抛物线练习集（含解析）

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题型一：重视定义
1.命题是假命题的是_____
(1) 到定点F(-1,0)和定直线x=1的距离相等的动点P的轨迹为抛物线
(2) 到定点F(2,1)和定直线3x-2y-4=0的距离相等的动点P的轨迹为抛物线
(3)到定点F(1,4)和定直线x=1的距离相等的动点P的轨迹为抛物线
2.若抛物线上的点到焦点的距离为10，则到轴的距离是_______．
3.设抛物线上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是（ ）
A.4 B.6 C.8 D.12
4.已知抛物线C：的焦点为，是C上一点，，则(　　)
A．1 B．2 C．4 D．8
题型二：与结论有关的线段问题
类型一：焦半径与焦点弦
5.过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，若，，则抛物线的方程是
A． B． C． D．
6.已知是抛物线的焦点， 是抛物线上的两点，，则线段的中点到轴的距离为（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 11
7.已知F是抛物线的焦点,M、N是该抛物线上的两点,,则线段MN的中点到轴的距离为__________.
8.已知抛物线的焦点为,准线为,点为抛物线上一点,且在第一象限,,垂足为,,则直线的倾斜角等于 （　　）
A． B． C． D．
9.若斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，则______________．
10.如图，已知抛物线的焦点为F，过点F的直线AB交抛物线于点A，B，交抛物线的准线于点C，若，则
A．4 B．5 C．6 D．7
已知过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，若，且，则_______________．
12.如果是抛物线上的点，它们的横坐标依次为， 是抛物线的焦点，若，则（　　）
A. B. C. D.
13.过抛物线焦点的直线与双曲线的一条渐近线平行，并交其抛物线于两点，若，且，则抛物线方程为（　　　）
A．　　　B．　　　C．　　　D．
14.若抛物线y2＝4x上一点P到其焦点F的距离为3，延长PF交抛物线于Q，若O为坐标原点，则S△OPQ＝________.
15.已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F且斜率为1的直线交C于A、B两点．设|FA|>|FB|，则|FA|与|FB|的比值等于________．
16.已知抛物线的焦点是，过点的直线与抛物线相交于两点，且点在第一象限，若,则直线的斜率是（ ）
A. 1 B. C. D.
17.如图，已知直线l：y=k(x+1) (k> 0) 与抛物线C：y2=4x相交于A、B两点，且A、B两点在抛物线C准线上的射影分别是M、N，若|AM|=2|BN|，则k的值是( )

(A) 　 (B) (C) (D) 2
18.设抛物线的焦点为F,直线l过F且与C交于A,B两点.若,则l的方程为( )
A.或
B.或
C.或
D.或
类型二：中点弦
19.已知抛物线y2=2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为 （ ）
A.x=1 B.x=-1
C.x=2 D.x=-2
类型三：通用弦长
20.已知抛物线,直线与抛物线交于两点.若以为直径的圆与轴相切,求该圆的方程;
题型三：最值与范围问题
类型一：定义型
21.设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，若B(3,2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________．
22．若将本例中的B点坐标改为(3,4)，试求|PB|＋|PF|的最小值．
23.已知点P是抛物线上的动点,点P在y轴上的射影是M,点A 的坐标是(4,a),则当时,的最小值是____________.
24.设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为________．
25.拋物线上的动点到两定点（0，-1）（1，-3）的距离之和的最小值为_________________．
26.如图，已知点Q(2，0)及抛物线y＝上的动点P(x，y)，则y＋|PQ|的最小值是(　　)
A．2 B．3 C．4 D．2
27.已知点及抛物线上一动点，则的最小值为（ ）．
A. B. C. D.
28.已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是（ ）
A. 2 B. 3 C. D.
29.已知抛物线y2＝2px(p＞0)上的一点M到定点A和焦点F的距离之和的最小值等于5，求抛物线的方程．
30.已知为抛物线上一个动点， 为圆上一个动点，那么点到点的距离与点到抛物线的准线距离之和的最小值是（ ）
A. B. C. D.
类型二：函数型
31.对于抛物线y2＝4x上任意一点Q，点P(a,0)都满足|PQ|≥|a|，则a的取值范围是_______
32.已知抛物线y2＝4x的准线与双曲线－＝1(a>0，b>0)交于A，B两点，点F为抛物线的焦点，若△FAB为直角三角形，则双曲线离心率的取值范围是________
33.如图,直线与抛物线交于点A,与圆的实线部分交于点B,F为抛物线的焦点,则三角形ABF的周长的取值范围是( )
