2021-2022学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第二册第四章 指数函数、对数函数与幂函数 期末培优检测卷

第四章 指数函数、对数函数与幂函数 期末培优检测卷
一、单选题
1．已知函数，，若，，对任意的，总存在，使得，则实数b的取值范围是（ ）
A．[1，7] B．[5，9] C．[4，6] D．[5，7]
2．已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知且．给出下列不等式：①；②；③；④．其中，恒成立的不等式的个数为（ ）
A．4； B．3； C．2； D．1．
4．若函数在区间上有零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数是上的偶函数，当，且时，有．设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
6．用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算f(0.64)<0，f(0.72)>0，f(0.68)<0，则函数的一个精确度为0.1的正实数零点的近似值为（ ）
A．0.9 B．0.7 C．0.5 D．0.4
7．如果一个点是一个指数函数与一个对数函数的图象的公共点，那么称这个点为“好点”.在下面的五个点M，N，P，Q，G中，可以是“好点”的个数为　（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
8．已知 则（ ）
A． B．2 C． D．
二、多选题
9．对于给定的正数k，定义函数．若对于函数的定义域内的任意实数x，恒有，则（ ）
A．函数在上单调递增
B．函数在上单调递减
C．的最大值为
D．的最小值为
10．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的高斯函数为，表示不超过x的最大整数，例如：，.已知函数，，则下列叙述中正确的是（ ）
A．是偶函数 B．是奇函数 C．在R上是增函数 D．的值域是
11．已知函数，，且，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
12．已知定义在R上的偶函数满足，且当时，f（x）是减函数，则下列四个命题中正确的是（ ）
A．
B．直线为函数图象的一条对称轴
C．函数f(x)在区间[-2，7]上存在2个零点
D．若在区间[－4，0]上的根为，，则
三、填空题
13．已知，设，若，则的取值范围是______．
14．若函数有且仅有个零点，则实数______．
15．函数在区间[1，2]上的最大值为______．
16．已知a、b为正实数且，函数的定义域为．若函数在区间上的最大值为5，最小值为2，则函数在区间上的最大值与最小值的和为______．
四、解答题
17．已知．
（1）判断函数的奇偶性和单调性（不必证明）；
（2）若不等式对一切恒成立，求实数m的取值范围．
18．若函数满足：对任意正数，，都有，，且，则称函数为“函数”．
（1）判断函数与是否是“函数”；
（2）若函数为“函数”，求实数的取值范围；
（3）若函数为“函数”，且，求证：对任意，都有．
19．已知函数的定义域为，其表达式为，且同时满足以下两个条件：（1）对任意的，总有成立；（2）当，且时，总有成立．求实数b的值组成的集合．
20．设正整数a、b、c满足：对任意的正整数n，都有成立．
（1）求证：；
（2）求出所有满足题设的a、b、c的值．
21．已知函数是定义域上的奇函数，且．
（1）求函数的解析式，判断函数在上的单调性并证明；
（2）令，若函数在上有两个零点，求实数的取值范围；
（3）令，若对，都有，求实数的取值范围．
22．已知函数.
（1）求函数的定义域并证明该函数是奇函数；
（2）若当时，，求函数的值域.
参考答案
1．D
【分析】
求得在区间上的值域，求得在区间上的值域，由此列不等式组来求得的取值范围.
【解析】函数在[1，3]上单调递增，所以．函数的图象开口向下，对称轴为直线，所以g（x）在[1，3]上单调递减，所以．因为对任意的，总存在，使得，所以，所以，解得．
故选：D
2．A
【分析】
先求出在上的取值范围，再利用分段函数的值域进行求解．
【解析】因为在上单调递增，
所以当时，，
若函数的值域为R，
则，
解得．
故选：A.
3．B
【分析】
由指数函数的性质可判断①④，由幂函数的性质可判断③，取特值可判断②
【解析】由于指数函数在实数集R上为严格增函数，
因此当且时，，①成立；
由于，时，，因此②不成立；
由于幂函数在实数集R上为严格增函数，
因此当且时，，③成立；
由于指数函数在实数集R上为严格减函数，
因此当且时，，④成立．
综上所述，有3个不等式恒成立，
故选：B．
4．C
【分析】
探讨函数的单调性，再借助零点存在定理列出不等式求解即得.
