圆锥曲线范围最大值题（含解析）
文档属性
| 名称 | 圆锥曲线范围最大值题（含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 2.9MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-11-30 07:32:36 | ||
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文档简介
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圆锥曲线大题（最值、范围）
1﹒（★★）已知双曲线的离心率为，且过点﹒
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线与双曲线恒有两个不同的交点且（为坐标原点），求的取值范围﹒
2. （★★★）已知椭圆的左、右焦点分别是、，是椭圆外的动点，满足﹒点是线段与该椭圆的交点，点在线段上，并且满足，﹒
(Ⅰ)求点的轨迹的方程；
(Ⅱ)过原点的直线与曲线分别交于点(不重合)；设，的面积分别为，，求的取值范围﹒
3﹒（★★★）在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率，且椭圆上的点到点的距离的最大值为﹒
(1)求椭圆的方程；
(2)在椭圆上，是否存在点，使得直线与圆相交于不同的两点，且的面积最大 若存在，求出点的坐标及对应的的面积；若不存在，请说明理由．
4﹒（★★★）在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率，且椭圆上一点到点的距离最大值为4，过点的直线交椭圆于点﹒
（1）求椭圆的方程；
（2）设为椭圆上一点，且满足（为坐标原点），当时，求实数的取值范围﹒
5﹒（★★★★）如图，为坐标原点，椭圆的左右焦点分别为，离心率为；双曲线的左右焦点分别为，离心率为，已知，且﹒
(1)求的方程；
(2)过作的不垂直于轴的弦，为的中点，当直线与交于两点时，求四边形面积的最小值﹒
6﹒（★★★★）已知抛物线的顶点为原点，其焦点到直线的距离为，设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，其中为切点﹒
(1)求抛物线的方程；
(2)当点为直线上的定点时，求直线的方程；
(3)当点在直线上移动时，求的最小值﹒
7﹒（★★★★）设椭圆的右焦点为，右顶点为﹒已知，其中为原点，为椭圆的离心率﹒
(1)求椭圆的方程；
(2)设过点的直线与椭圆交于点(不在轴上)，垂直于的直线与交于点，与轴于点，若，且，求直线的斜率的取值范围﹒
8﹒（★★★）如图，设椭圆﹒
(1)求直线被椭圆截得的线段长(用表示)；
(2)若任意以点为圆心的圆与椭圆至多有个公共点，求椭圆离心率的取值范围﹒
9﹒（★★★）已知椭圆的左右焦点分别为过点且不与轴重合的直线与椭圆相交于两点﹒当直线垂直轴时，﹒
(Ⅰ)求椭圆的标准方程；
(Ⅱ)求内切圆半径的最大值﹒
10﹒（★★★）如图，在平面直角坐标系中，已知直线，抛物线．
(1)若直线过抛物线的焦点，求抛物线的方程；
(2)已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点和﹒
①求证：线段的中点坐标为；
②求的取值范围﹒
11﹒（★★★★）平面直角坐标系中，椭圆的离心率是，抛物线的焦点是的一个顶点﹒
(I)求椭圆的方程；
(Ⅱ)设是上的动点，且位于第一象限，在点处的切线与交于不同的两点，线段的中点为，直线与过且垂直于轴的直线交于点﹒
(i)求证：点在定直线上；
(ii)直线与轴交于点，记的面积为，的面积为，求的最大值及取得最大值时点的坐标﹒
