专题强化练２ 线面角及二面角的求法 -2021-2022学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册第一章（含答案）

专题强化练2　线面角及二面角的求法
解答题
1.(浙江杭州高三期末,)如图,在三棱锥D-ABC中,AD=CD,AB=BC=4,AB⊥BC.
(1)求证:AC⊥BD;
(2)若二面角D-AC-B的大小为150°,且BD=4,求△BCD的中线BM与平面ABC所成角的正弦值.
2.(辽宁辽河油田第二高级中学高三月考,)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB=AD=2BC=2,BC∥AD,AB⊥AD,△PBD为正三角形,且PA=2.
(1)证明:AB⊥平面PBC;
(2)若四棱锥P-ABCD的体积为2,E是线段CD的中点,求直线PE与平面PBC所成角的正弦值.
3.(北京临川学校高三期中,)如图,在四棱锥S-ABCD中,SA⊥底面ABCD,四边形ABCD是边长为1的正方形,且SA=1,M是SD的中点.
(1)求证:SC⊥AM;
(2)求平面SAB与平面SCD所成锐二面角的大小.
4.(山东济宁高三月考,)如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为梯形,PD⊥底面ABCD,AB∥CD,AD⊥CD,AD=AB=1,BC=.
(1)求证:平面PBD⊥平面PBC;
(2)设H为CD上一点,且满足=2,若直线PC与平面PBD所成角的正切值为,求二面角H-PB-C的余弦值.
答案全解全析
解答题
1.解析　(1)证明:取AC的中点O,连接BO,DO.∵AD=CD,AB=BC,
∴AC⊥DO,AC⊥BO.
又BO,DO 平面BOD,且BO∩DO=O,
∴AC⊥平面BOD.
又BD 平面BOD,∴AC⊥BD.
(2)由(1)易知∠BOD是二面角D-AC-B的平面角,∴∠BOD=150°,
又AC⊥平面BOD,∴平面BOD⊥平面ABC,
在平面BOD内作Oz⊥OB,则Oz⊥平面ABC,可建立如图所示的空间直角坐标系,
易得OB=OA=OC=4,故在△BOD中,由余弦定理可得OD=4,
∴A(0,-4,0),B(4,0,0),C(0,4,0),D(-6,0,2).
又∵M为CD的中点,∴M(-3,2,),
∴=(-7,2,).
又平面ABC的一个法向量为n=(0,0,1),
∴直线BM与平面ABC所成角的正弦值sin θ===.
2.解析　(1)证明:∵AB⊥AD,AB=AD=2,
∴BD=2.
又△PBD为正三角形,
∴PB=PD=BD=2.
又∵AB=2,PA=2,∴由勾股定理的逆定理得AB⊥PB.
又∵AB⊥AD,BC∥AD,∴AB⊥BC.
∵PB∩BC=B,PB 平面PBC,BC 平面PBC,∴AB⊥平面PBC.
(2)设点P到平面ABCD的距离为h,则V四棱锥P-ABCD=××h=h,依题可得h=2.以A为原点,直线AB,AD分别为x轴,y轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
则A(0,0,0),B(2,0,0),D(0,2,0),C(2,1,0),故E.设P(x,y,2).
由PA=2,PB=PD=2,
得解得
即P(2,2,2),∴=.
又由(1)可知,=(2,0,0)是平面PBC的一个法向量,
∴cos<,>===,
∴直线PE与平面PBC所成角的正弦值为.
3.解析　(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴CD⊥AD.
∵SA⊥底面ABCD,CD 平面ABCD,∴CD⊥SA.
∵AD∩SA=A,∴CD⊥平面SAD.
∵AM 平面SAD,∴AM⊥CD.
又SA=AD=1,M是SD的中点,∴AM⊥SD.
∵SD∩CD=D,∴AM⊥平面SCD.
∵SC 平面SCD,∴SC⊥AM.
(2)解法一:由题知AB,AD,AS两两垂直,以A为原点,,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系Axyz,如图所示.
则A(0,0,0),S(0,0,1),D(0,1,0),M,
∴=(0,1,0),=,
∴cos<,>===,
∴与所成角为45°.
易得AD⊥平面SAB,则是平面SAB的一个法向量,
由(1)知AM⊥平面SCD,
∴是平面SCD的一个法向量,
因此,平面SAB与平面SCD所成锐二面角的大小为45°.
解法二:过点S作直线SE,使得SE∥AB,则SE∥CD,
∴SE 平面SAB,SE 平面SCD,∴SE就是平面SAB与平面SCD所成二面角的棱.
由题意知,AB⊥AD,AB⊥AS,AS∩AD=A,则AB⊥平面SAD.
又SE∥AB,∴SE⊥平面SAD,∴AS⊥SE,SE⊥SD,
∴∠ASD就是平面SAB与平面SCD所成锐二面角的平面角.
在Rt△SAD中,SA=AD,∴∠ASD=45°,
∴平面SAB与平面SCD所成锐二面角的大小为45°.
4.解析　(1)证明:由AD⊥CD,AB∥CD,AD=AB=1,可得BD=,∠BDC=45°,
故BC=BD,∴∠BCD=∠BDC=45°,
∴BC⊥BD,∴CD=2.
∵PD⊥底面ABCD,∴BC⊥PD.
∵PD∩BD=D,∴BC⊥平面PBD,又BC 平面PBC,∴平面PBD⊥平面PBC.
(2)由(1)可知BC⊥平面PBD,∴∠BPC为直线PC与平面PBD所成的角.
∴tan∠BPC=,∴PB=.
在Rt△BCD中,CD==2,
在Rt△BPC中,PC==,
在Rt△PDC中,PD==1.
∵=2,CD=2,∴CH=,DH=.
以D为坐标原点,,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系(图略),
则B(1,1,0),P(0,0,1),C(0,2,0),H,
∴=,=(1,1,-1).
设平面HPB的一个法向量为n=(x,y,z).
则即
令x=1,得n=(1,-3,-2).
同理,平面PBC的一个法向量为m=(1,1,2),
∴cos==-.
又二面角H-PB-C为锐角,
∴二面角H-PB-C的余弦值为.