1.1 利用函数性质判定方程解的存在性 题组训练 -2021-2022学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册 第五章（含答案）

第五章　函数应用
§1　方程解的存在性及方程的近似解
1.1　利用函数性质判定方程解的存在性
基础过关练
题组一　求函数的零点
1.下列图象表示的函数中没有零点的是(　　)
2.函数f(x)=ln x+的零点为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　
A.1 B. C.e D.
3.(广东广州仲元中学高一期末)已知函数f(x)=则函数f(x)的零点为(　　)
A.,0 B.-2,0 C. D.0
4.2是函数f(x)=ax+b的一个零点,那么函数g(x)=bx2-ax的零点是　　　　.
题组二　函数零点个数的判断
5.已知函数f(x)在区间[a,b]上单调,且图象是连续不断的,若f(a)·f(b)<0,则方程f(x)=0在区间[a,b]上(　　)
A.至少有一实数根 B.至多有一实数根
C.没有实数根 D.有唯一的实数根
6.若函数f(x)在定义域{x|x∈R且x≠0}上是偶函数,且在(0,+∞)上是减函数,f(2)=0,则函数f(x)的零点有(　　)
A.一个 B.两个
C.至少两个 D.无法判断
7.(山东泰安高一模拟)函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
8.函数f(x)=x2-2x在R上的零点个数是(　　)
A.0 B.1
C.2 D.3
题组三　确定函数零点所在区间
9.(广东惠州高一期中)函数f(x)=-的零点所在的区间为(　　)
A. B. C. D.
10.已知函数f(x)=-log2x,在下列区间中,包含f(x)零点的区间是(　　)
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,4) D.(4,+∞)
11.函数f(x)=3x+3x-8的零点所在的区间为(　　)
A.(0,1) B. C. D.(3,4)
12.设x0是方程ln x+x=4的解,且x0∈(k,k+1),k∈Z,则k=　　　　.
题组四　函数零点的分布问题
13.已知函数f(x)=(x-a)(x-b)-2,并且α,β是方程f(x)=0的两个根,则a,b,α,β的大小关系可能为(　　)
A.a<αC.α14.(山东泰安一中月考)已知x0是函数f(x)=2x+的一个零点.若x1∈(1,x0),x2∈(x0,+∞),则(　　)
A. f(x1)<0,f(x2)<0 B. f(x1)<0,f(x2)>0
C. f(x1)>0,f(x2)<0 D. f(x1)>0,f(x2)>0
15.(山东济南历城第二中学高一上学期期末)已知函数f(x)=ln x-m的零点x0位于区间(1,e)内,则实数m的取值范围是　　　　.
16.(江苏无锡高一月考)若函数f(x)=3x2-5x+a的一个零点在区间(-2,0)内,另一个零点在区间(1,3)内,则实数a的取值范围是　　　　.
17.若方程x2+(k-2)x+2k-1=0有两个根,一个根在0和1之间,另一个根在1和2之间,求k的取值范围.
能力提升练
题组一　函数的零点及个数问题
1.(江苏南通高一模拟,)已知函数f(x)=|log3x|,若函数y=f(x)-m有两个不同的零点a,b,则(　　)
A.a+b=1 B.a+b=3m
C.ab=1 D.b=am
2.(江西九江一中高一上期中,)方程|lg x|+x-2=0的解的个数是(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
3.(四川成都高一上期中,)已知f(x)=-x2+2x+1,g(x)=|ln x|,则方程f(x)-g(x)=0的实根个数为(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
4.(河南商丘高一上期中联考,)定义在R上的奇函数f(x),当x≥0时,f(x)=则关于x的函数F(x)=f(x)-a(0A.1-2-a B.2a-1
C.1-2a D.2-a-1
5.(北京人大附中期中,)已知函数f(x)为偶函数,当x≥0时,f(x)=2x-x2,那么函数g(x)=f[f(x)]-的零点个数为(　　)
A.2 B.4 C.6 D.8
题组二　函数零点所在区间
6.(浙江宁波段考,)函数f(x)=x2+ln x-4的零点所在的区间是(　　)
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)
7.(黑龙江哈师大附中月考,)若函数y=f(x)(x∈R)是奇函数,其零点分别为x1,x2,…,x2 017,且x1+x2+…+x2 017=m,则关于x的方程2x+x-2=m的根所在区间是(　　)
A.(0,1) B.(1,2)
C.(2,3) D.(3,4)
8.(多选)()若函数f(x)唯一的零点在区间(1,3),(1,4),(1,5)内,则下列说法中正确的是 (　　)
A.函数f(x)在(1,2)或[2,3)内有零点
B.函数f(x)在(3,5)内无零点
C.函数f(x)在[2,5)内有零点
D.函数f(x)在[2,4)内不一定有零点
9.(河北邯郸高一月考,)图象连续不间断的函数f(x)的部分对应值如表所示,
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
f(x) 11 7 -2 1 6 3 -4 -3 -2
则函数f(x)有零点的区间是　　　　.
