4.3.1.2等比数列的性质及应用（知识梳理+例题+变式+练习）（解析版）

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4.3.1.2等比数列的性质及应用
要点一　等比数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(m，n∈N*)
(2)若p＋q＝s＋t(p、q、s、t∈N*)，则ap·aq＝
【重点总结】
(1)在已知等比数列{an}中任一项am及公比q的前提下，可以利用an＝amqn－m求等比数列中任意项an；
(2)已知等比数列{an}中的am和an两项，就可以使用＝qn－m求公比，其中m可大于n，也可小于n.
要点二　等比数列的单调性
已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则
(1)当或时，等比数列{an}为递增数列；
(2)当或时，等比数列{an}为递减数列；
(3)当q=1时，等比数列{an}为常数列(这个常数列中各项均不等于0)；
(4)当1<1时，等比数列{an}为摆动数列．
【重点总结】
由等比数列的通项公式可知，公比影响数列各项的符号：一般地，q>0时，等比数列各项的符号相同；q<0时，等比数列各项的符号正负交替．
要点三　等比数列的其它性质
若{an}是公比为q的等比数列，则
(1)若m，p，n(m，n，p∈N*)成等差数列，则am，ap，an成等比数列；
(2)数列{λan}(λ≠0)，，{a}都是等比数列，且公比分别是q，，q2.
(3)若{bn}是公比为p的等比数列，则{anbn}与也都是等比数列，公比分别为pq和.
(4)在数列{an}中，每隔k(k∈N*)项取出一项，按原来的顺序排列，所得数列仍为等比数列，且公比为qk＋1.
(5)在数列{an}中，连续相邻k项的和(或积)构成公比为qk(或qk2)的等比数列．
【重点总结】
若数列{an}是各项都为正数的等比数列，则数列{lg an}是公差为lg q的等差数列；
若数列{bn}是等差数列，公差为d ，则数列{cbn}是以cd(c>0且c≠1)为公比的等比数列．
【基础自测】
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积．(　　)
(2)当q>1时，{an}为递增数列．(　　)
(3)当q＝1时，{an}为常数列．(　　)
(4)若{an}，{bn}都是等比数列，则{an＋bn}是等比数列．(　　)
【答案】（1）√（2）×（3）√（4）×
2．等比数列{an}的公比q＝－，a1＝，则数列{an}是(　　)
A．递增数列 B．递减数列
C．常数列 D．摆动数列
【答案】D
【解析】∵q<0，a1>0，∴所有奇数项为正、偶数项为负，故成摆动数列，选D.
3．(多选题)若数列{an}为等比数列，则下列式子一定成立的是(　　)
A．a2＋a5＝a1＋a6 B．a1a9＝a
C．a1a9＝a3a7 D．a1a2a7＝a4a6
【答案】BC
【解析】根据等比数列的性质知BC正确．
4．在等比数列{an}中，已知a7a12＝5，则a8a9a10a11的值为________．
【答案】25
【解析】∵a7a12＝a8a11＝a9a10＝5，∴a8a9a10a11＝25.
题型一　等比数列性质的应用
【例1】已知{an}为等比数列．
(1)等比数列{an}满足a2a4＝，求a1aa5；
(2)若an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5；
(3)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．
【解析】(1)等比数列{an}中，因为a2a4＝，所以a＝a1a5＝a2a4＝，所以a1aa5＝.
(2)由等比中项，化简条件得
a＋2a3a5＋a＝25，即(a3＋a5)2＝25，
∵an>0，∴a3＋a5＝5.
(3)由等比数列的性质知a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9，
∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a10)
＝log3[(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)]
＝log395＝10.
【方法归纳】
有关等比数列的计算问题，基本方法是运用方程思想列出基本量a1和q的方程组，先解出a1和q，然后利用通项公式求解．但有时运算稍繁，而利用等比数列的性质解题，却简便快捷，为了发现性质，要充分发挥项“下标”的指导作用．
【跟踪训练1】
(1)已知数列{an}为等比数列，a3＝3，a11＝27，求a7.
(2)已知{an}为等比数列，a2·a8＝36，a3＋a7＝15，求公比q.
【解析】(1)法一：相除得q8＝9.
所以q4＝3，所以a7＝a3·q4＝9.
法二：因为a＝a3a11＝81，所以a7＝±9，
又a7＝a3q4＝3q4>0，所以a7＝9.
(2)因为a2·a8＝36＝a3·a7，而a3＋a7＝15，
所以a3＝3，a7＝12或a3＝12，a7＝3.
所以q4＝＝4或，所以q＝±或q＝±.
