椭圆小题集（含解析）
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文档简介
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一、选择题：
定义、离心率
弦长、定值、最值
6.已知点是椭圆的两个焦点，点是该椭圆上的一个动点，那么的最小值是（ ）
（A） （B） （C） （D）
7.如图，已知A，B分别为椭圆的右顶点和上顶点，直线∥AB，与x轴、y轴分别交于C，D两点，直线CE，DF为椭圆的切线，则CE与DF的斜率之积kCE·kDF等于（ ）
A． B． C． D．
8.已知椭圆M： （a＞b＞0）的一个焦点为F（1，0），离心率为 ，过点F的动直线交M于A，B两点，若x轴上的点P（t，0）使得∠APO=∠BPO总成立（O为坐标原点），则t=（ ）
A、2
B、
C、
D、﹣2
9.已知F1 ， F2分别是椭圆mx2+y2=m（0＜m＜1）的左、右焦点，P为椭圆上任意一点，若 的最小值为 ，则椭圆的离心率是（ ）
A、
B、
C、
D、
10.椭圆 + =1的左焦点为F，直线x=a与椭圆相交于点M、N，当△FMN的周长最大时，△FMN的面积是（ ）
A、
B、
C、
D、
11.已知F1 ， F2是椭圆 的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF2与圆x2+y2=b2相切于点Q，且点Q为线段PF2的中点，则 （其中e为椭圆C的离心率）的最小值为（ ）
A、
B、
C、
D、
12.设F1 ， F2是椭圆 （0＜b＜2）的左、右焦点，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若|AF2|+|BF2|最大值为5，则椭圆的离心率为（ ）
A、
B、
C、
D、
13.已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，且焦点与椭圆 的焦点相同，离心率为 ，若双曲线的左支上有一点 到右焦点 的距离为 ， 为 的中点， 为坐标原点，则 等于（ ）
A、
B、
C、
D、
14.已知圆x2+y2﹣2x﹣4y+a=0上有且仅有一个点到直线3x﹣4y﹣15=0的距离为1，则实数a的取值情况为（ ）
A、（﹣∞，5）
B、﹣4
C、﹣4或20
D、﹣11
15.已知椭圆E： =1（a＞b＞0）的左焦点F（﹣3，0），P为椭圆上一动点，椭圆内部点M（﹣1，3）满足PF+PM的最大值为17，则椭圆的离心率为（ ）
A、
B、
C、
D、
16.设P为椭圆上的动点，则P到直线x+y﹣6=0的最小距离为（ ）
A、1
B、2
C、
D、
17.已知椭圆+=1的离心率为， 椭圆上一点P到两焦点距离之和为12，则b=（ ）
A、8
B、6
C、5
D、4
标准方程、焦点三角形
18．椭圆＋＝1的焦距为4，则m等于( )
A．4 B．8 C．4或8 D．12
19．已知椭圆＋＝1(m>0)的左焦点为F1(－4,0)，则m等于( )
A．2 B．3 C．4 D．9
20.已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )
A.－＝1 B.＋＝1 C.－＝1 D.＋＝1
21.设F1、F2分别是椭圆＋y2＝1的左、右焦点，若椭圆上存在一点P，使(＋)·＝0(O为坐标原点)，则△F1PF2的面积是( )
A．4 B．3 C．2 D．1
22．(2016·贵州七校联考)以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为( )
A．1 B. C．2 D．2
23．椭圆＋＝1的左右焦点为F1，F2，一直线过F1交椭圆于A、B两点，则△ABF2的周长为( )
A．32 B．16 C．8 D．4
24．方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是( )
A．(－3，－1) B．(－3，－2) C．(1，＋∞) D．(－3,1)
25．若椭圆的两焦点为(－2,0)，(2,0)，且该椭圆过点，则该椭圆的方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1
26．设F1、F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上一点，且P到两个焦点的距离之差为2，则△PF1F2是( )
A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．斜三角形 D．直角三角形
面积、中点弦
27.直线被椭圆所截得的弦的中点坐标是( )
A. B. C. D.
28.已知椭圆E：的右焦点为，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为( )
A. B.
C. D.
29.设分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在一点P，使 (O为坐标原点)，则的面积是( )
A．4 B．3 C．2 D．1
30. AB是过椭圆的中心的弦, 是椭圆的右焦点,则△ABF面积的最大值为( )
A. B. C. D.
31.设分别为椭圆的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P，Q两点，当四边形面积最大时，的值等于（ ）。
A.0 B.2 C.4 D.-2
二、填空题：
定义、离心率
EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT
弦长、定值、最值
37.已知椭圆C:+=1,点M与C的焦点不重合.若M关于C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点在C上,则|AN|+|BN|=________.
