2021-2022学年苏科版九年级数学下册5.4二次函数与一元二次方程 题型分类练习 （Word版含答案）

2021-2022学年苏科版九年级数学下册《5.4二次函数与一元二次方程》
题型分类练习（附答案）
一．抛物线与x轴的交点
1．已知一元二次方程2x2﹣3x﹣6＝0有两个实数根m、n，且抛物线y＝﹣x2+bx+c的顶点坐标恰好是（m+n，mn），则此抛物线的函数表达式为（　　）
A．y＝﹣x2+3x+ B．y＝﹣x2﹣3x﹣
C．y＝﹣x2+3x﹣ D．y＝﹣x2﹣3x+
2．已知点P（﹣3，m）和Q（1，m）在二次函数y＝2x2+bx﹣1的图象上．将这个二次函数图象向上平移 　 　单位长度后，得到的函数图象与x轴只有一个公共点．
3．对于二次函数y＝x2﹣6x+21，有以下结论：①当x＞5时，y随x的增大而增大；②当x＝6时，y有最小值3；③图象与x轴有两个交点；④图象是由抛物线y＝x2向右平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度得到的．其中结论正确的个数为（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
4．已知一元二次方程x2+bx﹣3＝0的一个根是﹣3，若二次函数y＝x2+bx﹣3的图象上有三个点、、，则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y3＜y2
5．已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（0，3）、B（4，3）、C（1，0）．
（1）填空：抛物线的对称轴为直线x＝　 　，抛物线与x轴的另一个交点D的坐标为 　 　；
（2）画出二次函数y＝ax2+bx+c的图象．
（3）当1＜x≤4时，y的取值范围是 　 　．
6．抛物线y＝﹣x2+bx+3的对称轴为直线x＝﹣1，若关于x的一元二次方程﹣x2+bx+3﹣t＝0（t为实数）在﹣2＜x＜3的范围内有实数根，则t的取值范围是 　 　．
7．已知二次函数y＝a（x﹣m）2﹣a（x﹣m）（a、m为常数，且a≠0）．
（1）求证：不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；
（2）设该函数的图象的顶点为C，与x轴交于A，B两点，当△ABC的面积为1时，求a的值．
8．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标及此时距离之和的最小值；
（3）如果点P（x1，n）和点Q（x2，n）在函数y＝a2+bx+c的图象上，且x1＜x2，PQ＝2m，求x12﹣mx2﹣3m+6的值．
9．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（3，0），B（﹣1，0）两点，于y轴交于C点，且OC＝3OB，顶点为D点，连接OD．
（1）求抛物线解析式；
（2）P点为抛物线上AD部分上一动点，过P点作PF∥DE交AC于F点，求四边形DPAF面积的最大值及此时P点坐标．
10．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．
（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；
（2）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标．
11．已知：如图，抛物线y＝ax2+3ax+c（a＞0）与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在B点左侧．点B的坐标为（1，0），OC＝3BO．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值．
12．如图，抛物线y＝﹣x2﹣2x+c的图象与坐标轴交于A，B，C三点，且OB＝3OC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P（x1，y1）为抛物线上任意一点，点Q（x1+3，y2）也在
抛物线上，连接PQ，试求线段PQ长度最小时点P的坐标．
13．已知抛物线y＝mx2+2mx﹣3m（m≠0）与x轴交于A，B两点（其中A在B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求A，B的坐标；
（2）若直线y＝x+n过A，C两点．
①求抛物线解析式；
