2021-2022学年苏科版九年级数学下册5.2二次函数的图象与性质 同步测试题（Word版含答案）

2021-2022学年苏科版九年级数学下册《5.2二次函数的图象与性质》同步测试题（附答案）
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y＝﹣3x2先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度后所得到的抛物线的表达式为（　　）
A．y＝﹣3（x+3）2﹣4 B．y＝3（x﹣3）2﹣4
C．y＝3（x+3）2+4 D．y＝﹣3（x﹣3）2+4
2．对于函数y＝（x﹣2）2+5，下列结论错误的是（　　）
A．图象顶点是（2，5） B．图象开口向上
C．图象关于直线x＝2对称 D．函数最大值为5
3．抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣2，0），且对称轴为直线x＝1，其部分图象如图所示，对于此抛物线有如下四个结论：①ac＞0；②16a+4b+c＝0；③b＝2a；④点（，0）一定在此抛物线上．其中正确结论的序号是（　　）
A．①② B．②④ C．②③ D．③④
4．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2﹣bx与y＝bx+a的图象可能是（　　）
A．B． C．D．
5．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，给出下列命题：
①a+b+c＝0；
②b＞2a；
③方程ax2+bx+c＝0的两根分别为﹣3和1；
④a﹣2b+c≥0，
其中正确的命题是（　　）
A．①②③ B．①③ C．①④ D．①③④
6．顶点是（﹣3，0），开口方向、形状与函数y＝的图象相同的抛物线为（　　）
A．y＝（x﹣3）2 B．y＝（x+3）2
C．y＝﹣（x+3）2 D．y＝﹣（x﹣3）2
7．函数y＝与y＝﹣kx2+k（k≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
8．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下四个结论：①abc＝0，②a+b+c＞0，③a＞b，④4ac﹣b2＜0；其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共7小题，满分35分）
9．把抛物线y＝x2+4先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为　 　．
10．二次函数y＝x2+bx+c经过（5，3）和（﹣2，3），则当x＝　 　时，函数取到最小值．
11．已知函数y＝kx2+2kx+1，当﹣3≤x≤2时，函数有最大值为4，则k＝　 　．
12．已知点A（4，y1），B（，y2），C（﹣2，y3）都在二次函数y＝（x﹣2）2﹣1的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是　 　．
13．已知二次函数y＝（x﹣2）2+3，当x　 　时，y随x的增大而减小．
14．若抛物线y＝2x2﹣px+4p+1中不管p取何值时都通过定点，则定点坐标为 　 　．
15．如图，以扇形OAB的顶点O为原点，半径OB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，点B的坐标为（2，0），若抛物线y＝x2+k与扇形OAB的边界总有两个公共点，则实数k的取值范围是 　 　．
三．解答题（共6小题，满分45分）
16．已知函数y＝﹣（x+2）2+9
（1）抛物线的开口向　 　、对称轴为直线　 　、顶点坐标　 　；
（2）当x＝　 　时，函数有最　 　值，是　 　；
（3）当x　 　时，y随x的增大而增大：当x时，y随x的增大而减小；
（4）该函数图象可由y＝﹣x2的图象经过怎样的平移得到的？
17．如图，已知抛物线y＝﹣x2+mx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0）
（1）求m的值及抛物线的顶点坐标．
（2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标．
