4.1.1数列的概念（知识梳理+例题+变式+练习）（解析版）
文档属性
| 名称 | 4.1.1数列的概念（知识梳理+例题+变式+练习）（解析版） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.4MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-01 16:01:42 | ||
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文档简介
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4.1.1数列的概念
要点一 数列的有关概念
1．定义：按照确定的顺序排列的一列数．
2．项：数列中的每一个数叫做这个数列的项；排在第一位的数称为这个数列的第1项(也叫首项)．
3．一般形式：a1，a2，a3，…，an，…，简记为．
【重点总结】
(1)数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，也就是相当于f(n)，而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值，相当于f(n)中的n.
(2)数列1,2,3,4,5和数列5,3,2,4,1为两个不同的数列，因为二者的元素顺序不同，而集合{1,2,3,4,5}与这两个数列也不相同，一方面形式上不一致，另一方面，集合中的元素具有无序性．
要点二 数列的分类
类别 含义
按项的 个数 有穷数列 项数有限的数列
无穷数列 项数无限的数列
按项的变 化趋势 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列
递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列
常数列 各项相等的数列
摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
要点三 数列的通项公式
如果数列{an}的第n项an与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
要点四 数列与函数的关系
从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，关系如下表：
定义域 (或它的有限子集{1,2,3，…，n})
解析式 数列的通项公式
值域 自变量按照从小到大的顺序依次取值时对应的一列函数值构成
表示方法 (1)通项公式(解析法)；(2)列表法；(3)图表法
【基础自测】
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1){0,1,2,3,4}是有穷数列．( )
(2)数列1,2,3,4和数列1,2,4,3是同一数列．( )
(3)所有自然数能构成数列．( )
(4)数列1,3,5,7，…，2n＋1，…的通项公式是an＝2n＋1.( )
2．若数列{an}满足an＝2n，则数列{an}是( )
A．递增数列 B．递减数列
C．常数列 D．摆动数列
【答案】A
【解析】an＋1－an＝2n＋1－2n＝2n>0，∴an＋1>an，即{an}是递增数列．故选A.
3．(多选题)数列－1,1，－1,1，…的通项公式可以为( )
A．an＝(－1)n－1 B．an＝(－1)n
C．an＝cos nπ D．an＝sin nπ
【答案】BC
4．数列1,2，，，，…中的第26项为________．
【答案】2
【解析】因为a1＝1＝，a2＝2＝，
a3＝，a4＝，a5＝，所以an＝，
所以a26＝＝＝2.
题型一 数列的概念和分类
1．数列－11，－20，－27，…，n2－12n，…是( )
A．递增数列 B．递减数列
C．常数列 D．摆动数列
【答案】D
【解析】该数列从第2项起，第n项与第n－1项的差为(n2－12n)－[(n－1)2－12(n－1)]＝2n－13，所以该数列的前6项单调递减，从第6项往后单调递增，故选D.
2．已知下列数列：
①1,2,22,23，…，260；②1,0.5,0.52,0.53，…；
③－2,2，－2,2，…；④3,3,3,3，…；
⑤0，，，，…，，…；⑥1,0，－1，…，sin，….
其中有穷数列是______；无穷数列是________；
递增数列是________；递减数列是________；
摆动数列是________；常数列是________．(填序号)
【答案】
【方法归纳】
判断数列是哪一种类型的数列时要紧扣概念及数列的特点．对于递增、递减、摆动还是常数列要从项的变化趋势来分析；而有穷还是无穷数列则看项的个数有限还是无限．
题型二 由数列的前n项求通项公式
【例1】写出数列的一个通项公式，使它的前4项是下列各数：
(1)－1，，－，；
(2)，3，，；
(3)0.9,0.99,0.999,0.999 9；
(4)3,5,3,5.
【解析】(1)任何一个整数都可以看成一个分数，所以此数列可以看做是自然数列的倒数，正负相间用(－1)的多少次幂进行调整，其一个通项公式为an＝(－1)n·.
(2)数列可化为，，，，即，，，，…，每个根号里面可分解成两数之积，前一个因数为常数3，后一个因数为2n－1，故原数列的一个通项公式为an＝＝.
(3)原数列可变形为，，，，…，故数列的一个通项公式为an＝1－.
(4)数列给出前4项，其中奇数项为3，偶数项为5，所以通项公式的一种表示方法为an＝.此数列还可以这样考虑，3与5的算术平均数为＝4,4＋1＝5,4－1＝3，因此数列的一个通项公式又可以写为an＝4＋(－1)n.
