3.4.2 圆周角与圆心角的关系 课件（共21张PPT）
文档属性
| 名称 | 3.4.2 圆周角与圆心角的关系 课件（共21张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 64.7MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-15 09:56:23 | ||
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文档简介
(共21张PPT)
北师版九年级下册 圆
§3.4.2 圆周角与圆心角的关系
1.进一步探索直径所对的圆周角的特征，并能应用其进行简单的计算与证
明.(重点)
2.掌握圆内接四边形的有关概念及推论.(难点)
3、引导学生掌握两种常用的解题方法：
（1）善于寻找（构造）同弧所对圆周角；（2）“见直径，构造直角三角形”
要点回顾
圆周角定理
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
·
C
D
A
B
O
1.如图(1)，BC是⊙O的直径，A是⊙O上任一点，你能确定∠BAC的度数吗
2.如图(2)，圆周角∠BAC =90 ，弦BC经过圆心O吗？为什么？
B
C
O
A
图(1)
F
E
●
B
C
A
图(2)
O
合作探究
圆周角定理的推论2
直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.（如下图）
新知讲解
A
O
B
C1
C2
C3
归纳总结
推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等；
推论2:直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.
推论：
1.如图，⊙O的直径AB＝4，点C在⊙O上，∠ABC＝30°，则AC的长是( )
A.1 B. √2 C. √3 D.2
2.如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC＝6，AB＝10，OD⊥BC于点D，则OD的长为 .
D
4
跟踪练习
3．从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是( )
4．如图，BC是⊙O的直径，点A是⊙O上的一点，∠OAC＝32°，则∠B的度数是( )
A．58° B．60° C．64° D．68°
B
A
跟踪练习
（1）如图3-19，A，B，C，D是 0上的四点，AC为圆O内直径，∠BAD与∠BCD之间有什么关系 为什么
（2）如图3-20，点 C的位置发生了变化，∠BAD与∠BCD之间的关系还成立吗 为什么
图3-19
图3-20
合作探究一
小结：两图中的∠BAD+∠BCD=180°.
在图3-19、图3-20中，四边形ABCD的四个顶点都在圆O上，
像这样的四边形叫做圆内接四边形（inscribed quadrilateral），
这个圆叫做四边形的外接圆∶
新知讲解
推论1：圆内接四边形对角互补.
如图3-21，∠DCE是圆内接四边形ABCD的一个外角，∠A与∠DCE的大小有什么关系
合作探究二
解：∵四边形ABCD为圆O的内接四边形
∴∠A+∠BCD=180°.
又∵∠DCE+∠BCD=180°.
∴∠DCE=∠A.
推论2：任何一个外角都等于它的内对角。
图3-21
1.如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BCD＝110°，则∠BOD＝ .
140°
跟踪练习
2．如图，在圆内接四边形ABCD中，若∠A，∠B，∠C的度数之比为
4∶3∶5，∠D的度数是 ．
120°
4．(2020·盐城)如图，在⊙O中，点A在弧BC上，∠BOC＝100°，则∠BAC＝ ．
130°
3．(2020·聊城)如图，在⊙O中，四边形OABC为菱形，点D在弧AmC上，则∠ADC的度数是 ．
60°
跟踪练习
1．(10分)如图，⊙C经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A与点B，点A的坐标为(0，4)，M是圆上一点，∠BMO＝120°.求⊙C的半径．
解：∵四边形ABMO内接于⊙C，
∴∠BAO＋∠BMO＝180°.
∵∠BMO＝120°，
∴∠BAO＝60°.
在Rt△ABO中，AO＝4，∠BAO＝60°，∴AB＝8.
∵∠AOB＝90°，
∴AB为⊙C的直径．
∴⊙C的半径为4.
综合提升
2．如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆⊙O的直径，且AB=
，AC=5，AD=4，求⊙O的直径AE．
综合提升
解析∶由圆周角定理可知，∠E=∠C.
∵∠ABE=∠ADC=90°,∠E= ∠C, ∴△ABE∽△ADC,AB:AD=AE:AC.
∵AB=4√2,AC=5,AD=4, 4√2:4=AE:5.
AE=5√2.