10.()设函数y=x3与y=的图象的交点为(x0,y0),若x0∈(n,n+1),n∈N,则x0所在的区间是　　　　.
题组三　根据函数零点情况求参数的取值范围
11.()若函数y=+m有零点,则实数m的取值范围是　　(　　)
A.(-∞,-1] B.[-1,+∞)
C.[-1,0) D.(0,+∞)
12.(山东济南济钢高中月考,)已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-m有3个零点,则实数m的取值范围是　　　　.
13.()若函数f(x)=ax-x-a(a>0,且a≠1)有两个零点,则实数a的取值范围是　　　　.
14.(福建厦门高一期末,)若函数f(x)=x-+a的零点在区间(1,+∞)上,则实数a的取值范围是　　　　.
15.(山东日照高三月考,)已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)=a恰有三个不同的实数根,则实数a的取值范围是　　　　.
题组四　函数零点的综合应用
16.(河南商丘九校高一上期中联考,)已知函数f(x)=若f(x1)=f(x2)=f(x3)(x1,x2,x3互不相等),则x1+x2+x3的取值范围是(　　)
A.(0,8) B.(1,3)
C.(3,4] D.(1,8]
17.(江西九江一中高一上期末,)已知函数f(x)=若关于x的方程[f(x)]2-bf(x)+1=0有8个不同的根,则实数b的取值范围是(　　)
A. B.(-∞,-2)∪
C. D.(-∞,-2)∪(2,+∞)
18.(多选)(浙江绍兴诸暨中学期中模拟,)函数f(x)=(x-2)(x-5)-1有两个零点x1,x2,且x1A.x1<2且22且x2>5
C.x1<2且x2>5 D.25
19.(河南洛阳四校联考,)已知函数f(x)=关于x的方程f(f(x))+k=0,给出下列四个命题:
①存在实数k,使得方程恰有1个实根;
②存在实数k,使得方程恰有2个不相等的实根;
③存在实数k,使得方程恰有3个不相等的实根;
④存在实数k,使得方程恰有4个不相等的实根.
其中正确命题的序号是　　　　.
20.(福建宁德高一上统考,)已知函数f(x)=.
(1)当a=1时,判断函数f(x)的奇偶性并证明;
(2)讨论函数f(x)的零点个数.
21.(广东广州高一联考,)已知函数f(x)对任意x∈(0,+∞),满足f=-log2x-3.
(1)求f(x)的解析式;
(2)判断并证明f(x)在定义域上的单调性;
(3)证明函数f(x)在区间(1,2)内有唯一零点.
22.(山东日照一中高一期中,)已知f(x)=log2(4x+1)-kx(k∈R).
(1)设g(x)=f(x)-a+1,k=2,若函数g(x)存在零点,求a的取值范围;
(2)若f(x)是偶函数,设h(x)=log2,若函数f(x)与h(x)的图象只有一个公共点,求实数b的取值范围.
23.(广西桂林高一检测,)已知定义域为[0,1]的函数f(x)同时满足:
①对于任意x∈[0,1], f(x)≥0;
②f(1)=1;
③若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,则f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2).
(1)求f(0)的值;
(2)问函数g(x)=f(x)-2x-在上是否有零点
答案全解全析
基础过关练
1.A　选项B,C,D中的图象均与x轴有交点,故函数均有零点,选项A中的图象与x轴没有交点,故函数没有零点.
2.A　依次代入检验,使f(x)=0的即为零点,故选A.
3.D　当x≤1时,令2x-1=0,得x=0;当x>1时,令1+log2x=0,得x=,舍去.综上所述,函数f(x)的零点为0.故选D.
4.答案　0,-
解析　∵2是函数f(x)=ax+b的一个零点,∴2a+b=0,即b=-2a,
∴g(x)=bx2-ax=-2ax2-ax=-ax(2x+1),令-ax(2x+1)=0,得x=0或x=-,
∴函数g(x)=bx2-ax的零点是0,-.
