(共8张PPT)
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C
6
B
下面几种说法中，正确的是( )
A．同一平面内不相交的两条线段平行
B．同一平面内不相交的两条射线平行
C．同一平面内不相交的两条直线平行
D．以上三种说法都不正确
1
C
2
用一副三角尺拼图，并标点描线如图所示，然后过点C作CF平分∠DCE，交DE于点F.试说明：CF∥AB.
3
如图，已知∠ABC＝∠BCD，∠1＝∠2.
试说明：BE∥CF.
解：因为∠ABC＝∠BCD，∠1＝∠2，
所以∠ABC－∠1＝∠BCD－∠2，
即∠EBC＝∠FCB.
所以BE∥CF(内错角相等，两直线平行)．
4
如图，∠BEC＝95°，∠ABE＝120°，∠DCE＝35°，则AB与CD平行吗？请说明理由．
解：AB∥CD.
理由：如图，延长BE，交CD于点F，则直线CD，AB被直线BF所截．
因为∠BEC＝95°，所以∠CEF＝180°－95°＝85°.
又因为∠DCE＝35°，
所以∠BFC＝180°－∠DCE－∠CEF
＝180°－35°－85°＝60°.
又因为∠ABE＝120°， 所以∠ABE＋∠BFC＝180°.
所以AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行)．
5
如图，∠1＋∠B＝180°，∠2＝∠D，则AD与EF平行吗？为什么？
解：AD∥EF. 理由：因为∠2＝∠D，
所以BC∥AD(同位角相等，两直线平行)．
因为∠1＋∠B＝180°，
所以EF∥BC(同旁内角互补，两直线平行)．
所以AD∥EF(平行于同一条直线的两条直线平行)．
6
【2020·金华】如图，工人师傅用角尺画出工件边缘AB的垂线a和b，得到a∥b.理由是( )
A．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行
B(共13张PPT)
练素养
北师版 七年级下
第2章 相交线与平行线
集训课堂
1.平行线的性质在求角的大小中的六大方法
1
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6
【教材P58习题T4变式】如图，DE∥BC，若∠1＝70°，求∠B的度数．
1
解：(方法1)因为∠1＝70°，
所以∠EFB＝70°.因为DE∥BC，
所以∠B＝180°－∠EFB＝110°.
(方法2)因为∠1＝70°，所以∠AFE＝180°－∠1＝110°.因为DE∥BC，所以∠B＝∠AFE＝110°.
2
如图，把一个直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上．若∠1＝50°，求∠2的度数．
解：如图，因为直尺的对边互相平行，∠1＝50°，所以∠3＝∠1＝50°，所以∠2＝180°－50°－90°＝40°.
3
如图，直线a∥b，AB⊥AC，若∠1＝50°，求∠2的度数．
解：因为AB⊥AC，所以∠CAB＝90°.
因为∠1＝50°，
所以∠B＝90°－∠1＝40°.
因为直线a∥b，所以∠2＝∠B＝40°.
4
如图，已知∠MBA＋∠BAC＋∠NCA＝360°.
(1)试说明：MD∥NE；
解：过A作AF∥MD，如图，
则∠MBA＋∠BAF＝180°，
又因为∠MBA＋∠BAC＋∠NCA＝360°，所以∠FAC＋∠NCA＝180°，
所以AF∥NE，所以MD∥NE.
(2)若∠ABD＝70°，∠ACE＝36°，BP，CP分别平分∠ABD，∠ACE，求∠BPC的度数．
因为PQ∥MD，
所以∠BPQ＝∠DBP＝35°，
因为MD∥NE，PQ∥MD，
所以PQ∥NE，
所以∠QPC＝∠PCE＝18°，
所以∠BPC＝∠BPQ＋∠QPC＝53°.
5
【2020·黄冈】如图，AB∥EF，∠ABC＝75°，∠CDF＝135°，则∠BCD＝________度．
30
6
【教材P49习题T4变式】图①是一张长方形的纸带，将这张纸带沿EF折叠成图②，再沿BF折叠成图③.
(1)若∠DEF＝20°，请你求出图③中∠CFE的度数；
解：因为长方形对边AD∥BC，
所以题图①中，∠CFE＝180°－∠DEF＝180°－20°＝160°，∠BFE＝∠DEF＝20°.
所以题图②中，∠BFC＝160°－20°＝140°.
因为题图③中，∠CFE＋∠BFE＝∠BFC，
所以题图③中，∠CFE＋20°＝140°.
所以题图③中，∠CFE＝120°.
(2)若∠DEF＝α，请你直接用含α的式子表示图③中∠CFE的度数．
解：因为长方形对边AD∥BC，
所以题图①中，∠CFE＝180°－∠DEF＝180°－α，∠BFE＝∠DEF＝α.
所以题图②中，∠BFC＝180°－2α.
因为题图③中，∠CFE＋∠BFE＝∠BFC，
所以题图③中，∠CFE＋α＝180°－2α.
所以题图③中，∠CFE＝180°－3α.(共12张PPT)
用尺规作角
北师版 七年级下
第2章 相交线与平行线
2.4
C
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B
D
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C
D
尺规作图是指( )
A．用直尺规范作图
B．用刻度尺和圆规作图
C．用没有刻度的直尺和圆规作图
D．用圆规作图
C
1
【教材P56随堂练习T1变式】下列作图属于尺规作图的是( )
A．用量角器画出∠AOB的平分线OC
B．借助直尺(没有刻度)和圆规作∠AOB，使∠AOB＝2∠α
C．画线段AB＝3 cm
D．用三角尺过点P作AB的垂线
2
B
下列作图语句中，正确的是( )
A．作线段AB，使a＝AB
B．延长线段AB到C，使AC＝BC
C．作∠AOB，使∠AOB＝∠α
D．作直线l1的平行线l2
C
3
【中考·河北】如图，点C在∠AOB的边OB上，用尺规作出了CN∥OA，作图痕迹中，弧FG是( )
A．以点C为圆心，OD长为半径的弧
B．以点C为圆心，DM长为半径的弧
C．以点E为圆心，OD长为半径的弧
D．以点E为圆心，DM长为半径的弧
D
4
如图，已知∠AOB，以OB为边作∠BOC，使∠BOC＝
2∠AOB，那么下列说法正确的是( )
A．∠AOC＝3∠AOB
B．∠AOC＝∠AOB
C．∠AOC＞∠BOC
D．∠AOB＝∠AOC或∠AOC＝3∠AOB
5
D
6
【教材P55做一做变式】已知∠AOB及射线OA边上的点M(如图)，请用尺规过点M作OB的平行线EF，不写作法，保留作图痕迹．
解：如图．
7
【教材P57习题T1变式】如图，已知∠α，∠β.
(1)求作∠AOB，使∠AOB＝∠α＋∠β；
解： ∠AOB即为所求作．如图①所示．
(2)求作∠COD，使∠COD＝2∠α－∠β.(不写作法，保留作图痕迹)
解：∠COD即为所求作．如图②所示．
8
如图①，OA⊥OB，OC⊥OD.
(1)∠AOC与∠BOD有何数量关系？依据是什么？
解：∠AOC＝∠BOD.
依据是同角的余角相等．
(2)小明做完(1)后受到启发，在图②中用尺规作出了OD⊥OC，请你也试一试．
解：如图所示(在∠AOB外部作∠BOD＝∠AOC即可)．(共17张PPT)
垂线
北师版 七年级下
第2章 相交线与平行线
2.1.2
目标一 垂直的定义
1
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4
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D
C
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9
B
A
B
如图，若CD⊥EF，∠1＝∠2，则AB⊥EF，请说明理由(补全解题过程)．
解：因为CD⊥EF，
所以∠1＝______°(垂直的定义)．
所以∠2＝∠1＝______°.
所以AB______EF(垂直的定义)．
90
1
90
⊥
2
已知在同一平面内：①两条直线相交成直角；
②两条直线互相垂直；
③一条直线是另一条直线的垂线．
那么下列因果关系：①→②③；
②→①③；③→①②中，正确的有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2
D
如图，已知a⊥b，垂足为O，直线c经过点O，则∠1与∠2的关系一定成立的是( )
A．相等 B．互余
C．互补 D．互为对顶角
3
B
如图，因为a⊥b，所以∠1＋∠3＝90°.又因为∠2＝∠3，所以∠1＋∠2＝90°，所以∠1与∠2互余．故选B.