(2019·河南)如图，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，以AB为直径的半圆O交AC于点D，点E是弧BD上不与点B，D重合的任意一点，连接AE交BD于点F，连接BE并延长交AC于点G.
(1)求证：△ADF≌△BDG；
(2)填空：
①若AB＝4，且点E是弧BD的中点，则DF的长为 ；
②取弧AE的中点H，当∠EAB的度数为 时，四边形OBEH为菱形．
中考实战
(1)求证：△ADF≌△BDG；
解析：由题意可知：
因为AB为直径，所以∠AEB=∠ADB=∠GDB=90°
又因为∠ABC=90°，AB=AC，所以∠DAB=45°，所以AD=DB.又因为∠DAF=∠DBG.
因此可证△ADF≌△BDG
证明 略
①若AB＝4，且点E是弧BD的中点，则DF的长为 ；
解析：在等腰直角三角形ADB中
因为AB=4，所以AD=DB=2√2
因为E为弧DB的中点，所以∠GAE=∠BAE.又因为AE⊥GB
所以△GAB为等腰三角形，AG=AB.
所以DF=DG=4-2√2
②取弧AE的中点H，当∠EAB的度数为 时，四边形OBEH为菱形．
H
解析：如右图，连接OE.
若四边形OBEH是菱形，则OB=EB，又因为OE=OB，所以△OEB是等边三角形.∠EBA=60°
所以∠EAB=90°-∠EAB=30°.
18．（9分）（2016 河南）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点M是AC的中点，以AB为直径作⊙O分别交AC，BM于点D，E．
（1）求证：MD=ME；（2）填空：
①若AB=6，当AD=2DM时，DE= ；
②连接OD，OE，当∠A的度数为 时，四边形ODME是菱形．
中考实战
【点评】本题考查圆内接四边形性质、直角三角形斜边中线性质、菱形的判定等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，记住菱形的三种判定方法，属于中考常考题型．
2
60°
1．要理解好圆周角定理的推论.
2．构造直径所对的圆周角是圆中的常用方法.引辅助线的方法：
（1）构造直径上的圆周角.
（2）构造（寻找）同弧所对的圆周角.
3．要多观察图形，善于识别圆周角与圆心角，构造同弧所对的圆周角也是常用方法之一.
北师版九年级下册 圆
§3.4.2 圆周角与圆心角的关系
1.进一步探索直径所对的圆周角的特征，并能应用其进行简单的计算与证
明.(重点)
2.掌握圆内接四边形的有关概念及推论.(难点)
3、引导学生掌握两种常用的解题方法：
（1）善于寻找（构造）同弧所对圆周角；（2）“见直径，构造直角三角形”
要点回顾
圆周角定理
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
·
C
D
A
B
O
1.如图(1)，BC是⊙O的直径，A是⊙O上任一点，你能确定∠BAC的度数吗
2.如图(2)，圆周角∠BAC =90 ，弦BC经过圆心O吗？为什么？
B
C
O
A
图(1)
F
E
●
B
C
A
图(2)
O
合作探究
圆周角定理的推论2
直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.（如下图）
新知讲解
A
O
B
C1
C2
C3
归纳总结
推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等；
推论2:直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.
推论：
1.如图，⊙O的直径AB＝4，点C在⊙O上，∠ABC＝30°，则AC的长是( )
A.1 B. √2 C. √3 D.2
2.如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC＝6，AB＝10，OD⊥BC于点D，则OD的长为 .
D
4
跟踪练习
3．从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是( )
4．如图，BC是⊙O的直径，点A是⊙O上的一点，∠OAC＝32°，则∠B的度数是( )
A．58° B．60° C．64° D．68°
B
A
跟踪练习
（1）如图3-19，A，B，C，D是 0上的四点，AC为圆O内直径，∠BAD与∠BCD之间有什么关系 为什么
（2）如图3-20，点 C的位置发生了变化，∠BAD与∠BCD之间的关系还成立吗 为什么
图3-19
图3-20
合作探究一
小结：两图中的∠BAD+∠BCD=180°.
在图3-19、图3-20中，四边形ABCD的四个顶点都在圆O上，
像这样的四边形叫做圆内接四边形（inscribed quadrilateral），
这个圆叫做四边形的外接圆∶
新知讲解
推论1：圆内接四边形对角互补.
