2021-2022学年苏科版九年级数学下册5.2二次函数的图象与性质 同步练习题（Word版含答案）

2021-2022学年苏科版九年级数学下册《5.2二次函数的图象与性质》同步练习题（附答案）
1．如图，函数y＝ax2+bx+c的图象过点（﹣1，0）和（m，0），请思考下列判断：
①abc＜0；②4a+c＜2b；③＝1﹣；④am2+（2a+b）m+a+b+c＜0；⑤|am+a|＝正确的是（　　）
A．①③⑤ B．①②③④⑤ C．①③④ D．①②③⑤
2．在平面直角坐标系中，对图形F给出如下定义：若图形F上的所有点都在以原点为顶点的角的内部或边界上，在所有满足条件的角中，其度数的最小值称为图形的坐标角度，例如，如图中的矩形ABCD的坐标角度是90°．现将二次函数y＝ax2（1≤a≤3）的图象在直线y＝1下方的部分沿直线y＝1向上翻折，则所得图形的坐标角度α的取值范围是（　　）
A．30°≤α≤60° B．60°≤α≤90°
C．90°≤α≤120° D．120°≤α≤150°
3．如图，直线y＝kx+b（k、b为常数）分别与x轴、y轴交于点A（﹣4，0）、B（0，3），抛物线y＝﹣x2+2x+1与y轴交于点C，点E在抛物线y＝﹣x2+2x+1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，CE+EF的最小值是（　　）
A．1.4 B．2.5 C．2.8 D．3
4．如图抛物线y1＝x2﹣2x，直线y2＝﹣2x+b相交于A，B两点，其中点A的横坐标为2．当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1，y2，取m＝（|y1﹣y2|+y1+y2）．则（　　）
A．当x＜﹣2时，m＝y2 B．m随x的增大而减小
C．当m＝2时，x＝0 D．m≥﹣2
5．如图，已知点A（12，0），O为坐标原点，P是线段OA上任一点（不含端点O、A），二次函数y1的图象过P、O两点，二次函数y2的图象过P、A两点，它们的开口均向下，顶点分别为B、C，射线OB与射线AC相交于点D．则当OD＝AD＝9时，这两个二次函数的最大值之和等于（　　）
A．8 B．3 C．2 D．6
6．关于抛物线y1＝x2+k与直线y2＝kx+1在同一平面直角坐标系的图象，其中不正确的是（　　）
A．B．C．D．
7．已知函数y＝，当a≤x≤b时，﹣≤y≤2，则b﹣a的最大值为（　　）
A． B．+ C． D．2
8．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）过A（﹣2，0）、B（0，0）、C（﹣3，y1）、D（2，y2）四点，则y1与y2的大小关系是（　　）
A．y1＜y2 B．y1＝y2 C．y1＞y2 D．不能确定
9．如图，在4×4的网格中，每一个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点，以O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系．若抛物线y＝x2+bx+c的图象至少经过图中（4×4的网格中）的三个格点，并且至少一个格点在x轴上，则符合要求的抛物线一定不经过的格点坐标为（　　）
A．（1，3） B．（2，3） C．（1，4） D．（2，4）
10．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，其对称轴为x＝1，下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣，y1），（，y2）是抛物线上两点，则y1＜y2，其中结论正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．已知两点A（﹣3，y1）、B（5，y2）均在抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上，点C（x0，y0）是该抛物线的顶点，若y1＞y2≥y0，则x0的取值范围是（　　）