【点拨】
如图，OA⊥OC，OB⊥OD，那么( )
A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠3
C．∠1＝∠3 D．∠1＝∠2＝∠3
C
4
【2021·北京】如图，点O在直线AB上，OC⊥OD.若∠AOC＝120°，则∠BOD的大小为( )
A．30° B．40° C．50° D．60°
A
5
【2020·乐山】如图，E是直线CA上一点，∠FEA＝40°，射线EB平分∠CEF，GE⊥EF.则∠GEB＝( )
A．10° B．20° C．30° D．40°
6
B
7
在直线AB上任取一点O，过点O作射线OC，OD，使OC⊥OD，当∠AOC＝30°时，∠BOD的度数是________．
60°或120°
本题易因只考虑OC，OD在直线AB同侧的情况，而忽略了OC，OD在直线AB两侧的情况，以致漏解而致错．
【点拨】
8
如图，O是直线AB上一点，∠AOC＝ ∠BOC，OC是∠AOD的平分线．
(1)求∠COD的度数；
(2)判断OD与AB的位置关系，并说明理由．
解：OD⊥AB.理由：由(1)知∠AOC＝∠COD＝45°，
所以∠AOD＝∠AOC＋∠COD＝90°，
所以OD⊥AB(垂直的定义)．
9
将一副三角尺的两个直角顶点重合在一起，按如图位置放置．
(1)如图①，若∠BOC＝50°，求∠AOD的度数；
解：因为∠AOB＝90°，
∠BOC＝50°，
所以∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝90°－50°＝40°.
因为∠COD＝90°，所以∠AOD＝∠AOC＋∠COD＝40°＋90°＝130°.
(2)如图②，若∠BOC＝60°，求∠AOD的度数；
解：因为∠AOB＝90°，∠COD＝90°，∠BOC＝60°，
所以∠AOD＝360°－∠AOB－∠BOC－∠COD＝360°－90°－60°－90°＝120°.
(3)如图②，猜想∠AOD与∠BOC的关系，并说明理由；
解：∠AOD与∠BOC互补．理由如下：因为∠AOB＝90°，∠COD＝90°，所以90°＋∠BOC＋90°＋∠AOD＝360°，所以∠AOD＋∠BOC＝180°，即∠AOD与∠BOC互补．(共28张PPT)
练素养
北师版 七年级下
第2章 相交线与平行线
集训课堂
2.平行线中常见作辅助线的两技巧、九类型
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6
7
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9
B
如图，∠E＝∠B＋∠D，猜想AB与CD有怎样的位置关系，并说明理由．
1
解：AB∥CD.理由如下：
如图，连接BD.在三角形BDE中，
∠1＋∠2＋∠E＝180°.因为∠E＝∠3＋∠4，
所以∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，
即∠ABD＋∠CDB＝180°.所以AB∥CD.
本题可通过连接B，D两点构造截线BD，进而利用平行线的判定证明AB∥CD.
【点拨】
2
【中考·十堰】如图，AB∥EF，CD⊥EF于点D，若∠ABC＝40°，则∠BCD＝( )
A．140°
B．130°
C．120°
D．110°
B
本题可通过延长DC与AB相交于点G，得到直线AB，EF被DG所截，进而利用平行线的性质求角的度数．
【点拨】
3
如图，AB∥CD，P为AB，CD之间的一点，已知∠2＝28°，∠BPC＝58°.求∠1的度数．
解：(方法1)过点P作射线PN∥AB，如图①所示．
因为PN∥AB，AB∥CD，
所以PN∥CD，∠3＝∠1.
所以∠4＝∠2＝28°.
所以∠3＝∠BPC－∠4＝58°－28°＝30°，
所以∠1＝30°.
(方法2)过点P作射线PM∥AB，如图②所示．
因为PM∥AB，AB∥CD，
所以PM∥CD.
所以∠4＝180°－∠2＝180°－28°＝152°.
因为∠4＋∠BPC＋∠3＝360°，
所以∠3＝360°－∠BPC－∠4＝360°－58°－152°＝150°. 因为AB∥PM，所以∠1＝180°－∠3＝180°－150°＝30°.
4
(1)如图①，若AB∥DE，∠B＝135°，∠D＝145°，求∠BCD的度数．
解：如图，过C点作CF∥AB，
所以∠B＋∠BCF＝180°.
因为AB∥DE， 所以CF∥DE.
所以∠FCD＋∠D＝180°.
所以∠B＋∠BCF＋∠FCD＋∠D＝180°＋180°＝360°，即∠B＋∠BCD＋∠D＝360°.
所以∠BCD＝360°－∠B－∠D＝360°－135°－145°＝80°.
(2)如图①，在AB∥DE的条件下，你能得出∠B，∠BCD，∠D之间的数量关系吗？请说明理由．
解：∠B＋∠BCD＋∠D＝360°.
理由：如图，过点C作CF∥AB，
所以∠B＋∠BCF＝180°. 又因为AB∥DE，
所以CF∥DE. 所以∠FCD＋∠D＝180°.
所以∠B＋∠BCF＋∠FCD＋∠D＝180°＋180°，
即∠B＋∠BCD＋∠D＝360°.
解:∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝540°.
(3)如图②，AB∥EF，根据(2)中的猜想，直接写出∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数．
5
(1)如图，AB∥CD,
若∠B＝130°，∠C＝30°，求∠BEC的度数；
解：如图，过E点向左侧作EF∥AB，
所以∠B＋∠BEF＝180°.
因为∠B＝130°，
所以∠BEF＝180°－∠B＝50°.
因为AB∥CD，且EF∥AB，
所以EF∥CD.
所以∠FEC＝∠C.
又因为∠C＝30°，
所以∠FEC＝30°.
所以∠BEC＝∠BEF＋∠FEC＝50°＋30°＝80°.
(2)如图，AB∥CD, 探究∠B，∠C，∠BEC三者之间有怎样的数量关系．试说明理由．
解：∠B＋∠BEC－∠C＝180°.
理由如下：如图，过E点向左侧作EF∥AB，
又因为AB∥CD， 所以EF∥CD.
所以∠FEC＝∠C. 又因为∠BEF＝∠BEC－∠FEC， 所以∠BEF＝∠BEC－∠C.
因为AB∥EF，
所以∠B＋∠BEF＝180°.
所以∠B＋∠BEC－∠C＝180°.
6
【教材P54习题T3变式】如图，AB∥DE，则∠BCD，∠B，∠D有何关系？为什么？
解：∠BCD＝∠B－∠D.理由如下：
如图，过点C作CF∥AB，所以∠B＝∠BCF.
因为AB∥DE，CF∥AB，
所以CF∥DE.
所以∠DCF＝∠D.
所以∠B－∠D＝∠BCF－∠DCF.
因为∠BCD＝∠BCF－∠DCF，
所以∠BCD＝∠B－∠D.
7
如图，已知AB∥DE，∠BCD＝30°，∠CDE＝138°.求∠ABC的度数．
解：如图，过点C作CF∥AB.
因为AB∥DE，
所以DE∥CF.
所以∠DCF＝180°－∠CDE＝180°－138°＝42°.
所以∠BCF＝∠BCD＋∠DCF＝30°＋42°＝72°.
因为AB∥CF，
所以∠ABC＝∠BCF＝72°.
8
如图①，AB∥CD，EOF是直线AB，CD间的一条折线．
(1)试说明：∠EOF＝∠BEO＋∠DFO.
解：如图①，过O向左作OM∥AB，
所以∠1＝∠BEO.
因为AB∥CD，所以OM∥CD.
所以∠2＝∠DFO.
所以∠1＋∠2＝∠BEO＋∠DFO，
即∠EOF＝∠BEO＋∠DFO.
(2)如果将折一次改为折两次，如图②，则∠BEO，∠EOP，∠OPF，∠PFC之间会满足怎样的数量关系？给出理由．
解:∠EOP＋∠PFC＝∠BEO＋∠OPF.