【解析】函数f(x)定义域是，
因函数，在上都是单调递增的，而，
当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，当时，无零点，
于是得当时，函数在上连续且单调，
因函数在区间上有零点，则由零点存在定理有：，即，解得，
所以实数a的取值范围是.
故选：C
5．C
【分析】
先判断的单调性，再由偶函数的性质结合得出.
【解析】由题意可知在上单调递减，且，，．又，，，且，故，所以，即．
故选：C
6．B
【分析】
利用二分法求函数零点的近似值的条件及方法分析判断即得.
【解析】依题意，函数的零点在(0.68，0.72)内，四个选项中只有0.7，且满足|0.72-0.68|<0.1，
所以所求的符合条件的近似值为0.7.
故选：B
7．C
【分析】
根据指数函数、对数函数的性质即可得出选项.
【解析】设此指数函数为，显然不过点M、P，
若设对数函数为，显然不过N点，
故选：C.
8．B
【分析】
根据分段函数解析式代入计算可得；
【解析】解：因为，所以，所以
故选：B
9．AD
【分析】
由题知函数的定义域为，进而根据复合函数单调性可得在上单调递增，再换元法求函数的最值得，进而判断CD.
【解析】解：由题意，知函数的定义域为．令，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又在定义域内单调递增，
所以在上单调递增，A正确，B错误．
易知，则，所以，
分析知，因此，D正确，C错误.
故选：AD
10．BCD
【分析】
利用奇偶函数的定义判断函数的奇偶性判断选项AB的真假；利用复合函数的单调性原理判断函数的单调性判断选项C的真假；求出函数的值域判断选项D的真假.
【解析】解：∵，∴，∴f（x）是奇函数，A错误，B正确；
∵函数，函数是增函数，∴在R上是增函数，C正确；
∵，∴，∴，∴当时，，当时，，当时，，∴函数的值域为{-1，0}，D正确．
综上可知，B，C，D正确．
故选：BCD
11．AD
【分析】
先利用基本函数的单调性判定函数的单调性，进而判定、的取值范围，再利用函数和的单调性及判定和的大小，再利用指数函数和对数函数的图象的对称性判定.
【解析】因为、、在其定义域内都是增函数，
所以、在其定义域内都是增函数.
因为，，
且，所以，
又，，
且，所以，
所以，即选项A错误；
因为，函数、在其定义域内均为增函数，
所以，
所以，
即选项B正确，选项D错误；
令，，
则，，
由于，的图象都和直线相交（如图所示），
且函数和函数的图象关于直线对称，
直线和直线的交点为，
所以，即，即选项C正确.
故选：AD.
12．AB
【分析】
根据给定条件，逐一分析各个选项中对应条件即可判断作答.
【解析】在R上的偶函数满足，
令，则，即，A正确；
因，则有，即，
于是得直线是函数图象的一条对称轴，B正确；
因，则当时，，而，
则函数f(x)在区间[-2，7]上至少存在3个零点，C不正确；
由于函数f(x)的图象关于直线对称，则，即，D不正确.
故选：AB
13．
【分析】
作出函数在区间（0，1）与上的图象，根据图象可知，，，
所以由可得，再根据消元思想得，令，构造函数，即可根据二次函数的性质求出范围．
【解析】作出函数在区间（0，1）与上的图象，如图所示：
若，满足，则必有，，且，即，所以，，令，，则．设，可得，因此所求取值范围是．
故答案为：．
14．或
【分析】
令，作出函数的图象，由题意可知，直线与函数的图象有个交点，数形结合可得出实数的值.
【解析】令，
因为函数有且仅有个零点，所以函数与函数的图象共有个公共点，
当时，即当或时，，
当时，即当时，，
作出函数与函数的图象如下图所示，
由图可知，当或时，函数与函数的图象共有个公共点，
即有且仅有个零点．
故答案为：或.