【方法归纳】
(1)据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：
①分式中分子、分母的特征；
②相邻项的变化特征；
③拆项后的特征；
④各项符号特征等，并对此进行归纳、联想．
(2)观察、分析数列中各项的特点是最重要的，观察出项与序号之间的关系、规律，利用我们熟知的一些基本数列(如自然数列、奇偶数列等)转换而使问题得到解决，对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n＋1来调整．
【跟踪训练】写出下列数列的一个通项公式：
(1)0,3,8,15,24，…；
(2)1，－3,5，－7,9，…；
(3)1，2，3，4，…；
(4)1,11,111,1 111，….
【解析】(1)观察数列中的数，可以看到0＝1－1,3＝4－1,8＝9－1,15＝16－1,24＝25－1，…，所以它的一个通项公式是an＝n2－1(n∈N*)．
(2)数列各项的绝对值为1,3,5,7,9，…，是连续的正奇数，并且数列的奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为an＝(－1)n＋1(2n－1)(n∈N*)．
(3)此数列的整数部分1,2,3,4，…恰好是序号n，分数部分与序号n的关系为，故所求的数列的一个通项公式为an＝n＋＝(n∈N*)．
(4)原数列的各项可变为×9，×99，×999，×9 999，…，易知数列9,99,999,9 999，…的一个通项公式为an＝10n－1，所以原数列的一个通项公式为an＝(10n－1)(n∈N*)．
题型三 数列的单调性
【例2】已知函数f(x)＝(x≥1)，构造数列an＝f(n)(n∈N*)．
(1)求证：an>－2；
(2)数列{an}是递增数列还是递减数列？为什么？
【解析】(1)因为f(x)＝＝＝－2＋，
所以an＝－2＋.因为n∈N*，所以an>－2.
(2)数列{an}为递减数列．理由如下：
因为an＝－2＋，所以
an＋1－an＝－
＝－＝<0
即an＋1先化简f x 的解析式，再构造{an}，然后判断an＋1－an的符号.
【方法归纳】
用作差法判断数列的单调性关键是判断符号，为此，一般要对差式进行通分，因式分解等变形；若用作商法则要特别注意分母的符号．
【跟踪训练2】已知数列{an}的第n项可以表示为，n∈N*，试判断数列的增减性．
【解析】因为{an}的第n项为，所以{an}的第n＋1项为.因为－＝－
＝
＝＝>0，
所以>，所以数列{an}的第n＋1项大于第n项，
故数列{an}是递增数列．
【易错辨析】忽视数列中n∈N*致错
例3 已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4，则an的最小值为________．
【答案】－2
【解析】∵an＝n2－5n＋4＝2－，
可知对称轴方程为n＝，
又n∈N*，故n＝2或3时，
an有最小值，且a2＝a3＝－2.
【易错警示】
出错原因
在求出an＝2－时，忘记n∈N*了，导致得出错误答案：－.
2.纠错心得
数列的定义域是正整数集合，是特殊的函数，所以解题时一定不要忘记n∈N*这一条件.
一、单选题
1．某新冠疫苗接种点统计了一周（星期一至星期日）每天接种加强针的人数（单位:百人)如下:，( )，，因不慎丢失星期六的数据，根据数据的规律，则星期六的数据为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
通过观察数列的规律，可得到从第三个数据起，每个数据等于它前面两个数据之和，根据这一结论可推得结果.
【解析】
从第三个数据起，每个数据等于它前面两个数据之和，所以星期六的数据为故选:C.
2．数列，则是这个数列的第（ ）
A．项 B．项 C．项 D．项
【答案】A
【分析】
根据数列的规律，求出通项公式，进而求出是这个数列的第几项
【解析】
数列为，故通项公式为，是这个数列的第项.
故选：A.
3．若数列满足，，则（ ）
A．2 B． C．-1 D．-2
【答案】C
【分析】
由题意得数列是周期为3的数列，即可得解.
【解析】
由，代入可得，同理可得.
由，得，从而有，
即，从而有，
所以数列的周期为3，
所以.
故选：C.
4．已知数列满足且，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．－4
【答案】A
【分析】
根据数列的递推公式，可知数列是周期为的周期数列，由此即可求出结果.
【解析】
因为数列满足且，
所以，，
所以，
又，
所以，
又，所以
所以，……
所以数列是周期为的周期数列，所以.
