4　万有引力理论的成就练习（Word版含解析）

第六章 万有引力与航天
4　万有引力理论的成就
基础过关练
题组一　计算天体的质量
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.(2020福建莆田高三期中)目前,海王星有14颗已知的天然卫星,“海卫一”是其中最大的一颗。若“海卫一”绕海王星的运行轨道视为圆,其轨道半径为r,运行周期为T,将海王星视为质量分布均匀且半径为R的球体,引力常量为G,则海王星的质量为 (　　)
A. B. C. D.
2.(2020福建厦门高三期中)一卫星绕某一行星在其表面附近做匀速圆周运动,线速度大小为v。假设宇航员在该行星表面上,用弹簧测力计测量一质量为m的物体的重力,物体静止时,弹簧测力计的示数为N,已知引力常量为G,则这颗行星的质量为 (　　)
A. B. C. D.
3.(2020河南九师联盟高三联考)某卫星绕地球做匀速圆周运动,t时间内这颗卫星运动的轨迹长为s,这段时间内卫星的运动方向改变了θ角,已知引力常量为G,由此可求得地球的质量为 (　　)
A. B. C. D.
4.(2020浙江温州选考适应性考试)2019年10月5日,我国在太原卫星发射中心用长征四号丙运载火箭,成功将“高分十号”卫星发射升空。其地面像元分辨率最高可达亚米级,主要用于国土普查、土地确权、路网设计、农作物估产和防灾减灾等领域。“高分十号”卫星绕地球运转的轨道半径是R1、周期是T1,而地球绕太阳运转的轨道半径是R2、周期是T2。若将两者的运转均视为匀速圆周运动,则地球质量与太阳质量之比是　 (　　)
A. B. C. D.
5.(2019北京通州高一期末)木星的半径约为R=7.0×107 m。早期伽利略用自制的望远镜发现了木星的四颗卫星,其中“木卫三”离木星表面的高度约为h=1.03×109 m,它绕木星做匀速圆周运动的周期约等于T=6.0×105 s,已知引力常量G=6.67×10-11 N·m2/kg2,则木星质量的数量级为 (　　)
A.1021 kg B.1024 kg
C.1027 kg D.1030 kg
6.(多选)2019年4月10日21时,人类首张黑洞照片在全球六地的视界面望远镜发布会上同步发布。该黑洞的质量M和半径R的关系满足:=(其中c为光速,G为引力常量)。若天文学家观测到距黑洞中心距离为r的天体以速度v绕该黑洞做匀速圆周运动,则 (　　)
A.该黑洞的质量为
B.该黑洞的质量为
C.该黑洞的半径为
D.该黑洞的半径为
7.(2021四川成都第七中学高一下期中)据中国气象局表示,针对我国出现的持续性雾霾天气,风云三号卫星已经成为及时监测雾霾覆盖省份、覆盖面积和强度等情况的重要手段。风云三号卫星属于极地轨道气象卫星,已知风云三号在距地球表面高度为h的轨道上做匀速圆周运动,地球的半径为R,风云三号卫星的质量为m,地球表面的重力加速度为g,引力常量为G。求:
(1)地球的质量M;
(2)风云三号卫星做匀速圆周运动的周期T。
题组二　计算天体的密度
8.(2021河南省实验中学高一下期中)地球表面的重力加速度为g,地球半径为R,引力常量为G,用上述物理量计算出来的地球平均密度是 (　　)
A. B. C. D.
9.(2021广东惠州高三下一模)天问一号于2021年2月10日实施火星捕获,于2021年5月15日成功着陆于火星表面。设天问一号绕火星运转时距火星表面高度约为火星半径的n倍,其环绕周期为T,引力常量为G,则火星的平均密度为 (　　)
A. B. C. D.
10.(2020江西九江一中高二期中)2019年1月3日,“嫦娥四号”成功软着陆在月球背面,并通过“鹊桥”中继星传回了世界第一张近距离拍摄的月背影像图,揭开了月背的神秘面纱。飞船在月球表面软着陆之前,在靠近月球表面的轨道上运行,若要估算月球的平均密度,唯一需要测量的物理量是 (　　)
A.飞船的轨道半径 B.月球的半径
C.飞船的飞行周期 D.飞船的线速度
11.(2020山西高考适应性考试)2019年6月25日2时09分,我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭成功发射第46颗北斗导航卫星。目前已有46颗卫星在轨运行,其中每一颗卫星运动的周期会因轨道半径的不同而不同。某同学根据测得的不同卫星做圆周运动的轨道半径r与周期T作出如图所示图象,则可求得地球的平均密度为(已知引力常量为G,地球的半径为R) (　　)