18．已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）．
（Ⅰ）当b＝2，c＝﹣3时，求二次函数的最小值；
（Ⅱ）当c＝5时，若在函数值y＝1的情况下，只有一个自变量x的值与其对应，求此时二次函数的解析式；
（Ⅲ）当c＝b2时，若在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为21，求此时二次函数的解析式．
19．已知点A（﹣2，n）在抛物线y＝x2+bx+c上．
（1）若b＝1，c＝3，求n的值；
（2）若此抛物线经过点B（4，n），且二次函数y＝x2+bx+c的最小值是﹣4，请画出点P（x﹣1，x2+bx+c）的纵坐标随横坐标变化的图象，并说明理由．
20．设m是不小于﹣1的实数，关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3＝0有两个不相等的实数根x1、x2，
（1）若x12+x22＝6，求m值；
（2）求的最大值．
21．已知点A（，3）在抛物线y＝﹣x上，设点A关于抛物线对称轴对称的点为B．
（1）求点B的坐标；
（2）求∠AOB度数．
参考答案
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．分析：把抛物线y＝﹣3x2的顶点（0，0）先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度后得到点的坐标为（﹣3，﹣4），即得到平移后抛物线的顶点坐标，然后根据顶点式写出解析式即可．
解：抛物线y＝﹣3x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度后得到点的坐标为（﹣3，﹣4），
所以平移后所得的抛物线的解析式为y＝﹣3（x+3）2﹣4．
故选：A．
2．分析：根据函数解析式和二次函数的性质可以判断各个选项中的说法是否正确，本题得以解决．
解：∵函数y＝（x﹣2）2+5＝x2+4x﹣5，
∴该函数图象的顶点坐标是（2，5），故选项A正确；
a＝1＞0，该函数图象开口向上，故选项B正确；
该函数图象关于直线x＝2对称，故选项C正确；
当x＝2时，该函数取得最小值y＝5，故选项D错误；
故选：D．
3．分析：利由抛物线的位置可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为（4，0），代入解析式则可对②进行判断；由抛物线的对称轴可对③进行判断；抛物线的对称性得出点（﹣2，0）的对称点是（4，0），由c＝﹣8a 即可得出﹣＝4，则可对④进行判断．
解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线交y轴的正半轴，
∴c＞0，
∴ac＜0，故①错误；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
而点（﹣2，0）关于直线x＝1的对称点的坐标为（4，0），
∴16a+4b+c＝0，故②正确；
∵抛物线的对称轴为﹣＝1，
∴b＝﹣2a，故③错误；
∵b＝﹣2a，
∴抛物线为y＝ax2﹣2ax+c，
∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣2，0），
∴4a+4a+c＝0，即8a+c＝0，
∴c＝﹣8a，
∴﹣＝4，
∵点（﹣2，0）的对称点是（4，0），
∴点（﹣，0）一定在此抛物线上，故④正确，
故选：B．
4．分析：首先根据图形中给出的一次函数图象确定a、b的符号，进而运用二次函数的性质判断图形中给出的二次函数的图象是否符合题意，根据选项逐一讨论解析，即可解决问题．
解：A、对于直线y＝bx+a来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线y＝ax2﹣bx来说，对称轴x＝﹣＞0，在y轴的右侧，符合题意，图形正确．
B、对于直线y＝bx+a来说，由图象可以判断，a＜0，b＜0；而对于抛物线y＝ax2﹣bx来说，图象应开口向下，故不合题意，图形错误．
C、对于直线y＝bx+a来说，由图象可以判断，a＜0，b＞0；而对于抛物线y＝ax2﹣bx来说，对称轴＝﹣＜0，应位于y轴的左侧，故不合题意，图形错误．
