4.3.2.2等比数列前n项和公式（知识梳理+例题+变式+练习）（解析版）

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4.3.2.2等比数列的前n项和公式
要点　等比数列前n项和公式与函数的关系
等比数列前n项和公式Sn＝，
变形为：Sn＝ qn－.
【重点总结】
Sn是关于n的一个指数式与一个常数的差构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数；求解时，常设Sn ＝Aqn －A(A≠0)，用待定系数法．
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)对于公比q≠1的等比数列{an}的前n项和公式，其qn的系数与常数项互为相反数．(　　)
(2)数列{an}的前n项和为Sn＝an＋b(a≠0，a≠1)，则数列{an}一定是等比数列．(　　)
(3)数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列．(　　)
(4)若某数列的前n项和公式为Sn＝－aqn＋a(a≠0，q≠0且q≠1，n∈N*)，则此数列一定是等比数列．(　　)
【答案】（1）√（2）×（3）×（4）√
2．若等比数列{an}中，前n项和Sn＝3n＋a，则a等于(　　)
A．－4 B．－2
C．0 D．－1
【答案】D
【解析】∵a1＝S1＝3＋a，a2＝S2－S1＝6，
a3＝S3－S2＝18.
由a1·a3＝a得(3＋a)·18＝62
∴a＝－1.故选D.
3．已知a，b，c成等比数列，如果a，x，b和b，y，c都成等差数列，则＋＝(　　)
A．1 B．2
C. D.
【答案】B
【解析】(特值法)：设a，b，c分别为2,4,8.
则x＝＝3，y＝＝6∴＋＝＋＝2.故选B.
4．一座七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是________．
【答案】192
【解析】设最下面一层灯的盏数为a1，则公比q＝，n＝7，由＝381，解得a1＝192.
题型一　等比数列前n项和公式的函数特征的应用
【例1】已知数列{an}的前n项和Sn＝an－1(a是不为零且不等于1的常数)，则数列{an}(　　)
A．一定是等差数列
B．一定是等比数列
C．是等差数列或等比数列
D．既非等差数列，也非等比数列
【答案】B
【解析】当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝(a－1)an－1；
当n＝1时，a1＝a－1，满足上式．
∴an＝(a－1)an－1，n∈N*
∴＝a，
∴数列{an}是等比数列．
【方法归纳】
(1)已知Sn通过an＝求通项an，应特别注意n≥2时，an＝Sn－Sn－1.
(2)若数列{an}的前n项和Sn＝A(qn－1)，其中A≠0，q≠0且q≠1，则{an}为等比数列．
【跟踪训练1】若{an}是等比数列，且前n项和为Sn＝3n－1＋t，则t＝________.
【答案】－
【解析】显然q≠1
此时应有Sn＝A(qn－1)
又Sn＝·3n＋t∴t＝－
题型二　等差数列、等比数列的综合问题
【例2】已知Sn是等比数列{an}的前n项和且公比q≠1,1是S2和 S3的等差中项，6是2S2和3S3的等比中项．
(1)求S2和S3；
(2)求数列{an}的前n项和公式；
(3)求数列{Sn}的前n项和．
【解析】(1)根据已知条件，
整理得解得
(2) 因为q≠1，所以解得
所以Sn＝＝－n.
(3)由(2)得S1＋S2＋…＋Sn
＝n－·
＝n＋
【方法归纳】
等差数列与等比数列综合应用的问题，一般通过基本量和通项公式，前n项和公式，等差、等比中项及相关性质列方程求解．
【跟踪训练2】已知数列{an}是等比数列，其中a7＝1，且a4，a5＋1，a6成等差数列．
求数列{an}的通项公式．
【解析】方法一：设等比数列{an}的公比为q，由a7＝a1q6＝1，得a1＝q－6，从而a4＝a1q3＝q－3，a5＝a1q4＝q－2，a6＝a1q5＝q－1.
因为a4，a5＋1，a6成等差数列，所以q－3＋q－1＝2(q－2＋1)，
即q－1(q－2＋1)＝2(q－2＋1)，所以q＝.
故an＝a1qn－1＝q－6·qn－1＝n－7.
方法二：设等比数列{an}的公比为q，由已知a7＝1，得an＝a7qn－7＝qn－7，则a4＝q－3，a5＝q－2，a6＝q－1.