②点C关于x轴的对称点为D，若过点D的直线y＝kx+b与抛物线在x轴上方（不含x轴上的点）的部分无公共点，结合函数图象，求k的取值范围．
14．已知二次函数y＝x2﹣2mx+m﹣1（m是常数）．
（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴有2个公共点；
（2）如图，若该函数与x轴的一交点是原点，求另一交点A的坐标及顶点C的坐标；
（3）在（2）的条件下，y轴上是否存在一点P，使得PA+PC最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
15．如图，对称轴为直线x＝﹣1的抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，其中点A的坐标为（﹣3，0）．
（1）求点B的坐标；
（2）已知a＝1，C为抛物线与y轴的交点，若点P在抛物线上，且S△POC＝4S△BOC．求点P的坐标．
16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（2，9），与y轴交于点A（0，5），与x轴交于点E，B．
（1）求二次函数y＝ax2+bx+c的解析式；
（2）过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点（点P在AC上方），作PD平行于y轴交AB于点D，问当点P在何位置时，四边形APCD的面积最大？并求出最大面积．
二．图象法求一元二次方程的近似根
17．如表是一组二次函数y＝x2+x﹣1的自变量x与函数值y的对应值．
　x 　0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
　y ﹣0.44 ﹣0.49 ﹣0.04 　0.19 0.44
由上表可知，方程x2+x﹣1＝0的一个近似解是（　　）
A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.8
18．如表给出了二次函数y＝x2+2x﹣10中x，y的一些对应值，则可以估计一元二次方程x2+2x﹣10＝0的一个近似解为（　　）
x … 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 …
y … ﹣1.39 ﹣0.76 ﹣0.11 0.56 1.25 …
A．2.2 B．2.3 C．2.4 D．2.5
19．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）中，4a﹣b＝0，a﹣b+c＞0，抛物线与x轴的两交点之间的距离小于2，且经过点（0，3）．下列四个结论：
①对称轴为直线x＝﹣2；
②若点（m﹣2，y1）和（n﹣2，y2）在抛物线上，且m＞n，则y1＞y2；
③一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根在﹣2和﹣3之间；
④0＜a＜1；其中结论正确结论是 　 　（填写序号）．
三．二次函数与不等式（组）
20．抛物线y＝﹣x2+4x如图所示，那么不等式﹣x2+4x＜0的解集是（　　）
A．x＜0或x＞4 B．x＜0或x＞2 C．0＜x＜2 D．0＜x＜4
21．在同一坐标系下，抛物线y1＝﹣x2+4x和直线y2＝2x的图象如图所示，那么不等式﹣x2+4x＞2x的解集是 　 　．
22．如图是二次函数y＝ax2﹣bx+c的图象，由图象可知，不等式ax2﹣bx+c＜0的解集是　 　．
23．若二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则不等式a（x+2）2+b（x+2）+c＞0的解集为　 　．
24．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点为（1，0），则下列说法中不正确的是（　　）
A．a＜0，c＜0
B．4a+b＝0
C．方程ax2+bx+c＝0的实数为x1＝1，x2＝3
D．不等式ax2+bx+c＜0的解集为1＜x＜3
25．已知，如图是在同一坐标系中二次函数y1＝ax2+bx+c与一次函数y2＝mx+n的图象，它们相交于点B（0，1），C（3，4），抛物线的顶点D（1，0），直线BC交x轴于点A．
（1）当y1＞y2时，x的取值范围是 　 　；
（2）当y1y2＞0时，x的取值范围是 　 　．