38.已知F1、F2为椭圆+=1的两个焦点, 过F1的直线交椭圆于A、B两点. 若|F2A|+|F2B|=12, 则|AB|= .
标准方程、焦点三角形
39．如果方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是________．
40．已知点P是椭圆＋＝1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为__________________．
41. 已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且⊥.若△PF1F2的面积为9，则b＝________.
42．若椭圆＋＝1(a>0，b>0)的焦点在x轴上，过点(2,1)作圆x2＋y2＝4的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程为________________．
43．(2017·石家庄质检)椭圆＋y2＝1的左，右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上一动点，若∠F1PF2为钝角，则点P的横坐标的取值范围是________________．
44．椭圆＋＝1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上．若|PF1|＝4，则|PF2|＝________，∠F1PF2的大小为________．
45．P是椭圆＋＝1上的点，F1和F2是该椭圆的焦点，则k＝|PF1|·|PF2|的最大值是______，最小值是______．
面积、中点弦
46.过椭圆的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点,O为坐标原点,则的面积为________.
47.已知点P是椭圆上一点，且在轴上方，分别是椭圆的左、右焦点，直线的斜率为，则的面积为 .
48.过椭圆内一点，且被这点平分的弦所在直线的方程是____________．
49.已知(4,2)是直线被椭圆所截得的线段的中点，则的方程是________________．
50.已知是椭圆C:的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且.若的面积为9，则＝________.
答案
参考答案：
一、选择题
定义、离心率
1.【答案】B
【解析】
2.【答案】B
【解析】
3.【答案】A
【解析】
4.【答案】D
【解析】
5.【答案】12
【解析】
弦长、定值、最值
6.【答案】 C
【解析】
椭圆的方程化为标准方程是，所以，，又坐标原点是得中点，所以，所以.设，所以，则，所以==，又在椭圆中有，所以，所以，所以，所以，所以的最小值是1，所以的最小值是.
7.【答案】C
【解析】
，，则，由于直线∥AB，所以直线的斜率为，设，则，很明显直线CE的斜率存在，则直线CE的方程是，直线CE的方程与椭圆的方程联立得，消去得，所以△=，整理得，同理可得直线DF的斜率，所以.
8.【答案】A
【解析】由题意可知c=1，椭圆的离心率e= = ，则a= ，b2=a2﹣c2=1， ∴椭圆的标准方程： ，
当直线AB斜率不存在时，t可以为任意实数，
当直线AB的斜率存在时，设AB的方程为y=k（x﹣1），设A（x1 ， y1），B（x1 ， y1），
则 ，整理得：（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，
则x1+x2= ，x1x2= ，
由∠ APO=∠ BPO，则直线PA与PB的斜率之和为0，
则 + =0，整理得：2x1x2﹣（t+1）（x1+x2）+2t=0，
∴2× ﹣（t+1）× +2t=0，
解得：t=2，
故选：A．
9.【答案】B
【解析】令| |=s，| |=t， 则 为 ，其最小值为 ，
则 的最小值为 ．
由椭圆mx2+y2=m，得 ，
∵0＜m＜1，∴椭圆的长轴长为2．
∴ ，
∴ ，
由 ，解得s= 或s=3（舍）．
由对勾函数的单调性可知，当s有最大值为a+c= 时， 有最小值为 ，
即1+c= ，得c= ．
∴椭圆的离心率e= ．
故选：B．
10.【答案】C
【解析】设右焦点为F′，连接MF′，NF′，∵|MF′|+|NF′|≥|MN|，
∴当直线x=a过右焦点时，△FMN的周长最大．
由椭圆的定义可得：△FMN的周长的最大值=4a=4 ．
c= =1．
把c=1代入椭圆标准方程可得： =1，解得y=± ．
∴此时△FMN的面积S= = ．
故答案为：C．
11.【答案】C
【解析】如图所示，由切线的性质可得：OQ⊥PF2 ． 又点O为线段F1F2的中点，Q为线段PF2的中点，
∴OQ∥PF1 ， ∴PF1⊥PF2 ．
∴|PF1|=2|OQ|=2b，|PF2|=2a﹣2b．
在Rt△PF1F2中，（2b）2+（2a﹣2b）2=（2c）2 ，
化为：b2+（a﹣b）2=c2=a2﹣b2 ，
化为：b= ．
∴c2=a2﹣b2= [MISSING IMAGE: , ]= ．
∴ = = = ≥ = ，当且仅当a2= 时取等号．
∴ （其中e为椭圆C的离心率）的最小值为 ．
故选：C．
12.【答案】B
【解析】由0＜b＜2可知，焦点在x轴上，
∵过F1的直线l交椭圆于A，B两点，
则|BF2|+|AF2|+|BF1|+|AF1|=2a+2a=4a=8
∴|BF2|+|AF2|=8﹣|AB|．
当AB垂直x轴时|AB|最小，|BF2|+|AF2|值最大，
此时|AB|=b2 ， 则6=8﹣b2 ，
解得b= ，
则椭圆的离心率e= = = ，
故选B．
13.【答案】D
【解析】由题意可得 ，则 ，故双曲线的方程为 . 如图，由双曲线的定义可知 ，由三角形中位线知识可知 ，故选 D.