故选：A.
5．已知数列满足，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
写出数列的前5项，即可得出数列是以4为周期的数列，．
【解析】
解：因为，所以由已知可得
，，，
.可以判断出数列是以4为周期的数列，
所以.
故选：A
6．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题，其中一列数如下：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，……，按此规律得到的数列记为，则（ ）
A．98 B．112 C．128 D．132
【答案】B
【分析】
根据题意可得奇数项的通项公式，即可求出.
【解析】
奇数项为0，4，12，24，40，…，即
可得当为奇数时，，.
故选：B.
7．数列满足，，且，，记数列的前项和为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用递推公式求出数列的前20项，直接求和.
【解析】
因为，，且，，
所以；；；
；；；
同理递推可得：；；；；；；；；；；；.
所以=2.
故选：C
8．在数列中，，，，，则（ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】B
【分析】
计算得到数列周期为6，化简得到原式，计算得到答案.
【解析】
，故，故，数列的周期为6.
，，，，，，，
.
故选：B.
二、多选题
9．已知数列{an}中，a1＝3，an＋1＝－，能使an＝3的n可以为（ ）
A．22 B．24
C．26 D．28
【答案】AD
【分析】
通过计算找到数列的周期，即得解.
【解析】
解：由a1＝3，an＋1＝－，得a2＝－，a3＝－，a4＝3．
所以数列{an}是周期为3的数列，故a22＝a28＝3．
故选：AD
10．下列四个选项中，正确的是（ ）
A．数列的图象是一群孤立的点
B．数列1，，1，，…与数列，1，，1，…是同一数列
C．数列，，，，…的一个通项公式是
D．数列，，…，是递减数列
【答案】AD
【分析】
利用数列通项公式、数列的图象、数列的定义以及数列的单调性依次判断四个选项即可．
【解析】
解：对于A，由数列的通项公式以及可知，数列的图象是一群孤立的点，故选项A正确；
对于B，由于两个数列中的数排列的次序不同，因此不是同一数列，故选项B错误；
对于C，当通项公式为时，，不符合题意，故选项C错误；
对于D，数列，，是递减数列，故选项D正确．
故选：AD.
第II卷（非选择题）
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三、填空题
11．在数学课堂上、教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列，例如将数列1，2进行构造，第一次得到数列1，3，2；第二次得到数列1，4，3，5，2；第次得到数列1，，，，…，，2（共项），则______．
【答案】
【分析】
根据第一次得到数列1，3，2，共项，第二次得到数列1，4，3，5，2，共项，第三次得到数列1，5，4,7，3，8，5,7，2，共项，得到规律求解.
【解析】
第一次得到数列1，3，2，共项；
第二次得到数列1，4，3，5，2，共项；
第三次得到数列1，5，4,7，3，8，5,7，2，共项；
依此第n次得到数列1，，，，…，，2，共项；
解得，
故答案为：
12．数列{an}的通项公式为an＝，则a3＋a6＝________.
【答案】8
【解析】
a3＋a6＝(3＋2)＋(6－3)＝5＋3＝8.
13．已知数列满足，则该数列前26项的和为____．
【答案】
【分析】
根据递推公式可以求出数列的周期，利用周期进行求解即可.
【解析】
因为，
所以，，，，
因此该数列的周期为，且，
所以该数列前26项的和为：，
故答案为：
四、解答题
14．若数列满足，，，求．
【答案】
【分析】
计算出数列的前项的值，可知数列为周期数列，结合数列的周期性可得结果.
【解析】
解：因为，，则，，
，，
所以，数列是周期为的数列，因此，.
15．根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式，并在横线上和括号中分别填上第项的图形和点数．
（1）
（2）
（3）
【答案】
（1）第项图形见解析，通项公式为，第项的点数为
（2）第项图形见解析，通项公式为，第项的点数为
（3）第项图形见解析，通项公式为，第项的点数为
【分析】
（1）根据图形中点数的规律可作出第项的图形，并根据各项的点数可归纳出数列的通项公式；
（2）根据图形中点数的规律可作出第项的图形，并根据各项的点数可归纳出数列的通项公式；
（3）根据图形中点数的规律可作出第项的图形，并根据各项的点数可归纳出数列的通项公式.