理由：过O向左作OM∥AB，过P向右作PN∥CD，如图②所示．
因为AB∥CD，所以OM∥PN∥AB∥CD.
所以∠1＝∠BEO，∠2＝∠3，∠4＝∠PFC.
所以∠1＋∠2＋∠PFC＝∠BEO＋∠3＋∠4.
所以∠EOP＋∠PFC＝∠BEO＋∠OPF.
9
如图，AB∥CD，BE平分∠ABF，DE平分∠CDF，∠BFD＝120°.求∠BED的度数．
解：如图，过点F作FG∥AB，
所以∠BFG＝∠ABF.
因为AB∥CD，所以FG∥CD.
所以∠CDF＝∠DFG.
所以∠ABF＋∠CDF＝∠BFG＋∠DFG＝∠BFD＝120°.
过点E作EH∥AB，所以∠BEH＝∠ABE.
因为AB∥CD，
所以EH∥CD.所以∠DEH＝∠CDE.
所以∠BEH＋∠DEH＝∠ABE＋∠CDE＝60°，即∠BED＝60°.(共17张PPT)
相交线与平行线
北师版 七年级下
第2章 相交线与平行线
2.1.1
目标二 余角与补角
146°
B
1
2
3
4
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A
C
6
7
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B
9
A
【2021·营口】若∠A＝34°，则∠A的补角为______．
146°
1
2
【2021·百色】已知∠α＝25°30′，则它的余角为( )
A．25°30′ B．64°30′
C．74°30′ D．154°30′
B
【教材P40习题T3变式】【2021·呼和浩特】如图，在三角形ABC中，∠B＝50°，∠C＝70°，直线DE经过点A，∠DAB＝50°，则∠EAC的度数是( )
A．40° B．50° C．60° D．70°
3
A
【教材P39随堂练习变式】【2020·十堰】如图，将一副三角尺重叠放在一起，使直角顶点重合于点O.若∠AOC＝130°，则∠BOD等于( )
A．30° B．40° C．50° D．60°
C
4
【教材P39做一做变式】如图，若∠AOB＝∠COD＝
90°，那么∠AOC＝∠BOD，这是根据( )
A．等角的余角相等
B．同角的余角相等
C．同角的补角相等
D．互为余角的两个角相等
B
5
如图，点O在直线AE上，OB平分∠AOC，∠BOD＝90°，则∠DOE和∠COB的关系是( )
A．互余 B．互补 C．相等 D．和是钝角
6
A
7
下列说法中，正确的有________．(填序号)
①钝角与锐角互补；
②∠α的余角是90°－∠α；
③∠β的补角是180°－∠β；
④若∠1＋∠2＋∠3＝90°，则∠1，∠2，∠3互余．
错解：①②③④
诊断：解答本题时，有的同学会因为对余角和补角的概念理解不透彻而出错，要正确理解余角和补角的概念，切记互余两角之和等于90°，互补两角之和等于180°.
正解：②③
8
如图，点O为直线AB上一点，OC平分∠AOB，∠DOE＝90°.
(1)写出∠COD的余角；
解：∠COD的余角有∠AOD，∠COE.
(2)∠AOD和∠COE相等吗？为什么？除90°的角外，还有哪些相等的角？说明理由．
解：相等．由题意得∠AOD＋∠COD＝90°，∠COE＋∠COD＝90°，所以∠AOD＝∠COE(同角的余角相等)．相等的角还有∠BOE＝∠COD，理由：由题意得∠COD＋∠COE＝90°，∠COE＋∠BOE＝90°，所以∠BOE＝∠COD.
(3)写出∠COD的补角．
解：∠AOE.
9
如图，把一张长方形纸片的一角任意折向长方形内，使点B落在点B′的位置，折痕为EF；再折叠CF，使点C落在点C′的位置，折痕为GF，如果C′F与FB′在同一条直线上．
(1)分别写出∠1与∠CFE、∠2与∠BFG之间所满足的数量关系；
解：∠1＋∠CFE＝180°，
∠2＋∠BFG＝180°.
(2)写出∠1与∠2之间的数量关系；
解：∠1＝90°－∠2(或∠1＋∠2＝90°，或∠2＝90°－∠1)．
(3)∠EFG是什么角？
解：∠EFG是直角．(共28张PPT)
北师版 七年级下
第2章 平行线与相交线
测素质
集训课堂
平行线的判定与性质
A
C
1
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3
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C
C
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B
答 案 呈 现
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B
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C
B
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答 案 呈 现
13
14
15
16
17
18
19
如图，DE经过点A，DE∥BC，下列结论错误的是( )
A．∠DAB＝∠EAC B．∠EAC＝∠C
C．∠EAB＋∠B＝180° D．∠DAB＝∠B
1
A
如图，AB∥CD，CE平分∠BCD，∠DCE＝30°，则∠B等于( )
A．30° B．45° C．60° D．75°
2
C
如图，已知∠1＋∠2＝180°，∠3＝124°，则∠4＝( )
A．124° B．66° C．56° D．46°
3
C
如图，a∥b，点B在直线b上，且AB⊥BC，∠1＝35°，那么∠2＝( )
A．45° B．50° C．55° D．60°
C
4
如图，在下列给出的条件中，不能判定AC∥DE的是( )
A．∠1＝∠A B．∠A＝∠3
C．∠3＝∠4 D．∠2＋∠4＝180°
5
B
如图，将长方形ABCD沿EF折叠，点C，D分别落在C′，D′处，若∠BFE＝55°，则∠AED′为( )
A．55° B．70° C．75° D．62.5°
6
B
如图，直线a∥b，将含有45°的三角尺ABC的直角顶点C放在直线b上，若∠1＝27°，则∠2的度数是( )
A．10° B．15° C．18° D．20°
7
C
如图，AB∥CD，则α，β，γ三个角之间的数量关系为( )
A．α－β＋γ＝180° B．α＋β－γ＝180°
C．α＋β＋γ＝360° D．α－β－γ＝180°
8
B
如图，B，A，E三点在同一直线上，请你添加一个条件，使AD∥BC，你所添加的条件是____________________．(不允许添加任何辅助线)
9
∠EAD＝∠B(答案不唯一)
如图，直线a∥b，AB⊥BC，如果∠1＝48°，那么∠2＝________度．
10
42
如图，直线a∥b，∠1＝130°，∠2＝60°，则∠3＝________.
11
110°
12
20°
如图，∠1＝∠B，∠2＝20°，则∠D＝________．
如图，若∠A＋∠B＝180°，∠C＝65°，DE⊥AD，则∠EDC＝________．
13
25°
14
【中考·铜仁】如图，m∥n，∠1＝110°，∠2＝100°，则∠3＝________．
150°
如图，AB∥CD，点E是CD上一点，∠AEC＝40°，EF平分∠AED交AB于点F，求∠AFE的度数．
15
16
如图，在一个三角形ABC上截一个三角形ADE，使得∠EDA＝∠B(尺规作图，不写作法，留下作图痕迹)，那么DE与BC的位置关系是什么？
解：作图如图所示．DE∥BC.
17
如图，AD∥BC，FC⊥CD，∠1＝∠2，∠B＝60°.
(1)求∠BCF的度数．
解：因为AD∥BC，
所以∠1＝∠B＝60°.
又因为∠1＝∠2，所以∠2＝60°.
又因为FC⊥CD，
所以∠BCF＝90°－60°＝30°.
(2)如果DE是∠ADC的平分线，那么DE与AB平行吗？请说明理由．
解：DE∥AB.理由如下：
因为AD∥BC，∠2＝60°，所以∠ADC＝120°.
又因为DE是∠ADC的平分线，所以∠ADE＝60°.
又因为∠1＝60°，所以∠1＝∠ADE.
所以DE∥AB.
18
如图，点F在AB上，点E在CD上，AE，DF分别交BC于点H，G，∠A＝∠D，∠FGB＋∠EHG＝180°.
(1)试说明：AB∥CD；
解：因为∠FGB＋∠EHG＝180°，
∠FGB＝∠HGD，
所以∠HGD＋∠EHG＝180°.
所以AE∥DF.
所以∠A＋∠AFD＝180°.