14.【答案】B
【解析】∵圆x2+y2﹣2x﹣4y+a=0上有且仅有一个点到直线3x﹣4y﹣15=0的距离为1，
∴圆心（1，2）半径r= ，
∴圆心（1，2）到直线3x﹣4y﹣15=0的距离d=r+1，
∴d= = +1，
解得a=﹣4．
故选：B．
15.【答案】A
【解析】设右焦点为Q，
由F（﹣3，0），可得Q（3，0），
由椭圆的定义可得|PF|+|PQ|=2a，
即|PF|=2a﹣|PQ|，
则|PM|+|PF|=2a+（|PM|﹣|PQ|）≤2a+|MQ|，
当P，M，Q共线时，取得等号，即最大值2a+|MQ|，
由|MQ|= =5，可得2a+5=17，
所以a=6，
则e= = = ，
故选：A．
16.【答案】C
【解析】设直线x+y﹣C=0与椭圆相切
联解消去x，得25y2﹣18Cy+9C2﹣144=0
∴△=（﹣18C）2﹣4×25×（9C2﹣144）=0，解之得C=5或﹣5
∴与直线x+y﹣6=0平行且与椭圆相切的直线方程为x+y±5=0
其中与直线x+y﹣6=0距离较近的是x+y﹣5=0，且距离为=，
∴P到直线x+y﹣6=0的最小距离为，
故选C．
17.【答案】D
【解析】由题意可得e==，
由椭圆上一点P到两焦点距离之和为12，
可得2a=12，即有a=6，
c=2， b==4，
故选：D．
标准方程、解三角形
18. 【答案】C
【解析】由题意知或
解得m＝4或m＝8.
19. 【答案】B
【解析】由题意知25－m2＝16，解得m2＝9，又m>0，所以m＝3.
20. 【答案】D
【解析】设圆M的半径为r，则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16>8＝|C1C2|，M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且 2a＝16,2c＝8，故所求的轨迹方程为＋＝1.
21. 【答案】 D
【解析】∵(＋)·＝(＋)·＝·＝0，∴PF1⊥PF2，∠F1PF2＝90°.
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m＋n＝4，m2＋n2＝12,2mn＝4，∴S△F1PF2＝mn＝1.
22. 【答案】D
【解析】 设a，b，c分别为椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距，
依题意知，当三角形的高为b时面积最大，所以×2cb＝1，bc＝1，
而2a＝2≥2＝2(当且仅当b＝c＝1时取等号)，故选D.
23. 【答案】B
【解析】[由椭圆方程知2a＝8，由椭圆的定义知|AF1|＋|AF2|＝2a＝8，
|BF1|＋|BF2|＝2a＝8，所以△ABF2的周长为16.]