又a4，a5＋1，a6成等差数列，则q－3＋q－1＝2(q－2＋1)，
即q－1(q－2＋1)＝2(q－2＋1)，从而q＝.
故an＝qn－7＝n－7.
方法三：设等比数列{an}的公比为q，由已知a7＝1，且a4，a5＋1，a6成等差数列，知a4，a5＋a7，a6成等差数列，则a4＋a6＝2(a5＋a7)，即a4＋a6＝2q(a4＋a6)．注意到a4＋a6≠0，所以q＝，故an＝a7qn－7＝n－7.
方法四：设等比数列{an}的公比为q，由已知a7＝1，且a4，a5＋1，a6成等差数列，知a4，a5＋a7，a6成等差数列，则q＝＝＝＝，故an＝a7qn－7＝n－7.
题型三　等比数列前n项和公式的实际应用
【例3】水土流失是我国西部大开发中最突出的生态问题．已知西部某地区有耕地3 000万亩需要退耕还林，国家确定2000年在该地区退耕还林的土地面积为300万亩，以后每年退耕还林的土地面积比上一年递增20%，那么从2000年起，到哪一年该地区基本解决退耕还林问题？(log1.23＝6)。
【解析】设该地区从2000年起每年退耕还林的面积组成一个数列{an}，
由题意得：an＋1＝an(1＋20%)
∴{an}是首项为a1＝300，公比为1.2的等比数列．
设{an}的前n项和为Sn，则Sn＝3 000.
∴＝3 000，即1.2n＝3.
解得n＝log1.23＝6.
∴到2005年该地区基本解决退耕还林问题．
【方法归纳】
解数列应用题的具体方法步骤：
(1)认真审题，准确理解题意，达到如下要求：
①明确问题属于哪类应用问题，即明确是等差数列问题还是等比数列问题还是含有递推关系的数列问题？是求an，还是求Sn？特别要注意准确弄清参数是多少．
②弄清题目中主要的已知事项．
(2)抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达．
(3)将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，列出满足题意的数学关系式．
【跟踪训练3】一个热气球在第一分钟上升了25 m的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125 m吗？
【解析】用an表示热气球在第n分钟上升的高度．
由题意，得an＋1＝an.
因此，数列{an}是首项a1＝25，公比q＝的等比数列．
热气球在前n分钟内上升的总高度为Sn＝a1＋a2＋…＋an＝＝＝125×<125.
故这个热气球上升的高度不可能超过125 m.
一、单选题
1．等比数列的前n项和为，若，，则（ ）．
A．10 B．20 C．20或10 D．20或10
【答案】B
【分析】
由等比数列的片段和性质求解．
【解析】
解：由等比数列的性质可得：
，，成等比数列，
，
解得，或，
，
，
．
故选：B．
2．等比数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．10 B．70 C．30 D．90
【答案】B
【分析】
根据等差数列前项和的性质来求得.
【解析】
由等比数列的性质可得，，，成等比数列
∴（S20－S10）2＝S10·（S30－S20）
∴400＝10·（S30－30）
∴S30＝70
故选：B.
3．一个等比数列的前7项和为48，前14项和为60，则前21项和为（ ）
A．180 B．108
C．75 D．63
【答案】D
【分析】
由等比数列前n项和的性质S7，S14－S7，S21－S14组成等比数列，分析即得解
【解析】
由题意得S7，S14－S7，S21－S14组成等比数列48，12，3，
即S21－S14＝3，∴S21＝63.
故选：D
4．在等比数列中，已知，，（ ）
A．32 B．16 C．35 D．162
【答案】A
【分析】
由等比数列前项和的性质知，当数列依次每项和不为0时，则依次每项和仍成等比数列，所以，，，，成等比数列，且公比为，根据，，即可求出，从而求出；
【解析】
解：由等比数列前项和的性质知，当数列依次每项和不为0时，则依次每项和仍成等比数列，所以，，，，成等比数列，且公比为．又，，所以，所以．
故选：A
5．设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且满足条件，，，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C．的最大值为 D．的最大值为
【答案】C
【分析】
讨论与不成立可判断A；利用等比数列的下标和性质可判断B；根据单调递增可判断C；根据的取值可判断D.