5.D　由题意知函数f(x)在[a,b]上为连续函数.∵f(a)·f(b)<0,∴函数f(x)在区间[a,b]上至少有一个零点.又∵函数f(x)在区间[a,b]上是单调函数,∴函数f(x)在区间[a,b]上至多有一个零点.故函数f(x)在区间[a,b]上有且只有一个零点,即方程f(x)=0在区间[a,b]内有唯一的实数根.故选D.
6.B　f(x)在(0,+∞)上是减函数, f(2)=0,所以f(x)在(0,+∞)上有且仅有一个零点2.又f(x)是偶函数,所以f(x)在(-∞,0)上有且仅有一个零点-2.因此函数f(x)有两个零点.
7.B　函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数 方程|log0.5x|==的根的个数 函数y1=|log0.5x|与y2=的图象的交点个数.作出两个函数的图象,如图所示,
由图可知两个函数图象有两个交点,故选B.
8.D　由题意可知,函数f(x)=x2-2x的零点个数等价于函数y=2x与y=x2的图象交点个数.画出函数y=2x,y=x2的大致图象,如图.
由图象可得函数y=2x与y=x2的图象有3个交点.故选D.
9.D　易知函数f(x)=-在(0,+∞)上单调递增,
因为f=-4=-4<0, f(1)=-2=-1<0,f=-=-<0, f(2)=-1>0,所以f·f(2)<0,
所以根据零点存在定理可知,函数f(x)=-的零点所在的区间为.故选D.
10.C　由题意知,函数f(x)在(0,+∞)上为减函数.f(1)=6-0=6>0, f(2)=3-1=2>0, f(4)=-log24=-2=-<0.由零点存在定理可知,函数f(x)在区间(2,4)上必存在零点.
11.B　由题可知函数f(x)在R上为增函数.f(1)=31+3×1-8=-2<0, f=+3×-8=3->0,
又函数f(x)的图象在区间上是连续曲线,且函数f(x)是增函数,所以函数f(x)=3x+3x-8的零点所在的区间为,故选B.
12.答案　2
解析　令f(x)=ln x+x-4,易知f(x)在(0,+∞)上单调递增,且其图象是连续不断的,∵f(2)=ln 2-2<0, f(3)=ln 3-1>0,∴f(x)仅在(2,3)内有零点,
∴k=2.
13.C　由题意得, f(a)=f(b)<0,而f(α)=f(β)=0,借助图象(图略)并结合选项可知,a,b,α,β的大小关系可能为α14.B　∵函数y=2x,y=在(1,+∞)上均为增函数,∴函数f(x)在(1,+∞)上为增函数,∴由x1∈(1,x0), f(x0)=0,得f(x1)由x2∈(x0,+∞), f(x0)=0,得f(x2)>f(x0)=0.
15.答案　(0,1)
解析　令f(x)=ln x-m=0,得m=ln x.因为x0∈(1,e),所以ln x0∈(0,1),故m∈(0,1).故答案为(0,1).
16.答案　(-12,0)
解析　根据零点所在区间可画出f(x)的大致图象,如图.
由图可知即解得-1217.解析　设f(x)=x2+(k-2)x+2k-1.
∵方程f(x)=0有两个根,一个根在(0,1)内,一个根在(1,2)内,
∴即
∴能力提升练
1.C　∵函数y=f(x)-m有两个不同的零点a,b,∴a≠b且f(a)=f(b),∵f(x)=|log3x|,
∴log3a+log3b=0,即log3a+log3b=log3(ab)=0,∴ab=1,故选C.
2.C　由|lg x|+x-2=0得|lg x|=2-x,在同一平面直角坐标系内作出y=|lg x|与y=2-x的图象,如图所示,
两个函数的图象有两个交点,所以方程有两个解,故选C.
3.C　在同一平面直角坐标系内作出f(x),g(x)的图象,如图所示.
两个函数的图象有两个交点,所以方程f(x)-g(x)=0有两个实根,故选C.
4.C　函数F(x)=f(x)-a的零点,即函数y=f(x)与y=a的图象的交点的横坐标.在同一平面直角坐标系中作出函数y=f(x)和y=a的图象,如图所示.
