专题强化练5 圆的方程及其应用 -2021-2022学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册第二章（含答案）

专题强化练5　圆的方程及其应用
一、选择题
1.(湖南雅礼中学高二月考,)在平面直角坐标系xOy中,圆C与圆O:x2+y2=1外切,且与直线x-2y+5=0相切,则圆C的面积的最小值为(　　)
A.π B.(3-)π
C.π D.(6-2)π
2.(多选)(山东省实验中学高三月考,)若实数x,y满足x2+y2+2x=0,则下列关于的判断正确的是(　　)
A.的最大值为 B.的最小值为-
C.的最大值为 D.的最小值为-
3.(浙江杭州高三质检,)一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为(　　)
A.-或- B.-或-
C.-或- D.-或-
4.(安徽安庆一中高二期末,)曲线y=1+与直线y=k(x-2)+4有两个不同的交点,则实数k的取值范围是(　　)
A.k≥ B.-≤k<-
C.k> D.二、填空题
5.(山东临沂高三一模,)已知圆M的圆心在x轴上,且在直线l1:x=-2的右侧,若圆M截直线l1所得的弦长为2,且与直线l2:2x-y-4=0相切,则圆M的标准方程为　　　　　　　.
6.(河北唐山高三三模,)已知A(-2,0),B(0,2),实数k是常数,M,N是圆x2+y2+kx=0上两个不同的点,P是圆x2+y2+kx=0上的动点,如果M,N关于直线x-y-1=0对称,则△PAB面积的最大值是　　　　.
7.(江苏扬州高三月考,)在平面直角坐标系xOy中,过点P(-2,0)的直线与圆x2+y2=1相切于点T,与圆(x-a)2+=3相交于两点R,S,且PT=RS,则正数a的值为　　　　.
8.(湖北八校高三期末联考,)过点(,0)作直线l与曲线y=相交于A,B两点,O为坐标原点,当△AOB的面积取最大值时,直线l的斜率等于　　　　.
三、解答题
9.(安徽黄山高二期末,)已知点M(3,1),圆O1:(x-1)2+(y-2)2=4.
(1)若直线ax-y+4=0与圆O1相交于A,B两点,且弦AB的长为2,求a的值;
(2)求过点M的圆O1的切线方程.
10.(安徽合肥八中高二期末,)已知圆C经过点A(2,-1),且与直线x+y=1相切,且圆心在直线y=-2x上.
(1)求圆C的方程;
(2)已知直线l经过点(2,0),并且被圆C截得的弦长为2,求直线l的方程.
11.(甘肃兰州高二期末,)已知圆C的圆心在x轴上,且与直线4x-3y-2=0相切于点.
(1)求圆C的方程;
(2)经过点P(1,0)作斜率不为0的直线l与圆C相交于A,B两点,若直线OA,OB的斜率之和等于8,求直线l的方程.
答案全解全析
一、选择题
1.C　圆心O(0,0)到直线x-2y+5=0的距离为=.因为圆C与圆O:x2+y2=1外切,且与直线x-2y+5=0相切,所以圆C的直径的最小值为-1,圆C的面积的最小值为=π.
2.CD　由x2+y2+2x=0得(x+1)2+y2=1,表示以(-1,0)为圆心、1为半径的圆,表示圆上的点(x,y)与点(1,0)连线的斜率,易得的最大值为,最小值为-.
3.D　点(-2,-3)关于y轴的对称点为(2,-3),故可设反射光线所在直线的方程为y+3=k(x-2),因为反射光线与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,所以圆心(-3,2)到直线的距离d==1,化简得12k2+25k+12=0,解得k=-或k=-.
4.D　y=1+可化为x2+(y-1)2=4,y≥1,
所以曲线为以(0,1)为圆心,2为半径的圆的y≥1的部分.
直线y=k(x-2)+4过定点P(2,4),
当直线经过点A(-2,1)时恰与曲线有两个交点,顺时针旋转到与曲线相切时交点变为一个,
直线AP的斜率为=,由直线与圆相切得=2,解得k=,
所以实数k的取值范围为二、填空题
5.答案　(x+1)2+y2=4
解析　由已知,可设圆M的圆心坐标为(a,0),a>-2,半径为r,则解得满足条件的一组解为所以圆M的标准方程为(x+1)2+y2=4.
6.答案　3+
解析　依题意得圆x2+y2+kx=0的圆心在直线x-y-1=0上,于是有--1=0,即k=-2,因此圆心坐标是(1,0),半径是1.由题意可得|AB|=2,直线AB的方程是+=1,即x-y+2=0,所以圆心(1,0)到直线AB的距离为=,所以点P到直线AB的距离的最大值是+1,所以△PAB面积的最大值为×2×=3+.
7.答案　4
解析　易知PT==,且直线PT的方程为y=±(x+2),设圆(x-a)2+=3的圆心(a,)到直线PT的距离为d,则RS=2=,所以d=,
因此=或
=,又a>0,所以a=4.
8.答案　-
解析　令P(,0),如图,易知|OA|=|OB|=1,所以S△AOB=|OA||OB|sin∠AOB=sin∠AOB≤,当∠AOB=90°时,△AOB的面积取得最大值,此时过点O作OH⊥AB于点H,则|OH|=,于是sin∠OPH===,易知∠OPH为锐角,所以∠OPH=30°,则直线AB的倾斜角为150°,故直线AB的斜率为tan 150°=-.
三、解答题
9.解析　(1)易知圆心到直线ax-y+4=0的距离为=1,
所以=1,解得a=-.
(2)当切线斜率不存在时,所求切线方程为x=3;
当切线斜率存在时,设所求切线方程为y-1=k(x-3),
圆心到该直线的距离为=2,解得k=,所以切线方程为3x-4y-5=0.
综上,过点M的圆O1的切线方程为x=3或3x-4y-5=0.
10.解析　(1)设圆心的坐标为C(a,-2a),
则=,
化简,得a2-2a+1=0,所以a=1,
所以C点坐标为(1,-2),
半径r=|AC|==.
故圆C的方程为(x-1)2+(y+2)2=2.
(2)①当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=2,此时直线l被圆C截得的弦长为2,满足条件.
②当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x-2),即 kx-y-2k=0,
由题意可得=1,解得k=,
则直线l的方程为y=(x-2),即3x-4y-6=0.
综上所述,直线l的方程为x=2或3x-4y-6=0.
11.解析　(1)依题意,设圆心C(a,0),
则有=,
整理得a2+4a+4=0,所以a=-2,即圆心为(-2,0),
于是半径r==2,
故圆C的方程为(x+2)2+y2=4.
(2)依题意,直线l的斜率一定存在,设为k(k≠0),则l的方程为y=k(x-1),
联立直线l的方程与圆C的方程,可得消去y,整理得(1+k2)x2+(4-2k2)x+k2=0.
因为直线与圆相交,所以Δ=-4(1+k2)k2=16-20k2>0,
解得-设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=,
于是kOA+kOB=+===
==,
所以=8,得k=,满足题意,
所以直线l的方程为y=(x-1),即x-2y-1=0.