【解析】
若，则，，所以，与矛盾；
若，则因为，所以，，则，与矛盾，
因此，所以A正确．
因为，所以，因此，即B正确．
因为，所以单调递增，即的最大值不为，C错误．
因为当时，，当时，，
所以的最大值为，即D正确．
故选：C
6．已知正项等比数列的前项和为，若，，成等差数列，则的最小值为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用等比数列前项和的性质表示出，再表示成同一变量，然后利用基本不等式求出其最小值即可.
【解析】
因为是正项等比数列，
所以，，仍然构成等比数列，
所以.
又，，成等差数列，
所以，，
所以.
又是正项等比数列，
所以，，当且仅当时取等号.
故选：B.
7．已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的倍，前项之积为，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
求出等比数列的公比，结合等比中项的性质求出，即可求得的值.
【解析】
由题意可得所有项之和是所有偶数项之和的倍，所以，，故
设等比数列的公比为，设该等比数列共有项，
则，所以，，
因为，可得，因此，.
故选：C.
8．设等比数列的前项和为则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由可得，又，结合即得解
【解析】
由题意，设等比数列的公比为
，
又
故选：C
二、多选题
9．给出以下命题，其中错误的命题的是（ ）
A．若数列是等差数列，且（），则
B．若是等比数列的前n项和，则成等比数列
C．若是等比数列的前n项和，且（其中A，B是非零常数，），则
D．若数列的前n项和（a，b，c为常数）则数列为等差数列
【答案】ABD
【分析】
选项A. 设可判断；选项B. 设等比数列，则，可判断；选项C. 由可判断；选项D. 当时数列不为等差数列，可判断.
【解析】
选项A. 设，则满足数列是等差数列，
对任意成立，则此时不成立，所以选项A错误.
选项B. 设等比数列，则,
显然不成等比数列，故选项B错误.
选项C. 当等比数列的公比时，,不能写成的形式，
故，所以
所以,则，故选项C正确.
选项D. 由，
当时，
当时，不满足，此时数列不为等差数列，故选项D不正确.
故选：ABD
10．设数列前项和为，关于数列有下列命题，其中正确的命题是（ ）
A．若则既是等差数列又是等比数列
B．若，则为等差数列
C．若为等比数列，则成等比数列
D．若，是等比数列
【答案】BD
【分析】
举出反例，如，即可判断A；
根据与的关系，求得数列的通项公式，再结合等差数列的定义即可判断B；
举出反例，如为，为偶数时，即可判断C；
根据与的关系，求得数列的通项公式，再结合等比数列的定义即可判断D；
【解析】
对于A，若，则既是等差数列，但不一定是等比数列，故A错误；
对于B，由，
当时，，
当时，，
当时，适合上式，
所以，
则为常数，
所以为等差数列，故B正确；
对于C，若为等比数列，如为，为偶数时，
，由等比数列中没有0这一项，
所以不成等比数列，故C错误；
对于D，若，
当时，，
当时，，
当时，适合上式，
所以，
则，
所以数列是以2为首项，-1为公比的等比数列，故D正确.
故选：BD.
11．设数列的前项和为，下列命题正确的是（ ）
A．若为等差数列，则，，仍为等差数列
B．若为等比数列，则，，仍为等比数列
C．若为等差数列，则（为正常数）为等比数列
D．若为等比数列，则为等差数列
【答案】AC
【分析】
根据等差数列和等比数列的定义判断．
【解析】
是等差数列，
，，，
所以，
，
即，所以，，仍为等差数列，所以A正确，
设，，，为常数，所以是等比数列，C正确，
是等比数列，设，
若，，则，，，不可能是等比数列，B错；
若，中正负相间，时无意义，数列不存在，D错．
故选：AC．
第II卷（非选择题）
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三、填空题
12．已知等比数列满足，则________．
【答案】50
【分析】
由等比数列性质知，成等比数列，便可求得的值.
【解析】
设数列的前n项和为，则，，所以，
又因为数列为等比数列，所以成等比数列，于是，解得，所以.
故答案为：
13．设正项等比数列{an}的首项a1＝，前n项和为Sn，且210S30－(210＋1)S20＋S10＝0，则公比q＝________.