又因为∠A＝∠D，
所以∠D＋∠AFD＝180°.
所以AB∥CD.
(2)若AE⊥BC，直接写出图中所有与∠C互余的角，不需要说明理由．
解：与∠C互余的角有：∠AEC，∠D，∠A，∠BFG.
19
如图，已知BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠EBD＋∠EDB＝90°.
(1)试说明：AB∥CD；
解：因为BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，
所以∠ABD＝2∠EBD，∠BDC＝2∠EDB.
因为∠EBD＋∠EDB＝90°，
所以∠ABD＋∠BDC＝2(∠EBD＋∠EDB)＝180°，
所以AB∥CD.
(2)H是BE的延长线与直线CD的交点，BI平分∠HBD，写出∠EBI与∠BHD的数量关系，并说明理由．(共16张PPT)
垂线
北师版 七年级下
第2章 相交线与平行线
2.1.2
目标三 垂线段
1
2
3
4
5
C
B
6
7
答 案 呈 现
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C
D
如图，下列说法不正确的是( )
A．点B到AC的垂线段是线段AB
B．点C到AB的垂线段是线段AC
C．线段AD是点D到BC的垂线段
D．线段BD是点B到AD的垂线段
C
1
2
2
【2021·杭州】如图，设点P是直线l外一点，PQ⊥l，垂足为点Q，点T是直线l上的一个动点，连接PT，则( )
A．PT≥2PQ B．PT≤2PQ
C．PT≥PQ D．PT≤PQ
C
3
【中考 北京】【教材P42想一想(2)改编】如图，点P到直线l的距离是( )
A．线段PA的长度 B．线段PB的长度
C．线段PC的长度 D．线段PD的长度
B
4
如图，AB⊥AC，AD⊥BC，垂足分别为A，D，则图中能表示点到直线的距离的线段共有( )
A．2条 B．3条
C．4条 D．5条
D
利用点到直线的距离的定义分析，可得线段AB的长是点B到AC的距离，线段CA的长是点C到AB的距离，线段AD的长是点A到BC的距离，线段BD的长是点B到AD的距离，线段CD的长是点C到AD的距离，故选D.
【点拨】
5
点P为直线m外一点，点A，B，C为直线m上三点，PA＝4 cm，PB＝5 cm，PC＝2 cm，则点P到直线m的距离( )
A．等于4 cm B．等于2 cm
C．小于2 cm D．不大于2 cm
错解：B
诊断：点到直线的距离是指这个点到直线的垂线段的长度．虽然垂线段最短，但是本题中并没有说明PC是垂线段，所以垂线段的长度可能小于2 cm，也可能等于2 cm.
正解：D
【教材P43练习T3变式】如图，平原上有A，B，C，D四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池．
(1)不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池H的位置，使它到四个村庄的距离之和最小；
6
解：如图，连接AD，BC，交于点H，
则H点为蓄水池的位置，
它到四个村庄的距离之和最小．
(2)计划把河水引入蓄水池H中，怎样开渠最短？并说明根据．
解:如图，过点H作HG⊥EF，垂足为G，则沿HG开渠最短．根据：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．
本题考查了垂线段的性质在实际生活中的应用．体现了建模思想的运用．
【点拨】
噪音对环境的影响与距离有关，与噪音来源距离越近噪音越大．如图，一辆汽车在笔直的公路AB上由点A向点B行驶，M是位于AB一侧的某所学校．通过画图完成下列问题，并说明理由．
7
(1)汽车行驶到什么位置时，学校M受噪音影响最严重？
解：如图，根据“垂线段最短”，过点M作AB的垂线，垂足为P，所以汽车行驶到P点时，学校M受噪音影响最严重．
(2)在什么范围内，学校M受噪音影响越来越大？在什么范围内，学校M受噪音影响越来越小？
解：如图，由(1)可知，汽车行驶在AP段时，学校M受噪音影响越来越大；汽车行驶在PB段时，学校M受噪音影响越来越小．(共29张PPT)
测素质
北师版 七年级下
第2章 相交线与平行线
集训课堂
两条直线的位置关系
D
B
1
2
3
4
5
A
D
6
7
8
B
答 案 呈 现
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9
D
10
11
12
A
D
CD
36
40°
142°
13
14
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15
16
17
答 案 呈 现
18
19
140°
在下列图形中，∠1与∠2是对顶角的是( )
D
1
如图，AB与CD相交于点O，∠AOD＋∠BOC＝280°，则∠BOC的度数为( )
A．40° B．140° C．120° D．60°
2
B
如图，OA⊥OB，∠BOC＝50°，OD平分∠AOC，则∠BOD的度数是( )
A．20° B．30° C．40° D．50°
3
A
D
4
下列选项中，∠1与∠2互为补角的是( )
如图，已知点A，O，E在同一条直线上，∠AOC＝∠BOD＝90°，则∠DOE＝( )
A．∠AOB B．∠BOC
C．∠COD D．∠AOD
B
5
如图，两条直线相交于点O，若射线OC平分平角∠AOB，∠1＝56°，则∠2的度数为( )
A．44° B．56° C．45° D．34°
6
D
如图，点A为直线BC外一点，AC⊥BC，垂足为C，AC＝3，点P是直线BC上的动点，则线段AP的长不可能是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
7
A
8
D
如图，直线AB，CD相交于点O，∠COE＝90°，OD平分∠BOF，若∠EOF＝α，则∠EOB＝( )
A．α－90° B．360°－2α
C．2α－180° D．180°－α
如图，AC⊥BC，CD⊥AB，在线段AC，BC，CD中，最短的线段是________．
9
CD
10
如图，点O在直线CD上，AO⊥BO.若∠1＝126°，则∠2＝________度．
36
11
40°
12
如图，直线AB，CD交于点O，射线OM平分∠AOC，若∠BOD＝76°，则∠BOM等于________．
142°
【中考·河南】如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB于点O，∠EOD＝50°，则∠BOC的度数为______．
13
140°
有三条线段OA，OB，OC，若OA⊥OB，∠AOC＝50°，则∠BOC的度数是________．
40°或140°
14
如图，AB，CD相交于点O，OE是∠AOD的平分线，∠AOC＝25°，求∠BOE的度数．
15
解：因为∠AOC＝25°，
所以∠AOD＝180°－∠AOC＝180°－25°＝155°.
因为OE是∠AOD的平分线，
16
如图，已知∠AOB＝50°，OD是∠COB的平分线．
(1)如图①，当∠AOB与∠COB互补时，求∠COD的度数；
(2)如图②，当∠AOB与∠COB互余时，求∠COD的度数．
如图，直线EF与AG相交于点O，∠AOB＝∠DOC＝90°，OE平分∠AOD.
(1)∠AOD和∠BOC是否互补？请说明理由．
17
解：∠AOD和∠BOC互补．理由如下：
因为∠AOD＋∠BOC＝360°－∠AOB－∠DOC＝360°－90°－90°＝180°，所以∠AOD和∠BOC互补．
(2)射线OF是∠BOC的平分线吗？请说明理由．
解：射线OF是∠BOC的平分线．理由如下：
因为OE平分∠AOD，所以∠AOE＝∠DOE.
因为∠COF＝180°－∠DOC－∠DOE＝90°－∠DOE，∠BOF＝180°－∠AOB－∠AOE＝90°－∠AOE，
所以∠COF＝∠BOF，
即射线OF是∠BOC的平分线．
如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB.
(1)若∠BOC＝4∠AOC，求∠BOD的度数；
18
解：因为∠AOC＋∠BOC＝180°，∠BOC＝4∠AOC，
所以4∠AOC＋∠AOC＝180°.
所以∠AOC＝36°.
所以∠BOD＝∠AOC＝36°.
(2)若∠1＝∠2，问OF⊥CD吗？请说明理由．
解：OF⊥CD.理由如下：
因为OE⊥AB， 所以∠AOE＝90°.
所以∠1＋∠AOC＝90°.
因为∠1＝∠2，
所以∠2＋∠AOC＝90°，
即∠FOC＝90°. 所以OF⊥CD.
如图①，已知∠MON＝140°，∠AOC与∠BOC互余，OC平分∠MOB.