24．【答案】B
【解析】 [|a|－1>a＋3>0 －325．【答案】D
【解析】 [椭圆的焦点在x轴上，排除A、B，又过点验证即可．]
26．【答案】D
【解析】[由椭圆的定义，知|PF1|＋|PF2|＝2a＝8.由题可得||PF1|－|PF2||＝2，则|PF1|＝5或3，|PF2|＝3或5.又|F1F2|＝2c＝4，∴△PF1F2为直角三角形．]
面积、中点弦
27.【答案】 C
【解析】设直线与椭圆的交点为,AB的中点为。则
两式相减得(x1-x2)(x1+x2)+(y1-y2)(y1+y2)=0,
∴，
∴,又,∴。∴中点坐标为
28.【答案】D
【解析】因为直AB线过点和点(1，－1)，所以直线AB的方程为，代入椭圆方程消去y，得，所以AB的中点的横坐标为，即，又，所以，，选D.
29.【答案】 D
【解析】∵，
∴.
设,
则，
∴.
30.【答案】 D
【解析】,设.∵,∴的最大值为,故选D.
31.【答案】 D
【解析】由题意，所以，因为（为边上的高），当时，有最大值，此时，.所以.
故本题正确答案为D。
二、填空题：
定义、离心率
32.【答案】12
【解析】
EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT
33.【答案】12
【解析】
34.【答案】
【解析】
35.【答案】
【解析】
36.【答案】
【解析】
弦长、定值、最值
37.【答案】12
【解析】
由椭圆方程知椭圆C的左焦点为F1(-,0),右焦点为F2(,0).则M(m,n)关于F1的对称点为A(-2-m,-n),关于F2的对称点为B(2-m,-n),设MN中点为(x,y),所以N(2x-m,2y-n).所以|AN|+|BN|=+
=2[+],
故由椭圆定义可知|AN|+|BN|=2×6=12.
38.【答案】8
【解析】
由椭圆的定义得
两式相加得|AB|+|AF2|+|BF2|=20, 即|AB|+12=20, ∴ |AB|=8.
标准方程、焦点三角形
39.【答案】 (0,1)
【解析】 将椭圆方程化为＋＝1，因为焦点在y轴上，则>2，即k<1，又k>0，所以040. 【答案】 或
【解析】 设P(x，y)，由题意知c2＝a2－b2＝5－4＝1，
所以c＝1，则F1(－1,0)，F2(1,0)，由题意可得点P到x轴的距离为1，所以y＝±1，把y＝±1代入＋＝1，得x＝±，又x>0，所以x＝，所以P点坐标为或.
41.【答案】 3
【解析】 设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则∴2r1r2＝(r1＋r2)2－(r＋r)
＝4a2－4c2＝4b2，又∵S△PF1F2＝r1r2＝b2＝9，∴b＝3.
42.【答案】 ＋＝1
【解析】 设切点坐标为(m，n)，则·＝－1，即m2＋n2－n－2m＝0.
∵m2＋n2＝4，∴2m＋n－4＝0，即直线AB的方程为2x＋y－4＝0.
∵直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，∴2c－4＝0，b－4＝0，解得c＝2，b＝4，
∴a2＝b2＋c2＝20，∴椭圆方程为＋＝1.
43.【答案】 (－，)
【解析】 设椭上一点P的坐标为(x，y)，则＝(x＋，y)，＝(x－，y)．∵∠F1PF2为钝角，∴·<0，即x2－3＋y2<0，①∵y2＝1－，代入①得x2－3＋1－<0，x2<2，∴x2<.解得－44．【答案】2 120°
【解析】
∵|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，∴|PF2|＝6－|PF1|＝2.
在△F1PF2中，cos∠F1PF2＝＝＝－，∴∠F1PF2＝120°.
45．【答案】4 3
【解析】 设|PF1|＝x，则k＝x(2a－x)，因a－c≤|PF1|≤a＋c，即1≤x≤3.
∴k＝－x2＋2ax＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，∴kmax＝4，kmin＝3.
面积、中点弦
46.【答案】
【解析】由已知椭圆，右焦点坐标为，故直线，与椭圆联立.
设，
可得
利用,求得：.
47.【答案】
【解析】椭圆即，所以右焦点，
直线为，代入椭圆方程，消去得
因为，所以，即点的纵坐标，
所以.
48.【答案】
【解析】设直线与椭圆交两点，
由于A,B两点均在椭圆上，
故，
两式相减得
又∵P是A,B的中点，∴，
∴.
∴直线AB的方程为．即.
49.【答案】
【解析】设直线与椭圆相交于，
则，两式相减得.
又.所以，
故直线的方程为，即.