A．x0＞﹣3 B．x0≥5 C．1＜x0≤5 D．x0＞1
12．抛物线y＝x2+1经过平移得到抛物线y＝（x+1）2，平移的方法是（　　）
A．向左平移1个，再向下平移1个单位 B．向右平移1个，再向下平移1个单位
C．向左平移1个，再向上平移1个单位 D．向右平移1个，再向上平移1个单位
13．把函数y＝3x2的图象向右平移2个单位，所得到的新函数的表达式是（　　）
A．y＝3x2﹣2 B．y＝3x2+2 C．y＝3（x﹣2）2 D．y＝3（x+2）2
14．抛物线y＝x2﹣6x+11的顶点坐标是（　　）
A．（3，2） B．（3，﹣2） C．（﹣3，2） D．（﹣3，﹣2）
15．抛物线y＝（x﹣1）2+3关于x轴对称的抛物线的解析式是（　　）
A．y＝﹣（x﹣1）2+3 B．y＝（x+1）2+3
C．y＝（x﹣1）2﹣3 D．y＝﹣（x﹣1）2﹣3
16．如图，点A在抛物线y＝﹣x2+3x上且横坐标为5，作直线OA，设直线OA与y轴负半轴的夹角为α，在抛物线上找一点B，使得∠AOB大于α，则点B横坐标xB的取值范围是　 　．
17．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当﹣1≤x≤1时，﹣1≤y≤1，则称这个函数为“闭函数”．例如：y＝x，y＝﹣x均是“闭函数”．已知y＝ax2+bx+c（a≠0）是“闭函数”，且抛物线经过点A（1，﹣1）和点B（﹣1，1），则a的取值范围是 　 　．
18．已知关于x、y的方程组，给出下列结论：
①当a＝0时，方程组的解也是方程x+y＝1的解；②当x＝y时，a＝1；③不论a取什么实数，2x+y的值始终不变；④若z＝﹣xy，则z的最小值为﹣．以上结论正确的是　 　．
19．对于二次函数y＝mx2﹣（m+2）x+3，有下列说法：
①如果m＝2，则y有最小值3；
②如果当x＝1时的函数值与x＝2016时的函数值相等，则当x＝2017时的函数值为3；
③如果m＞1，当x≤1时y随x的增大而减小，则1＜m≤2；
④如果该二次函数有最小值T，则T的最大值为1．
其中正确的说法是　 　．（把你认为正确的结论的序号都填上）
20．二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点（3，1），（6，﹣5），若当3＜x＜6时，y随着x的增大而减小，则实数a的取值范围是　 　．
21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2﹣x+与直线y＝x+b交于A、B两点，其中点A在x轴上，点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合）过P作y轴的平行线交直线于点C，连接PA、PB．
（1）求直线的解析式及A、B点的坐标；
（2）当△APB面积最大时，求点P的坐标以及最大面积．
22．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+2过B（﹣2，6），C（2，2）两点．
（1）记抛物线顶点为D，求△BCD的面积；
（2）若直线y＝﹣x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC（包括端点B、C）部分有两个交点，求b的取值范围．
23．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣2x2+（m+9）x﹣6的对称轴是直线x＝2．