12﹒（★★★）已知分别是双曲线的左、右焦点，P为双曲线上的一点，若 ，且的三边长成等差数列．又一椭圆的中心在原点，短轴的一个端点到其右焦点的距离为，双曲线与该椭圆离心率之积为﹒
（I）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线与椭圆交于A，B两点，坐标原点O到直线的距离为，求△AOB面积的最大值．
13﹒（★★）已知椭圆的长轴长为，离心率为，分别为其左右焦点．一动圆过点，且与直线相切．
(Ⅰ)(ⅰ)求椭圆的方程； (ⅱ)求动圆圆心轨迹的方程；
(Ⅱ)在曲线上有四个不同的点，满足与共线，与共线，且，求四边形面积的最小值．
14﹒（★★★）如图，已知直线：与抛物线C：交于A，B两点，为坐标原点，﹒
（Ⅰ）求直线和抛物线C的方程；
（Ⅱ）抛物线上一动点P从A到B运动时，求△ABP面积最大值．
15﹒（★★★）椭圆与椭圆交于A、B两点，C为椭圆的右项点，
（I）求椭圆的方程；
（II）若椭圆上两点E、F使面积的最大值．
16﹒（★★★）已知椭圆C：，过点的直线与椭圆相交于两点、﹒
（Ⅰ）若与轴相交于点，且为的中点，求直线的方程；
（Ⅱ）设点，求的最大值﹒
17﹒（★★★）已知点是抛物线上一点，为抛物线的焦点，准线与轴交于点，已知，三角形的面积等于8．
（1）求的值；
（2）过该抛物线的焦点作两条互相垂直的直线，，与抛物线相交得两条弦，两条弦的中点分别为，．求的最小值．
18﹒（★★★★）已知椭圆的离心率为，直线:与以原点为圆心、以椭圆的短半轴长为半径的圆相切﹒
（I）求椭圆的方程；
（II）设椭圆的左焦点为，右焦点，直线过点且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于点，线段垂直平分线交于点，求点的轨迹的方程；
（III）设与轴交于点，不同的两点在上，且满足求的取值范围﹒
19﹒（★★★★）已知直线与曲线交于不同的两点，，为坐标原点．
（Ⅰ）若，求证：曲线是一个圆；
（Ⅱ）若，当且时，求曲线的离心率的取值范围．
圆锥曲线大题（范围、最值）答案
1. （Ⅰ）由已知，
∴，
又P（，1）在双曲线上，
∴，
故所求双曲线C的方程为；
（Ⅱ）联立，
设，
，
又，
∴，
∴，
∴，
故k的取值范围为。
2.
（1）因为，。所以。因为，所以，故。因为，所以。所以。所以的轨迹方程为（）。
（2）①若直线斜率存在，设直线的方程为，联立方程得，联立得。。
因为，所以。
②若直线斜率不存在，。
综上所述：
3.
（1）由得，椭圆方程为。椭圆上的点到点的距离，当时，得，。当 时，得，（舍）。所以，椭圆方程为。（2），当时，取最大值，点到直线距离。所以。又因为，解得：。所以点的坐标为或或或，的面积为。4.（1）∵ ∴
则椭圆方程为即
设则
当时，有最大值为
解得∴，椭圆方程是
（2）设方程为
由 整理得.
由，得.
∴ 则,
由点P在椭圆上，得化简得①
又由即将，代入得
化简，得
则, ∴②
由①，得
联立②，解得∴或
5.解答：
（1）因为，所以，
即，因此，从而，，
于是，所以，。
故，的方程分别为，。
（2）因为不垂直于轴，且过点，
故可设直线的方程为。
由得。
已知此方程的判别式大于，设，，
则，是上述方程的两个实根，
所以，。
因此，
于是的中点为，
故直线的斜率为，的方程为，即。
由得，所以，且，，
从而。
设点到直线的距离为，则点到直线的距离也为，
所以。
因为点、在直线的异侧，
所以，
于是，
从而。
又因为，
所以。
故四边形的面积
。
而，故当时，取得最小值。
综上所述，四边形的面积的最小值为。
6. （1）依题意，解得（负根舍去） （2分）
抛物线的方程为； （4分）
（2）设点,，，由,即得.
