【解析】根据表格中的数据画出抛物线的图象，如图，
由图象可知①②④正确；
当 时，，故③错误；
若 ， 是抛物线上两点，， 两点可能在对称轴的同侧，也可能在对称轴的异侧，故无法判定 与 的大小，故⑤错误．
第三部分
11. （1） ．
（2） 列表：
描点、连线，如图所示．
（3） 由（）可知，，，
，
的面积为 ，
为底的高为 ，
令 ，代入 ，则 或 ，
或 ．
12. （1） 根据题意，得 ．
，
．
（2） ，
当 为 米时，迷你动物园的面积最大，最大面积是 平方米．
13. （1）
【解析】从题中左图看， 月份的售价为 元，从题中右图看， 月份的成本为 元，则每株获利 （元）．
（2） 设直线的表达式为 ，把点 ， 代入，得
解得
直线的表达式为 ．
设抛物线的表达式为 ，
顶点为 ，
函数表达式为 ，
把点 代入上式，得 ，
解得 ．
抛物线的表达式为 ．
，
，
时，函数取得最大值，
故 月份销售这种多肉植物，单株获利最大．
14. （1） 函数 的图象与直线 的交点的横坐标就是方程 的实数根．
（2）
【解析】当 时，．
（3） 画出函数的图象如图：
（4）
【解析】由图象可知，直线 与函数图象有 个交点，
所以 的实数根有 个．
（5） 由图象可知，直线 在 轴的上方（），
与函数 图象的交点的横坐标 ；且 ，，
，
，
关于 的方程 有三个不相等的实数根，且这三个实数根的和为非负数，则 的取值范围是 ．
第1页（共1 页）北京课改版九上数学 专项综合全练4
一、选择题（共2小题；共10分）
1. 定义新运算： 例如：，．则函数 （）的图象大致是
A. B.
C. D.
2. 对于一个函数，自变量 取 时，函数值 也等于 ，我们称 为这个函数的不动点．如果二次函数 有两个相异的不动点 ，，且 ，则 的取值范围是
A. B. C. D.
二、填空题（共2小题；共10分）
3. 我们定义一种新函数：形如 （，且 ）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数 的图象（如图所示），并写出下列五个结论：
①图象与坐标轴的交点为 ， 和 ；
②图象具有对称性，对称轴是直线 ；
③当 或 时，函数值 随 值的增大而增大；
④当 或 时，函数的最小值是 ；
⑤当 时，函数的最大值是 ．
其中正确结论的个数是 ．
4. 定义 为关于 的函数 的“特征数”，如：函数 的“特征数”是 ．在平面直角坐标系中，将“特征数”是 的函数的图象向下平移 个单位长度，得到一个新的图象，这个新图象的函数解析式是 ．
三、解答题（共3小题；共39分）
5. 定义：若抛物线 的顶点为 ，坐标原点为 ，我们把线段 称为抛物线 的顶原线．已知抛物线 ．
（1）若抛物线 的顶原线所在直线的方程为 ，求 的值；
（2）若抛物线 的顶原线长为 ，求 的值．
6. 对某一个函数给出如下定义：若存在实数 ，对于任意的函数值 ，都满足 ，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的 中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，图中的函数是有界函数，其边界值是 ．
（1）分别判断函数 和 是不是有界函数．若是有界函数，求其边界值；
（2）若函数 的边界值是 ，且这个函数的最大值也是 ，求 的取值范围；
（3）将函数 的图象向下平移 个单位，得到的函数的边界值是 ，当 在什么范围时，满足
7. 有三个函数，对于同一个自变量 ，对应的函数值分别为 ，，，若恰好有 ，则称 为 ， 的“中值函数”．
（1）若 的图象为直线， 的图象是抛物线，则它们的中值函数的图象为 ；
A.直线 B.抛物线
C.双曲线 D.以上答案均错
（2）若 ， 的中值函数为 ．
①若点 在 ， 和它们的中值函数图象上，则点 的坐标为 ；
②在下图中，画出上述中值函数的大致图象；
并根据图象写出这个中值函数的两条性质：
性质 ： ；
性质 ： ；
③利用中值函数的性质说明：
面积为 的长方形，当该长方形长与宽相等时，周长最小．
答案
第一部分
1. D 【解析】由题意，得 当 时，反比例函数 在第一象限；当 时，反比例函数 在第二象限；又因为反比例函数图象是双曲线，因此D选项符合．
2. B 【解析】由题意知二次函数 有两个相异的不动点 ， 是方程 的两个不相等实数根，且 ，整理，得 ，由 有两个不相等的实数根，且 ，知 ，令 ，画出该二次函数的草图如下：
则 解得 ．
第二部分
3.
【解析】分析过程如下：
4.
【解析】依题意得“特征数”是 的函数解析式为 ，其顶点坐标是 ，向下平移 个单位后得到的顶点坐标是 ，
所以新函数的解析式为 ．
第三部分
5. （1） ，
顶点 ．
顶原线所在直线的方程为 ，
在直线 上，
，
解得 ．
（2） 抛物线 的顶原线长为 ，
，
．
解得 或 ．
6. （1） 的 无最大值，
不是有界函数．
是有界函数，
当 时，；当 时，．
时，任意函数值都满足 ，
边界值为 ．
（2） ， 随 的增大而减小，
当 时，，当 时，，
边界值是 ，，
，
．
（3） 若 ，图象向下平移 个单位后， 时，，此时函数的边界值 ，不合题意，故 ．
函数 ，当 时，，当 时，．
向下平移 个单位后，，，
边界值 ，
或 ，
或 ．
7. （1） B
【解析】若 的图象为直线， 的图象是抛物线，
故设 ，，
所以 ，
则它们的中值函数的图象为抛物线，故选B．
（2） ①
②如图所示：
当 时， 随 的增大而减小，当 时， 随 的增大而增大；当 时，函数 的最小值是
③设长为 ，则宽为 ，则周长为 ，
由中值函数的定义可知 为 与 的中值函数，
由性质可知：当 ，即 时， 取得最小值，
所以 ，（ 舍去），
即长方形为正方形时，周长最小．
【解析】①由函数 与 的图象可知，它们只有一个交点，其坐标是 ，将 代入 ，得 ，所以点 也在函数 的图象上．
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