题型二　灵活设项求解等比数列
【例2】已知4个数成等比数列，其乘积为1，第2项与第3项之和为－，则此4个数为________________．
【解析】设此4个数为a，aq，aq2，aq3.则a4q6＝1，aq(1＋q)＝－，① 所以a2q3＝±1，当a2q3＝1时，q>0，代入①式化简可得q2－q＋1＝0，此方程无解；
当a2q3＝－1时，q<0，代入①式化简可得q2＋q＋1＝0，解得q＝－4或q＝－.
当q＝－4时，a＝－；当q＝－时，a＝8.
所以这4个数为8，－2，，－或－，，－2,8.
【变式探究】本例中的条件换为“前三个数依次成等比数列，它们的积是－8，后三个数依次成等差数列，它们的积是－80”，则这4个数为__________________．
【答案】1，－2,4,10或－，－2，－5，－8
【解析】由题意设此四个数为，b，bq，a，
则有解得或
所以这四个数为1，－2,4,10或－，－2，－5，－8.
【方法归纳】
巧设等差数列、等比数列的方法
(1)若三数成等差数列，常设成a－d，a，a＋d.若三数成等比数列，常设成，a，aq或a，aq，aq2.
(2)若四个数成等比数列，可设为，a，aq，aq2.若四个正数成等比数列，可设为，，aq，aq3.
题型三　等比数列与等差数列的综合应用
【例3】在公差为d(d≠0)的等差数列{an}和公比为q的等比数列{bn}中，已知a1＝b1＝1，a2＝b2，a8＝b3.
(1)求d，q的值；
(2)是否存在常数a，b，使得对任意n∈N*，都有an＝logabn＋b成立？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）由a2＝b2，a8＝b3，
得即
解得或(舍去)．
(2)由(1)知an＝1＋(n－1)·5＝5n－4，
bn＝b1qn－1＝6n－1.
假设存在常数a，b，使得对任意n∈N*，都有an＝logabn＋b成立，则5n－4＝loga6n－1＋b，
即5n－4＝nloga6＋b－loga6.
比较系数，得所以
故存在a＝6，b＝1，使得对任意n∈N*，都有an＝logabn＋b成立．
【解题关键】
(1)联立方程组可求．
(2)假设存在，由(1)得出方程，注意比较系数可求a，b.
【方法归纳】
求解等差、等比数列综合问题的技巧
(1)理清各数列的基本特征量，明确两个数列间各量的关系．
(2)发挥两个数列的基本量a1，d或b1，q的作用，并用好方程这一工具．
(3)结合题设条件对求出的量进行必要的检验．
【跟踪训练2】已知{an}为等差数列，且a1＋a3＝8，a2＋a4＝12.
(1)求{an}的通项公式；
(2)记{an}的前n项和为Sn, 若a1，ak，Sk＋2成等比数列，求正整数k的值。
【解析】(1)设数列{an}的公差为d，由题意知解得所以an＝a1＋(n－1)d＝2＋2(n－1)＝2n.
(2)由(1)可得Sn＝＝＝n(1＋n)．
因为a1，ak，Sk＋2成等比数列，所以a＝a1Sk＋2，从而(2k)2＝2(k＋2)(k＋3)，
即k2－5k－6＝0，解得k＝6或k＝－1(舍去)，因此k＝6.
一、单选题
1．在等比数列中，已知，，则（ ）
A．63 B． C．2 D．
【答案】A
【分析】
由于，然后利用等比数列的性质结合已知条件可得结果
【解析】由等比数列性质及得
故选：A
2．若等比数列中的，是方程的两根，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据韦达定理可得，，推出，利用等比数列的性质可得，结合对数的运算性质化简计算即可.
【解析】
是方程的两个根，
由韦达定理，得，，
所以，又为等比数列，
所以且，有
所以
.
故选：C
3．设数列为等比数列，且，则必有（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由等比数列的性质即可求解.
【解析】
因为为等比数列，
所以，又，所以，
故选：D.
4．若是各项均为正数的等比数列，且，，则（ ）
A． B． C． D．或
【答案】C
【分析】
根据等比数列的通项公式可得，求出公比再代入通项公式，即可得到答案；
【解析】
设数列的公比为，则，所以（舍去），因此.
故选：C.
5．记为正项等比数列的前项和，若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由已知求的公比，再由即可得结果.
【解析】
设公比为，则，得，解得（舍去），
∴.
故选：A.
6．等比数列{an}的首项为1，公比为q，前n项的和为S，由原数列各项的倒数组成一个新数列，则数列的前n项的和是（ ）
A． B．Sqn－1
C．Sq1－n D．
【答案】C
【分析】
根据题意，结合等比数列的性质以及求和公式，即可求解.