（1）求抛物线表达式和顶点坐标；
（2）将该抛物线向右平移1个单位，平移后的抛物线与原抛物线相交于点A，求点A的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线y＝﹣2x2+（m+9）x﹣6与y轴交于点C，点A关于平移后抛物线的对称轴的对称点为点B，两条抛物线在点A、C和点A、B之间的部分（包含点A、B、C）记为图象M．将直线y＝2x﹣2向下平移b（b＞0）个单位，在平移过程中直线与图象M始终有两个公共点，请你写出b的取值范围 　 　．
24．设m是不小于﹣1的实数，关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3＝0有两个不相等的实数根x1、x2，
（1）若x12+x22＝6，求m值；
（2）求的最大值．
25．如图，已知矩形ABCD的边AB在x轴上，且AB＝4，另外两个顶点C，D落在抛物线y＝﹣x2+2x上，抛物线的对称轴与x轴交于点E，连接直线OC交抛物线的对称轴于点F．
（1）求抛物线的对称轴和直线OC的函数表达式．
（2）将△OEF绕点O旋转得到△OE′F′，当点F′恰好落在直线AD上时，求点E′的坐标．
参考答案
1．解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线交y轴于正半轴，
∴c＞0，
∵﹣＞0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故①正确，
∵x＝﹣2时，y＜0，
∴4a﹣2b+c＜0，即4a+c＜2b，故②正确，
∵y＝ax2+bx+c的图象过点（﹣1，0）和（m，0），
∴﹣1×m＝，am2+bm+c＝0，
∴++＝0，
∴＝1﹣，故③正确，
∵﹣1+m＝﹣，
∴﹣a+am＝﹣b，
∴am＝a﹣b，
∵am2+（2a+b）m+a+b+c
＝am2+bm+c+2am+a+b
＝2a﹣2b+a+b
＝3a﹣b＜0，故④正确，
∵m+1＝|﹣|，
∴m+1＝||，
∴|am+a|＝，故⑤正确，
故选：B．
2．解：当a＝1时，如图1中，
∵角的两边分别过点A（﹣1，1），B（1，1），作BE⊥x轴于E，
∴BE＝OE，
∴∠BOE＝45°，
根据对称性可知∠AOB＝90°
∴此时坐标角度m＝90°；
当a＝3时，如图2中，
角的两边分别过点A（﹣，1），B（，1），作BE⊥x轴于E，
∵tan∠BOE＝，
∴∠BOE＝60°，
根据对称性可知∠AOB＝60°
∴此时坐标角度α＝60°，
∴60°≤α≤90°；
故选：B．
3．解：如图，设C点关于抛物线对称轴的对称点为C′，由对称的性质可得CE＝C′E，
∴CE+EF＝C′E+EF，
∴当F、E、C′三点一线且C′F与AB垂直时CE+EF最小，
由题意可得，解得，
∴直线解析式为y＝x+3；
∵C（0，1），
∴C′（2，1），
∴直线C′F的解析式为y＝﹣x+，
由，解得，
∴F（，），
∴C′F＝＝
即CE+EF的最小值为．
故选：C．
4．解：点A在抛物线上，则y1＝×4﹣2×2＝﹣2，
故点A（2，﹣2），
将点A的坐标代入y2＝﹣2x+b得：
﹣2＝﹣2×2+b，解得：b＝2，
故：y2＝﹣2x+2，
由，解得或，
∴B（﹣2，6），
m＝（|y1﹣y2|+y1+y2）＝y1或y2，
①当x≥2或x≤﹣2
m＝x2﹣2x，函数的对称轴为x＝2，
函数的最小值为﹣2；
②当﹣2＜x＜2，
m＝2﹣2x，函数m的值大于﹣2，
故选：D．
5．解：过B作BF⊥OA于F，过D作DE⊥OA于E，过C作CM⊥OA于M，
∵BF⊥OA，DE⊥OA，CM⊥OA，
∴BF∥DE∥CM，