50.【答案】
【解析】 由椭圆焦点三角形的面积公式可知,
所以
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一、选择题：
定义、离心率
弦长、定值、最值
6.已知点是椭圆的两个焦点，点是该椭圆上的一个动点，那么的最小值是（ ）
（A） （B） （C） （D）
7.如图，已知A，B分别为椭圆的右顶点和上顶点，直线∥AB，与x轴、y轴分别交于C，D两点，直线CE，DF为椭圆的切线，则CE与DF的斜率之积kCE·kDF等于（ ）
A． B． C． D．
8.已知椭圆M： （a＞b＞0）的一个焦点为F（1，0），离心率为 ，过点F的动直线交M于A，B两点，若x轴上的点P（t，0）使得∠APO=∠BPO总成立（O为坐标原点），则t=（ ）
A、2
B、
C、
D、﹣2
9.已知F1 ， F2分别是椭圆mx2+y2=m（0＜m＜1）的左、右焦点，P为椭圆上任意一点，若 的最小值为 ，则椭圆的离心率是（ ）
A、
B、
C、
D、
10.椭圆 + =1的左焦点为F，直线x=a与椭圆相交于点M、N，当△FMN的周长最大时，△FMN的面积是（ ）
A、
B、
C、
D、
11.已知F1 ， F2是椭圆 的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF2与圆x2+y2=b2相切于点Q，且点Q为线段PF2的中点，则 （其中e为椭圆C的离心率）的最小值为（ ）
A、
B、
C、
D、
12.设F1 ， F2是椭圆 （0＜b＜2）的左、右焦点，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若|AF2|+|BF2|最大值为5，则椭圆的离心率为（ ）
A、
B、
C、
D、
13.已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，且焦点与椭圆 的焦点相同，离心率为 ，若双曲线的左支上有一点 到右焦点 的距离为 ， 为 的中点， 为坐标原点，则 等于（ ）
A、
B、
C、
D、
14.已知圆x2+y2﹣2x﹣4y+a=0上有且仅有一个点到直线3x﹣4y﹣15=0的距离为1，则实数a的取值情况为（ ）
A、（﹣∞，5）
B、﹣4
C、﹣4或20
D、﹣11
15.已知椭圆E： =1（a＞b＞0）的左焦点F（﹣3，0），P为椭圆上一动点，椭圆内部点M（﹣1，3）满足PF+PM的最大值为17，则椭圆的离心率为（ ）
A、
B、
C、
D、
16.设P为椭圆上的动点，则P到直线x+y﹣6=0的最小距离为（ ）
A、1
B、2
C、
D、
17.已知椭圆+=1的离心率为， 椭圆上一点P到两焦点距离之和为12，则b=（ ）
A、8
B、6
C、5
D、4
标准方程、焦点三角形
18．椭圆＋＝1的焦距为4，则m等于( )
A．4 B．8 C．4或8 D．12
19．已知椭圆＋＝1(m>0)的左焦点为F1(－4,0)，则m等于( )
A．2 B．3 C．4 D．9
20.已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )
A.－＝1 B.＋＝1 C.－＝1 D.＋＝1
21.设F1、F2分别是椭圆＋y2＝1的左、右焦点，若椭圆上存在一点P，使(＋)·＝0(O为坐标原点)，则△F1PF2的面积是( )
A．4 B．3 C．2 D．1
22．(2016·贵州七校联考)以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为( )
A．1 B. C．2 D．2
23．椭圆＋＝1的左右焦点为F1，F2，一直线过F1交椭圆于A、B两点，则△ABF2的周长为( )
A．32 B．16 C．8 D．4
24．方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是( )
A．(－3，－1) B．(－3，－2) C．(1，＋∞) D．(－3,1)
25．若椭圆的两焦点为(－2,0)，(2,0)，且该椭圆过点，则该椭圆的方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1
26．设F1、F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上一点，且P到两个焦点的距离之差为2，则△PF1F2是( )
A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．斜三角形 D．直角三角形
面积、中点弦
27.直线被椭圆所截得的弦的中点坐标是( )
A. B. C. D.
28.已知椭圆E：的右焦点为，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为( )
A. B.
C. D.
29.设分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在一点P，使 (O为坐标原点)，则的面积是( )
A．4 B．3 C．2 D．1
30. AB是过椭圆的中心的弦, 是椭圆的右焦点,则△ABF面积的最大值为( )
A. B. C. D.
31.设分别为椭圆的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P，Q两点，当四边形面积最大时，的值等于（ ）。
A.0 B.2 C.4 D.-2
二、填空题：
定义、离心率
EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT
弦长、定值、最值
37.已知椭圆C:+=1,点M与C的焦点不重合.若M关于C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点在C上,则|AN|+|BN|=________.