【解析】
根据题意，易知，数列也是等比数列，且首项为1，公比为，
故数列的前n项和为.
故选：C.
7．在等比数列{an}中，a2，a18是方程x2＋6x＋4＝0的两根，则a4a16＋a10＝（ ）
A．6 B．2
C．2或6 D．－2
【答案】B
【分析】
由等比数列的性质计算，注意判断项的正负．
【解析】
由题知a2＋a18＝－6，a2·a18＝4，所以，，故，所以a10＝，因此a4·a16＋a10＝＋a10＝2，
故选：B.
8．已知数列是递减的等比数列，的前项和为，若，，则=（ ）
A．54 B．36 C．27 D．18
【答案】C
【分析】
根据等比数列的性质及通项公式计算求解即可.
【解析】
由，
解得或（舍去），
，
，
故选：C
二、多选题
9．已知数列{an}各项均是正数，a4，a6是方程x2－4x＋a＝0(0A．若{an}是等差数列，则数列{an}前9项和为18
B．若{an}是等差数列，则数列{an}的公差为2
C．若{an}是等比数列，{an}公比为q，a＝1，则q4－14q2＋1＝0
D．若{an}是等比数列，则a3＋a7的最小值为2
【答案】AC
【分析】
对于选项A，计算得，所以A正确；
对于选项B，数列公差满足，故B错误；
对于选项C，分析推理得到，故C正确；
对于选项D，不等式中，等号不成立，故D错误．
【解析】
由条件得，．如果是等差数列，则，，∴，所以A正确；
又，∴数列公差满足，故B错误；
如果是等比数列，由得，∴，∴，即，∴，故C正确；
由已知得，由于，所以，即数列的公比不为，∴，∴在不等式中，等号不成立，故D错误．
故选：AC
10．已知等比数列的公比为，其前项的积为，且满足，，，则（ ）
A． B．
C．的值是中最大的 D．使成立的最大正整数数的值为198
【答案】ABD
【分析】
根据题目所给已知条件，结合等比数列的性质对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【解析】
∵，∴，∴.
∵，∴，
又，∴.故A正确.
由A选项的分析可知，，∴，∴，，故B正确，C不正确.
∴，
，
∴使成立的最大正整数数的值为198，故D正确.
故选：ABD
11．在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若，，则（ ）
A． B．数列是等比数列
C． D．数列是公差为2的等差数列
【答案】AB
【分析】
根据给定条件结合等比数列的性质求出等比数列的公比和通项及前项和，再逐一分析各选项即可得解.
【解析】
在等比数列中，，由得或，
而公比为整数，于是得，，
，A正确；
，，即数列是等比数列，B正确；
，C错误；
，即数列是公差为1的等差数列，D错误.
故选：AB
第II卷（非选择题）
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三、填空题
12．若等比数列的各项均为正数，且，则___________.
【答案】
【分析】
根据等比数列的性质可得，再由对数的运算性质即可求解.
【解析】
因为是各项均为正数的等比数列，则，
因为，所以，
所以
，
故答案为：.
13．若1，a，，b，25成等比数列，则实数x的值是_______．
【答案】
【分析】
结合等比数列性质可得，解方程即可.
【解析】
由1，a，，b，25成等比数列可知，，即.
故答案为：
14．若数列为等比数列，其中，是方程的两根，且，则实数______.
【答案】
【分析】
利用根与系数的关系，结合已知条件和等比数列的性质可求得答案
【解析】
由题意知，，，
所以，所以.
故答案为：
四、解答题
15．在等比数列{an}中，已知a4＋a7＝2，a5a6＝－8，求a1＋a10.
【答案】－7.
【分析】
先得到a5a6＝a4a7＝－8，再与a4＋a7＝2联立求解.
【解析】
因为数列{an}为等比数列，
所以a5a6＝a4a7＝－8.
联立可解得或
当时，q3＝－，
故a1＋a10＝＋a7q3＝－7；
当时，
q3＝－2，同理，有a1＋a10＝－7.
所以a1＋a10＝－7.
16．如果是等比数列，而且正整数s，t，p，q满足，求证：.
【答案】证明见解析.
【分析】
假设公比为，根据等比数列的通向公式计算即可.
【解析】
公比为，所以
所以
同理
由，所以
17．已知函数，，正项等比数列满足，则值是多少？.
【答案】
【分析】
先证明，由等比数列的性质可得，即，继而可得，倒序相加法即可得解.
【解析】
因为，
所以.
因为数列是等比数列，所以，
即.
设 ①，
又＋…＋ ②，
①+②，得，所以.
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