A. B. C. D.
12.(2021山西运城高一下期中)随着我国登月计划的实施,我国宇航员登上月球已不是梦想。假如我国宇航员登上月球并在月球表面附近以初速度v0竖直向上抛出一个小球,经时间t后回到抛出点。已知月球的半径为R,引力常量为G,求:
(1)月球表面重力加速度;
(2)月球的密度(假设月球质量分布均匀)。
题组三　星球自转不可忽略的计算
13.(2020河南三门峡高三期中)假定太阳系一颗质量均匀、可看成球体的小行星,自转原来可以忽略。现若该星球自转加快,角速度为ω时,该星球表面的“赤道”上物体对星球的压力减为原来的。已知引力常量为G,则该星球的密度ρ为 (　　)
A. B.
C. D.
14.(2020辽宁鞍山高考一模)质量均匀分布的某球形行星的自转周期为T,现在在该行星表面测量一个物体的重力,在该行星的“赤道”附近测量结果为在两极测量结果的,引力常量为G。则该行星的密度为 (　　)
A. B.
C. D.
题组四　发现未知天体
15.关于万有引力定律应用于天文学研究的历史事实,下列说法中正确的是 (　　)
A.天王星、海王星和冥王星,都是运用万有引力定律,经过大量计算后发现的
B.在18世纪已经发现的7颗行星中,人们发现第七颗行星——天王星的运动轨道总是同根据万有引力定律计算出来的结果有一些偏差,于是有人推测,在天王星轨道外还有一颗行星,是它的存在引起了上述偏差
C.海王星是牛顿运用自己发现的万有引力定律,经大量计算而发现的
D.冥王星是英国剑桥大学的学生亚当斯和法国青年天文学家勒维耶合作研究后共同发现的
题组五　双星问题
16.(2021河南南阳高一下期中)宇宙中两颗靠得比较近的恒星,只受到彼此之间的万有引力作用绕它们连线上的一点做匀速圆周运动,我们称之为双星系统。如图所示,设某双星系统中A、B两恒星绕其连线上的某固定点O做匀速圆周运动,测得两恒星球心之间的距离为L,运动周期为T,已知引力常量为G,若A、O之间的距离大于B、O之间的距离,则 (　　)
A.A的角速度大于B的角速度
B.A所需向心力大于B所需向心力
C.A的质量大于B的质量
D.A的向心加速度大于B的向心加速度能力提升练
能力提升练
题组一　计算天体的质量和密度
1.(2021安徽阜阳临泉第一中学高一下期中,)一项最新的研究发现,在我们所在星系的中央隆起处,多数恒星形成于100多亿年前的一次恒星诞生爆发期。若最新发现了一颗恒星,已知该恒星为质量均匀分布的球体,引力常量为G,则该恒星可以以周期T稳定自转的密度最小值约为 (　　)
A. B. C. D.
2.(2020山西大同一中高一月考,)(多选)英国物理学家卡文迪许测出了引力常量G的数值,因此被人们称为“能称出地球质量的人”。若已知引力常量为G,地球两极的重力加速度为g,地球半径为R,地球自转周期为T1,地球公转的周期为T2,地球中心到月球中心的距离为L1,地球中心到太阳中心的距离为L2,可估算出 (　　)
A.地球的质量m地=
B.太阳的质量m太=
C.月球的质量m月=
D.地球及太阳的密度
3.(2021广东广州第二中学高一下期中,)嫦娥五号是我国首个实施无人月面取样返回的月球探测器。2020年11月29日,嫦娥五号从椭圆环月轨道变轨为圆形环月轨道,圆形环月轨道对应的周期为T,离月面高度为h,如图所示。已知月球半径为R,引力常量为G。求:
(1)嫦娥五号在圆形环月轨道运动的线速度大小;
(2)求月球的质量M;
(3)求月球表面的重力加速度大小g。
题组二　万有引力定律与运动学知识的综合问题
4.(2020安徽亳州二中高三月考,)已知火星的半径是地球的a倍,质量是地球的b倍,现分别在地球和火星的表面上以相同的速度竖直上抛小球,不计大气的阻力,则小球在地球上上升的最大高度与在火星上上升的最大高度之比为 (　　)
A. B. C. D.
5.(2020浙江宁波效实中学高三月考,)为了探测某星球,某宇航员乘探测飞船先绕该星球表面附近做匀速圆周运动,测得运行周期为T,然后登陆该星球,测得一物体在该星球表面做自由落体运动的时间是在地球表面同一高度处做自由落体运动时间的一半,已知地球表面重力加速度为g,引力常量为G,则由此可得该星球的质量为 (　　)
