课时2.1.2 整式（2）多项式及整式
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
代数式的概念
1．在中，是代数式的有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
2．代数式的意义是（ ）
A．m除以n减2 B．除m
C．n与2的差除以m D．m除以n与2的差所得的商
3、用代数式表示：
(1)甲数与乙数的和为10，设甲数为y，则乙数为 ；
(2)甲数比乙数的2倍多4，设甲数为x，则乙数为 ；
(3)大华身高为a(cm)，小亮身高为b(cm)，他们俩的平均身高为 cm；
(4)把a(g)盐放进b(g)水中溶化成盐水，这时盐水的含盐率为 %；
(5)某船在一条河中逆流行驶的速度为5 km/h，顺流行驶速度是y km/h，则这条河的水流速度是______km/h．
【划考点】1、诸如：16n ，2a+3b ，34 ，，等式子，它们都是用运算符号把数和字母连接而成的，像这样的式子叫做代数式，单独的一个数或一个字母也是代数式。
2、带等号或不等号的式子不是代数式，如，，等都不是代数式；
3、代数式的书写规范：
（1）字母与数字或字母与字母相乘时，通常把乘号写成“· ”或省略不写；
（2）除法运算一般以分数的形式表示；
（3）字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面；
（4）字母前面的数字是分数的，如果既能写成带分数又能写成假分数，一般写成假分数的形式；
（5）如果字母前面的数字是1，通常省略不写。
整式：单项式和多项式
4．在代数式﹣2x2，ax，，1+a，﹣b，，中单项式共有（ ）
A．2个 B．4个 C．6个 D．7个
5．下列说法正确的是（ ）
A．的项是，，5 B．与都是多项式
C．多项式的次数是3 D．一个多项式的次数是6，则这个多项式中只有一项的次数是6
6．如果多项式是为关于的二次三项式，则的值为（ ）
A．2 B． C． D．1
7．下列各式：﹣mn，，x2+2x+6，，中，整式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．若多项式式是关于，的五次三项式，则常数的值是______．
【划考点】1、（1）单项式的定义：如，，-1，它们都是数与字母的 ，像这样的式子叫单项式，单独的 也是单项式；
注意：单项式一定是代数式，但若分母中含有字母的代数式，如就不是单项式，因为它无法写成数字与字母的乘积。
（2）单项式的系数：单项式中的 叫做这个单项式的系数；
（3）单项式的次数：一个单项式中， 和叫做这个单项式的次数。
2、(1)多项式的定义：几个单项式的 叫做多项式；
(2)多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做 ；
(3)多项式的次数：一个多项式中，次数 的次数，叫做这个多项式的次数．
3、整式：单项式与多项式统称为整式。
1．在下列式子：中，是代数式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．下列各式：①1x；②2 3；③20%x；④a－b÷c；⑤；⑥x－5；其中，不符合代数式书写要求的有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
3．设某数为m，那么代数式表示（ ）
A．某数的3倍的平方减去5除以2 B．某数的3倍减5的一半
C．某数与5的差的3倍除以2 D．某数平方的3倍与5的差的一半
4．已知是关于，的单项式，且这个单项式的次数为5，则该单项式是（ ）
A． B． C． D．
5．下列说法正确的是（ ）
A．a2+2a+32是三次三项式 B．的系数是4
C．的常数项是﹣3 D．0是单项式
6．下列说法正确的有（ ）
①的项是，，2；②为多项式；③多项式的次数是2；④一个多项式的次数是3，则这个多项式中只有一项的次数是3；⑤单项式的系数是；⑥0不是整式．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
7．多项式的项数及次数分别是（ ）
A．3，3 B．3，2 C．2，3 D．2，2
8．若代数式2x2+7kxy﹣y2中不含xy项，则k的值为（ ）
A．0 B．﹣ C． D．1
9．将多项式按字母的降幂排列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．把多项式按字母的降幂排列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．代数式7x2y－，3ab＋，－a2b＋，，－5中不是整式的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12． －5xy2的次数是________，其系数是________；3x2＋2x－xy2的次数是________．
13．下列各式中：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，单项式有________，多项式有________．（只填序号）
14．请写出一个含字母的四次单项式__．
15．将下列代数式的序号填入相应的横线上．
①；②；③；④0；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨．
（1）单项式：_______________；
（2）多项式：_______________；
（3）整式：_________________；
（4）二项式：_______________．
16．多项式有________项，其中次数最高项是________，常数项是________．
17．如图是用棋子摆成的图案，摆第1个图案需要7枚棋子，摆第2个图案需要19枚棋子，摆第3个图案需要37枚棋子，按照这样的方式摆下去，则摆第10个图案需要__________枚棋子．
18．有一个多项式为，按照这样的规律写下去，第2019项为________；第项为________．
19．已知关于的整式．
（1）若此整式是单项式，求的值；
（2）若此整式是二次多项式，求的值；
（3）若此整式是二项式，求的值．
20．单项式与，是次数相同的单项式，求的值．
21．已知多项式是六次四项式，且的次数跟它相同．
（1）求m、n的值；
（2）求多项式各项的系数和．
22．有一系列单项式：，，，，，，，．
（1）你能说出它们的规律是什么吗
（2）写出第101个、第个单项式．
（3）写出第2n个、第个单项式．
23．把下列各代数式填在相应的大括号里．（只需填序号）
①x-7;②;③4ab;④;⑤;⑥y;⑦;⑧;⑨;⑩; ; ; -1.