（1）
解：设第项的点数为，
，，，，该数列的第项为，
数列的一个通项公式为，第项的图形如下图所示：
（2）
解：设第项的点数为，
，，，，该数列的第项为，
数列的一个通项公式为，第项的图形如下图所示：
（3）
解：设第项的点数为，
，，，，该数列的第项为，
数列的一个通项公式为，第项的图形如下图所示：
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4.1.1数列的概念
要点一 数列的有关概念
1．定义：按照确定的顺序排列的一列数．
2．项：数列中的每一个数叫做这个数列的项；排在第一位的数称为这个数列的第1项(也叫首项)．
3．一般形式：a1，a2，a3，…，an，…，简记为．
【重点总结】
(1)数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，也就是相当于f(n)，而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值，相当于f(n)中的n.
(2)数列1,2,3,4,5和数列5,3,2,4,1为两个不同的数列，因为二者的元素顺序不同，而集合{1,2,3,4,5}与这两个数列也不相同，一方面形式上不一致，另一方面，集合中的元素具有无序性．
要点二 数列的分类
类别 含义
按项的 个数 有穷数列 项数有限的数列
无穷数列 项数无限的数列
按项的变 化趋势 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列
递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列
常数列 各项相等的数列
摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
要点三 数列的通项公式
如果数列{an}的第n项an与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
要点四 数列与函数的关系
从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，关系如下表：
定义域 (或它的有限子集{1,2,3，…，n})
解析式 数列的通项公式
值域 自变量按照从小到大的顺序依次取值时对应的一列函数值构成
表示方法 (1)通项公式(解析法)；(2)列表法；(3)图表法
【基础自测】
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1){0,1,2,3,4}是有穷数列．( )
(2)数列1,2,3,4和数列1,2,4,3是同一数列．( )
(3)所有自然数能构成数列．( )
(4)数列1,3,5,7，…，2n＋1，…的通项公式是an＝2n＋1.( )
2．若数列{an}满足an＝2n，则数列{an}是( )
A．递增数列 B．递减数列
C．常数列 D．摆动数列
【答案】A
【解析】an＋1－an＝2n＋1－2n＝2n>0，∴an＋1>an，即{an}是递增数列．故选A.
3．(多选题)数列－1,1，－1,1，…的通项公式可以为( )
A．an＝(－1)n－1 B．an＝(－1)n
C．an＝cos nπ D．an＝sin nπ
【答案】BC
4．数列1,2，，，，…中的第26项为________．
【答案】2
【解析】因为a1＝1＝，a2＝2＝，
a3＝，a4＝，a5＝，所以an＝，
所以a26＝＝＝2.
题型一 数列的概念和分类
1．数列－11，－20，－27，…，n2－12n，…是( )
A．递增数列 B．递减数列
C．常数列 D．摆动数列
【答案】D
【解析】该数列从第2项起，第n项与第n－1项的差为(n2－12n)－[(n－1)2－12(n－1)]＝2n－13，所以该数列的前6项单调递减，从第6项往后单调递增，故选D.
2．已知下列数列：
①1,2,22,23，…，260；②1,0.5,0.52,0.53，…；
③－2,2，－2,2，…；④3,3,3,3，…；
⑤0，，，，…，，…；⑥1,0，－1，…，sin，….
其中有穷数列是______；无穷数列是________；
递增数列是________；递减数列是________；
摆动数列是________；常数列是________．(填序号)
【答案】
【方法归纳】
判断数列是哪一种类型的数列时要紧扣概念及数列的特点．对于递增、递减、摆动还是常数列要从项的变化趋势来分析；而有穷还是无穷数列则看项的个数有限还是无限．
题型二 由数列的前n项求通项公式
【例1】写出数列的一个通项公式，使它的前4项是下列各数：
(1)－1，，－，；
(2)，3，，；
(3)0.9,0.99,0.999,0.999 9；
(4)3,5,3,5.
【解析】(1)任何一个整数都可以看成一个分数，所以此数列可以看做是自然数列的倒数，正负相间用(－1)的多少次幂进行调整，其一个通项公式为an＝(－1)n·.
(2)数列可化为，，，，即，，，，…，每个根号里面可分解成两数之积，前一个因数为常数3，后一个因数为2n－1，故原数列的一个通项公式为an＝＝.
(3)原数列可变形为，，，，…，故数列的一个通项公式为an＝1－.
(4)数列给出前4项，其中奇数项为3，偶数项为5，所以通项公式的一种表示方法为an＝.此数列还可以这样考虑，3与5的算术平均数为＝4,4＋1＝5,4－1＝3，因此数列的一个通项公式又可以写为an＝4＋(－1)n.