A. B. C. D.
34.已知抛物线，过原点的动直线交抛物线于两点,是的中点，设动点，则的最大值是 ___________
35.已知直线交抛物线于A,B两点.若该抛物线上存在点C,使得,则t的取值范围为 _____________
36.设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是(　　)
A．(0,2) B．[0,2] C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)
37.抛物线的焦点为F，点P（x,y）为该抛物线上的动点，又点A，则的最小值是______________
38.抛物线的焦点为F，点A,B在抛物线上，且，弦AB中点M在准线上的射影为，则的最大值为_________________
题型四：几何分析
39.已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点．若＝4，则|QF|＝(　　)
A. B. C．3 D．2
40.设F为抛物线C：y2=4x的焦点，曲线与C交于点P，PF⊥x轴，则k=（ ）
A． B.1 C. D.2
41.已知抛物线的焦点在轴的正半轴上，过且斜率为的直线和轴交于点，（为坐标原点）的面积为，则该抛物线的标准方程为________________．
42.已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线的焦点重合，是C的准线与E的两个交点，则 ( )
（A） （B） （C） （D）
43.已知点为抛物线的焦点，该抛物线上位于第一象限的点到其准线的距离为5，则直线的斜率为 .
44.设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝(　　)
A．4 B．8 C．8 D．16
45.已知抛物线，过点作抛物线的两条切线，为切点，若直线经过抛物线的焦点，的面积为，则以直线AB为准线的抛物线标准方程是 .
A．　　　B．　　　C．　　　D．
46.若点A,B在抛物线y2=2px(p>0)上,O是坐标原点,若正三角形OAB的面积为4 QUOTE QUOTE ,则该抛物线的方程是
A．y2=x B．y2= QUOTE QUOTE x C．y2=2 QUOTE QUOTE x D．y2=x
47.已知抛物线的焦点F与双曲的右焦点重合,抛物线的准线与x轴的交点为K,点A在抛物线上且,则A点的横坐标为
A． B．3 C． D．4
48.以抛物线的顶点为圆心的圆交于两点，交的准线于两点，已知,，则的焦点到准线的距离为
A．2 B．4 C．6 D．8
49.设抛物线的焦点为，点在上，，若以为直径的圆过点，则的方程为
A.或 B.或 C.或 D.或
50.(结论了解)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是过F的直线与抛物线的两个交点，求证：
(1)y1y2＝－p2，x1x2＝；
(2)＋为定值；
(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．
答案
1.【答案】（2）（3）
【解析】
到定点与定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线（定点不在定直线上）。其中定点叫抛物线的焦点，定直线叫抛物线的准线。
因此（1）符合抛物线定义，是真命题
（2）中定点F(2,1)在定直线3x-2y-4=0上，到定点与定直线距离相等的点的轨迹为以F为垂足的定直线的垂线，不是抛物线，因此（2）是假命题
定义中定点不能在给定定直线上，（3）是假命题
2.【答案】
【解析】
3.解析：的焦点是，准线,
如图所示，
所以.故选B.
答案：B
4.【答案】A
【解析】由题意知抛物线的准线为。因为，根据抛物线的定义可得，解得，故选A。
5.【答案】D
【解析】易知抛物线开口向右．过点P作准线l的垂线，垂足为A，垂线交y轴于点B，再过点Q作准线l的垂线，垂足为C，垂线交y轴于点D．由抛物线定义可知，，，故，故，故抛物线的方程为．故选D．
6.【答案】B
【解析】∵，∴，∴，∴线段的中点到轴的距离为，故选B.
7.【答案】
【解析】抛物线的焦点为,准线为.,过M,N分别作准线的垂线,则,所以,所以中位线,所以中点到轴的距离为.
8.【答案】B
【解析】抛物线的焦点坐标为,准线方程为.由题意,则,即,所以,即,不妨取,则设直线的倾斜角等于,则,所以,选 B．
9.【答案】20
【解析】设，，则对于抛物线，焦点弦长．
因为抛物线的焦点坐标为，，所以直线AB的方程为，即，
将代入抛物线方程，得，从而，所以．
10.【答案】B
【解析】（1）设直线AB的倾斜角为，，，过点B作准线的垂线，垂足为D，则，那么，易得，于是直线AB的方程为，代入，得，故，所以．故选B．
11.【答案】：
【解析】：设 ， ， ，显然直线AB的斜率存在，设为，将直线方程与抛物线方程联立，消去得 ①，则 ，所以 方程①即为
解得
12.【答案】D
【解析】是抛物线上的点，它们的横坐标依次为，
是抛物线的焦点， ，
，故选：D．
13.【答案】C
【解析】设抛物线的焦点坐标为 ，双曲线的一条渐近线方程为 ，所以设直线为 ，设 ，根据 ，解得： ，因为 ，所以 ， ，即 ，解得： 或 （舍），即抛物线方程为 ，故选C．
14.【答案】
【解析】如图所示，由题意知，抛物线的焦点F的坐标为(1,0)．
又|PF|＝3，由抛物线定义知：点P到准线x＝－1的距离为3，
∴点P的横坐标为2.将x＝2代入y2＝4x，得y2＝8，
由图知点P的纵坐标y＝2，
∴P(2,2)，∴直线PF的方程为y＝2(x－1)．
方法一　联立直线与抛物线的方程
解之得或
由图知Q(，－)，∴S△OPQ＝|OF|·|yP－yQ|
＝×1×|2＋|＝.