如图3-21，∠DCE是圆内接四边形ABCD的一个外角，∠A与∠DCE的大小有什么关系
合作探究二
解：∵四边形ABCD为圆O的内接四边形
∴∠A+∠BCD=180°.
又∵∠DCE+∠BCD=180°.
∴∠DCE=∠A.
推论2：任何一个外角都等于它的内对角。
图3-21
1.如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BCD＝110°，则∠BOD＝ .
140°
跟踪练习
2．如图，在圆内接四边形ABCD中，若∠A，∠B，∠C的度数之比为
4∶3∶5，∠D的度数是 ．
120°
4．(2020·盐城)如图，在⊙O中，点A在弧BC上，∠BOC＝100°，则∠BAC＝ ．
130°
3．(2020·聊城)如图，在⊙O中，四边形OABC为菱形，点D在弧AmC上，则∠ADC的度数是 ．
60°
跟踪练习
1．(10分)如图，⊙C经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A与点B，点A的坐标为(0，4)，M是圆上一点，∠BMO＝120°.求⊙C的半径．
解：∵四边形ABMO内接于⊙C，
∴∠BAO＋∠BMO＝180°.
∵∠BMO＝120°，
∴∠BAO＝60°.
在Rt△ABO中，AO＝4，∠BAO＝60°，∴AB＝8.
∵∠AOB＝90°，
∴AB为⊙C的直径．
∴⊙C的半径为4.
综合提升
2．如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆⊙O的直径，且AB=
，AC=5，AD=4，求⊙O的直径AE．
综合提升
解析∶由圆周角定理可知，∠E=∠C.
∵∠ABE=∠ADC=90°,∠E= ∠C, ∴△ABE∽△ADC,AB:AD=AE:AC.
∵AB=4√2,AC=5,AD=4, 4√2:4=AE:5.
AE=5√2.
(2019·河南)如图，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，以AB为直径的半圆O交AC于点D，点E是弧BD上不与点B，D重合的任意一点，连接AE交BD于点F，连接BE并延长交AC于点G.
(1)求证：△ADF≌△BDG；
(2)填空：
①若AB＝4，且点E是弧BD的中点，则DF的长为 ；
②取弧AE的中点H，当∠EAB的度数为 时，四边形OBEH为菱形．
中考实战
(1)求证：△ADF≌△BDG；
解析：由题意可知：
因为AB为直径，所以∠AEB=∠ADB=∠GDB=90°
又因为∠ABC=90°，AB=AC，所以∠DAB=45°，所以AD=DB.又因为∠DAF=∠DBG.
因此可证△ADF≌△BDG
证明 略
①若AB＝4，且点E是弧BD的中点，则DF的长为 ；
解析：在等腰直角三角形ADB中
因为AB=4，所以AD=DB=2√2
因为E为弧DB的中点，所以∠GAE=∠BAE.又因为AE⊥GB
所以△GAB为等腰三角形，AG=AB.
所以DF=DG=4-2√2
②取弧AE的中点H，当∠EAB的度数为 时，四边形OBEH为菱形．
H
解析：如右图，连接OE.
若四边形OBEH是菱形，则OB=EB，又因为OE=OB，所以△OEB是等边三角形.∠EBA=60°
所以∠EAB=90°-∠EAB=30°.
18．（9分）（2016 河南）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点M是AC的中点，以AB为直径作⊙O分别交AC，BM于点D，E．
（1）求证：MD=ME；（2）填空：
①若AB=6，当AD=2DM时，DE= ；
②连接OD，OE，当∠A的度数为 时，四边形ODME是菱形．
中考实战
【点评】本题考查圆内接四边形性质、直角三角形斜边中线性质、菱形的判定等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，记住菱形的三种判定方法，属于中考常考题型．
2
60°
1．要理解好圆周角定理的推论.
2．构造直径所对的圆周角是圆中的常用方法.引辅助线的方法：
（1）构造直径上的圆周角.
（2）构造（寻找）同弧所对的圆周角.
3．要多观察图形，善于识别圆周角与圆心角，构造同弧所对的圆周角也是常用方法之一.