38.已知F1、F2为椭圆+=1的两个焦点, 过F1的直线交椭圆于A、B两点. 若|F2A|+|F2B|=12, 则|AB|= .
标准方程、焦点三角形
39．如果方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是________．
40．已知点P是椭圆＋＝1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为__________________．
41. 已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且⊥.若△PF1F2的面积为9，则b＝________.
42．若椭圆＋＝1(a>0，b>0)的焦点在x轴上，过点(2,1)作圆x2＋y2＝4的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程为________________．
43．(2017·石家庄质检)椭圆＋y2＝1的左，右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上一动点，若∠F1PF2为钝角，则点P的横坐标的取值范围是________________．
44．椭圆＋＝1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上．若|PF1|＝4，则|PF2|＝________，∠F1PF2的大小为________．
45．P是椭圆＋＝1上的点，F1和F2是该椭圆的焦点，则k＝|PF1|·|PF2|的最大值是______，最小值是______．
面积、中点弦
46.过椭圆的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点,O为坐标原点,则的面积为________.
47.已知点P是椭圆上一点，且在轴上方，分别是椭圆的左、右焦点，直线的斜率为，则的面积为 .
48.过椭圆内一点，且被这点平分的弦所在直线的方程是____________．
49.已知(4,2)是直线被椭圆所截得的线段的中点，则的方程是________________．
50.已知是椭圆C:的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且.若的面积为9，则＝________.
答案
参考答案：
一、选择题
定义、离心率
1.【答案】B
【解析】
2.【答案】B
【解析】
3.【答案】A
【解析】
4.【答案】D
【解析】
5.【答案】12
【解析】
弦长、定值、最值
6.【答案】 C
【解析】
椭圆的方程化为标准方程是，所以，，又坐标原点是得中点，所以，所以.设，所以，则，所以==，又在椭圆中有，所以，所以，所以，所以，所以的最小值是1，所以的最小值是.
7.【答案】C
【解析】
，，则，由于直线∥AB，所以直线的斜率为，设，则，很明显直线CE的斜率存在，则直线CE的方程是，直线CE的方程与椭圆的方程联立得，消去得，所以△=，整理得，同理可得直线DF的斜率，所以.
8.【答案】A
【解析】由题意可知c=1，椭圆的离心率e= = ，则a= ，b2=a2﹣c2=1， ∴椭圆的标准方程： ，
当直线AB斜率不存在时，t可以为任意实数，
当直线AB的斜率存在时，设AB的方程为y=k（x﹣1），设A（x1 ， y1），B（x1 ， y1），
则 ，整理得：（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，
则x1+x2= ，x1x2= ，
由∠ APO=∠ BPO，则直线PA与PB的斜率之和为0，
则 + =0，整理得：2x1x2﹣（t+1）（x1+x2）+2t=0，
∴2× ﹣（t+1）× +2t=0，
解得：t=2，
故选：A．
9.【答案】B
【解析】令| |=s，| |=t， 则 为 ，其最小值为 ，
则 的最小值为 ．
由椭圆mx2+y2=m，得 ，
∵0＜m＜1，∴椭圆的长轴长为2．
∴ ，
∴ ，
由 ，解得s= 或s=3（舍）．
由对勾函数的单调性可知，当s有最大值为a+c= 时， 有最小值为 ，
即1+c= ，得c= ．
∴椭圆的离心率e= ．
故选：B．
10.【答案】C
【解析】设右焦点为F′，连接MF′，NF′，∵|MF′|+|NF′|≥|MN|，
∴当直线x=a过右焦点时，△FMN的周长最大．
由椭圆的定义可得：△FMN的周长的最大值=4a=4 ．
c= =1．
把c=1代入椭圆标准方程可得： =1，解得y=± ．
∴此时△FMN的面积S= = ．
故答案为：C．
11.【答案】C
【解析】如图所示，由切线的性质可得：OQ⊥PF2 ． 又点O为线段F1F2的中点，Q为线段PF2的中点，
∴OQ∥PF1 ， ∴PF1⊥PF2 ．
∴|PF1|=2|OQ|=2b，|PF2|=2a﹣2b．
在Rt△PF1F2中，（2b）2+（2a﹣2b）2=（2c）2 ，
化为：b2+（a﹣b）2=c2=a2﹣b2 ，
化为：b= ．
∴c2=a2﹣b2= [MISSING IMAGE: , ]= ．
∴ = = = ≥ = ，当且仅当a2= 时取等号．
∴ （其中e为椭圆C的离心率）的最小值为 ．
故选：C．
12.【答案】B
【解析】由0＜b＜2可知，焦点在x轴上，
∵过F1的直线l交椭圆于A，B两点，
则|BF2|+|AF2|+|BF1|+|AF1|=2a+2a=4a=8
∴|BF2|+|AF2|=8﹣|AB|．
当AB垂直x轴时|AB|最小，|BF2|+|AF2|值最大，
此时|AB|=b2 ， 则6=8﹣b2 ，
解得b= ，
则椭圆的离心率e= = = ，
故选B．
13.【答案】D
【解析】由题意可得 ，则 ，故双曲线的方程为 . 如图，由双曲线的定义可知 ，由三角形中位线知识可知 ，故选 D.