D、对于直线y＝bx+a来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线y＝ax2+bx来说，图象应开口向上，故不合题意，图形错误．
故选：A．
5．分析：根据二次函数的图象可知抛物线开口向上，对称轴为x＝﹣1，且过点（1，0），根据对称轴可得抛物线与x轴的另一个交点为（﹣3，0），把（1，0）代入可对①做出判断；由对称轴为x＝﹣1，可对②做出判断；根据二次函数与一元二次方程的关系，可对③做出判断；根据a、c的符号，以及对称轴可对④做出判断；最后综合得出答案．
解：由图象可知：抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，过（1，0）点，
把（1，0）代入y＝ax2+bx+c得，a+b+c＝0，因此①正确；
对称轴为直线x＝﹣1，即：﹣＝﹣1，整理得，b＝2a，因此②不正确；
由抛物线的对称性，可知抛物线与x轴的两个交点为（1，0）（﹣3，0），因此方程ax2+bx+c＝0的两根分别为﹣3和1；故③是正确的；
由a＞0，b＞0，c＜0，且b＝2a，则a﹣2b+c＝a﹣4a+c＝﹣3a+c＜0，因此④不正确；
故选：B．
6．分析：根据各个选项中的函数解析式可以得到它们的顶点坐标和开口方向，从而可以解答本题．
解：y＝（x﹣3）2的顶点为（3，0），故选项A不符合题意；
y＝（x+3）2的顶点为的顶点为（﹣3，0），开口方向、形状与函数y＝的图象相同，故选项B符合题意；
y＝﹣（x+3）2的顶点为的顶点为（﹣3，0），开口方向、形状与函数y＝的图象不相同，故选项C不符合题意；
y＝﹣（x﹣3）2的顶点为（﹣3，0），故选项D不符合题意；
故选：B．
7．分析：本题可先由反比例函数的图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致．
解：解法一：由解析式y＝﹣kx2+k可得：抛物线对称轴x＝0；
A、由双曲线的两支分别位于二、四象限，可得k＜0，则﹣k＞0，抛物线开口方向向上、抛物线与y轴的交点为y轴的负半轴上；本图象与k的取值相矛盾，故A错误；
B、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象符合题意，故B正确；
C、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故C错误；
D、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故D错误．
解法二：
①k＞0，双曲线在一、三象限，﹣k＜0，抛物线开口向下，顶点在y轴正半轴上，选项B符合题意；
②K＜0时，双曲线在二、四象限，﹣k＞0，抛物线开口向上，顶点在y轴负半轴上，选项B符合题意；
故选：B．
8．分析：首先根据二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过原点，可得c＝0，所以abc＝0；然后根据x＝1时，y＜0，可得a+b+c＜0；再根据图象开口向下，可得a＜0，图象的对称轴为直线x＝﹣，可得﹣，b＜0，所以b＝3a，a＞b；最后根据二次函数y＝ax2+bx+c图象与x轴有两个交点，可得Δ＞0，所以b2﹣4ac＞0，4ac﹣b2＜0，据此解答即可．
解：∵二次函数y＝ax2+bx+c图象经过原点，
∴c＝0，
∴abc＝0
∴①正确；
∵x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，
∴②不正确；
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴是直线x＝﹣，
∴﹣，b＜0，
∴b＝3a，
又∵a＜0，b＜0，
∴a＞b，
∴③正确；
∵二次函数y＝ax2+bx+c图象与x轴有两个交点，
∴Δ＞0，
∴b2﹣4ac＞0，4ac﹣b2＜0，
∴④正确；
综上，可得
正确结论有3个：①③④．
故选：C．
二．填空题（共7小题，满分35分）
9．分析：可根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答．
解：把抛物线y＝x2+4先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得：y＝（x+1）2+4﹣3，即y＝（x+1）2+1