26．如图所示，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为实数）的图象过点A（3，0），对称轴为直线x＝1，给出以下结论：①abc＜0；②3a+c＝0；③ax2+bx≤a+b；④若M（﹣0.5．y1）、N（3.5，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2．其中正确的有 　 　．（填写序号即可）
参考答案
一．抛物线与x轴的交点
1．解：∵一元二次方程2x2﹣3x﹣6＝0有两个实数根m、n，
∴m+n＝，mn＝﹣3，
∴抛物线的顶点为（，﹣3），
∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣）2﹣3＝﹣x2+3x﹣﹣3＝﹣x2+3x﹣，
故选：C．
2．解：∵P（﹣3，m）和Q（1，m）关于对称轴对称，
∴抛物线对称轴为直线x＝＝＝﹣1，
∴b＝4，
∴y＝2x2+4x﹣1＝2（x+1）2﹣3，
∴抛物线顶点坐标为（﹣1，﹣3），
将抛物线向上平移3个单位后抛物线顶点坐标为（﹣1，0），此时抛物线与x轴只有一个交点，
故答案为：3．
3．解：∵二次函数y＝x2﹣6x+21＝（x﹣6）2+3，
∴该函数的对称轴为直线x＝6，函数图象开口向上，
当5＜x＜6时，y随x的增大而减小，当x＞6时，y随x的增大而增大，
故①不符合题意；
当x＝6时，y有最小值3，
故②符合题意；
∵△＝（﹣6）2﹣4××21＝36﹣48＝﹣12＜0，
∴方程x2﹣6x+21＝0无实根，即图象与x轴无交点，
故③不符合题意；
图象是由抛物线y＝x2向右平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度得到的，
故④符合题意；
故正确的是②④，正确的个数是2，
故选：B．
4．解：∵一元二次方程x2+bx﹣3＝0的一个根是﹣3，
∴9﹣3b﹣3＝0．
∴b＝2．
∴二次函数y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4．
∴抛物线y＝x2+2x﹣3的对称轴为直线x＝﹣1，
根据对称性可知，x＝﹣与x＝﹣的函数值相同．
∵a＝1＞0，
∴当x＞﹣1时，y随x的增大而增大．
∵，，，
∴，
∴y1＜y2＜y3．
故选：A．
5．解：（1）∵点A（0，3）、B（4，3）关于直线x＝2对称，
∴对称轴为直线x＝2，
∵C（1，0）关于直线x＝2对称点为（3，0），
∴点D坐标为（3，0），
故答案为：2；（3，0）．
（2）将A（0，3）、B（4，3）、C（1，0）代入y＝ax2+bx+c得，
解得，
∴y＝x2﹣4x+3．
图象如下：
（3）∵抛物线对称轴为直线x＝2，且4﹣2＞2﹣1，
∴x＝2时，y取最小值为y＝22﹣2×4+3＝﹣1，
x＝4时，y取最大值为y＝42﹣4×4+3＝3，
∴﹣1≤y≤3．
故答案为：﹣1≤y≤3．
6．解：∵抛物线y＝﹣x2+bx+3的对称轴为直线x＝﹣1，
∴﹣＝﹣1．
∴b＝﹣2．
∴关于x的一元二次方程﹣x2+bx+3﹣t＝0为：
﹣x2﹣x+3﹣t＝0．
当x＝﹣2时，
﹣4+2+3﹣t＝0，
解得：t＝1．
当x＝3时，
﹣9﹣3+3﹣t＝0，
解得：t＝﹣9．
∵关于x的一元二次方程﹣x2﹣x+3﹣t＝0（t为实数）有实数根，
∴Δ＝（﹣1）2﹣4×（﹣1）（3﹣t）＞0．
解得：t＜．
∵关于x的一元二次方程﹣x2+bx+3﹣t＝0（t为实数）在﹣2＜x＜3的范围内有实数根，
∴﹣9＜t＜1．
故答案为：﹣9＜t＜1．
7．（1）证法一：令y＝0，得a（x﹣m）2﹣a（x﹣m）＝0，
化简得：a（x﹣m）（x﹣m﹣1）＝0，
∴x1＝m，x2＝m+1，
∴不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；
证法二：令y＝0，则a（x﹣m）2﹣a（x﹣m）＝0，
设z＝x﹣m，则az2﹣az＝0，
∴Δ＝（﹣a）2﹣4a×0＝a2，
∵a≠0，
∴a2＞0，
∴不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；
（2）由（1）得，抛物线与x轴两交点横坐标分别为m、m+1，
∴AB＝1，且根据抛物线对称性得顶点横坐标为：＝m+，
设点C坐标为（m+，n），
∴S△ABC＝AB |n|＝|n|＝1，
∴|n|＝2，
∴n＝±2，
将点C（m+，2）和C（m+，﹣2）分别代入抛物线解析式y＝a（x﹣m）2﹣a（x﹣m），
得：2＝a（m+﹣m）2﹣a（m+﹣m）或﹣2＝a（m+﹣m）2﹣a（m+﹣m），
整理得：﹣a＝2或﹣a＝﹣2，
解得：a＝﹣8或8．
8．解：（1）由题意，得：
，