14.【答案】B
【解析】∵圆x2+y2﹣2x﹣4y+a=0上有且仅有一个点到直线3x﹣4y﹣15=0的距离为1，
∴圆心（1，2）半径r= ，
∴圆心（1，2）到直线3x﹣4y﹣15=0的距离d=r+1，
∴d= = +1，
解得a=﹣4．
故选：B．
15.【答案】A
【解析】设右焦点为Q，
由F（﹣3，0），可得Q（3，0），
由椭圆的定义可得|PF|+|PQ|=2a，
即|PF|=2a﹣|PQ|，
则|PM|+|PF|=2a+（|PM|﹣|PQ|）≤2a+|MQ|，
当P，M，Q共线时，取得等号，即最大值2a+|MQ|，
由|MQ|= =5，可得2a+5=17，
所以a=6，
则e= = = ，
故选：A．
16.【答案】C
【解析】设直线x+y﹣C=0与椭圆相切
联解消去x，得25y2﹣18Cy+9C2﹣144=0
∴△=（﹣18C）2﹣4×25×（9C2﹣144）=0，解之得C=5或﹣5
∴与直线x+y﹣6=0平行且与椭圆相切的直线方程为x+y±5=0
其中与直线x+y﹣6=0距离较近的是x+y﹣5=0，且距离为=，
∴P到直线x+y﹣6=0的最小距离为，
故选C．
17.【答案】D
【解析】由题意可得e==，
由椭圆上一点P到两焦点距离之和为12，
可得2a=12，即有a=6，
c=2， b==4，
故选：D．
标准方程、解三角形
18. 【答案】C
【解析】由题意知或
解得m＝4或m＝8.
19. 【答案】B
【解析】由题意知25－m2＝16，解得m2＝9，又m>0，所以m＝3.
20. 【答案】D
【解析】设圆M的半径为r，则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16>8＝|C1C2|，M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且 2a＝16,2c＝8，故所求的轨迹方程为＋＝1.
21. 【答案】 D
【解析】∵(＋)·＝(＋)·＝·＝0，∴PF1⊥PF2，∠F1PF2＝90°.
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m＋n＝4，m2＋n2＝12,2mn＝4，∴S△F1PF2＝mn＝1.
22. 【答案】D
【解析】 设a，b，c分别为椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距，
依题意知，当三角形的高为b时面积最大，所以×2cb＝1，bc＝1，
而2a＝2≥2＝2(当且仅当b＝c＝1时取等号)，故选D.
23. 【答案】B
【解析】[由椭圆方程知2a＝8，由椭圆的定义知|AF1|＋|AF2|＝2a＝8，
|BF1|＋|BF2|＝2a＝8，所以△ABF2的周长为16.]