∵OD＝AD＝9，DE⊥OA，
∴OE＝EA＝OA＝6，
由勾股定理得：DE＝＝3．
设P（2x，0），根据二次函数的对称性得出OF＝PF＝x，
∵BF∥DE∥CM，
∴△OBF∽△ODE，△ACM∽△ADE，
∴＝，＝，
∵AM＝PM＝（OA﹣OP）＝（12﹣2x）＝6﹣x，
即＝，＝，
解得：BF＝，CM＝3﹣x，
∴BF+CM＝3．
故选：B．
6．解：∵y1＝x2+k，a＝1＞0，开口向上，
∵y2＝kx+1，b＝1＞0，与y轴交点在y轴上方，
当k＞0时，二次函数与y轴交点在y轴上方，一次函数经过一、二、三象限，
直线与y轴交点为（0，1）抛物线交点为（0，k）所以k＜1，夹角小于45度，故D不正确；
故选：D．
7．解：函数的图象如下图所示，
当x≥0时，当y＝﹣时，x＝，当y＝2时，x＝2或﹣1，
故：顶点A的坐标为（，﹣），点B（2，2），
同理点C（，﹣）
则b﹣a的最大值为2﹣＝
故选：B．
8．解：抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）过A（﹣2，0）、B（0，0），
则函数的对称轴为：x＝﹣1，
x＝﹣3比x＝2离对称轴近，故y1＞y2，
故选：C．
9．解：∵二次项系数为1，∴该抛物线开口向上
∵图象至少经过图中（4×4的网格中）的三个格点，且至少一个格点在x轴上，
∴结合二次函数的对称性分析如下：
选项A：若过（1，3），将点A坐标代入抛物线表达式并解得：
抛物线的表达式为：y＝x2+bx+（2﹣b），
设抛物线过点（2，0），即当x＝2时，y＝4+2b+2﹣b＝0，解得：b＝﹣6，
抛物线的表达式为：y＝x2﹣6x+8＝（x﹣2）（x﹣4），
即抛物线还过点（2，0）、（4，0），不符合题意；
选项B：若过（2，3），还可过点（3，1），将这个点的坐标代入y＝x2+bx+c并解得：y＝x2﹣7x+13，
若同时过x轴上的可能的格点（4，0），当x＝4时，y＝1，故B符合题意；
故选：B．
10．解：①∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，与y轴交于正半轴，
∴a＜0，﹣＝1，c＞0，
∴b＝﹣2a＞0，
∴abc＜0，结论①错误；
②抛物线对称轴为直线x＝1，
∴﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，结论②正确；
③∵抛物线的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标是（﹣1，0），
∴另一个交点坐标是（3，0），
∴当x＝2时，y＞0，
∴4a+2b+c＞0，结论③错误；
④1﹣（﹣）＝，﹣1＝，
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线开口向下，
∴y1＝y2，结论④错误；
综上所述：正确的结论有②，1个，
故选：A．
11．解：∵两点A（﹣3，y1）、B（5，y2）均在抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上，点C（x0，y0）是该抛物线的顶点，y1＞y2≥y0，
∴该函数图象开口向上，有最小值，对称轴在y轴的右侧，
当点B在对称轴右侧时，x0＞5，
当点B和顶点重合时，x0＝5，
当点B在对称轴右侧时，5＞x0＞，
5＞x0＞1，
由上可得，x0的取值范围是x0＞1，
故选：D．
12．解：∵y＝x2+1得到顶点坐标为（0，1），
平移后抛物线y＝（x+1）2的顶点坐标为（﹣1，0），
∴平移方法为：向左平移1个单位，再向下平移1个单位．
故选：A．
13．解：二次函数y＝3x2的图象向右平移2个单位，
得：y＝3（x﹣2）2．
故选：C．