故答案为y＝（x+1）2+1．
10．分析：利用二次函数的图象上点的坐标特征求得顶点的横坐标即可．
解：∵二次函数y＝x2+bx+c中，a＝1＞0，
∴函数有最小值，
∵二次函数y＝x2+bx+c经过（5，3）和（﹣2，3），两点的函数值相等，
∴当x＝＝时，y有最小值，
故答案为．
11．分析：根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，利用分类讨论的方法，可以求得k的值．
解：∵函数y＝kx2+2kx+1＝k（x+1）2﹣k+1，当﹣3≤x≤2时，函数有最大值为4，
∴该函数的对称轴是直线x＝﹣1，
当k＜0时，x＝﹣1时，函数取得最大值，即﹣k+1＝4，得k＝﹣3；
当k＞0时，x＝2时，函数取得最大值，即9k﹣k+1＝4，解得，k＝，
故答案为：﹣3或．
12．分析：分别计算出自变量为4，和﹣2时的函数值，然后比较函数值得大小即可．
解：把A（4，y1），B（，y2），C（﹣2，y3）分别代入y＝（x﹣2）2﹣1得：
y1＝（x﹣2）2﹣1＝3，y2＝（x﹣2）2﹣1＝5﹣4，y3＝（x﹣2）2﹣1＝15，
∵5﹣4＜3＜15，
所以y3＞y1＞y2．
故答案为y3＞y1＞y2．
13．分析：根据二次函数的性质，找到解析式中的a为1和对称轴；由a的值可判断出开口方向，在对称轴的两侧可以讨论函数的增减性．
解：在y＝（x﹣2）2+3中，a＝1，
∵a＞0，
∴开口向上，
由于函数的对称轴为x＝2，
当x＜2时，y的值随着x的值增大而减小；
当x＞2时，y的值随着x的值增大而增大．
故答案为：＜2．
14．分析：把含p的项合并，只有当p的系数为0时，不管p取何值抛物线都通过定点，可求x、y的对应值，确定定点坐标．
解：y＝2x2﹣px+4p+1可化为y＝2x2﹣p（x﹣4）+1，
分析可得：当x＝4时，y＝33；且与p的取值无关；
故不管p取何值时都通过定点（4，33）．
15．分析：根据∠AOB＝45°求出直线OA的解析式，然后与抛物线解析式联立求出有一个公共点时的k值，即为一个交点时的最大值，再求出抛物线经过点B时的k的值，即为一个交点时的最小值，然后写出k的取值范围即可．
解：由图可知，∠AOB＝45°，
∴直线OA的解析式为y＝x，
联立消掉y得，
x2﹣2x+2k＝0，
Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×2k＝0，
即k＝时，抛物线与OA有一个交点，
此交点的横坐标为1，
∵点B的坐标为（2，0），
∴OA＝2，
∴点A的坐标为（，），
∴交点在线段AO上；
当抛物线经过点B（2，0）时，×4+k＝0，
解得k＝﹣2，
∴要使抛物线y＝x2+k与扇形OAB的边界总有两个公共点，实数k的取值范围是﹣2＜k＜．
故答案为：﹣2＜k＜．
三．解答题（共6小题，满分45分）
16．分析：（1）（2）（3）由于是二次函数，由此可以确定函数的图象的形状，根据二次项系数可以确定开口方向，根据抛物线的顶点式解析式可以确定其顶点的坐标，对称轴及增减性；
（4）根据左加右减，上加下减可得出答案．
解：二次函数y＝﹣（x+2）2+9
（1）抛物线的开口方向向下，对称轴为直线x＝﹣2，顶点坐标为（﹣2，9）；
故答案为，下，x＝﹣2，（﹣2，9）；
（2）当x＝﹣2时，函数y有最大值，是9．
故答案为﹣2，大，9；
（3）当x＜﹣2时，函数y随着x的增大而增大，当x＞﹣2时，函数y随着x的增大而减小．
故答案为：＜﹣2、＞﹣2．
（4）函数y＝﹣x2的图象先向左平移2个单位，再向上平移9个单位即可得到y＝﹣（x+2）2+9．
17．分析：（1）首先把点B的坐标为（3，0）代入抛物线y＝﹣x2+mx+3，利用待定系数法即可求得m的值，继而求得抛物线的顶点坐标；
（2）首先连接BC交抛物线对称轴l于点P，则此时PA+PC的值最小，然后利用待定系数法求得直线BC的解析式，继而求得答案．
解：（1）把点B的坐标为（3，0）代入抛物线y＝﹣x2+mx+3得：0＝﹣32+3m+3，
解得：m＝2，
∴y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点坐标为：（1，4）．
（2）连接BC交抛物线对称轴l于点P，则此时PA+PC的值最小，
设直线BC的解析式为：y＝kx+b，
∵点C（0，3），点B（3，0），