24．【答案】B
【解析】 [|a|－1>a＋3>0 －3
【解析】 [椭圆的焦点在x轴上，排除A、B，又过点验证即可．]
26．【答案】D
【解析】[由椭圆的定义，知|PF1|＋|PF2|＝2a＝8.由题可得||PF1|－|PF2||＝2，则|PF1|＝5或3，|PF2|＝3或5.又|F1F2|＝2c＝4，∴△PF1F2为直角三角形．]
面积、中点弦
27.【答案】 C
【解析】设直线与椭圆的交点为,AB的中点为。则
两式相减得(x1-x2)(x1+x2)+(y1-y2)(y1+y2)=0,
∴，
∴,又,∴。∴中点坐标为
28.【答案】D
【解析】因为直AB线过点和点(1，－1)，所以直线AB的方程为，代入椭圆方程消去y，得，所以AB的中点的横坐标为，即，又，所以，，选D.
29.【答案】 D
【解析】∵，
∴.
设,
则，
∴.
30.【答案】 D
【解析】,设.∵,∴的最大值为,故选D.
31.【答案】 D
【解析】由题意，所以，因为（为边上的高），当时，有最大值，此时，.所以.
故本题正确答案为D。
二、填空题：
定义、离心率
32.【答案】12
【解析】
EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT
33.【答案】12
【解析】
34.【答案】
【解析】
35.【答案】
【解析】
36.【答案】
【解析】
弦长、定值、最值
37.【答案】12
【解析】
由椭圆方程知椭圆C的左焦点为F1(-,0),右焦点为F2(,0).则M(m,n)关于F1的对称点为A(-2-m,-n),关于F2的对称点为B(2-m,-n),设MN中点为(x,y),所以N(2x-m,2y-n).所以|AN|+|BN|=+
=2[+],
故由椭圆定义可知|AN|+|BN|=2×6=12.
38.【答案】8
【解析】
由椭圆的定义得
两式相加得|AB|+|AF2|+|BF2|=20, 即|AB|+12=20, ∴ |AB|=8.
标准方程、焦点三角形
39.【答案】 (0,1)
【解析】 将椭圆方程化为＋＝1，因为焦点在y轴上，则>2，即k<1，又k>0，所以0
【解析】 设P(x，y)，由题意知c2＝a2－b2＝5－4＝1，
所以c＝1，则F1(－1,0)，F2(1,0)，由题意可得点P到x轴的距离为1，所以y＝±1，把y＝±1代入＋＝1，得x＝±，又x>0，所以x＝，所以P点坐标为或.
41.【答案】 3
【解析】 设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则∴2r1r2＝(r1＋r2)2－(r＋r)
＝4a2－4c2＝4b2，又∵S△PF1F2＝r1r2＝b2＝9，∴b＝3.
42.【答案】 ＋＝1
【解析】 设切点坐标为(m，n)，则·＝－1，即m2＋n2－n－2m＝0.
∵m2＋n2＝4，∴2m＋n－4＝0，即直线AB的方程为2x＋y－4＝0.
∵直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，∴2c－4＝0，b－4＝0，解得c＝2，b＝4，
∴a2＝b2＋c2＝20，∴椭圆方程为＋＝1.
43.【答案】 (－，)
【解析】 设椭上一点P的坐标为(x，y)，则＝(x＋，y)，＝(x－，y)．∵∠F1PF2为钝角，∴·<0，即x2－3＋y2<0，①∵y2＝1－，代入①得x2－3＋1－<0，x2<2，∴x2<.解得－
【解析】
∵|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，∴|PF2|＝6－|PF1|＝2.
在△F1PF2中，cos∠F1PF2＝＝＝－，∴∠F1PF2＝120°.
45．【答案】4 3
【解析】 设|PF1|＝x，则k＝x(2a－x)，因a－c≤|PF1|≤a＋c，即1≤x≤3.
∴k＝－x2＋2ax＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，∴kmax＝4，kmin＝3.
面积、中点弦
46.【答案】
【解析】由已知椭圆，右焦点坐标为，故直线，与椭圆联立.
设，
可得
利用,求得：.
47.【答案】
【解析】椭圆即，所以右焦点，
直线为，代入椭圆方程，消去得
因为，所以，即点的纵坐标，
所以.
48.【答案】
【解析】设直线与椭圆交两点，
由于A,B两点均在椭圆上，
故，
两式相减得
又∵P是A,B的中点，∴，
∴.
∴直线AB的方程为．即.
49.【答案】
【解析】设直线与椭圆相交于，
则，两式相减得.
又.所以，
故直线的方程为，即.
50.【答案】
【解析】 由椭圆焦点三角形的面积公式可知,
所以
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