∴抛物线在点处的切线的方程为，即. （5分）
∵， ∴ . ∵点在切线上, ∴. ①
同理， . ② （6分）
综合①、②得，点的坐标都满足方程 . （7分）
∵经过两点的直线是唯一的，∴直线 的方程为，即； （8分）
（3）由抛物线的定义可知， （9分）
所以联立，消去得，
（10分）
（11分）
当时，取得最小值为 （12分）
7. （Ⅰ）解：设，由，即，可得，又，所以，因此，所以椭圆的方程为.
（Ⅱ）解：设直线的斜率为（），则直线的方程为.设，由方程组，消去，整理得.
解得，或，由题意得，从而.
由（Ⅰ）知，，设，有，.由，得，所以，解得.因此直线的方程为.
设，由方程组消去，解得.在中，，即，化简得，即，解得或.
所以，直线的斜率的取值范围为.
8.
（I）设直线 被椭圆截得的线段为 ，由 得
，
故 ， ．
因此 ．
（II）假设圆与椭圆的公共点有 个，由对称性可设 轴左侧的椭圆上有两个不同的点 ， ，满足 ．
记直线 ， 的斜率分别为 ， ，且 ， ， ．
由（I）知， ， ，
故 ，
所以 ．
由于 ， ， 得
，
因此 ， ①
因为①式关于 ， 的方程有解的充要条件是
，
所以 ．
因此，任意以点 为圆心的圆与椭圆至多有 个公共点的充要条件为 ，
由 得，所求离心率的取值范围为 ．
9. （1）由已知条件可设，，故，
解得，
所以椭圆的标准方程为。
（2）设，，直线的方程为，
联立，消去并化简得，
韦达定理得，，
则，所以，
而
，当且仅当，即时等号成立，
又因为，
所以内切圆半径的最大值为。
10. （1）因为：，所以与轴的交点坐标为，所以，所以抛物线方程为：。
（2）①设，，则：，，又因为和关于直线对称，所以，所以，又因为的中点一定在直线上，所以，所以线段上的中点坐标为。
②因为中点坐标为，所以，即，所以，即关于有两个不等根，所以，，所以。
11.答案：
（Ⅰ）由题意知，可得：.
因为抛物线的焦点为，所以，
所以椭圆C的方程为.
（Ⅱ）（i）设，由可得，
所以直线的斜率为，
因此直线的方程为，即.
设，联立方程
得，
由，得且，
因此,
将其代入得，
因为，所以直线方程为.
联立方程，得点的纵坐标为，
即点在定直线上.
（ii）由（i）知直线方程为，
令得，所以，
又，
所以，
，
所以，
令，则，
当，即时，取得最大值，此时，满足，
所以点的坐标为，因此的最大值为，此时点的坐标为.
12.
解：设，不妨P在第一象限，则由已知得
解得（舍去）。设椭圆离心率为
可设椭圆的方程为
（Ⅱ）①当AB
②当AB与轴不垂直时，设直线AB的方程为，
由已知得代入椭圆方程，整理得
当且仅当时等号成立，此时
③当
综上所述：，
此时面积取最大值
13.
(Ⅰ)(ⅰ)由已知可得，
则所求椭圆方程.
(ⅱ)由已知可得动圆圆心轨迹为抛物线，且抛物线的焦点为，准线方程为，则动圆圆心轨迹方程为.
(Ⅱ)由题设知直线的斜率均存在且不为零
设直线的斜率为，，则直线的方程为：
联立 消去可得
由抛物线定义可知:
同理可得
又
(当且仅当时取到等号)
所以四边形面积的最小值为.
14.解：（Ⅰ）由得,
设
则
因为=
所以解得
所以直线的方程为抛物线C的方程为
（Ⅱ）方法1：设依题意，抛物线过P的切线与平行时，△APB面积最大，，所以 所以
此时到直线的距离
由得，
∴△ABP的面积最大值为
（Ⅱ）方法2：由得，
……9分
设 ，
因为为定值，当到直线的距离最大时，△ABP的面积最大，
因为，所以当时，max=，此时
∴△ABP的面积最大值为
15.解：（I）根据题意， 设A
解得
（Ⅱ）设
由①-②得
直线EF的方程为即
并整理得，
又
当
16.（Ⅰ）解：设A(x1, y1)， 因为P为AM的中点，且P的纵坐标为0，M的纵坐标为1，所以，解得，又因为点A(x1, y1)在椭圆C上，所以，即，解得， 则点A的坐标为或，所以直线l的方程为，或.