解得：，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）∵M是抛物线的对称轴上一点，
∴MA＝MB，
∴MA+MC的最小值即为MB+MC的最小值，
∴直线BC与对称轴x＝﹣1的交点即为M，
∵抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3的对称轴为直线x＝﹣1，A（1，0），
∴B（﹣3，0），
设BC所在的直线函数解析式为y＝kx+b，
把点C（0，3）和点B（﹣3，0）代入解析式得：
，
解得：，
∴直线BC解析式为y＝x+3，
把x＝﹣1代入y＝x+3得：y＝2，
∴M（﹣1，2）；
（3）∵点P（x1，n）和点Q（x2，n），
∴过P，Q的直线与x轴平行，
∴P，Q关于对称轴x＝﹣1对称，
又∵PQ＝2m，
∴x1＝﹣1﹣m，x2＝﹣1+m，
∴x12﹣mx2﹣3m+6＝（﹣1﹣m）2﹣m（﹣1+m）﹣3m+6＝1+2m+m2+m﹣m2﹣3m+6＝7．
9．解：（1）∵点A（3，0），B（﹣1，0），
∴OA＝3，OB＝1．
∵OC＝3OB，
∴OC＝3．
∴C（0，3）．
设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，由题意得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵y＝﹣x2+2x＝3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴D（1，4）．
过点E作EM⊥OA于M，过点P作PN⊥OA于N，连接EP，如图，
∵DE∥PF，
∴S△DPF＝S△EPF，
∴S四边形DPAF＝S△APF+S△DPF＝S△APF+S△EPF＝S△APE，
设点P（m，﹣m2+2m+3），
则ON＝m，PN＝﹣m2+2m+3．设直线AC的解析式为y＝kx+n，
∴，
解得：，
∴直线AC的解析式为：y＝﹣x+3．
设直线OD的解析式为：y＝dx，
∴d＝4，
∴直线OD的解析式为：y＝4x，
∴，
解得：，
∴E（，）．
∴OM＝，ME＝．
∴MN＝m﹣，NA＝3﹣m．
∵S△APE＝S四边形EMPN+S△ANP﹣S△AME，
∴S△APE＝（PN+EM）×MN+AN PN﹣AM ME
＝（﹣m2+2m+3+）×（m﹣）+（3﹣m）×（﹣m2+2m+3）﹣（3﹣）×
＝﹣m2+m
＝﹣（m﹣）2+，
∵﹣＜0，
∴当m＝时，S△APE有最大值，
∴四边形DPAF面积的最大值为，
此时点P的坐标为：（，）．
10．解：（1）∵y＝ax2+bx+3经过A（1，0），C（4，3），
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3；
设直线AC的解析式为y＝kx+h，
将A、C两点坐标代入y＝kx+h得：，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝x﹣1；
（2）如图，设过点E与直线AC平行线的直线为y＝x+m，
联立，
消掉y得，x2﹣5x+3﹣m＝0，
△＝（﹣5）2﹣4×1×（3﹣m）＝0，
解得：m＝﹣，
即m＝﹣时，点E到AC的距离最大，△ACE的面积最大，
此时x＝，y＝﹣＝﹣，
∴点E的坐标为（，﹣），
设过点E的直线与x轴交点为F，则F（，0），
∴AF＝﹣1＝，
∵直线AC的解析式为y＝x﹣1，
∴∠CAB＝45°，
∴点F到AC的距离为AF sin45°＝×＝，
又∵AC＝＝3，
∴△ACE的最大面积＝×3×＝，此时E点坐标为（，）．
11．解：（1）∵B（1，0），
∴OB＝1；
∵OC＝3BO，
∴C（0，﹣3）；
∵y＝ax2+3ax+c过B（1，0）、C（0，﹣3），
∴；
解这个方程组，得，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣3；
（2）过点D作DM∥y轴分别交线段AC和x轴于点M、N，
当y＝0时，y＝﹣3＝0；
（x+4）（x﹣1）＝0，
解这个方程，得x1＝﹣4，x2＝1，
∴A（﹣4，0），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
∴，
解这个方程组，得，
∴AC的解析式为：y＝﹣x﹣3，
设D（x，﹣3），则M（x，﹣x﹣3），
∴DM＝﹣x﹣3﹣（﹣3）＝﹣﹣3x，
∵S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC，
＝×5×3+×4（﹣﹣3x），
