2.2.1～2.2.2 直线的点斜式方程 直线的两点式方程 同步培优训练 -2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册（含答案）
文档属性
| 名称 | 2.2.1～2.2.2 直线的点斜式方程 直线的两点式方程 同步培优训练 -2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 692.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-11-30 10:08:30 | ||
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文档简介
2021-2022学年高二数学（人教A版选择性必修一）
2.2.1～2.2.2 直线的点斜式方程 直线的两点式方程 同步培优训练
一、单选题。本大题共8小题，每小题只有一个选项符合题意。
1．过点，斜率为2的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
2．下列直线方程纵截距为的选项为（ ）
A． B． C． D．
3．直线经过第一、二、四象限，则a、b、c应满足（ ）
A． B． C． D．
4．下列命题，错误的个数是（ ）
①任意一条直线一定是某个一次函数的图像；
②关于x的一次函数的图像是一条直线；
③以一个二元方程的解为坐标的点都在某条直线上，则这个方程叫做这条直线的方程；
④若一条直线上所有点的坐标都是某个方程的解，则这条直线叫做这个方程的直线．
A．1 B．2 C．3 D．4
5．过点，且横、纵截距的绝对值相等的直线共有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
6．某地汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李票费用y（元）与行李重量的关系如图所示，则旅客最多可免费携带行李的重量为（ ）
A．20 kg B．25 kg C．30 kg D．80 kg
7．已知直线和直线都过点，则过点和点的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
8．有关直线方程的两点式，有如下说法：
①直线方程的两点式适用于求与两坐标轴均不垂直的直线方程；
②直线方程也可写成；
③过点，的直线可以表示成.
其中正确说法的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
二、多选题。本大题共4小题，每小题有两项或以上符合题意。
9．已知直线在轴和轴上的截距相等，则的值可能是（ ）
A．1 B． C．2 D．
10．下列说法正确的是（ ）
A．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是8
B．过，两点的直线方程为
C．直线与直线相互垂直．
D．经过点且在两坐标轴上截距都相等的直线方程为
11．下列说法正确的有（ ）
A．若直线经过第一、二、四象限，则在第二象限
B．直线过定点
C．过点斜率为的点斜式方程为
D．斜率为，在y轴截距为3的直线方程为．
12．下列说法正确的是（ ）
A．直线必过定点
B．直线在轴上的截距为
C．直线的倾斜角为60°
D．过点且垂直于直线的直线方程为
三、填空题。本大题共4小题。
13．倾斜角的正弦值为，且在x轴上的截距为3的直线方程为________．
14．已知直线的斜率为，且和两坐标轴围成面积为的三角形，则直线的斜截式方程为__________.
15．过点,的直线方程（一般式）为___________.
16．下列说法不正确的是______（填序号）．
①点斜式适用于不垂直于轴的任何直线；
②斜截式适用于不垂直于轴的任何直线；
③两点式适用于不垂直于轴和轴的任何直线；
④截距式适用于不过原点的任何直线
四、解答题。本大题共6小题，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程。
17．已知的三个顶点分别为，，.
（1）求边所在直线的方程；
（2）求边上的中线所在直线的方程.
18．过点P(1，4)作直线l，直线l与x，y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为原点.
（1）若△ABO的面积为9，求直线l的方程；
（2）若△ABO的面积为S，求S的最小值，并求出此时直线l的方程.
19．（1）已知过点（1，－1）的直线在轴上的截距比在轴上的截距大，求此直线的方程；
（2）求过点，且在轴上的截距等于在轴上的截距的2倍的直线方程.
20．已知直线.
（1）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；
（2）若直线l交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，O为坐标原点，设的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程.
21．直线l过点(2,2)，且与x轴和直线y＝x围成的三角形的面积为2，求直线l的方程．
22．已知直线过点和．
（1）求直线的点斜式方程；
（2）将（1）中的直线的方程化成斜截式方程，并写出直线在轴上的截距．
参考答案
1．A
【解析】由直线的点斜式方程得，即．
故选：A.
2．B
【解析】直线的纵截距为，直线的纵截距为，直线的纵截距为，直线的纵截距为.
