2.2基本不等式
一、单选题(共15题)
1.设,则的最大值为( )
A.3 B. C. D.-1
2.的最小值是( )
A. B. C. D.
3.已知正实数,满足,则的最小值是( )
A. B.6 C. D.
4.若实数,满足,则的最小值为( )
A. B. C. D.
5.若正数a,b满足, 求的最小值为( )
A.14 B.16 C.18 D.20
6.设,则的最小值为( )
A. B.
C. D.
7.已知均为正数,函数的图象过点,则的最小值为( )
A.6 B.7 C.8 D.9
8.若,,的等差中项是,且,,则的最小值为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
9.若直线ax+by-1=0(a>0,b>0)过曲线y=1+sin πx(0A.+1 B.4
C.3+2 D.6
10.已知点是的中位线上任意一点,且平行,实数,满足,设,,,的面积分别为,,,,若,,,则取最大值时,的值为( )
A. B. C. D.
11.已知正实数满足,则的最小值是( )
A. B.5 C. D.
12.已知正项等比数列满足:,若存在两项使得,则的最小值为( )
A. B. C. D.
13.函数y= (x<0)的值域是( )
A.(-1,0) B.[-3,0)
C.[-3,1] D.(-∞,0)
14.已知,,如果不等式恒成立,那么的最大值等于( )
A.7 B.8 C.9 D.10
15.已知圆M:x2+(y﹣1)2=1,圆N:x2+(y+1)2=1,直线l1 l2分别过圆心M N,且l1与圆M相交于A B,l2与圆N相交于C D,P是椭圆上的任意一动点,则的最小值为( )
A. B. C.3 D.6
二、填空题(共4题)
16.若、为实数, 且, 则的最小值为__________.
17.直线经过点,则的最小值为______
18.已知实数a,b满足,则最大值为______.
19.若a,b均为非负数且a+b=1,,则的最小值为________.
三、解答题(共5题)
20.某机械加工公司计划建造一个室内面积为的矩形车间.在车间内,沿左、右两侧与前侧内墙各保留宽的通道,沿后侧内墙保留宽的通道以方便运送原材料;其他为机械操作面积.当矩形车间的边长各为多少时,车间的机械操作面积最大?最大操作面积是多少?
21.已知正数a,b,c满足.
(Ⅰ)求的最小值;
(Ⅱ)求证:.
22.如图,某农业研究所要在一个矩形试验田内种植三种农作物,三种农作物分别种植在并排排列的三个形状相同、大小相等的小矩形中,试验田四周和三个种植区域之间均设有1米宽的非种植区.已知种植区的占地面积为200平方米.
(1)设小矩形的宽为米,试验田的面积为平方米,求函数的解析式;
(2)求试验田占地面积的最小值.
23.设矩形的周长为,把沿向折叠,折过去后交于点,设,求的最大面积及相应的值.
24.已知函数,不等式的解集为.
(1)求实数,的值;
(2)若,,,求证:.
试卷第1页,共3页
参考答案
1.C
【详解】
,,
当时,即时,等号成立.
故选:C
2.B
【详解】
,
当且仅当,即时取等号.有最小值.
故选:B.
3.C
【详解】
,
当且仅当,时取等号.
故选:C
【点睛】
本题考查了基本不等式求最值,注意验证等号成立的条件,属于基础题.
4.D
【详解】
解:实数,满足,则,
所以.可得.
当且仅当时,等号成立,
故答案为:D.
5.C
【详解】
由,得,
当且仅当“”即“”时,取等号,故的最小值为.
故选:C.
6.A
【详解】
因为,所以,所以根据基本不等式得:
,
当且仅当,即时等号成立,
所以的最小值为0.
故选:A.
7.D
【详解】
因为的图象过点,
所以,即,
又均为正数,
所以
,
当且仅当,即,即时,等号成立.
故选:D.
8.D
【详解】
∵的等差中项是,∴,则,∴,当且仅当时等号成立,
∴,
∴的最小值为5.
故选:D.
9.C
【解析】
由正弦函数的性质可知,曲线的对称中心为,
则
的最小值为
故选
点睛:这是一道关于求代数式最小值的题目,关键是掌握基本不等式。由正弦函数的性质可知,曲线的对称中心为,从而即可得到,接下来利用对变形得,利用基本不等式即可求出结果。
10.B
【详解】
由题意,、、,的面积分别为,,,,
记,,,所以,
因为点是的中位线上任意一点,且,
所以,,
所以,
当且仅当时取等号,此时点为的中点,
因为实数满足,
又由,可得,,所以.
故选:B.
11.C
【详解】
解:
,
当且仅当时取等号,即,时等号成立,
故选:.
12.A
【详解】
因为数列是正项等比数列,,,
所以,,,
所以,,,
,,
因为,所以,,
,当且仅当时,等号成立,所以的最小值为.
故选:A.
13.B
【详解】
y=,∵x<0,
∴-x>0且y<0,
∴x+=-(-x+)≤-2,
∴y=≥-3,当且仅当x=-1时等号成立.
所以函数的值域为[-3,0).
故答案为B
14.C
【详解】
,选C.
15.D
【详解】
如图所示,圆心M(0,1),N(0,﹣1)即为椭圆的焦点.
,,,
∴,
同理,
∴,∵|PM|+|PN|=4,
∴2()≥=16,
当且仅当|PM|=|PN|=2时取等号.∴≥8,
∴.
故选:D.
【点睛】
本题考查椭圆的标准方程及其性质、圆的标准方程及其性质、向量的线性关系以及数量积的计算、基本不等式的应用,考查了推理能力和计算能力,属于较难题.
16.6
【详解】
试题分析:因为,所以,
当且仅当时等号成立.
17.
【详解】
由题意可得:,
则,
当且仅当即时等号成立,
所以的最小值为,
故答案为:
18..
【详解】
由,
得,
由基本不等式得,当且仅当取等号,
所以,
所以,
解得,
所以最大值为.
故答案为:
19.
【详解】
因为a,b均为非负数且a+b=1,
所以,
所以,
,
当且仅当即时,取等号,
所以,的最小值为3
故答案为:3
20.当矩形车间的边长各为时,车间的机械操作面积最大,最大操作面积是.
【详解】
解:设矩形车间的长为,宽为,且,
则由题意得,
车间的机械操作面积
,,
,
当且仅当即时,.
答:当矩形车间的边长各为时,车间的机械操作面积最大为.
21.(I)2;(II)证明见解析.
【详解】
(I)∵
∴
,当且仅当时,取得等号,
即的最小值为2.
(II)
当且仅当时等号成立.
22.(1)(2)288平方米
【详解】
(1)设小矩形的长为米,
种植区的占地面积为200平方米
,可得:,
试验田的面积:
,
即
(2),
,
当且仅当,即时等号成立,
时,取最小值,此时,.
故试验田的长与宽分别为米、米时,试验田的占地面积取最小值,最小值是平方米.
23.最大面积是,.
【详解】
如图,设,由矩形的周长为,可知.设,则,
,,,,
.
在中,由勾股定理得,即,
解得,所以.
所以的面积为
.
由基本不等式与不等式的性质,得,
当且仅当时,即当时,的面积最大,面积的最大值为.
24.(1),.(2)见解析
【详解】
解:(1)不等式可化为.
即有或或.
解得,或或.
所以不等式的解集为,故,.
(2)由(1)知,,即,
由,得,,
当且仅当,即,时等号成立.故,即.
答案第1页,共2页
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