（Ⅱ）设A(x1, y1)，B(x2, y2)，则
所以，则
当直线AB的斜率不存在时，其方程为，，此时；
当直线AB的斜率存在时，设其方程为，
由题设可得A、B的坐标是方程组的解，消去y得
所以，
则，
所以，
当时，等号成立, 即此时取得最大值1.
综上，当直线AB的方程为或时，有最大值1.
17.解：（Ⅰ）设，
因为抛物线的焦点，
则
，
，而点A在抛物线上，
.
又故所求抛物线的方程为.
（2）由，得，显然直线，的斜率都存在且都不为0.
设的方程为，则的方程为.
由 得，同理可得.
则
=.（当且仅当时取等号）
所以的最小值是.
18.由题意可知：（Ⅰ）∵ ∵直线相切，∴ ∴ ∵椭圆C1的方程是
（Ⅱ）∵MP=MF2，∴动点M到定直线的距离等于它到定点F1（1，0）的距离，
∴动点M的轨迹是C为l1准线，F2为焦点的抛物线 ∴点M的轨迹C2的方程为
（Ⅲ）Q（0，0），设 ∴
∵ ∴∵，化简得
∴ ∴
当且仅当 时等号成立
∵
∴当的取值范围是
19.
（Ⅰ）证明：设直线与曲线的交点为
∴ 即：
∴ 在上
∴，
∴两式相减得： ∴ 即：
∴曲线是一个圆
（Ⅱ）设直线与曲线的交点为，
∴曲线是焦点在轴上的椭圆
∴ 即：
将代入整理得：
∴，
在上 ∴
又 ∴
∴2 ∴
∴ ∴
∴ ∴
∴ ∴
①
②
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圆锥曲线大题（最值、范围）
1﹒（★★）已知双曲线的离心率为，且过点﹒
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线与双曲线恒有两个不同的交点且（为坐标原点），求的取值范围﹒
2. （★★★）已知椭圆的左、右焦点分别是、，是椭圆外的动点，满足﹒点是线段与该椭圆的交点，点在线段上，并且满足，﹒
(Ⅰ)求点的轨迹的方程；
(Ⅱ)过原点的直线与曲线分别交于点(不重合)；设，的面积分别为，，求的取值范围﹒
3﹒（★★★）在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率，且椭圆上的点到点的距离的最大值为﹒
(1)求椭圆的方程；
(2)在椭圆上，是否存在点，使得直线与圆相交于不同的两点，且的面积最大 若存在，求出点的坐标及对应的的面积；若不存在，请说明理由．
4﹒（★★★）在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率，且椭圆上一点到点的距离最大值为4，过点的直线交椭圆于点﹒
（1）求椭圆的方程；
（2）设为椭圆上一点，且满足（为坐标原点），当时，求实数的取值范围﹒
5﹒（★★★★）如图，为坐标原点，椭圆的左右焦点分别为，离心率为；双曲线的左右焦点分别为，离心率为，已知，且﹒
(1)求的方程；
(2)过作的不垂直于轴的弦，为的中点，当直线与交于两点时，求四边形面积的最小值﹒
6﹒（★★★★）已知抛物线的顶点为原点，其焦点到直线的距离为，设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，其中为切点﹒
(1)求抛物线的方程；
(2)当点为直线上的定点时，求直线的方程；
(3)当点在直线上移动时，求的最小值﹒
7﹒（★★★★）设椭圆的右焦点为，右顶点为﹒已知，其中为原点，为椭圆的离心率﹒
(1)求椭圆的方程；