故选：B.
3．A
【解析】由题意可知直线的斜率存在，方程可变形为，
∵直线经过第一、二、四象限，
∴，
∴且．
故选：A.
4．D
【解析】①直线不是一次函数，故错；
②一次函数的图像是一条射线，故错；
③方程的解为坐标的点都在直线上，但这个方程不是这条直线的方程，故错；
④曲线与方程一一对应用的充要条件是曲线上所有点的坐标都是方程的解，同时方程的所有解也是曲线上的点坐标，故错．
故选：D
5．C
【解析】当直线经过原点时，横、纵截距都为0，符合题意，
当直线不经过原点时，设直线方程为.
由题意得
解得或
综上，符合题意的直线共有3条.
故选：C．
6．C
【解析】由图知点，，
所以由直线方程的两点式，得直线的方程是，即．
依题意，令，得，即旅客最多可免费携带30 kg行李．
故选：C.
7．A
【解析】把坐标代入两条直线和,得
,,
,
过点,的直线的方程是：,
,则,
,,
所求直线方程为：．
故选 ：A.
8．D
【解析】①正确，从两点式方程的形式看，只要，，就可以用两点式来求解直线的方程；②正确，方程与的形式有异，但实质相同，均表示过点和的直线；③显然正确.
故选：D.
9．AC
【解析】若直线过原点，则，解得；
若直线不过原点，则在轴上的截距为，在轴上的截距为，则，可得，
综上，的值可能是1或2.
故选：AC.
10．AC
【解析】直线x﹣y﹣4＝0与两坐标轴围成的三角形的面积是×4×4＝8，故A正确；
当x2＝x1或y2＝y1时，式子＝无意义，故B不正确；
直线x﹣2y﹣4＝0与直线2x+y+1＝0的斜率之积为×（﹣2）＝﹣1，故线x﹣2y﹣4＝0与直线2x+y+1＝0垂直，故C正确；
经过点（1，2）且在两坐标轴上截距都相等的直线方程为x+y﹣3＝0或y＝2x，故D错误，
故选：AC．
11．ABC
【解析】对于A中，由直线过一、二、四象限，所以直线的斜率，截距，
故点在第二象限，所以A正确；
对于B中，由直线方程，整理得，
所以无论a取何值点都满足方程，所以B正确；
对于C中，由点斜式方程，可知过点斜率为的点斜式方程为，所以C正确；
由斜截式直线方程得到斜率为，在y轴上的截距为3的直线方程为，
所以D错误．
故选：ABC．
12．ABD
【解析】可化为，则直线必过定点，故A正确；
令，则，即直线在轴上的截距为，故B正确；
可化为，则该直线的斜率为，即倾斜角为，故C错误；
设过点且垂直于直线的直线的斜率为
因为直线的斜率为，所以，解得
则过点且垂直于直线的直线的方程为，即，故D正确；
故选：ABD
13．或.
【解析】设所求直线的倾斜角为，因为倾斜角的正弦值为，即，
可得，所以或，
由在x轴上的截距为，即所求直线过定点，
当，可得，即所求直线的斜为，
由直线的点斜式方程，可得，即；
当，可得，即所求直线的斜为，
由直线的点斜式方程，可得，即，
综上可得，所求直线的方程为或.
故答案为：或.
14．或
【解析】设直线的方程为：，当时，；当时，；
由题意可得：，解得：，
直线的方程为：或.
故答案为：或.
15．
【解析】∵直线过点,，∴，∴，
化简得.
故答案为：.
16．④
【解析】①②垂直于轴的直线不存在斜率，故不适用点斜式、斜截式，正确；
③垂直于轴和轴的直线或，故不适用两点式，正确；
④过原点的直线、垂直于坐标轴的直线，其截距或中的一个 不存在，故不适用截距式，错误.
故答案为：④
17．（1）；（2）.
【解析】（1）由两点式得边所在直线的方程为，即；
（2）由题意，得点的坐标为（－4，2），
由两点式，得所在直线的方程为，即.
18．（1）2x+y-6=0或8x+y-12=0；（2）8，4x+y-8=0.