∴，
解得：，
∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3，
当x＝1时，y＝﹣1+3＝2，
∴当PA+PC的值最小时，点P的坐标为：（1，2）．
18．分析：（Ⅰ）把b＝2，c＝﹣3代入函数解析式，求二次函数的最小值；
（Ⅱ）根据当c＝5时，若在函数值y＝l的情况下，只有一个自变量x的值与其对应，得到x2+bx+5＝1有两个相等是实数根，求此时二次函数的解析式；
（Ⅲ）当c＝b2时，写出解析式，分三种情况进行讨论即可．
解：（Ⅰ）当b＝2，c＝﹣3时，二次函数的解析式为y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴当x＝﹣1时，二次函数取得最小值﹣4；
（Ⅱ）当c＝5时，二次函数的解析式为y＝x2+bx+5，
由题意得，x2+bx+5＝1有两个相等是实数根，
∴△＝b2﹣16＝0，
解得，b1＝4，b2＝﹣4，
∴二次函数的解析式y＝x2+4x+5，y＝x2﹣4x+5；
（Ⅲ）当c＝b2时，二次函数解析式为y＝x2+bx+b2，
图象开口向上，对称轴为直线x＝﹣，
①当﹣＜b，即b＞0时，
在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，y随x的增大而增大，
∴当x＝b时，y＝b2+b b+b2＝3b2为最小值，
∴3b2＝21，解得，b1＝﹣（舍去），b2＝；
②当b≤﹣≤b+3时，即﹣2≤b≤0，
∴x＝﹣，y＝b2为最小值，
∴b2＝21，解得，b1＝﹣2（舍去），b2＝2（舍去）；
③当﹣＞b+3，即b＜﹣2，
在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，y随x的增大而减小，
故当x＝b+3时，y＝（b+3）2+b（b+3）+b2＝3b2+9b+9为最小值，
∴3b2+9b+9＝21．解得，b1＝1（舍去），b2＝﹣4；
∴b＝时，解析式为：y＝x2+x+7
b＝﹣4时，解析式为：y＝x2﹣4x+16．
综上可得，此时二次函数的解析式为y＝x2+x+7或y＝x2﹣4x+16．
19．分析：（1）代入b＝1，c＝3，以及A点的坐标即可求得n的值；
（2）根据题意求得抛物线的解析式为y＝（x﹣1）2﹣4，从而求得点P（x﹣1，x2+bx+c）的纵坐标随横坐标变化的关系式为y＝x′2﹣4，然后利用5点式画出函数的图象即可．
解：（1）∵b＝1，c＝3，A（﹣2，n）在抛物线y＝x2+bx+c上．
∴n＝4+（﹣2）×1+3＝5．
（2）∵此抛物线经过点A（﹣2，n），B（4，n），
∴抛物线的对称轴x＝＝1，
∵二次函数y＝x2+bx+c的最小值是﹣4，
∴抛物线的解析式为y＝（x﹣1）2﹣4，
令x﹣1＝x′，
∴点P（x﹣1，x2+bx+c）的纵坐标随横坐标变化的关系式为y＝x′2﹣4，
点P（x﹣1，x2+bx+c）的纵坐标随横坐标变化的如图：
20．分析：（1）首先根据根的判别式求出m的取值范围，利用根与系数的关系，求出符合条件的m的值．
（2）把利用根与系数的关系得到的关系式代入代数式，细心化简，结合m的取值范围求出代数式的最大值．
解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝4（m﹣2）2﹣4（m2﹣3m+3）＝﹣4m+4＞0，
∴m＜1，
结合题意知：﹣1≤m＜1．
（1）∵x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝4（m﹣2）2﹣2（m2﹣3m+3）＝2m2﹣10m+10＝6
∴，
∵﹣1≤m＜1，
∴；
（2）＝
＝（﹣1≤m＜1）．
∵对称轴m＝，2＞0，
∴当m＝﹣1时，式子取最大值为10．
21．分析：（1）首先求得抛物线的对称轴，然后确定点A关于对称轴的交点坐标即可；
（2）根据确定的两点的坐标确定∠AOC和∠BOC的度数，从而确定∠AOB的度数．
解：（1）∵y＝﹣x＝﹣（x﹣2）2+4，
∴对称轴为x＝2，
∴点A（，3）关于x＝2的对称点的坐标为（3，3）；
（2）如图：连接BA，并延长交y轴于点C．
∵A（，3）、B（3，3），
∴BC＝3，AC＝，OC＝3，
∴tan∠AOC＝＝，tan∠BOC＝＝＝，
∴∠AOC＝30°，∠BOC＝60°，
∴∠AOB＝30°