15．##
【分析】
首先判断函数的单调性，即可求出函数的最大值；
【解析】解：因为、、在上都为增函数，所以在上单调递增，所以当时取得最大值，即
故答案为：
16．7
【分析】
由幂函数的性质求解即可
【解析】令，．
由幂函数的性质，可知的图像关于原点对称或者关于y轴对称．
又因为函数在区间上的最大值为5，最小值为2，
所以，当的图像关于原点对称时，
在区间上的最大值为7，最小值为4，
在区间上的最大值为，最小值为，
于是在区间上的最大值为，最小值为．
所以在区间上的最大值与最小值的和为；
同理可得，当的图像关于y轴对称时，
在区间上的最大值为5，最小值为2．
所以在区间上的最大值与最小值的和为；
因此，在区间上的最大值与最小值的和为7或．
故答案为：7或．
17．
（1）函数是R上的奇函数，且在R上是严格增函数
（2）
【分析】
（1）首先求出函数的定义域，再根据奇偶性的定义判断，由指数函数的单调性及单调性的性质判断函数的单调性；
（2）依题意可得，再由函数的单调性可得对一切恒成立，令，设根据二次函数的性质求出函数的最大值，即可求出参数的取值范围；
（1）
解：因为定义域为，所以，所以为奇函数，又在定义域上单调递增，在定义域上单调递减，所以在定义域上单调递增；
即函数是R上的奇函数，且在R上是严格增函数．
（2）
解：因为是R上的奇函数且为严格增函数，所以由，可得，即对一切恒成立．令，，设，所以，即，解得．
18．
（1）是“函数”， 不是“函数”
（2）
（3）证明见解析
【分析】
（1）利用“函数”的定义判断两个函数即可求解；
（2）由题意可得对任意恒成立，可得，由可得求出即可求解；
（3）根据定义，令可得，对于任意的正整数与正数都有，进而可得出结论.
（1）
对于函数，当，时，，，
又，
所以，故是“函数”．
对于函数，当时，，
故不是“函数”．
（2）
由是“函数”，可知，
即对任意恒成立，
当时，，可得对任意恒成立，所以，
当，时，由，可得，
故，
又，故，
由，即对任意正数，恒成立，
可得，即．
综上所述实数的取值范围是．
（3）
由函数为“函数”，可知对任意正数，，都有，，
且，
令，可得，即，
故对任意正整数与正数，都有，
对任意，可得，，
又因为，
所以，
同理，
所以．
19．
【分析】
由题意可知即在时恒成立，．
转化为求最值即可
【解析】因为对任意的，总有，
即在时恒成立，从而．
令，可得
．
当，且时，，所以．
综上所述，实数b的值组成的集合为．
20．
（1）证明见解析
（2）
【分析】
（1）由题知，进而得，再判断符号即可证明；
（2）不妨设，则由题得，再分和两种情况讨论求解即可.
（1）
证明：当时，，则．
因为，所以，
所以，即成立．
（2）
解：不妨设，易得．
若，则，，故，解得，与n为任意的正整数矛盾．
若，则．故，，从而．
又因为，所以或2．
当时，，而，矛盾，故舍去；
当时，，从而，，
所以
21．（1）；函数在上单调递减，在上单调递增，证明见解析；（2）；（3）
【分析】
（1）由是奇函数，可知，，进而列出关系式，求出，即可得到函数的解析式，然后利用定义法，可判断并证明函数在上的单调性；
（2）由函数在上有两个零点，整理得方程在上有两个不相等的实数根，进而可得到，求解即可；
（3）由对任意的，都有恒成立，可得，求出，进而可求出的取值范围.
【解析】（1），且是奇函数，，
，解得，
．
函数在上单调递减，在上单调递增，
证明如下：任取，，且，
则，
，且，
，，
∴，
，即，
函数在上单调递减.
同理可证明函数在上单调递增．
（2）函数在上有两个零点，即方程在上有两个不相等的实数根，
所以在上有两个不相等的实数根，
则，解得．
（3）由题意知，
令，，
由（1）可知函数在上单调递减，在上单调递增，
，
函数的对称轴方程为，
函数在上单调递增，
当时，取得最小值，；
当时，取得最大值，.
所以，，
又对任意的，都有恒成立，
，
即，
解得，又，
的取值范围是．
【点睛】
方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
22．（1）或，证明见解析；（2）.
【分析】
（1）本题首先可通过求解得出函数的定义域，然后通过证得函数是奇函数；
（2）本题可根据题意将函数转化为，然后通过当时即可求出函数的值域.
【解析】（1）因为函数，
所以，解得或，
则函数的定义域为或，且定义域关于原点对称，
因为，
所以函数为奇函数.
（2），
当时，，函数是增函数，
故当时，，函数的值域为.
【点睛】
方法点睛：判断或证明函数奇偶性，首先要判断函数的定义域是否关于原点对称，然后通过判断函数是奇函数或者通过判断函数是偶函数.