方法二　将y＝2(x－1)代入y2＝4x，
得2x2－5x＋2＝0，
∴x1＋x2＝，∴|PQ|＝x1＋x2＋p＝，
O到PQ的距离d＝，
∴S△OPQ＝×|PQ|×d
＝××＝.
15.【答案】见解析
【解析】：抛物线C：y2＝4x的焦点F(1,0)，准线方程：x＝－1，如图，
则直线AB的方程为y＝x－1，
由得
x2－6x＋1＝0，①
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是方程①的两根，
∴x1x2＝1，x1＝3＋2.
根据抛物线定义，得|FA|＝x1＋1，
|FB|＝x2＋1(x1>x2)，
∴＝＝＝＝x1＝3＋2.
答案：3＋2
16.【答案】D
17.【答案】C
【解析】
设点，则由抛物线的定义可得，整理得①.
联立直线与抛物线方程得，根据根与系数的关系，可得，与①联立得，，所以点，其斜率为.
18.【答案】C
【解析】抛物线C方程为,可得它的焦点为,
设直线l方程为
由消去x,得
设,,
可得,
,
,可得,代入得且,
消去得,解之得
直线l方程为或
所以C选项是正确的.
19.【答案】B
【解析】根据中点弦结论可直接求得p=2,则该抛物线的准线方程为x=-1，选B.
20.【答案】见解析
【解析】(Ⅰ)联立,消并化简整理得. 依题意应有,解得.
设,则,设圆心,则应有.
因为以为直径的圆与轴相切,得到圆半径为,
又 . (用合适的弦长公式)
所以,解得. 所以,所以圆心为.
故所求圆的方程为
21.【答案】　4
【解析】　如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，
交抛物线于点P1，
则|P1Q|＝|P1F|.
则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4.
即|PB|＋|PF|的最小值为4.
引申探究
22．【答案】2.
【解析】　由题意可知点(3,4)在抛物线的外部．
∵|PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，
∴|PB|＋|PF|≥|BF|＝
＝＝2，
即|PB|＋|PF|的最小值为2.
23.【答案】
【解析】当时,,所以,即,因为,所以点A在抛物线的外侧,延长PM交直线,由抛物线的定义可知,当,三点共线时,最小,此时为,又焦点坐标为,所以,即的最小值为,所以的最小值为.
24.【答案】　
【解析】　如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x＝－1，
由抛物线的定义知：点P到直线x＝－1的距离等于点P到F的距离．
于是，问题转化为在抛物线上求一点P，
使点P到点A(－1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小，
显然，连接AF与抛物线相交的点即为满足题意的点，
此时最小值为＝.
25.答案】4
【解析】
26.【答案】A
【解析】解析：如图所示，过P作PM垂直准线于点M，
则由抛物线的定义可知y＋|PQ|＝|PM|－1＋|PQ|＝|PF|＋|PQ|－1，
当且仅当P、F、Q三点共线时，|PF|＋|PQ|最小，
最小值为|QF|＝＝3.
故y＋|PQ|的最小值为3－1＝2.
答案：A
27.【答案】C
【解析】如图，设抛物线的焦点为，连，由抛物线的定义可得。
∵，当且仅当三点共线时等号成立，即，
∵。
因此的最小值为3。答案：C。
28.【答案】A
【解析】抛物线的焦点坐标为F（1,0），准线方程是，根据抛物线定义，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和可以看成抛物线上一动点到焦点和直线的距离之和，其最小值为焦点F到直线的距离， 。故选A。
29.【答案】抛物线方程为y2＝6x或y2＝2x.
【解析】
(1)当点A在抛物线内部时，42＜2p·，即p＞时，|MF|＋|MA|＝|MA′|＋|MA|.
当A，M，A′共线时(如图中，A，M′，A″共线时)，(|MF|＋|MA|)min＝5.
故＝5－＝ p＝3，满足3＞，所以抛物线方程为y2＝6x.
(2)当点A在抛物线外部或在抛物线上时，42≥2p·，
即0＜p≤时，连接AF交抛物线于点M，
此时(|MA|＋|MF|)最小，即|AF|min＝5，2＋42＝25，
－＝±3 p＝1或p＝13(舍去)．
故抛物线方程为y2＝2x.
综上，抛物线方程为y2＝6x或y2＝2x.
30.【答案】A
【解析】由已知得，设圆心为C，因为圆，所以圆心
因为P是抛物线上一动点，F为抛物线的焦点
所以,的最短距离为
所以
则当PQ的直线经过点F,C时，最小，
则
故选A
31.【答案】(－∞，2]
【解析】设点Q的坐标为.