14．解：∵y＝x2﹣6x+11，
∴y＝x2﹣6x+9+2
∴y＝（x﹣3）2+2，
∴y＝x2﹣6x+11的顶点坐标为（3，2），
故选：A．
15．解：∵y＝（x﹣1）2+3的顶点坐标为（1，3），
∴关于x轴对称的抛物线顶点坐标为（1，﹣3），且开口向下，
∴所求抛物线解析式为：y＝﹣（x﹣1）2﹣3．
故选：D．
16．解：当x＝5时，y＝﹣，即点A（5，﹣），
过点A作AN⊥y轴于点N，将△ONA沿OA对折，点N对应点为M，
则此时∠AOM＝∠AON＝α，
过点M作MH⊥AN于点H，过点M作AG⊥y轴于点G，
设HA＝a，OG＝b，
∵∠GMO+∠OMH＝90°，∠OMH+∠AMH＝90°，
∴∠AMH＝∠OMG，
∵∠OGM＝∠MHA＝90°，
∴△OGM∽△AHM，
∴＝＝＝，
∴，
解得：a＝，b＝，
故点M（，），
则直线OM的函数表达式为：y＝x，
将上式与二次函数表达式联立并解得：x＝，
即：xB＜，
当xB＝0时，B、O重合，
故答案为：xB＜且xB≠0．
17．解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（1，﹣1）和点B（﹣1，1），
∴a+b+c＝﹣1 ①a﹣b+c＝1 ②
①+②得：a+c＝0 即a与c互为相反数，
①﹣②得：b＝﹣1；
所以抛物线表达式为y＝ax2﹣x﹣a（a≠0），
∴对称轴为x＝，
当a＜0时，抛物线开口向下，且x＝＜0，
∵抛物线y＝ax2﹣x﹣a（a≠0）经过点A（1，﹣1）和点B（﹣1，1），
画图可知，当≤﹣1时符合题意，此时﹣≤a＜0，
当﹣1＜＜0时，图象不符合﹣1≤y≤1的要求，舍去
同理，当a＞0时，抛物线开口向上，且x＝＞0，
画图可知，当≥1时符合题意，此时0＜a≤，
当0＜＜1时，图象不符合﹣1≤y≤1的要求，舍去，
综上所述：a的取值范围是﹣≤a＜0或0＜a≤，
故答案为：﹣≤a＜0或0＜a≤．
18．解：解方程组得：x＝a+2，y＝﹣2a﹣1，
①a＝0时，x＝2，y＝﹣1，x+y＝1，符合题意；
②当x＝y时，即a+2＝﹣2a﹣1，解得：a＝﹣1，故不符合题意；
③2x+y＝2a+4﹣2a﹣1＝3，故2x+y的值始终不变，符合题意；
④z＝﹣xy＝（2a2+5a+2）＝a2+a+1，
∵1＞0，故z有最小值，当a＝﹣时，z的最小值为：﹣，符合题意；
故答案为：①③④．
19．解：①如果m＝2，y＝2x2﹣4x+3，函数的对称轴为：x＝1，则y＝1，故y有最小值3，不符合题意；
②x＝0时，y＝3，而如果当x＝1时的函数值与x＝2016时的函数值相等，当x＝2017与x＝0关于对称轴对称，故此时的函数值为3，符合题意；
③如果m＞1，当x≤1时y随x的增大而减小，函数的对称轴为：x＝≥1，解得：则1＜m≤2；故符合题意；
④如果该二次函数有最小值T，则m＞0，T＝＝2﹣（）≤2﹣2＝1（备注），故则T的最大值为1，故符合题意．
故答案为：②③④．
备注：（）≥2的证明．
∵（a﹣b）2≥0，则a2+b2≥2ab，
设：a＝，b＝，
则（）≥2．
20．解：将点（3，1），（6，﹣5），代入二次函数表达式得：，解得：，
当a＞0时，则函数对称轴在x＝6的右侧，即x＝﹣≥6，即≥6，解得：a≤，
同理当a＜0时，则函数对称轴在x＝3的左侧，即x＝﹣≤3，即≤3，解得：a≥﹣，
故答案为：﹣≤a≤且a≠0．
21．解：（1）∵y＝﹣x2﹣x+，
∴当y＝0时，﹣x2﹣x+＝0，
解得x1＝﹣，x2＝1，
∴A点的坐标为（1，0）．
将A（1，0）代入y＝x+b，
得0＝×1+b，
解得b＝﹣，
∴直线的解析式为y＝x﹣．
由，解得，，
∴B点的坐标为（﹣5，﹣3）；
（2）设P（x，﹣x2﹣x+），则C（x，x﹣），