由图象知,当0且x1+x2=-6,x4+x5=6, f(x3)=a(-1由f(x3)=a及f(x)为奇函数,得f(-x3)=-a(0<-x3<1),
所以lo(-x3+1)=-a,即x3=1-2a.
因此x1+x2+x3+x4+x5=1-2a,故选C.
5.D　函数g(x)=f[f(x)]-的零点个数即y=f[f(x)]与y=的图象的交点个数.在同一平面直角坐标系内作出函数y=f(x)及y=的图象,如图所示.
令g(x)=0,得f[f(x)]=,
设f(x)=t,则f(t)=,
由图象知, f(t)=有四个解,从左到右依次记为t1,t2,t3,t4,且-2当t=t1∈(-2,-1)时, f(x)=t1有两个解,
当t=t2∈(-1,0)时, f(x)=t2有两个解,
当t=t3∈(0,1)时, f(x)=t3有四个解,
当t=t4∈(1,2)时, f(x)=t4无解,
故f[f(x)]=共有8个实数解,即函数g(x)的零点个数为8,故选D.
B　易知f(x)在(0,+∞)上是连续的,f(1)=12+ln 1-4=-3<0, f(2)=22+ln 2-4=
ln 2>0,∴f(x)的零点在(1,2)内,故选B.
7.A　因为函数y=f(x)(x∈R)是奇函数,所以x1与x2 017,x2与x2 016,……,x1 008与
x1 010关于y轴对称,且x1 009=0,所以x1+x2+…+x2 017=m=0,则关于x的方程为2x+x-2=0.
令h(x)=2x+x-2,
易知h(x)在R上连续且递增.
因为h(0)=20+0-2=-1<0,
h(1)=21+1-2=1>0,
所以关于x的方程2x+x-2=m的根所在区间是(0,1),故选A.
8.ABD　由题意得函数在(1,3)内有零点,在[3,5)内无零点,所以A、B、D正确,C不一定正确.故选ABD.
9.答案　(2,3),(3,4),(6,7)
解析　由零点存在定理可知,函数f(x)有零点的区间是(2,3),(3,4),(6,7).
10.答案　(1,2)
解析　设f(x)=x3-,则x0是函数f(x)的零点,
因为f(1)=1-=-1<0, f(2)=8-=7>0,所以f(1)f(2)<0,又f(x)的图象是连续不断的,所以x0∈(1,2).
11.C　因为函数y=+m有零点,
所以方程+m=0有解,
即方程=-m有解,
因为|x-1|≥0,所以0<≤1,
即0<-m≤1,因此-1≤m<0,故选C.
12.答案　(0,1)
解析　画出函数f(x)=的图象,如图所示.
函数g(x)=f(x)-m有3个零点,结合图象得013.答案　(1,+∞)
解析　函数f(x)的零点个数就是函数y=ax(a>0,且a≠1)与函数y=x+a的图象的交点个数.如图①,当a>1时,两函数图象有两个交点;如图②,当01.
14.答案　
解析　易知函数f(x)=x-+a在定义域上单调递增,
∵函数f(x)=x-+a的零点在区间(1,+∞)上,
∴f(1)=+a<0,∴a<-.
15.答案　(0,4]
解析　作出函数y=f(x)和y=a的图象,如图所示,
由图知,函数y=f(x)与y=a的图象恰有三个交点,即f(x)=a恰有三个不同实数根,a的取值范围是016.C　不妨设x1设f(x1)=f(x2)=f(x3)=a,
则0log2(x3-1)=a,因此x3=2a+1,
故x1+x2+x3=2+2a,
又0因此,317.C　令t=f(x),则原方程可化为t2-bt+1=0.作出函数f(x)的图象.
因为方程[f(x)]2-bf(x)+1=0有8个不同的根,所以方程t2-bt+1=0的两根t1,t2∈(0,6],且t1≠t2,令g(t)=t2-bt+1,
所以解得218.ABD　令g(x)=(x-2)(x-5),则f(x)=g(x)-1,∴函数y=f(x)的零点就是函数g(x)=(x-2)(x-5)与函数y=1图象交点的横坐标.在同一平面直角坐标系中作出函数g(x)=(x-2)(x-5)的图象与y=1的图象,如图所示,结合图象知只有C正确.故选ABD.
19.答案　①②
解析　由题意知,当x≥0时, f(x)=ex≥1,
当x<0时, f(x)=-2x>0,
所以对任意的x∈R,有f(x)>0,
则f(f(x))=
画出此函数的图象,如图所示.