A. B. C. D.
6.(2021黑龙江哈尔滨第六中学高一下月考,)宇航员站在一星球表面上的某高处,沿水平方向抛出一个小球,经过时间t,小球落到星球表面,测得抛出点与落地点之间的距离为L。若抛出时的初速度增大为原来的2倍,则抛出点与落地点之间的距离为L。已知两落地点在同一水平面上,该星球的半径为R,万有引力常量为G,求:
(1)该星球表面自由落体加速度的大小;
(2)星球的平均密度ρ。
答案全解全析
4　万有引力理论的成就
基础过关练
1.C　海王星对“海卫一”的万有引力提供其做匀速圆周运动的向心力,由万有引力定律可得G=mr,解得M=,选项C正确。
2.B　根据题意可知N=mg,所以g=。对卫星,根据万有引力提供向心力得G=m'=m'g,解得M=,选项B正确。
3.C　由题可知,卫星的线速度v=,卫星的角速度ω=,卫星做圆周运动的半径r=,由G=mω2r=mωv,解得M=,选项C正确。
4.A　地球绕太阳公转和“高分十号”卫星绕地球运转,均由万有引力提供向心力,则有=,中心天体质量M=,可得地球的质量为M1=,太阳的质量为M2=,则地球质量与太阳质量之比为=,选项A正确。
5.C　“木卫三”绕木星做匀速圆周运动,根据万有引力提供向心力,有G=m(R+h),解得木星的质量M=,代入数据,解得M≈2.2×1027 kg,即木星质量的数量级为1027 kg,C正确。
6.BC　黑洞对天体的万有引力提供天体做圆周运动所需的向心力,则G=m,得M=,选项A错误,B正确;该黑洞的质量M和半径R的关系满足:=,得R=,选项C正确,D错误。
7.答案　(1)　(2)
解析　(1)设地面上有一质量为m'的物体,对该物体有m'g=G
整理得地球质量为M=
(2)由万有引力提供向心力可得G=m(R+h)
联立可解得T=
8.A　根据在地球表面上质量为m的物体所受的万有引力等于重力,有G=mg ,解得M= ,地球体积V=πR3,则ρ==,故选A。
9.C　设火星半径为R,天问一号的轨道半径为r,根据万有引力提供向心力,有G=mr ,又火星的质量M=ρ·πR3 ,据题意r=(n+1)R ,联立可得ρ=,A、B、D错误,C正确。
10.C　飞船在靠近月球表面的轨道上做匀速圆周运动,轨道半径等于月球半径,设为r,根据牛顿第二定律,有G=mr,其中M=ρV=ρ·πr3,联立解得ρ=,G为常数,故需要测量飞船的运行周期T,C正确。
11.C　根据G=mr,可得=,结合题图可得=,地球的平均密度为ρ==,解得ρ=,选项C正确。
12.答案　(1)　(2)
解析　(1)由竖直上抛运动规律可知v0=g· ,可解得g=
(2)根据G=mg得M=,月球密度ρ===
13.B　忽略行星自转的影响时,G=mg,自转角速度为ω时,G=mg+mω2R,行星的密度ρ=,解得ρ=,选项B正确。
14.B　在两极,有G=G1,在赤道,有G-G2=mR,因=,解得=,则该行星的密度ρ==,选项B正确。
15.B　天王星是通过观察发现的,选项A错误;海王星是英国剑桥大学的学生亚当斯和法国天文学家勒维耶各自独立地利用万有引力定律计算出轨道,德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现的,选项C、D错误。
16.D　双星是同轴转动模型,两星角速度相等, A错误;双星靠相互间的万有引力提供向心力,根据牛顿第三定律,A所需向心力等于B所需向心力,B错误;由于mAω2rA=mBω2rB,且rA>rB,所以mArB,可知A的向心加速度大于B的向心加速度,D正确。
能力提升练
1.A　设位于该恒星赤道上的物体质量为m,物体受到恒星的万有引力恰好提供向心力,这时星球不瓦解且有最小密度,G=mR ,解得恒星的质量M=,则恒星的密度ρ===,故选A。
2.AB　在地球两极物体受到的万有引力等于重力,有G=mg,则m地=,故A正确;地球绕太阳公转,根据万有引力提供向心力有=m地L2,解得m太=,故B正确;月球不是中心天体,根据题中条件无法求出月球的质量,故C错误;太阳的半径未知,则无法求解太阳的密度,故D错误。故选A、B。
3.答案　(1)　(2)　(3)
解析　(1)嫦娥五号在圆形环月轨道运动的线速度 v=,
其中r=R+h
解得v=
(2)嫦娥五号在圆形环月轨道,由万有引力定律提供向心力,G=mr
解得M=
(3)根据月球表面物体重力等于万有引力可得G=m'g
所以,月球表面处的重力加速度g=
根据M=
可得g=
4.D　根据在星球表面重力等于万有引力,有G=mg,可得g=,故=·=;小球做竖直上抛运动上升的最大高度h=,所以有==,选项D正确。
5.A　在地球上做自由落体运动,有h=gt2,在该星球上做自由落体运动,有h=g't'2,而t'=,解得g'=4g;在该星球表面,根据万有引力提供向心力得G=mg'=m,解得M=,选项A正确。
6.答案　(1)　(2)
解析　(1)抛出点高度h、水平射程x与L之间有关系L2=h2+x2
当初速度增加到原来的2倍时,水平射程变为2x,则有(L)2=h2+(2x)2
解得h=L
又h=gt2
所以g=
(2)设有一质量为m的物体静止于该星球表面,则有G=mg
得M=
所以ρ===