(1)在图①中，若∠AOC＝40°，则∠BOC＝________°，∠NOB＝________°.
19
50
40
(2)在图①中，设∠AOC＝α，∠NOB＝β，请探究α与β之间的数量关系，并说明理由．
解：2α－β＝40°.理由如下：
因为∠AOC＝α，所以∠BOC＝90°－α.
因为OC平分∠MOB，所以∠MOB＝2∠BOC＝2(90°－α)＝180°－2α.又因为∠MON＝∠BOM＋∠BON，所以140°＝180°－2α＋β，即2α－β＝40°.
(3)在已知条件不变的前提下，当∠AOB绕着点O顺时针转动到如图②的位置，此时(2)中的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出此时α与β之间的数量关系．
解：不成立，α与β之间的数量关系为2α＋β＝40°.
【点拨】
因为∠AOC＝α，所以∠BOC＝90°－α.
因为OC平分∠MOB，所以∠MOB＝2∠BOC＝2(90°－α)＝180°－2α.
因为∠BOM＝∠MON＋∠BON，所以180°－2α＝140°＋β，即2α＋β＝40°.(共35张PPT)
全章热门考点整合应用
北师版 七年级下
第2章 平行线与相交线
38
A
1
2
3
4
5
B
6
7
8
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9
10
11
12
C
A
C
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答 案 呈 现
B
13
14
15
16
17
18
19
20
21
D
C
【教材P40习题T1变式】【2020·南充】如图，两直线交于点O，若∠1＋∠2＝76°，则∠1＝________度．
38
1
【2020·东营】如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠BOD，若∠AOC＝42°，则∠AOM等于( )
A．159° B．161° C．169° D．138°
2
A
【2020·通辽】如图，点O在直线AB上，∠AOC＝53°17′28″.则∠BOC的度数是_____________．
3
126°42′32″
【2020·陕西】若∠A＝23°，则∠A余角的大小是( )
A．57° B．67° C．77° D．157°
4
B
5
C
【2020·十堰】如图，将一副三角尺重叠放在一起，使直角顶点重合于点O.若∠AOC＝130°，则∠BOD＝( )
A．30° B．40° C．50° D．60°
6
【2020·河池】如图，直线a，b被直线c所截，则∠1与∠2的位置关系是( )
A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．邻补角
A
7
解：∠A和∠D是由直线AE，CD被直线AD所截形成的，它们是同旁内角．
如图，点E在AB的延长线上，指出下面各组中的两个角是由哪两条直线被哪一条直线所截形成的？它们是什么角？
(1)∠A和∠D；
(2)∠A和∠CBA；
(3)∠C和∠CBE.
解：∠A和∠CBA是由直线AD，BC被直线AE所截形成的，它们是同旁内角．
解：∠C和∠CBE是由直线CD，AE被直线BC所截形成的，它们是内错角．
在同一平面内，直线a与b满足下列条件，写出其对应的位置关系．
(1)a与b没有公共点，则a与b________；
(2)a与b有且只有一个公共点，则a与b______．
8
平行
相交
9
【教材P41做一做变式】如图，在方格纸中，有两条线段AB，BC.利用方格纸完成以下操作：
(1)过点A作BC的平行线；
(2)过点C作AB的平行线，与(1)中BC的平行线交于点D；
(3)过点B作AB的垂线BE.
解：(1)(2)(3)如图．
10
如图，三角形ABC中，CD是AB边上的高，M是AB边的中点，点C到边AB所在直线的距离是( )
A．线段CA的长度
B．线段CM的长度
C．线段CD的长度
D．线段CB的长度
C
11
如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB.
(1)若∠1＝20°，∠2＝20°，则∠DON＝________；
(2)若∠1＝∠2，判断ON与CD的位置关系，并说明理由；
90°
解：ON⊥CD.理由如下：因为OM⊥AB，
所以∠1＋∠AOC＝90°.又因为∠1＝∠2，
所以∠2＋∠AOC＝90°.即∠CON＝90°.
所以ON⊥CD.
12
如图，已知CF⊥AB于点F，ED⊥AB于点D，∠1＝∠2，猜想FG和BC的位置关系，并说明理由．
解：FG∥BC.
理由：因为CF⊥AB，DE⊥AB，
所以CF∥DE. 所以∠1＝∠BCF.
又因为∠1＝∠2，所以∠2＝∠BCF.
所以FG∥BC.
13
如图，AB是一条河流，要铺设管道将河水引到C，D两个用水点，现有两种铺设管道的方案：
方案一：分别过点C，D作AB的垂线，垂足分别为E，F，沿CE，DF铺设管道；
方案二：连接CD交AB于点P，沿PC，PD铺设管道．
这两种铺设管道的方案哪一种更节省材料？为什么？(忽略河流的宽度)
解：方案一较节省材料．
理由：因为CE⊥AB，DF⊥AB，CD不垂直于AB，
所以根据“垂线段最短”可知，CE＜PC，DF＜PD.
所以CE＋DF＜PC＋PD.
所以方案一较节省材料．
【2020·岳阳】如图，DA⊥AB，CD⊥DA，∠B＝56°，则∠C的度数是( )
A．154° B．144° C．134° D．124°
14
D
【中考·辽阳】将三角尺按如图所示方式放置在一张长方形纸片上，∠EGF＝90°，∠FEG＝30°，∠1＝130°，则∠BFG的度数为( )
A．130° B．120° C．110° D．100°
15
C
因为AD∥BC，∠1＝130°，
所以∠BFE＝180°－∠1＝180°－130°＝50°.
因为∠EGF＝90°，∠FEG＝30°，
所以∠EFG＝180°－∠EGF－∠FEG＝180°－90°－30°＝60°.
所以∠BFG＝∠BFE＋∠EFG＝50°＋60°＝110°.
【点拨】
如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，BC∥AD，那么∠A与∠C，∠B与∠D的大小关系如何？请说明理由．
16
解：∠A＝∠C，∠B＝∠D.
理由：因为AB∥CD，BC∥AD，
所以∠B＋∠C＝180°，∠A＋∠B＝180°.
所以∠A＝∠C.
同理得∠B＝∠D.
17
【中考·武汉】如图，点A，B，C，D在一条直线上，CE与BF交于点G，∠A＝∠1，CE∥DF.试说明：∠E＝∠F.
解：因为∠A＝∠1，所以AE∥BF.
所以∠E＝∠2.
因为CE∥DF，所以∠2＝∠F.
所以∠E＝∠F.
18
如图，已知∠B＝25°，∠BCD＝45°，∠CDE＝30°，∠E＝10°，试说明AB∥EF.
解：如图，在∠BCD的内部作∠BCM＝25°，在∠CDE的内部作∠EDN＝10°.
因为∠B＝25°，∠E＝10°，
所以∠BCM＝∠B＝25°，
∠EDN＝∠E＝10°.
所以AB∥CM，EF∥ND.
又因为∠BCD＝45°，∠CDE＝30°，
所以∠DCM＝20°，∠CDN＝20°.
所以∠DCM＝∠CDN，所以CM∥ND，所以AB∥EF.
本题通过作辅助线构造“三线八角”的基本图形，从而对一些角进行拆分，由内错角相等得平行．
【点拨】
19
如图，已知AB∥CD，线段GH交AB于点J，直线EF分别交AB，CD，GH于点L，M，H，且∠1＝48°，∠2＝43°.
(1)找出图中∠1的所有同位角；
解：∠1的同位角是∠ELB，∠JHM.
(2)求∠GHF的度数．
解：如图，过点H作HN∥AB.
因为AB∥CD，所以HN∥AB∥CD.
所以∠1＝∠GHN，∠2＝∠FHN.
因为∠1＝48°，∠2＝43°， 所以∠1＋∠2＝91°.
所以∠GHN＋∠FHN＝91°.
所以∠GHF＝∠GHN＋∠FHN＝91°，即∠GHF＝91°.
20
如图，AB∥CD，∠1∶∠2∶∠3＝1∶2∶3，判断BA是否平分∠EBF，并说明理由．
解：BA平分∠EBF.理由：
因为∠1∶∠2∶∠3＝1∶2∶3，
所以可设∠1＝k，则∠2＝2k，
∠3＝3k. 因为AB∥CD，
所以∠2＋∠3＝180°，
即2k＋3k＝180°，解得k＝36°.