(2)设过点的直线与椭圆交于点(不在轴上)，垂直于的直线与交于点，与轴于点，若，且，求直线的斜率的取值范围﹒
8﹒（★★★）如图，设椭圆﹒
(1)求直线被椭圆截得的线段长(用表示)；
(2)若任意以点为圆心的圆与椭圆至多有个公共点，求椭圆离心率的取值范围﹒
9﹒（★★★）已知椭圆的左右焦点分别为过点且不与轴重合的直线与椭圆相交于两点﹒当直线垂直轴时，﹒
(Ⅰ)求椭圆的标准方程；
(Ⅱ)求内切圆半径的最大值﹒
10﹒（★★★）如图，在平面直角坐标系中，已知直线，抛物线．
(1)若直线过抛物线的焦点，求抛物线的方程；
(2)已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点和﹒
①求证：线段的中点坐标为；
②求的取值范围﹒
11﹒（★★★★）平面直角坐标系中，椭圆的离心率是，抛物线的焦点是的一个顶点﹒
(I)求椭圆的方程；
(Ⅱ)设是上的动点，且位于第一象限，在点处的切线与交于不同的两点，线段的中点为，直线与过且垂直于轴的直线交于点﹒
(i)求证：点在定直线上；
(ii)直线与轴交于点，记的面积为，的面积为，求的最大值及取得最大值时点的坐标﹒
12﹒（★★★）已知分别是双曲线的左、右焦点，P为双曲线上的一点，若 ，且的三边长成等差数列．又一椭圆的中心在原点，短轴的一个端点到其右焦点的距离为，双曲线与该椭圆离心率之积为﹒
（I）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线与椭圆交于A，B两点，坐标原点O到直线的距离为，求△AOB面积的最大值．
13﹒（★★）已知椭圆的长轴长为，离心率为，分别为其左右焦点．一动圆过点，且与直线相切．
(Ⅰ)(ⅰ)求椭圆的方程； (ⅱ)求动圆圆心轨迹的方程；
(Ⅱ)在曲线上有四个不同的点，满足与共线，与共线，且，求四边形面积的最小值．
14﹒（★★★）如图，已知直线：与抛物线C：交于A，B两点，为坐标原点，﹒
（Ⅰ）求直线和抛物线C的方程；
（Ⅱ）抛物线上一动点P从A到B运动时，求△ABP面积最大值．
15﹒（★★★）椭圆与椭圆交于A、B两点，C为椭圆的右项点，
（I）求椭圆的方程；
（II）若椭圆上两点E、F使面积的最大值．
16﹒（★★★）已知椭圆C：，过点的直线与椭圆相交于两点、﹒
（Ⅰ）若与轴相交于点，且为的中点，求直线的方程；
（Ⅱ）设点，求的最大值﹒
17﹒（★★★）已知点是抛物线上一点，为抛物线的焦点，准线与轴交于点，已知，三角形的面积等于8．
（1）求的值；
（2）过该抛物线的焦点作两条互相垂直的直线，，与抛物线相交得两条弦，两条弦的中点分别为，．求的最小值．
18﹒（★★★★）已知椭圆的离心率为，直线:与以原点为圆心、以椭圆的短半轴长为半径的圆相切﹒
（I）求椭圆的方程；
（II）设椭圆的左焦点为，右焦点，直线过点且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于点，线段垂直平分线交于点，求点的轨迹的方程；
（III）设与轴交于点，不同的两点在上，且满足求的取值范围﹒
19﹒（★★★★）已知直线与曲线交于不同的两点，，为坐标原点．
（Ⅰ）若，求证：曲线是一个圆；
（Ⅱ）若，当且时，求曲线的离心率的取值范围．
圆锥曲线大题（范围、最值）答案
1. （Ⅰ）由已知，
∴，
又P（，1）在双曲线上，
∴，
故所求双曲线C的方程为；
（Ⅱ）联立，
设，
，
又，
∴，
∴，
∴，
故k的取值范围为。
2.