【答案】
【分析】
利用变形求得，利用等比数列的性质可以得到，结合等比数列{an}为正项数列，进而求出公比
【解析】
由210S30－(210＋1)S20＋S10＝0，
得210(S30－S20)＝S20－S10.
∴，
∵数列{an}是等比数列
∴
故，解得：
因为等比数列{an}为正项数列，所以，故
故答案为：
14．已知等比数列{an}的公比为，则的值是________.
【答案】
【分析】
由等比数列的通项公式与性质求解即可
【解析】
∵等比数列{an}的公比为，
则.
故答案为：
四、解答题
15．已知首项为的等比数列的前项和为，且，，成等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）求，并求的最大值．
【答案】（1）；（2），最大值为.
【分析】
（1）已知是等比数列，所以用基本量进行计算即可
（2）写出关于的表达式，观察可发现是对勾函数的形式，且变量的范围已知，所以可以求解函数的最大值
【解析】
（1）设等比数列的公比为,
因为, , 成等差数列，所以，
即, 所以，即, 可得,
又因为, 所以等比数列的通项公式为．
故数列的通项公式为．
（2）由（1）得,
所以，
所以 ,令，因为，所以，
则，且在单调递减
当，即时，,
所以的最大值为.
16．设Sn为等比数列{an}的前n项和，已知满足______，求公比q以及a12+a22+…+an2．
从①a2a5=-32且a3+a4=-4，②a1=1且S6=9S3，③S2=a3-1且S3＝a4-1这三组条件中任选一组，补充到上面问题中，并完成解答．
【答案】答案见解析
【分析】
由选出的题设条件求出等比数列{an}的首项、公比，判断为等比数列，利用公式求和而得.
【解析】
若选①，则有a2a5=a3a4=-32，故有a3a4=-32，a3+a4=-4，解得a3=4，a4=-8，或a3=-8，a4=4，即q=-2或，
因为是以为首项，q2为公比的等比数列，
若q=-2，则a1==1，此时；
若，则a1=-32，此时．
若选②，S3≠0，，即q3=8，故q=2．
因为是以为首项，q2为公比的等比数列，所以．
若选③，S2=a3-1，S3=a4-1，两式相减，得a3=a4-a3，即a4=2a3，故q=2．
又a1+a2=a3-1，则a1+2a1=4a1-1，即a1=1．
因为是以为首项，q2为公比的等比数列，所以．
【点睛】
利用等比数列前n项和公式求和时，要注意公比q是否为1.
17．设Sn为等比数列{an}的前n项和，已知满足___________，
（1）求公比q以及.
（2）设数列满足，n，求数列的前n项和.
从① ② ,③ 这三组条件中任选一组，补充到上面问题中，并完成解答.
【答案】若选① ，（1）q=2, ;(2)
若选② ，（1）q=2, ;(2)
若选③ ，(1) q=-2，；（2）
【分析】
（1）根据等比数列的定义易得是以为首项，q2为公比的等比数列，结合公式即可求解；（2）利用错位相减法求和即可.
【解析】
若选① ，（1），即q3=8，故q=2.
因为是以为首项，q2为公比的等比数列，所以.
（2）因为数列{an}是公比为2的等比数列，
所以=2，因此bn=n×2n-1.
所以
则,
两式相减得-
所以
若选② ，(1)S2=a3-1(*)，S3=a4-1(**)
令(**)式减(*)式，得a3=a4﹣a3，即a4=2a3，故q=2.
则(*)式中，a1+a2=a3-1，即a1+2a1=4a1-1，即a1=1.
因为是以为首项，q2为公比的等比数列，所以.
（2）因为数列{an}是公比为2的等比数列，
所以=2，因此bn=n×2n-1.
所以
则,
两式相减得-
所以
若选③ ，(1)a2a5=a3a4=-32，故有a3a4=-32，a3+a4=-4，解得a3=4，a4=-8，或a3=-8，a4=4，即q=-2或.
因为是以为首项，q2为公比的等比数列，
若q=-2，a1=1，此时；
若，a1=-32，不符合题设，舍去.
（2）因为数列{an}是公比为-2的等比数列，
所以=-2，因此bn=n×(-2)n-1.
所以
则,
两式相减得所以
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