所以∠1＝36°，∠2＝72°，
则∠ABE＝180°－∠2－∠1＝72°.
所以∠2＝∠ABE，
即BA平分∠EBF.
当问题中角的数量关系出现倍数、比例时，可根据其数量关系建立方程，从而解决问题．
【点拨】
21
如图，在五边形ABCDE中，AE∥CD，∠A＝107°，∠ABC＝121°，求∠C的度数．
解：如图，过点B作BF∥AE交ED于点F.
因为BF∥AE，
∠A＝107°，
所以∠ABF＝180°－107°＝73°.
又因为∠ABC＝121°，
所以∠FBC＝121°－73°＝48°.
因为AE∥CD，BF∥AE，
所以BF∥CD.
所以∠C＝180°－∠FBC＝132°.
本题通过作辅助线构造基本图形，把问题转化为平行线的性质和判定的问题，从而建立起角之间的关系．
【点拨】(共11张PPT)
用内错角、同旁内角判定两直线平行
北师版 七年级下
第2章 相交线与平行线
2.2.2
B
1
2
3
4
5
D
A
6
7
答 案 呈 现
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B
D
【教材P47议一议改编】下列图形中，由∠1＝∠2能得到AB∥CD的是( )
B
1
2
【2021·铜仁】直线AB，BC，CD，EG如图所示，∠1＝∠2＝80°，∠3＝40°，则下列结论错误的是( )
A．AB∥CD B.∠EFB＝40°
C．∠FCG＋∠3＝∠2 D．EF>BE
D
3
如图，分别将木条a，b与木条c钉在一起，若∠1＝50°，∠2＝80°，要使木条a与b平行，则木条a需要顺时针转动的最小度数为( )
A．30° B．50° C．80° D．130°
A
如图，下列条件不能判定AB∥CD的是( )
A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠E
C．∠B＋∠E＝180° D．∠BAF＝∠C
B
4
【2020·郴州】如图，直线a，b被直线c，d所截，下列条件能判定a∥b的是( )
A．∠1＝∠3 B．∠2＋∠4＝180°
C．∠4＝∠5 D．∠1＝∠2
5
D
A，B，C可以判定c∥d，无法判定a∥b.
【点拨】
【教材P49习题T1变式】已知：如图，AB⊥BC，CD⊥BC，∠1＝∠2，BE与CF平行吗？请说明理由．补全下面的说理过程，并在括号内填上适当的理由．
解：BE∥CF.理由如下：
因为AB⊥BC，CD⊥BC(________________)，
所以∠ABC＝∠BCD＝______°(垂直的定义)．
6
已知
90
因为∠1＝∠2(______________)，
所以∠EBC＝∠FCB(__________________)．
所以BE∥CF(________________________)．
等角的余角相等
已知
内错角相等，两直线平行
7
如图，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，∠1＋∠2＝90°，试判断AB与CD的位置关系，并说明理由．
解：AB∥CD.理由如下：因为BE平分∠ABD，
DE平分∠BDC，∠1＋∠2＝90°，
所以∠ABD＋∠BDC＝2∠1＋2∠2
＝2(∠1＋∠2)＝180°.所以AB∥CD
(同旁内角互补，两直线平行)．
利用整体思想，将∠1＋∠2＝90°看成一个整体，求得∠ABD＋∠CDB＝180°，再由同旁内角互补，两直线平行，判断AB∥CD.
【点拨】(共14张PPT)
用同位角、第三直线判定两直线平行
北师版 七年级下
第2章 相交线与平行线
2.2.1
目标一 认识同位角等位置角
C
1
2
3
4
5
B
C
6
7
8
答 案 呈 现
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B
D
【2021·百色】如图，与∠1是内错角的是( )
A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5
C
1
【2021 贺州】如图，下列两个角是同旁内角的是( )
A．∠1与∠2 B．∠1与∠3
C．∠1与∠4 D．∠2与∠4
2
B
同学们可仿照示意图用双手表示“三线八角”图形(两大拇指代表被截直线，食指代表截线)．下面三幅图依次表示( )
A．同位角、同旁内角、内错角
B．同位角、内错角、同旁内角
B
3
C.同位角、对顶角、同旁内角
D．同位角、内错角、对顶角
如图，若∠1＝∠2，则在①∠3和∠2；②∠4和∠2；③∠3和∠6；④∠4和∠8中，相等的有( )
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
C
4
如图，若∠2＝110°，则∠1的内错角等于________，∠1的同位角等于________，∠1的同旁内角等于________，∠1的内错角等于它的________，因为它们是________角．
5
70°
70°
110°
同位角
对顶
6
【教材P48随堂练习T1变式】如图，下列说法中不正确的是( )
A．∠1和∠2是同旁内角
B．∠1和∠ACE是内错角
C．∠B和∠4是同位角
D．∠3和∠1不是内错角
D
∠3和∠ACE都是∠1的内错角．
【点拨】
7
两条直线被第三条直线所截，∠1和∠2是同旁内角，∠3和∠2是内错角．
(1)根据上述条件，画出符合题意的示意图；
解： 如图．
(2)若∠1＝3∠2，∠2＝3∠3，求∠1，∠2的度数．
解：因为∠1＝3∠2，∠2＝3∠3，
所以∠1＝9∠3.
又因为∠1＋∠3＝180°，
所以∠3＝18°.
所以∠1＝162°，∠2＝54°.
8
如图，直线DE，BC被直线AB，AC所截．
(1)∠2与∠B是什么角？若∠1＝∠B，则∠2与∠B有何数量关系？请说明理由．
解：同旁内角．∠2＋∠B＝180°.
理由：因为∠1＋∠2＝180°，
∠1＝∠B，
所以∠2＋∠B＝180°.
(2)∠3与∠C是什么角？若∠4＋∠C＝180°，则∠3与∠C有何数量关系？请说明理由．
解：同位角．∠3＝∠C.理由：因为∠4＋∠3＝180°，
∠4＋∠C＝180°，所以∠3＝∠C.(共14张PPT)
平行线的性质
北师版 七年级下
第2章 相交线与平行线
2.3.1
B
1
2
3
4
5
D
B
6
7
8
答 案 呈 现
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9
D
B
C
A
D
10
【教材P51练习T1变式】【2021·遵义】如图，已知直线a∥b，c为截线，若∠1＝60°，则∠2的度数是( )
A.30° B．60° C．120° D．150°
B
1
2
【2021·河南】如图，a∥b，∠1＝60°，则∠2的度数为( )
A．90 ° B．100° C．110° D．120°
D
【2021·长沙】如图，AB∥CD，EF分别与AB，CD交于点G，H，∠AGE＝100°，则∠DHF的度数为( )
A．100° B．80°
C．50° D．40°
3
A
【2021·大连】如图，AB∥CD，CE⊥AD，垂足为E，若∠A＝40°，则∠C的度数为( )
A．40° B．50°
C．60° D．90°
B
4
【2021·呼和浩特】如图，在三角形ABC中，∠B＝50°，∠C＝70°，直线DE经过点A，∠DAB＝50°，则∠EAC的度数是( )
A．40° B. 50° C. 60° D. 70°
D
5
【2021·包头】如图，直线l1∥l2，直线l3交l1于点A，交l2于点B，过点B的直线l4交l1于点C.若∠3＝50°，∠1＋∠2＋∠3＝240°，则∠4等于( )
A．80° B．70° C．60° D．50°
6
B
7
【2021·济宁】如图，AB∥CD，BC∥DE，若∠B＝72°28′，那么∠D的度数是( )
A．72°28′ B．101°28′
C．107°32′ D．127°32′
C
8
已知∠1与∠2是同旁内角．若∠1＝50°，则∠2的度数是( )
A．50° B．130°
C．50°或130° D．不能确定
D
本题易忽略平行线的性质的前提而误用
平行线的性质．本题没有说明两直线平
行，因此同旁内角的数量关系是不确定的．
【点拨】
9
【中考 重庆】如图，AB∥CD，三角形EFG的顶点F，G分别落在直线AB，CD上，GE交AB于点H，GE平分∠FGD.若∠EFG＝90°，∠E＝35°，求∠EFB的度数．
解：因为在三角形EFG中，∠EFG＝90°，∠E＝35°，
所以∠EGF＝180°－90°－35°＝55°.