【方法归纳】
(1)据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：
①分式中分子、分母的特征；
②相邻项的变化特征；
③拆项后的特征；
④各项符号特征等，并对此进行归纳、联想．
(2)观察、分析数列中各项的特点是最重要的，观察出项与序号之间的关系、规律，利用我们熟知的一些基本数列(如自然数列、奇偶数列等)转换而使问题得到解决，对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n＋1来调整．
【跟踪训练】写出下列数列的一个通项公式：
(1)0,3,8,15,24，…；
(2)1，－3,5，－7,9，…；
(3)1，2，3，4，…；
(4)1,11,111,1 111，….
【解析】(1)观察数列中的数，可以看到0＝1－1,3＝4－1,8＝9－1,15＝16－1,24＝25－1，…，所以它的一个通项公式是an＝n2－1(n∈N*)．
(2)数列各项的绝对值为1,3,5,7,9，…，是连续的正奇数，并且数列的奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为an＝(－1)n＋1(2n－1)(n∈N*)．
(3)此数列的整数部分1,2,3,4，…恰好是序号n，分数部分与序号n的关系为，故所求的数列的一个通项公式为an＝n＋＝(n∈N*)．
(4)原数列的各项可变为×9，×99，×999，×9 999，…，易知数列9,99,999,9 999，…的一个通项公式为an＝10n－1，所以原数列的一个通项公式为an＝(10n－1)(n∈N*)．
题型三 数列的单调性
【例2】已知函数f(x)＝(x≥1)，构造数列an＝f(n)(n∈N*)．
(1)求证：an>－2；
(2)数列{an}是递增数列还是递减数列？为什么？
【解析】(1)因为f(x)＝＝＝－2＋，
所以an＝－2＋.因为n∈N*，所以an>－2.
(2)数列{an}为递减数列．理由如下：
因为an＝－2＋，所以
an＋1－an＝－
＝－＝<0
即an＋1
【方法归纳】
用作差法判断数列的单调性关键是判断符号，为此，一般要对差式进行通分，因式分解等变形；若用作商法则要特别注意分母的符号．
【跟踪训练2】已知数列{an}的第n项可以表示为，n∈N*，试判断数列的增减性．
【解析】因为{an}的第n项为，所以{an}的第n＋1项为.因为－＝－
＝
＝＝>0，
所以>，所以数列{an}的第n＋1项大于第n项，
故数列{an}是递增数列．
【易错辨析】忽视数列中n∈N*致错
例3 已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4，则an的最小值为________．
【答案】－2
【解析】∵an＝n2－5n＋4＝2－，
可知对称轴方程为n＝，
又n∈N*，故n＝2或3时，
an有最小值，且a2＝a3＝－2.
【易错警示】
出错原因
在求出an＝2－时，忘记n∈N*了，导致得出错误答案：－.
2.纠错心得
数列的定义域是正整数集合，是特殊的函数，所以解题时一定不要忘记n∈N*这一条件.
一、单选题
1．某新冠疫苗接种点统计了一周（星期一至星期日）每天接种加强针的人数（单位:百人)如下:，( )，，因不慎丢失星期六的数据，根据数据的规律，则星期六的数据为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
通过观察数列的规律，可得到从第三个数据起，每个数据等于它前面两个数据之和，根据这一结论可推得结果.
【解析】
从第三个数据起，每个数据等于它前面两个数据之和，所以星期六的数据为故选:C.
2．数列，则是这个数列的第（ ）
A．项 B．项 C．项 D．项
【答案】A
【分析】
根据数列的规律，求出通项公式，进而求出是这个数列的第几项
【解析】
数列为，故通项公式为，是这个数列的第项.
故选：A.
3．若数列满足，，则（ ）
A．2 B． C．-1 D．-2
【答案】C
【分析】
由题意得数列是周期为3的数列，即可得解.
【解析】
由，代入可得，同理可得.
由，得，从而有，
即，从而有，
所以数列的周期为3，
所以.
故选：C.
4．已知数列满足且，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．－4
【答案】A
【分析】
根据数列的递推公式，可知数列是周期为的周期数列，由此即可求出结果.
【解析】
因为数列满足且，
所以，，
所以，
又，
所以，
又，所以
所以，……
所以数列是周期为的周期数列，所以.
故选：A.
5．已知数列满足，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
写出数列的前5项，即可得出数列是以4为周期的数列，．
【解析】
解：因为，所以由已知可得
，，，
.可以判断出数列是以4为周期的数列，
所以.