＝+2（﹣﹣3x），
＝﹣﹣6x+，
＝﹣（x2+4x+4﹣4）+，
＝﹣（x+2）2+，
当x＝﹣2时，四边形ABCD面积有最大值．
12．解：（1）令x＝0，y＝c，
∴OB＝c，
令y＝0，﹣x2﹣2x+c＝0，
解得x＝，
∴C（，0），
∴OC＝，
∵OB＝3OC，
∴c＝3（），
解得，c＝3，c＝0，
当c＝0时，y＝﹣x2﹣2x过原点，
不合题意，舍去x＝0，
∴抛物线的解析式：y＝﹣x2﹣2x+3，
（2）∵P（x1，y1），Q（x1+3，y2），
∴PQ＝
＝，
当（y1﹣y2）＝0时，即y1＝y2时PQ有最小值，
∵y1＝﹣﹣2x1+3，y2＝﹣﹣2（x1+3）+3，
∴﹣﹣2x1+3＝﹣﹣2（x1+3）+3，
解得，x1＝﹣，
y1＝，
∴线段PQ长度最小时点P的坐标（﹣，）．
13．解：（1）令y＝0，则mx2+2mx﹣3m＝0，
∵m≠0，
∴x2+2x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣3，x2＝1，
∵A在B的左侧，
∴A点坐标为（﹣3，0），B点坐标（1，0）；
（2）①令x＝0，则y＝﹣3m，
∴点C坐标为（0，﹣3m），
∵直线y＝x+n过A，C两点，
∴，
解得：，
∴点C坐标为（0，3），
直线AC的解析式为y＝x+3，
抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
②∴点C坐标为（0，3），
∴点C关于x轴的对称点D的坐标为（0，﹣3），
∵直线y＝kx+b过点D，
∴b＝﹣3，
过点D的直线y＝kx+b与抛物线y＝﹣x2﹣2x+3的图象如图所示：
①当直线过点B，D时，
把B（1，0）代入y＝k1 x﹣3得，k1﹣3＝0，
解得：k1＝3，
②当直线过点A，D时，
把A（﹣3，0）代入y＝k2﹣3得，﹣3k2﹣3＝0，
解得：k2＝﹣1，
根据一次函数的性质，若过点D的直线y＝kx+b与抛物线在x轴上方（不含x轴上的点）的部分无公共点，
则k的取值范围为：0＜k≤3或﹣1≤k＜0．
14．（1）证明：∵b2﹣4ac＝（﹣2m）2﹣4（m﹣1）＝4m2﹣4m+4＝（2m﹣1）2+3＞0
∴不论m为何值，该函数的图象x轴有2个公共点；
（2）解：∵y＝x2﹣2mx+m﹣1，O（0，0），
∴0＝m﹣1，解得：m＝1，
∴y＝x2﹣2x，
当y＝0时，x2﹣2x＝0，解得：x1＝0，x2＝2，
∴A（2，0），
∵y＝x2﹣2x，即y＝（x﹣1）2﹣1，
∴C（1，﹣1）；
（3）解：如图所示：作A（2，0）关于y轴的对称点A’（﹣2，0），
设直线A’C：y＝kx+b，A’（﹣2，0），C（1，﹣1），
∴，
解得：，
∴，
当x＝0时，，
∴P（0，）．
15．解：（1）∵对称轴为直线x＝﹣1的抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，
∴A、B两点关于直线x＝﹣1对称，
∵点A的坐标为（﹣3，0），
∴点B的坐标为（1，0）；
（2）∵a＝1时，抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1，
∴＝﹣1，解得b＝2．
将B（1，0）代入y＝x2+2x+c，
得1+2+c＝0，解得c＝﹣3．
则二次函数的解析式为y＝x2+2x﹣3，
∴抛物线与y轴的交点C的坐标为（0，﹣3），OC＝3．
设P点坐标为（x，x2+2x﹣3），
∵S△POC＝4S△BOC，
∴×3×|x|＝4××3×1，
∴|x|＝4，x＝±4．
当x＝4时，x2+2x﹣3＝16+8﹣3＝21；
当x＝﹣4时，x2+2x﹣3＝16﹣8﹣3＝5．
∴点P的坐标为（4，21）或（﹣4，5）．
16．解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2+9，
∵抛物线与y轴交于点A（0，5），
∴4a+9＝5，
∴a＝﹣1，
y＝﹣（x﹣2）2+9＝﹣x2+4x+5，
（2）当y＝0时，﹣x2+4x+5＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝5，
∴E（﹣1，0），B（5，0），
设直线AB的解析式为y＝mx+n，
∵A（0，5），B（5，0），
∴m＝﹣1，n＝5，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+5；
设P（x，﹣x2+4x+5），
∴D（x，﹣x+5），
∴PD＝﹣x2+4x+5+x﹣5＝﹣x2+5x，
∵AC＝4，