因为GE平分∠FGD，
所以∠EGF＝∠EGD＝55°.
因为AB∥CD，所以∠EHB＝∠EGD＝55°.
又因为∠EHB＝180°－∠AHE＝∠EFB＋∠E，所以∠EFB＝∠EHB－∠E＝55°－35°＝20°.
如图，点C在直线GF上，AB∥DE∥GF，∠1?:∠D?:∠B＝2?:3?:4.求∠1的度数．
解：设∠1＝2x，则∠D＝3x，∠B＝4x.
因为AB∥GF∥DE，
所以∠B＋∠GCB＝180°，
∠D＋∠FCD＝180°.
10
所以∠GCB＝180°－4x，
∠FCD＝180°－3x.
因为180°－4x＋180°－3x＋2x＝180°，
所以x＝36°.
所以∠1＝72°.(共19张PPT)
垂线
北师版 七年级下
第2章 相交线与平行线
2.1.2
目标二 垂线的性质
1
2
3
4
5
C
D
6
7
8
答 案 呈 现
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D
D
下列选项中，过点P画直线AB的垂线CD，三角尺放法正确的是( )
C
1
2
过线段外一点画这条线段的垂线，垂足在( )
A．这条线段上 B．这条线段的端点上
C．这条线段的延长线上 D．以上都有可能
2
D
2
(1)如图①，过点P画AB的垂线；
(2)如图②，过点P分别画OA，OB的垂线；
(3)如图③，过点A画BC的垂线．
3
解：如图所示．
先将三角尺的一条直角边靠在已知的直线上，再沿直线移动三角尺使得已知点恰好落在三角尺的另一条直角边上，最后过已知点画出已知直线的垂线．
【点拨】
【教材P41想一想(1)变式】【2020 河北】如图，在平面内作已知直线m的垂线，可作垂线( )
A．0条 B．1条
C．2条 D．无数条
4
D
如图，OM⊥NP，ON⊥NP，所以ON与OM重合(即O，M，N三点共线)，理由是( )
A．两点确定一条直线
B．经过一点有一条直线与已知直线垂直
C．过一点只能作一条直线
D．在同一平面内，过一点有且只有一条
直线与已知直线垂直
D
5
在同一平面内，若A，C是直线l上两点，B，D是直线l外两点，则过点A能画________条直线与l垂直；过点B能画________条直线与l垂直；过C，D两点________(填“能画”“不能画”或“不一定能画”)一条直线与已知直线垂直．
6
1
1
不一定能画
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．这里的“过一点”无论是指过直线上一点还是直线外一点，结论都成立，所以前两空均填1；第三个空填“不一定能画”，因为两点确定一条直线，要过C，D两点画直线，直线的位置就确定了，这条直线可能垂直于直线l，也可能不垂直于直线l.
【点拨】
7
点P与∠A的位置关系如图所示．
(1)在图①、图②、图③中，以P为顶点作出∠P(0°＜∠P＜180°)，使∠P的两边所在的直线分别和∠A的两边垂直．
解：略．
(2)量一量∠P和∠A的度数，分别写出∠P与∠A的数量关系．
在图①中，∠P＝_______________；
在图②中，∠P＝_______________；
在图③中，∠P＝_______________．
∠A或180°－∠A
∠A或180°－∠A
∠A或180°－∠A
8
平面内两条直线EF，CD相交于点O，OA⊥OB，OC恰好平分∠AOF.
(1)如图①，若∠AOE＝40°，求∠BOD的度数．
解：因为∠AOE＝40°，
所以∠AOF＝180°－∠AOE＝140°.
因为OC平分∠AOF，
(2)如图①，若∠AOE＝x°，请求出∠BOD的度数(用含x的式子表示)，并写出∠AOE和∠BOD的数量关系．
解：因为∠AOE＝x°，
所以∠AOF＝180°－∠AOE＝(180°－x)°.
因为OC平分∠AOF，
(3)如图②，当OA，OB在直线EF的同侧时，∠AOE和∠BOD的数量关系是否会发生改变？若不变，请直接写出它们之间的数量关系；若发生变化，请说明理由．
解：不变，∠AOE＝2∠BOD.(共12张PPT)
练素养
北师版 七年级下
第2章 相交线与平行线
集训课堂
识别相交线中的几种角
1
2
3
4
5
6
7
8
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D
D
B
45°
40
1
【教材P38议一议变式】下列选项中，∠1与∠2互为对顶角的是( )
D
2
【教材P40练习T1变式】如图，直线AB，CD，EF相交于点O.
(1)请写出∠AOC，∠AOE，∠EOC的对顶角；
解：∠AOC的对顶角是∠BOD，∠AOE的对顶角是∠BOF，∠EOC的对顶角是∠DOF.
(2)若∠AOC＝50°，求∠BOD，∠BOC的度数．
解：因为∠AOC的对顶角是∠BOD，∠AOC＝50°，所以∠BOD＝50°.
因为∠BOC是∠BOD的邻补角，所以∠BOC＝180°－50°＝130°.
如图，直线AB，CD相交于点O，∠2－∠1＝15°，∠3＝130°，则∠2的度数是( )
A．37.5° B．75°
C．50° D．65°
3
D
如图，点A，O，B在一条直线上，∠AOC＝∠BOC，若∠1＝∠2，则图中互余的角共有( )
A．5对 B．4对 C．3对 D．2对
4
B
若∠1和∠2是对顶角，且∠1与∠2互余，则∠1的度数为________．
45°
5
6
若一个角的补角加上10°后，等于这个角的余角的3倍，则这个角是________°.
40
将一副三角尺按如图所示的方式放置，则∠α与∠β的数量关系是________．
7
∠α＋∠β＝180°
如图，已知直线AB和CD相交于点O，∠COE＝90°，OF平分∠AOE.
(1)写出∠BOD的补角；
(2)写出∠BOE的余角；
8
解：∠BOD的补角是∠DOA，∠COB.
解：∠BOE的余角是∠BOD，∠AOC.
(3)若∠COF＝29°，求∠BOE的度数．
解：因为OF平分∠AOE，所以∠AOF＝∠EOF.又因为∠EOF＝∠COE－∠COF＝90°－29°＝61°，
所以∠BOE＝180°－∠EOF－∠AOF＝180°－61°－61°＝58°.(共14张PPT)
用同位角、第三直线判定两直线平行
北师版 七年级下
第2章 相交线与平行线
2.2.1
目标二 用同位角判定两直线平行
=
1
2
3
4
5
D
6
7
8
答 案 呈 现
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A
1
【2021·桂林】如图，直线a，b被直线c所截，当∠1________∠2时，a∥b.(用“>”“<”或“＝”填空)
＝
2
已知∠1＝∠2，下列能判定AB∥CD的是( )
D
3
如图，直线a与直线b相交于点A，与直线c相交于点B，∠1＝120°，∠2＝45°.若使直线b与直线c平行，则可将直线b绕点A逆时针至少旋转( )
A．15° B．30°
C．45° D．60°
A
4
【教材P45想一想变式】如图①②③是通过移动三角尺过已知直线外一点画它的平行线的方法，请你说出其中的数学原理：__________________．
同位角相等，两直线平行
5
用三角尺和直尺画平行线．
(1)过点A画MN∥BC(图①)；
(2)过点P画PE∥OA，交OB于点E，画PH∥OB，交OA于点H(图②)；
(3)过点C画CE∥DA，与AB交于点E，过点C画CF∥DB，与AB的延长线交于点F(图③)．
6
某人在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶方向与原来相同， 则这两次拐弯的角度可能是( )
A．第一次左拐30°，第二次右拐30°
B．第一次右拐50°，第二次左拐130°
C．第一次右拐50°，第二次右拐130°
D．第一次左拐50°，第二次左拐130°
错解：C或D
诊断：本题的错因在于对两个角的位置关系理解不清，不能正确画出图形．两次拐弯后，行驶方向与原来相同，说明两次拐弯后的路线与原来的是平行的．根据题中的四个选项提供的条件画出图形，运用平行线的判定进行判断，可排除B选项；其次由行驶方向不变可排除C，D选项．
正解：A
7
如图，已知AC⊥AE，BD⊥BF，∠1＝35°，∠2＝35°，AC与BD平行吗？AE与BF平行吗？补充完整下面的解答过程．
解：因为∠1＝35°，∠2＝35°，
所以∠1＝∠2(________________)．
所以______∥______(_______________________)．
因为AC⊥AE，所以∠EAC＝90°.