【解析】设A(a，0)，B(0，b)，其中a>0，b>0，则由直线的截距式方程得直线l的方程为+=1.
将P(1，4)代入直线l的方程，得+=1.(*)
（1）依题意得，ab=9，
即ab=18，
由(*)式得，b+4a=ab=18，从而b=18-4a，
∴a(18-4a)=18，整理得，2a2-9a+9=0，
解得a1=3，a2=，
因此直线l的方程为+=1或+=1，
整理得，2x+y-6=0或8x+y-12=0.
（2）S=ab=ab=×≥×=×(8+8)=8，
当且仅当=，即a=2，b=8时取等号，
因此直线l的方程为+=1，即4x+y-8=0.
19．（1）或；（2）或.
【解析】（1）设直线在轴上的截距为，
则在轴上的截距为，
由题意可知且，
则此直线的方程为.
又此直线过点（1，－1），
所以，解得或，
故所求的直线方程为或，
可化为或.
（2）①当在轴、轴上的截距都是0时，设所求直线方程为，
将（－5，2）代入中，得，
此时直线方程为，即；
②当在轴、轴上的截距都不是0时，设所求直线方程为，
将（－5，2）代入中，得，
此时直线方程为，
综上所述，所求直线方程为或.
20．（1）；（2）S的最小值为16，此时直线l的方程为
【解析】（1）直线l的方程可化为，
则直线在y轴上的截距为，
要使直线l不经过第四象限，需满足
解得，
故k的取值范围是.
（2）依题意，直线l在x轴上的截距为，在y轴上的截距为，且，
所以A，，
故S=|OA|×|OB|==，
当且仅当，即时取等号，
故S的最小值为16，此时直线l的方程为.
21．或．
【解析】当直线l的斜率不存在时，l的方程为，经检验符合题目的要求．
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即，
当时，l的方程为，经检验不符合题意，舍去，
当时，令y＝0得，x＝，
由三角形的面积为2，得，解得，
可得直线l的方程为，即；
综上可知，直线l的方程为或．
22．（1）（或）；（2）；直线在轴上的截距为．
【解析】（1）直线的斜率，
故直线的点斜式方程为（或）．
（2）由得，
所以直线的斜截式方程为，
当时，，所以直线在轴上的截距为．
2.2.1～2.2.2 直线的点斜式方程 直线的两点式方程 同步培优训练
一、单选题。本大题共8小题，每小题只有一个选项符合题意。
1．过点，斜率为2的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
2．下列直线方程纵截距为的选项为（ ）
A． B． C． D．
3．直线经过第一、二、四象限，则a、b、c应满足（ ）
A． B． C． D．
4．下列命题，错误的个数是（ ）
①任意一条直线一定是某个一次函数的图像；
②关于x的一次函数的图像是一条直线；
③以一个二元方程的解为坐标的点都在某条直线上，则这个方程叫做这条直线的方程；
④若一条直线上所有点的坐标都是某个方程的解，则这条直线叫做这个方程的直线．
A．1 B．2 C．3 D．4
5．过点，且横、纵截距的绝对值相等的直线共有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
6．某地汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李票费用y（元）与行李重量的关系如图所示，则旅客最多可免费携带行李的重量为（ ）
A．20 kg B．25 kg C．30 kg D．80 kg
7．已知直线和直线都过点，则过点和点的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
8．有关直线方程的两点式，有如下说法：
①直线方程的两点式适用于求与两坐标轴均不垂直的直线方程；
②直线方程也可写成；
③过点，的直线可以表示成.
其中正确说法的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
二、多选题。本大题共4小题，每小题有两项或以上符合题意。
9．已知直线在轴和轴上的截距相等，则的值可能是（ ）
A．1 B． C．2 D．
10．下列说法正确的是（ ）
A．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是8
B．过，两点的直线方程为
C．直线与直线相互垂直．
D．经过点且在两坐标轴上截距都相等的直线方程为
11．下列说法正确的有（ ）
A．若直线经过第一、二、四象限，则在第二象限
B．直线过定点
C．过点斜率为的点斜式方程为
D．斜率为，在y轴截距为3的直线方程为．
12．下列说法正确的是（ ）
A．直线必过定点
B．直线在轴上的截距为
C．直线的倾斜角为60°
D．过点且垂直于直线的直线方程为
三、填空题。本大题共4小题。
13．倾斜角的正弦值为，且在x轴上的截距为3的直线方程为________．
14．已知直线的斜率为，且和两坐标轴围成面积为的三角形，则直线的斜截式方程为__________.