（1）因为，。所以。因为，所以，故。因为，所以。所以。所以的轨迹方程为（）。
（2）①若直线斜率存在，设直线的方程为，联立方程得，联立得。。
因为，所以。
②若直线斜率不存在，。
综上所述：
3.
（1）由得，椭圆方程为。椭圆上的点到点的距离，当时，得，。当 时，得，（舍）。所以，椭圆方程为。（2），当时，取最大值，点到直线距离。所以。又因为，解得：。所以点的坐标为或或或，的面积为。4.（1）∵ ∴
则椭圆方程为即
设则
当时，有最大值为
解得∴，椭圆方程是
（2）设方程为
由 整理得.
由，得.
∴ 则,
由点P在椭圆上，得化简得①
又由即将，代入得
化简，得
则, ∴②
由①，得
联立②，解得∴或
5.解答：
（1）因为，所以，
即，因此，从而，，
于是，所以，。
故，的方程分别为，。
（2）因为不垂直于轴，且过点，
故可设直线的方程为。
由得。
已知此方程的判别式大于，设，，
则，是上述方程的两个实根，
所以，。
因此，
于是的中点为，
故直线的斜率为，的方程为，即。
由得，所以，且，，
从而。
设点到直线的距离为，则点到直线的距离也为，
所以。
因为点、在直线的异侧，
所以，
于是，
从而。
又因为，
所以。
故四边形的面积
。
而，故当时，取得最小值。
综上所述，四边形的面积的最小值为。
6. （1）依题意，解得（负根舍去） （2分）
抛物线的方程为； （4分）
（2）设点,，，由,即得.
∴抛物线在点处的切线的方程为，即. （5分）
∵， ∴ . ∵点在切线上, ∴. ①
同理， . ② （6分）
综合①、②得，点的坐标都满足方程 . （7分）
∵经过两点的直线是唯一的，∴直线 的方程为，即； （8分）
（3）由抛物线的定义可知， （9分）
所以联立，消去得，
（10分）
（11分）
当时，取得最小值为 （12分）
7. （Ⅰ）解：设，由，即，可得，又，所以，因此，所以椭圆的方程为.
（Ⅱ）解：设直线的斜率为（），则直线的方程为.设，由方程组，消去，整理得.
解得，或，由题意得，从而.
由（Ⅰ）知，，设，有，.由，得，所以，解得.因此直线的方程为.
设，由方程组消去，解得.在中，，即，化简得，即，解得或.
所以，直线的斜率的取值范围为.
8.
（I）设直线 被椭圆截得的线段为 ，由 得
，
故 ， ．
因此 ．
（II）假设圆与椭圆的公共点有 个，由对称性可设 轴左侧的椭圆上有两个不同的点 ， ，满足 ．
记直线 ， 的斜率分别为 ， ，且 ， ， ．
由（I）知， ， ，
故 ，
所以 ．
由于 ， ， 得
，
因此 ， ①
因为①式关于 ， 的方程有解的充要条件是
，
所以 ．
因此，任意以点 为圆心的圆与椭圆至多有 个公共点的充要条件为 ，
由 得，所求离心率的取值范围为 ．
9. （1）由已知条件可设，，故，
解得，
所以椭圆的标准方程为。
（2）设，，直线的方程为，
联立，消去并化简得，
韦达定理得，，
则，所以，
而
，当且仅当，即时等号成立，
又因为，
所以内切圆半径的最大值为。
10. （1）因为：，所以与轴的交点坐标为，所以，所以抛物线方程为：。
（2）①设，，则：，，又因为和关于直线对称，所以，所以，又因为的中点一定在直线上，所以，所以线段上的中点坐标为。
②因为中点坐标为，所以，即，所以，即关于有两个不等根，所以，，所以。
11.答案：
（Ⅰ）由题意知，可得：.
因为抛物线的焦点为，所以，
所以椭圆C的方程为.