故选：A
6．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题，其中一列数如下：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，……，按此规律得到的数列记为，则（ ）
A．98 B．112 C．128 D．132
【答案】B
【分析】
根据题意可得奇数项的通项公式，即可求出.
【解析】
奇数项为0，4，12，24，40，…，即
可得当为奇数时，，.
故选：B.
7．数列满足，，且，，记数列的前项和为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用递推公式求出数列的前20项，直接求和.
【解析】
因为，，且，，
所以；；；
；；；
同理递推可得：；；；；；；；；；；；.
所以=2.
故选：C
8．在数列中，，，，，则（ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】B
【分析】
计算得到数列周期为6，化简得到原式，计算得到答案.
【解析】
，故，故，数列的周期为6.
，，，，，，，
.
故选：B.
二、多选题
9．已知数列{an}中，a1＝3，an＋1＝－，能使an＝3的n可以为（ ）
A．22 B．24
C．26 D．28
【答案】AD
【分析】
通过计算找到数列的周期，即得解.
【解析】
解：由a1＝3，an＋1＝－，得a2＝－，a3＝－，a4＝3．
所以数列{an}是周期为3的数列，故a22＝a28＝3．
故选：AD
10．下列四个选项中，正确的是（ ）
A．数列的图象是一群孤立的点
B．数列1，，1，，…与数列，1，，1，…是同一数列
C．数列，，，，…的一个通项公式是
D．数列，，…，是递减数列
【答案】AD
【分析】
利用数列通项公式、数列的图象、数列的定义以及数列的单调性依次判断四个选项即可．
【解析】
解：对于A，由数列的通项公式以及可知，数列的图象是一群孤立的点，故选项A正确；
对于B，由于两个数列中的数排列的次序不同，因此不是同一数列，故选项B错误；
对于C，当通项公式为时，，不符合题意，故选项C错误；
对于D，数列，，是递减数列，故选项D正确．
故选：AD.
第II卷（非选择题）
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三、填空题
11．在数学课堂上、教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列，例如将数列1，2进行构造，第一次得到数列1，3，2；第二次得到数列1，4，3，5，2；第次得到数列1，，，，…，，2（共项），则______．
【答案】
【分析】
根据第一次得到数列1，3，2，共项，第二次得到数列1，4，3，5，2，共项，第三次得到数列1，5，4,7，3，8，5,7，2，共项，得到规律求解.
【解析】
第一次得到数列1，3，2，共项；
第二次得到数列1，4，3，5，2，共项；
第三次得到数列1，5，4,7，3，8，5,7，2，共项；
依此第n次得到数列1，，，，…，，2，共项；
解得，
故答案为：
12．数列{an}的通项公式为an＝，则a3＋a6＝________.
【答案】8
【解析】
a3＋a6＝(3＋2)＋(6－3)＝5＋3＝8.
13．已知数列满足，则该数列前26项的和为____．
【答案】
【分析】
根据递推公式可以求出数列的周期，利用周期进行求解即可.
【解析】
因为，
所以，，，，
因此该数列的周期为，且，
所以该数列前26项的和为：，
故答案为：
四、解答题
14．若数列满足，，，求．
【答案】
【分析】
计算出数列的前项的值，可知数列为周期数列，结合数列的周期性可得结果.
【解析】
解：因为，，则，，
，，
所以，数列是周期为的数列，因此，.
15．根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式，并在横线上和括号中分别填上第项的图形和点数．
（1）
（2）
（3）
【答案】
（1）第项图形见解析，通项公式为，第项的点数为
（2）第项图形见解析，通项公式为，第项的点数为
（3）第项图形见解析，通项公式为，第项的点数为
【分析】
（1）根据图形中点数的规律可作出第项的图形，并根据各项的点数可归纳出数列的通项公式；
（2）根据图形中点数的规律可作出第项的图形，并根据各项的点数可归纳出数列的通项公式；
（3）根据图形中点数的规律可作出第项的图形，并根据各项的点数可归纳出数列的通项公式.
（1）
解：设第项的点数为，
，，，，该数列的第项为，
数列的一个通项公式为，第项的图形如下图所示：
（2）
解：设第项的点数为，
，，，，该数列的第项为，
数列的一个通项公式为，第项的图形如下图所示：
（3）
解：设第项的点数为，
，，，，该数列的第项为，
数列的一个通项公式为，第项的图形如下图所示：
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