由|PQ|≥|a|，得|PQ|2≥a2，
即y＋2≥a2，
整理，得y(y＋16－8a)≥0.
∵y≥0，∴y＋16－8a≥0.
即a≤2＋恒成立．
而2＋的最小值为2.
∴a≤2
32. 【答案】(，＋∞)
【解析】抛物线焦点F(1,0)，由题意0所以点(－1,2)在双曲线上，得－＝1，即b2＝＝c2－a2，
即c2＝＋a2＝，所以e2＝＝＝1＋，
因为05，故e>.
33. 【答案】B
【解析】抛物线的准线焦点,
由抛物线定义可得,
的周长,
由抛物线及圆,
得交点的横坐标为1,
所以，三角形ABF的周长的取值范围是
所以B选项是正确的.
34. 【答案】2
【解析】 设动直线的方程为：，代入抛物线得，，设，则，则，，
35. 【答案】
【解析】，直线交抛物线于A,B两点,
,
,
即,
,又
所以，t的取值范围为.
36.【答案】C
【解析】设圆的半径为r，因为F(0,2)是圆心，
抛物线C的准线方程为y＝－2，
由圆与准线相交知4＜r.
因为点M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，
所以x＝8y0，又点M(x0，y0)在圆x2＋(y－2)2＝r2上，
∴x＋(y0－2)2＝r2＞16，
所以8y0＋(y0－2)2＞16，即有y＋4y0－12＞0，
解得y0＞2或y0＜－6，又因为y0≥0，
所以y0＞2，故选C.
37. 【答案】
【解析】依题意得，所以，，故，对此式求导得到其在上单调递减，在上单调递增，故当时有最小值即即最小值为.
38. 【答案】
【解析】
如图所示，由题意得
当且仅当时，有最大值为
39. 【答案】D
【解析】如图，过点Q作
因为＝4，所以|PQ|∶|PF|＝3∶4
又焦点F到准线l的距离为4，所以
故选C
40.【答案】D
【解析】因为抛物线的焦点，所以，
又因为曲线与交于点，轴，
所以，所以，选D.
41.【答案】
【解析】根据已知可设抛物线的方程为，则焦点的坐标为，
直线的方程为，与轴的交点为，
所以的面积为，解得，所以抛物线的方程为．
42.【答案】B
【解析】∵抛物线的焦点为（2,0），准线方程为，∴椭圆E的右焦点为（2,0），
∴椭圆E的焦点在x轴上，设方程为，c=2，
∵，∴，∴，∴椭圆E方程为，
将代入椭圆E的方程解得A（-2,3），B（-2，-3），∴|AB|=6，故选B.
43.【答案】
【解析】试题分析：由抛物线定义得： 又点位于第一象限，因此从而
44.【答案】B
【解析】由抛物线的定义得，|PF|＝|PA|，又由直线AF的斜率为－，可知∠PAF＝60°，△PAF是等边三角形∴|PF|＝|AF|＝＝8.
45.【答案】D
【解析】（1）由抛物线的对称性知， ，则，解得，直线方程为，所以所求抛物线标准方程为，故选D．
46.【答案】A
【解析】根据对称性,可知AB⊥x轴,由于正三角形OAB的面积是,故AB2=,故AB=4,正三角形OAB的高为,故可设点A的坐标为(,2),代入抛物线方程得4=,解得p=,故所求抛物线的方程为
47.【答案】B
【解析】抛物线的焦点为,准线为.双曲线的右焦点为,所以,即,即.过F做准线的垂线,垂足为M,则,即,设,则代入,解得.选 B．
48.【答案】B
【解析】以开口向右的抛物线为例来解答，其他开口同理
设抛物线为，设圆的方程为，
设，，点在抛物线上，
∴……①；点在圆上，
∴……②；点在圆上，
∴……③；联立①②③解得：，焦点到准线的距离为．故选B．
49.【答案】C
【解析】设点M的坐标为(x0，y0)，由抛物线的定义，得|MF|＝x0＋＝5，则x0＝5－.又点F的坐标为所以以MF为直径的圆的方程为.将x＝0，y＝2代入得，
所以y0＝4.由＝2px0，得，解之得p＝2，或p＝8.所以C的方程为y2＝4x或y2＝16x.
故选C.
50.【答案】见解析
【解析】证明（1）由已知得抛物线焦点坐标为.由题意可设直线方程为，代入
得 ，即 ①，则 是方程①得两个实数根，
所以 因为所以，
故
(2) .
因为，，代入上式，
得．
(3) 设的中点为，分别过作准线的垂线，垂足为过作准线的垂线，垂足为，则.
所以以为直径的圆与抛物线的准线相切．
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