∴S四边形APCD＝×AC×PD＝2（﹣x2+5x）＝﹣2x2+10x＝﹣2（x﹣）2+，
∵﹣2＜0
∴当x＝时，
∴即：点P（，）时，S四边形APCD最大＝．
二．图象法求一元二次方程的近似根
17．解：观察表格得：方程x2+x﹣1＝0的一个近似根为0.6，
故选：C．
18．解：如图：
x＝2.3，y＝﹣0.11，x＝2.4，y＝0.56，x2+2x﹣10＝0的一个近似根是2.3．
故选：B．
19．解：①∵4a﹣b＝0，∴b＝4a，对称轴是直线：x＝﹣＝﹣＝﹣2，所以①正确，符合题意；
②∵m＞n，∴m﹣2＞n﹣2，只能确定出m﹣2和n﹣2的大小关系，即横坐标的大小关系，而要进一步确定纵坐标y1，y2，的大小关系，是必须知道横坐标与对称轴的关系，而题目中没办法给出在对称轴的同侧还是异侧，若都在对称轴的左侧故②错误，不合题意；
③由①知，对称轴是直线x＝﹣2，抛物线与x轴的两交点就是在点（﹣2，0）左右两侧，且关于直线x＝﹣2对称，又知道抛物线与x轴的两交点之间的距离小于2，所以一个根在﹣2和﹣3之间，另一个根在﹣2和﹣1之间，所以③正确，符合题意；
④，
解得＜a＜1，故④错误，不合题意．
故答案是：①③．
三．二次函数与不等式（组）
20．解：∵抛物线开口向下，与x轴交点坐标为（0，0），（4，0），
∴当x＜0或x＞4时，y＜0，
故选：A．
21．解：由图可知，抛物线y1＝﹣x2+4x和直线y2＝2x的交点坐标为（0，0），（2，4），
所以，不等式﹣x2+4x＞2x的解集是0＜x＜2．
故答案为：0＜x＜2．
22．解：由对称性得：抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），
∴不等式ax2﹣bx+c＜0的解集是：x＜﹣1或x＞5，
故答案为：x＜﹣1或x＞5．
23．解：∵由函数图象可知，二次函数y＝ax2+bx+c与x轴的交点坐标的横坐标为1和3
∴函数y＝a（x+2）2+b（x+2）+c的图象与x轴的交点横坐标为﹣1，1，
由函数图象可知，二次函数y＝ax2+bx+c，当1＜x＜3时，函数图象在x轴的上方，
∴二次函数y＝a（x+2）2+b（x+2）+c，当﹣1＜x＜1时，函数图象在x轴的上方，
∴不等式a（x+1）2+b（x+1）+c＜0＜0的解集为﹣1＜x＜1．
故答案为：﹣1＜x＜1．
24．解：A、∵开口向下，与y轴的交点在y轴负半轴上，
∴a＜0，c＜0，故选项A正确，不符合题意；
B、∵抛物线的对称轴为直线x＝2，
∴﹣＝2，
∴b+4a＝0，故选项B正确，不符合题意；
C、∵函数图象与x轴的一个交点为（1，0），对称轴为直线x＝2，
∴函数图象与x轴的另一个交点为（3，0），
∴方程ax2+bx+c＝0的实数为x1＝1，x2＝3，故选项C正确，不符合题意；
D、由图象可知，函数图象在x轴下方部分对应的x取值范围为x＜1或x＞3，
∴不等式ax2+bx+c＜0的解集为x＜1或x＞3，故选项D错误，符合题意．
故选：D．
25．解：（1）∵在同一坐标系中二次函数y1＝ax2+bx+c与一次函数y2＝mx+n的图象，它们相交于点B（0，1），C（3，4），
∴当y1＞y2时，x的取值范围是x＜0或x＞3，
故答案为：x＜0或x＞3；
（2）∵一次函数y2＝mx+n的图象过点B（0，1），C（3，4），
∴，
解得：m＝1，n＝1，
即y2＝x+1，
当y＝0时，x+1＝0，
解得：x＝﹣1，
即点A的坐标是（﹣1，0），
∵y1y2＞0，
∴y1，y2同号，
∵在同一坐标系中二次函数y1＝ax2+bx+c与一次函数y2＝mx+n的图象，它们相交于点B（0，1），C（3，4），抛物线的顶点D（1，0），直线BC交x轴于点A（﹣1，0），
∴当y1y2＞0时，x的取值范围是x＞﹣1且x≠1，
故答案为：x＞﹣1且x≠1．
26．解：①由图象可知：a＜0，c＞0，
由对称轴可知：﹣＞0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故①正确；
②由对称轴可知：﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∵抛物线过点（3，0），
∴0＝9a+3b+c，
∴9a﹣6a+c＝0，
∴3a+c＝0，故②正确；
③当x＝1时，y取最大值，y的最大值为a+b+c，
当x取全体实数时，ax2+bx+c≤a+b+c，
即ax2+bx≤a+b，故③正确；
④（﹣0.5，y1）关于对称轴x＝1的对称点为（2.5，y1），
当x＞1时，y随x的增大而减小，
∴y1＞y2，故④错误；
故答案为：①②③．