15．过点,的直线方程（一般式）为___________.
16．下列说法不正确的是______（填序号）．
①点斜式适用于不垂直于轴的任何直线；
②斜截式适用于不垂直于轴的任何直线；
③两点式适用于不垂直于轴和轴的任何直线；
④截距式适用于不过原点的任何直线
四、解答题。本大题共6小题，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程。
17．已知的三个顶点分别为，，.
（1）求边所在直线的方程；
（2）求边上的中线所在直线的方程.
18．过点P(1，4)作直线l，直线l与x，y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为原点.
（1）若△ABO的面积为9，求直线l的方程；
（2）若△ABO的面积为S，求S的最小值，并求出此时直线l的方程.
19．（1）已知过点（1，－1）的直线在轴上的截距比在轴上的截距大，求此直线的方程；
（2）求过点，且在轴上的截距等于在轴上的截距的2倍的直线方程.
20．已知直线.
（1）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；
（2）若直线l交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，O为坐标原点，设的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程.
21．直线l过点(2,2)，且与x轴和直线y＝x围成的三角形的面积为2，求直线l的方程．
22．已知直线过点和．
（1）求直线的点斜式方程；
（2）将（1）中的直线的方程化成斜截式方程，并写出直线在轴上的截距．
参考答案
1．A
【解析】由直线的点斜式方程得，即．
故选：A.
2．B
【解析】直线的纵截距为，直线的纵截距为，直线的纵截距为，直线的纵截距为.
故选：B.
3．A
【解析】由题意可知直线的斜率存在，方程可变形为，
∵直线经过第一、二、四象限，
∴，
∴且．
故选：A.
4．D
【解析】①直线不是一次函数，故错；
②一次函数的图像是一条射线，故错；
③方程的解为坐标的点都在直线上，但这个方程不是这条直线的方程，故错；
④曲线与方程一一对应用的充要条件是曲线上所有点的坐标都是方程的解，同时方程的所有解也是曲线上的点坐标，故错．
故选：D
5．C
【解析】当直线经过原点时，横、纵截距都为0，符合题意，
当直线不经过原点时，设直线方程为.
由题意得
解得或
综上，符合题意的直线共有3条.
故选：C．
6．C
【解析】由图知点，，
所以由直线方程的两点式，得直线的方程是，即．
依题意，令，得，即旅客最多可免费携带30 kg行李．
故选：C.
7．A
【解析】把坐标代入两条直线和,得
,,
,
过点,的直线的方程是：,
,则,
,,
所求直线方程为：．
故选 ：A.
8．D
【解析】①正确，从两点式方程的形式看，只要，，就可以用两点式来求解直线的方程；②正确，方程与的形式有异，但实质相同，均表示过点和的直线；③显然正确.
故选：D.
9．AC
【解析】若直线过原点，则，解得；
若直线不过原点，则在轴上的截距为，在轴上的截距为，则，可得，
综上，的值可能是1或2.
故选：AC.
10．AC
【解析】直线x﹣y﹣4＝0与两坐标轴围成的三角形的面积是×4×4＝8，故A正确；
当x2＝x1或y2＝y1时，式子＝无意义，故B不正确；
直线x﹣2y﹣4＝0与直线2x+y+1＝0的斜率之积为×（﹣2）＝﹣1，故线x﹣2y﹣4＝0与直线2x+y+1＝0垂直，故C正确；
经过点（1，2）且在两坐标轴上截距都相等的直线方程为x+y﹣3＝0或y＝2x，故D错误，
故选：AC．
11．ABC
【解析】对于A中，由直线过一、二、四象限，所以直线的斜率，截距，
故点在第二象限，所以A正确；
对于B中，由直线方程，整理得，
所以无论a取何值点都满足方程，所以B正确；
对于C中，由点斜式方程，可知过点斜率为的点斜式方程为，所以C正确；
由斜截式直线方程得到斜率为，在y轴上的截距为3的直线方程为，
所以D错误．
故选：ABC．
12．ABD
【解析】可化为，则直线必过定点，故A正确；
令，则，即直线在轴上的截距为，故B正确；
可化为，则该直线的斜率为，即倾斜角为，故C错误；
设过点且垂直于直线的直线的斜率为
因为直线的斜率为，所以，解得
则过点且垂直于直线的直线的方程为，即，故D正确；
故选：ABD
13．或.