等量代换
AC
BD
同位角相等，两直线平行
所以∠EAB＝∠EAC＋∠1＝______．
同理可得，∠FBG＝∠FBD＋∠2＝______．
所以∠EAB＝∠FBG.
所以______∥______(______________________)．
125°
125°
AE
BF
同位角相等，两直线平行
8
如图，∠ABC＝∠ACB，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∠DBF＝∠F.问：CE与DF的位置关系怎样？试说明理由．
又因为∠ABC＝∠ACB，
所以∠DBC＝∠BCE.
又因为∠DBF＝∠F，
所以∠BCE＝∠F.
所以CE∥DF.(共13张PPT)
平行线性质的 应用
北师版 七年级下
第2章 相交线与平行线
2.3.2
D
1
2
3
4
5
B
D
6
7
8
答 案 呈 现
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9
A
D
C
B
【2021·齐齐哈尔】一把直尺与一块三角尺如图放置，若∠1＝47°，则∠2的度数为( )
A．43° B．47°
C．133° D．137°
D
1
2
【2021·聊城】如图，AB∥CD∥EF，若∠ABC＝130°，∠BCE＝55°，则∠CEF的度数为( )
A．95° B．105° C．110° D．115°
B
【2021·娄底】如图，AB∥CD，点E，F在AC上，已知∠CED＝70°，∠BFC＝130°，则∠B＋∠D的度数为( )
A．40° B．50°
C．60° D．70°
3
C
4
如图，若∠A＋∠ABC＝180°，则下列结论正确的是( )
A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠3
C．∠1＝∠3 D．∠2＝∠4
D
【2020·南通】如图，已知AB∥CD，∠A＝54°，∠E＝18°，则∠C的度数是( )
A．36° B．34° C．32° D．30°
A
5
如图，过点E作EF∥AB，则EF∥CD.
因为EF∥AB，所以∠AEF＝∠A＝54°.
所以∠CEF＝∠AEF－∠AEC＝54°－18°＝36°.
又因为EF∥CD，所以∠C＝∠CEF＝36°.
【点拨】
【2021·东营】如图，AB∥CD，EF⊥CD于点F，若∠BEF＝150°，则∠ABE＝( )
A．30° B．40°
C．50° D．60°
6
D
7
【2021 荆州】阅读下列材料，①～④步中数学依据错误的是( )
B
A.① B．② C．③ D．④
8
如图，已知AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，∠E＝∠3.AD是∠BAC的平分线吗？若是，请说明理由．
解：AD是∠BAC的平分线．理由如下：
因为AD⊥BC，EG⊥BC，所以EG∥AD.
所以∠3＝∠1，∠E＝∠2.
又因为∠E＝∠3，所以∠1＝∠2，
即AD是∠BAC的平分线．
9
【2020 武汉】如图，直线EF分别与直线AB，CD相交于点E，F.EM平分∠BEF，FN平分∠CFE，且EM∥FN.试说明AB∥CD.
解：因为EM∥FN，所以∠FEM＝∠EFN.
因为EM平分∠BEF，FN平分∠CFE，
所以∠BEF＝2∠FEM，∠CFE＝2∠EFN.
所以∠FEB＝∠EFC. 所以AB∥CD.(共13张PPT)
相交线与平行线
北师版 七年级下
第2章 相交线与平行线
2.1.1
目标一 对顶角及其性质
C
C
1
2
3
4
5
C
C
6
7
8
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60
9
40或75
C
【教材P38平行线定义变式】在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．平行或相交 D．平行、垂直或相交
C
1
2
如图，将一张长方形纸对折三次，则产生的折痕所在直线间的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．平行或相交 D．无法确定
C
【点拨】
第一、二条折痕所在直线平行，第一、二条折痕与第三条折痕所在直线相交．
下列图形中，∠1和∠2不是对顶角的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
3
C
【教材P40习题T1变式】【2021 桂林】如图，直线a，b相交于点O，∠1＝110°，则∠2的度数是( )
A．70° B．90° C．110° D．130°
C
4
【教材P40习题T3变式】【2021·益阳】如图，AB与CD相交于点O，OE是∠AOC的平分线，且OC恰好平分∠EOB，则∠AOD＝________度．
60
5
两条直线相交所成的四个角中，有两个角分别是(x－20)°和(3x－100)°，则x＝________．
6
40或75
7
【教材P38议一议改编】如图，直线AB，CD，EF相交于点O，则∠1＋∠2＋∠3的度数为( )
A．90° B．150°
C．180° D．210°
C
8
如图，已知直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，若∠3?:∠2＝8?:1，求∠AOC的度数．
解：因为OE平分∠BOD，所以∠1＝∠2.
因为∠3?:∠2＝8?:1，∠3＋∠1＋∠2
＝180°，所以8∠2＋2∠2＝180°，
即∠2＝18°.
所以∠AOC＝∠BOD＝2×18°＝36°.
9
先阅读，然后解答．
问题：两条直线将平面分成几部分？
解：如图①，两条直线平行时，它们将平面分成三部分；如图②，两条直线不平行时，它们将平面分成四部分．
根据上述内容，解答下面的问题．
(1)上面问题的解题过程应用了________的数学思想；(填“转化”“分类”或“整体处理”)
分类
(2)三条直线将平面分成几部分？
解：如图，三条直线可以将平面分成四或六或七部分．(共15张PPT)
用同位角、第三直线 判定两直线平行
北师版 七年级下
第2章 相交线与平行线
2.2.1
目标三 平行线的唯一性、传递性
C
1
2
3
4
5
B
B
6
7
8
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9
B
D
10
【教材P45做一做变式】已知直线AB和一点P，过点P画直线AB的平行线，可画( )
A．1条 B．0条
C．1条或0条 D．无数条
C
1
2
在同一平面内，直线m，n相交于点O，且l∥n，则直线l和m的关系是( )
A．平行 B．相交
C．重合 D．以上都有可能
B
如图，经过直线a外一点O的4条直线中，与直线a相交的直线至少有( )
A．4条 B．3条
C．2条 D．1条
B
3
如图，MN∥AB，NC∥AB，则点M，C，N在同一条直线上．理由
________________________________________________．
经过已知直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行
4
互不重合的三条直线a，b，c，若a∥c，b∥c，则a与b的位置关系是( )
A．a⊥b B．a∥b
C．a⊥b或a∥b D．无法确定
B
5
若直线a∥b，b∥c，则a∥c的依据是( )
A．平行公理
B．等量代换
C．等式的性质
D．平行于同一条直线的两条直线平行
6
D
【教材P46随堂练习T3变式】如图，AB∥CD，过点E画EF∥AB，则EF与CD的位置关系是______，理由是___________________________________
7
EF∥CD
平行于同一条直线的两条直线平行
8
【教材P47习题T5变式】如图，平面内有A，B，C三点，且三点不在同一条直线上，过这三点画两条平行线，这样的平行线能画几种？画图说明．
解：能画三种，如图所示．
9
如图，(1)过BC上一点P画AB的平行线交AC于T；
(2)过点C画MN∥AB；
(3)直线PT，MN具有何种位置关系？试说明理由．
(1)解：如图.
(2)解：如图.
(3)解：PT∥MN，理由如下：
因为PT∥AB，MN∥AB，所以PT∥MN.
如图，已知a，b，c三条直线被直线d所截，且a∥b，∠1＝∠2，试说明：b∥c.
解：如图．因为∠1＝∠2，∠1＝∠3，所以∠3＝∠2.
所以a∥c.
又因为a∥b，
所以b∥c.
10