因为f(f(x))+k=0,所以f(f(x))=-k,由图得,当1<-k当-k≥e,即k≤-e时,方程恰有2个不相等的实根,故①②正确.
20.解析　(1)当a=1时,函数f(x)=,该函数为奇函数.
证明如下:依题意得函数f(x)的定义域为R,关于原点对称,
因为f(-x)===-=-f(x),所以函数f(x)为奇函数.
(2)解法一:化简题中函数得f(x)=a-,
令f(x)=0,得a=,
因为函数y=2x在R上单调递增且值域为(0,+∞),
所以y=在R上单调递减且值域为(0,2),
所以当a≤0或a≥2时,函数f(x)无零点;
当0解法二:讨论函数f(x)零点的个数等价于讨论方程f(x)=0的解的个数.
令=0,得a-2+a·2x=0,
当a=0时,方程无解;
当a≠0时,2x=,
当>0,即0当≤0,即a<0或a≥2时,方程无解.
综上所述,当a≤0或a≥2时,函数f(x)无零点;当021.解析　(1)令t=,t∈(0,+∞),
则f(t)=2t-log2-3=2t+log2t-3,所以函数f(x)的解析式为f(x)=2x+log2x-3,x∈(0,+∞).
(2)f(x)在定义域(0,+∞)上是单调增函数.
证明:任取x1,x2∈(0,+∞),且x1则f(x1)-f(x2)=(2x1+log2x1-3)-(2x2+log2x2-3)=2(x1-x2)+(log2x1-log2x2)
=2(x1-x2)+log2.
因为0所以2(x1-x2)<0,0<<1,
所以log2<0,
所以f(x1)-f(x2)=2(x1-x2)+log2<0,
所以f(x1)所以f(x)在定义域(0,+∞)上是单调增函数.
(3)证明:f(x)=2x+log2x-3,x∈(0,+∞),
则f(1)=2×1+log21-3=2+0-3=-1<0,
f(2)=2×2+log22-3=4+1-3=2>0,
所以f(1)f(2)<0,
所以函数f(x)在区间(1,2)内至少有一个零点.
因为f(x)在定义域(0,+∞)上是单调递增函数,且其图象是连续不断的,
所以函数f(x)在区间(1,2)内有唯一零点.
22.解析　(1)函数g(x)存在零点,即f(x)=a-1有解.
因为k=2,所以f(x)=log2(4x+1)-2x=log2=log2,
因为1+>1,所以log2>0,
即f(x)>0,
因为f(x)=a-1有解,
所以a-1>0,即a>1,所以a的取值范围是(1,+∞).
(2)∵f(x)=log2(4x+1)-kx(k∈R)的定义域为R,且f(x)是偶函数,∴f(-1)=f(1),
∴log2+k=log2(4+1)-k,∴k=1.经检验,符合题意.
∵函数f(x)与h(x)的图象只有一个公共点,
∴方程f(x)=h(x)只有一个解,即2-x+2x=b·2x-b只有一个解,即3(b-1)22x-4b·2x-3=0只有一个解.
令t=2x,t>0,则3(b-1)t2-4bt-3=0只有一个正根或两个相等的正根.
当b=1时,t=-<0,不符合题意.
当b≠1时,若方程有两个相等的正根,则Δ=(-4b)2-4×3(b-1)×(-3)=0,且>0,解得b=-3.
当方程有两个不相等的实根且只有一个正根时,因为y=3(b-1)t2-4bt-3的图象恒过点(0,-3),所以只需图象开口向上即可,即b-1>0,解得b>1.
综上,b的取值范围是{-3}∪(1,+∞).
23.解析　(1)在条件③中,令x1=x2=0,得f(0)≥f(0)+f(0),即f(0)≤0,
由条件①知f(0)≥0,所以f(0)=0.
(2)没有.在条件③中,令x3=x1+x2,则x2=x3-x1,得f(x3)≥f(x1)+f(x3-x1),
因为x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,所以x3≥x1,1≥x3-x1≥0,
所以f(x3-x1)≥0,所以f(x3)≥f(x1),所以f(x)的最大值是f(1)=1.
取1≥x≥,则2x≥2×=1,所以对一切实数x∈,都有f(x)≤2x,
所以对一切实数x∈,都有f(x)<2x+,即f(x)-2x-<0.
所以函数g(x)=f(x)-2x-在上没有零点.