【解析】设所求直线的倾斜角为，因为倾斜角的正弦值为，即，
可得，所以或，
由在x轴上的截距为，即所求直线过定点，
当，可得，即所求直线的斜为，
由直线的点斜式方程，可得，即；
当，可得，即所求直线的斜为，
由直线的点斜式方程，可得，即，
综上可得，所求直线的方程为或.
故答案为：或.
14．或
【解析】设直线的方程为：，当时，；当时，；
由题意可得：，解得：，
直线的方程为：或.
故答案为：或.
15．
【解析】∵直线过点,，∴，∴，
化简得.
故答案为：.
16．④
【解析】①②垂直于轴的直线不存在斜率，故不适用点斜式、斜截式，正确；
③垂直于轴和轴的直线或，故不适用两点式，正确；
④过原点的直线、垂直于坐标轴的直线，其截距或中的一个 不存在，故不适用截距式，错误.
故答案为：④
17．（1）；（2）.
【解析】（1）由两点式得边所在直线的方程为，即；
（2）由题意，得点的坐标为（－4，2），
由两点式，得所在直线的方程为，即.
18．（1）2x+y-6=0或8x+y-12=0；（2）8，4x+y-8=0.
【解析】设A(a，0)，B(0，b)，其中a>0，b>0，则由直线的截距式方程得直线l的方程为+=1.
将P(1，4)代入直线l的方程，得+=1.(*)
（1）依题意得，ab=9，
即ab=18，
由(*)式得，b+4a=ab=18，从而b=18-4a，
∴a(18-4a)=18，整理得，2a2-9a+9=0，
解得a1=3，a2=，
因此直线l的方程为+=1或+=1，
整理得，2x+y-6=0或8x+y-12=0.
（2）S=ab=ab=×≥×=×(8+8)=8，
当且仅当=，即a=2，b=8时取等号，
因此直线l的方程为+=1，即4x+y-8=0.
19．（1）或；（2）或.
【解析】（1）设直线在轴上的截距为，
则在轴上的截距为，
由题意可知且，
则此直线的方程为.
又此直线过点（1，－1），
所以，解得或，
故所求的直线方程为或，
可化为或.
（2）①当在轴、轴上的截距都是0时，设所求直线方程为，
将（－5，2）代入中，得，
此时直线方程为，即；
②当在轴、轴上的截距都不是0时，设所求直线方程为，
将（－5，2）代入中，得，
此时直线方程为，
综上所述，所求直线方程为或.
20．（1）；（2）S的最小值为16，此时直线l的方程为
【解析】（1）直线l的方程可化为，
则直线在y轴上的截距为，
要使直线l不经过第四象限，需满足
解得，
故k的取值范围是.
（2）依题意，直线l在x轴上的截距为，在y轴上的截距为，且，
所以A，，
故S=|OA|×|OB|==，
当且仅当，即时取等号，
故S的最小值为16，此时直线l的方程为.
21．或．
【解析】当直线l的斜率不存在时，l的方程为，经检验符合题目的要求．
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即，
当时，l的方程为，经检验不符合题意，舍去，
当时，令y＝0得，x＝，
由三角形的面积为2，得，解得，
可得直线l的方程为，即；
综上可知，直线l的方程为或．
22．（1）（或）；（2）；直线在轴上的截距为．
【解析】（1）直线的斜率，
故直线的点斜式方程为（或）．
（2）由得，
所以直线的斜截式方程为，
当时，，所以直线在轴上的截距为．