（Ⅱ）（i）设，由可得，
所以直线的斜率为，
因此直线的方程为，即.
设，联立方程
得，
由，得且，
因此,
将其代入得，
因为，所以直线方程为.
联立方程，得点的纵坐标为，
即点在定直线上.
（ii）由（i）知直线方程为，
令得，所以，
又，
所以，
，
所以，
令，则，
当，即时，取得最大值，此时，满足，
所以点的坐标为，因此的最大值为，此时点的坐标为.
12.
解：设，不妨P在第一象限，则由已知得
解得（舍去）。设椭圆离心率为
可设椭圆的方程为
（Ⅱ）①当AB
②当AB与轴不垂直时，设直线AB的方程为，
由已知得代入椭圆方程，整理得
当且仅当时等号成立，此时
③当
综上所述：，
此时面积取最大值
13.
(Ⅰ)(ⅰ)由已知可得，
则所求椭圆方程.
(ⅱ)由已知可得动圆圆心轨迹为抛物线，且抛物线的焦点为，准线方程为，则动圆圆心轨迹方程为.
(Ⅱ)由题设知直线的斜率均存在且不为零
设直线的斜率为，，则直线的方程为：
联立 消去可得
由抛物线定义可知:
同理可得
又
(当且仅当时取到等号)
所以四边形面积的最小值为.
14.解：（Ⅰ）由得,
设
则
因为=
所以解得
所以直线的方程为抛物线C的方程为
（Ⅱ）方法1：设依题意，抛物线过P的切线与平行时，△APB面积最大，，所以 所以
此时到直线的距离
由得，
∴△ABP的面积最大值为
（Ⅱ）方法2：由得，
……9分
设 ，
因为为定值，当到直线的距离最大时，△ABP的面积最大，
因为，所以当时，max=，此时
∴△ABP的面积最大值为
15.解：（I）根据题意， 设A
解得
（Ⅱ）设
由①-②得
直线EF的方程为即
并整理得，
又
当
16.（Ⅰ）解：设A(x1, y1)， 因为P为AM的中点，且P的纵坐标为0，M的纵坐标为1，所以，解得，又因为点A(x1, y1)在椭圆C上，所以，即，解得， 则点A的坐标为或，所以直线l的方程为，或.
（Ⅱ）设A(x1, y1)，B(x2, y2)，则
所以，则
当直线AB的斜率不存在时，其方程为，，此时；
当直线AB的斜率存在时，设其方程为，
由题设可得A、B的坐标是方程组的解，消去y得
所以，
则，
所以，
当时，等号成立, 即此时取得最大值1.
综上，当直线AB的方程为或时，有最大值1.
17.解：（Ⅰ）设，
因为抛物线的焦点，
则
，
，而点A在抛物线上，
.
又故所求抛物线的方程为.
（2）由，得，显然直线，的斜率都存在且都不为0.
设的方程为，则的方程为.
由 得，同理可得.
则
=.（当且仅当时取等号）
所以的最小值是.
18.由题意可知：（Ⅰ）∵ ∵直线相切，∴ ∴ ∵椭圆C1的方程是
（Ⅱ）∵MP=MF2，∴动点M到定直线的距离等于它到定点F1（1，0）的距离，
∴动点M的轨迹是C为l1准线，F2为焦点的抛物线 ∴点M的轨迹C2的方程为
（Ⅲ）Q（0，0），设 ∴
∵ ∴∵，化简得
∴ ∴
当且仅当 时等号成立
∵
∴当的取值范围是
19.
（Ⅰ）证明：设直线与曲线的交点为
∴ 即：
∴ 在上
∴，
∴两式相减得： ∴ 即：
∴曲线是一个圆
（Ⅱ）设直线与曲线的交点为，
∴曲线是焦点在轴上的椭圆
∴ 即：
将代入整理得：
∴，
在上 ∴
又 ∴
∴2 ∴
∴ ∴
∴ ∴
∴ ∴
①
②
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