∴PC＝（﹣x2﹣x+）﹣（x﹣）＝﹣x2﹣4x+5，
∴S△APB＝PC |xA﹣xB|
＝（﹣x2﹣4x+5）×（1+5）
＝﹣3x2﹣12x+15
＝﹣3（x+2）2+27，
当x＝﹣2时，△APB面积最大，最大值为27，此时点P的坐标为（﹣2，）．
22．解：（1）把B（﹣2，6），C（2，2）两点坐标代入得：，
解这个方程组，得 ，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x+2；
∵y＝x2﹣x+2＝（x﹣1）2+，
∴顶点D（1，），
∵B（﹣2，6），C（2，2），
∵直线BC为y＝﹣x+4，
∴对称轴与BC的交点H（1，3），
∴S△BDC＝S△BDH+S△DHC＝×（3﹣） 3+×（3﹣） 1＝3．
（2）由消去y得到x2﹣x+4﹣2b＝0，
当Δ＝0时，直线与抛物线相切，1﹣4（4﹣2b）＝0，
∴b＝，
当直线y＝﹣x+b经过点C时，b＝3，
当直线y＝﹣x+b经过点B时，b＝5，
∵直线y＝﹣x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC（包括端点B、C）部分有两个交点，
∴＜b≤3．
23．解：（1）∵抛物线y＝﹣2x2+（m+9）x﹣6的对称轴是直线x＝2，
∴．
∴m＝﹣1．
∴抛物线的表达式为y＝﹣2x2+8x﹣6．
∴y＝﹣2（x﹣2）2+2．
∴顶点坐标为（2，2）．
（2）由题意得，平移后抛物线表达式为y＝﹣2（x﹣3）2+2，
∵﹣2（x﹣2）2＝﹣2（x﹣3）2，
∴．
∴A（，）．
（3）点A坐标为（，），
则点B的坐标为（，），
设直线y＝2x﹣2向下平移b（b＞0）个单位经过点B，
则y＝2x﹣2﹣b，
故＝7﹣2﹣b，
解得b＝，
设直线y＝2x﹣2向下平移b（b＞0）个单位经过点A，
＝5﹣2﹣b，b＝，
由，消去y得到：2x2﹣10x+14﹣b＝0，
由题意：Δ＝0，
∴100﹣8（14﹣b）＝0，
∴b＝，
观察图象可知：平移过程中直线与图象M始终有两个公共点，则．
24．解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝4（m﹣2）2﹣4（m2﹣3m+3）＝﹣4m+4＞0，
∴m＜1，
结合题意知：﹣1≤m＜1．
（1）∵x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝4（m﹣2）2﹣2（m2﹣3m+3）＝2m2﹣10m+10＝6
∴，
∵﹣1≤m＜1，
∴；
（2）＝
＝（﹣1≤m＜1）．
∵对称轴m＝，2＞0，
∴当m＝﹣1时，式子取最大值为10．
25．解：（1）根据题意得：
抛物线的对称轴为：x＝﹣＝4，
∴OE＝4
∵AB＝4，
∴AE＝BE＝2
∴点C和点B的横坐标为6，
把x＝6代入y＝﹣x2+2x得：
y＝﹣×62+2×6＝3，
即点C的坐标为（6，3），
设直线OC的函数表达式为：y＝kx，
把点C（6，3）代入得：
6k＝3，
解得：k＝，
故直线OC的函数表达式为：y＝，
即抛物线的对称轴为：x＝4，直线OC的函数表达式为：y＝，
（2）①如图1中，当点F′在射线AD上时．作E′N⊥AD于N，设OE′交AD于P．
∵OF＝OF′，EF＝OA＝2，
∴Rt△OFE≌Rt△F′AO，
∴AF′＝OE＝4，∠OF′A＝∠FOE＝∠F′OE′，
∴OP＝PF′，设OP＝PF′＝m，
在Rt△PE′F′中，∵PF′2＝E′F′2+PE′2，
∴m2＝22+（4﹣m）2，
∴m＝，
∴E′N＝＝，
∴NF′＝＝，
∴AN＝AF′﹣F′N＝4﹣＝，
∴E′（，），
②如图2中，当点F′在DA的延长线上时，易知点E′在y轴上，E′（0，﹣4）
综上所述，点E的坐标为（，）或（0，﹣4）．