单项式集合_______________；多项式集合_______________；整式集合_______________
24．已知多项式的常数项是，次数是．
（1）则_______，_______；并将这两数在数轴上所对应的点、表示出来；
（2）数轴上有一点到、两点的距离之和为，求点在数轴上所对应的数；
（3）若点，点同时沿数轴向正方向运动．点的速度是点的倍，且秒后，，求点的速度．
25．（1）为了计算1+2+3+…+8的值，我们构造图形（图1），共8行，每行依次比上一行多一个点．此图形共有（1+2+3+…+8）个点．如图2，添出图形的另一半，此时共8行9列，有8×9＝72个点，由此可得1+2+3+…+8=×72=36．
用此方法，可求得1+2+3+…+20= （直接写结果）．
（2）观察下面的点阵图（如图3），解答问题：
填空：①1+3+5+…+49= ；
②1+3+5…+（2n+1）= ．
（3）请构造一图形，求 （画出示意图，写出计算结果）．
(
1
)课时2.1.2 整式（2）多项式及整式
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
代数式的概念
1．在中，是代数式的有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】A
【解析】，含有“=”和“>”，所以不是代数式，则是代数式的有其5个，故选：A．
2．代数式的意义是（ ）
A．m除以n减2 B．除m
C．n与2的差除以m D．m除以n与2的差所得的商
【答案】D
【解析】解：代数式表示m除以n与2的差所得的商，故选：D．
3、用代数式表示：
(1)甲数与乙数的和为10，设甲数为y，则乙数为 ；
(2)甲数比乙数的2倍多4，设甲数为x，则乙数为 ；
(3)大华身高为a(cm)，小亮身高为b(cm)，他们俩的平均身高为 cm；
(4)把a(g)盐放进b(g)水中溶化成盐水，这时盐水的含盐率为 %；
(5)某船在一条河中逆流行驶的速度为5 km/h，顺流行驶速度是y km/h，则这条河的水流速度是______km/h．
【答案】(1)10－y (2) (3) (4) (5)
【解析】(1) 甲数与乙数的和为10，设甲数为y，则乙数为：；
(2)甲数比乙数的2倍多4，设甲数为x，则乙数为：；
(3)大华身高为a(cm)，小亮身高为b(cm)，他们俩的平均身高为：cm；
(4)把a(g)盐放进b(g)水中溶化成盐水，这时盐水的含盐率为：%；
(5)某船在一条河中逆流行驶的速度为5 km/h，顺流行驶速度是y km/h，则这条河的水流速度是： km/h．
故答案为：(1)； (2) ； (3) ；(4) ； (5) ．
【划考点】1、诸如：16n ，2a+3b ，34 ，，等式子，它们都是用运算符号把数和字母连接而成的，像这样的式子叫做代数式，单独的一个数或一个字母也是代数式。
2、带等号或不等号的式子不是代数式，如，，等都不是代数式；
3、代数式的书写规范：
（1）字母与数字或字母与字母相乘时，通常把乘号写成“· ”或省略不写；
（2）除法运算一般以分数的形式表示；
（3）字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面；
（4）字母前面的数字是分数的，如果既能写成带分数又能写成假分数，一般写成假分数的形式；
（5）如果字母前面的数字是1，通常省略不写。
整式：单项式和多项式
4．在代数式﹣2x2，ax，，1+a，﹣b，，中单项式共有（ ）
A．2个 B．4个 C．6个 D．7个
【答案】B
【解析】解：代数式﹣2x2，ax，，1+a，﹣b，，中，﹣2x2，ax，，﹣b是单项式，共4个；是多项式；，不是整式．故选：B．
5．下列说法正确的是（ ）
A．的项是，，5 B．与都是多项式
C．多项式的次数是3 D．一个多项式的次数是6，则这个多项式中只有一项的次数是6
【答案】B
【解析】解：A．的项是，5，故错误；B．与都是多项式，故正确；C．多项式的次数是2，故错误；D．一个多项式的次数是6，则这个多项式中不一定只有一项的次数是6，如，故错误．故选B．
6．如果多项式是为关于的二次三项式，则的值为（ ）
A．2 B． C． D．1
【答案】D
【解析】解：因为多项式是为关于的二次三项式，
所以，解得，即．故选：D．
7．下列各式：﹣mn，，x2+2x+6，，中，整式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】解：﹣mn，x2+2x+6，，是整式，整式有4个，的分母含字母，不是整式，故选：D．
8．若多项式式是关于，的五次三项式，则常数的值是______．
【答案】-4
【解析】解：∵3x2y|m+1|-（2-m）y2-1是关于x、y的五次三项式，
∴|m+1|=3，-（2-m）≠0，解得：m=-4．故答案为：-4．
【划考点】1、（1）单项式的定义：如，，-1，它们都是数与字母的 积 ，像这样的式子叫单项式，单独的 一个数或一个字母 也是单项式；
注意：单项式一定是代数式，但若分母中含有字母的代数式，如就不是单项式，因为它无法写成数字与字母的乘积。
（2）单项式的系数：单项式中的 数字因数 叫做这个单项式的系数；
（3）单项式的次数：一个单项式中， 所有字母的指数 和叫做这个单项式的次数。
2、(1)多项式的定义：几个单项式的 和 叫做多项式；
(2)多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做 常数项 ；
(3)多项式的次数：一个多项式中，次数 最高的项 的次数，叫做这个多项式的次数．
3、整式：单项式与多项式统称为整式。
1．在下列式子：中，是代数式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】解：题中的代数式有，共2个，故选：B．
2．下列各式：①1x；②2 3；③20%x；④a－b÷c；⑤；⑥x－5；其中，不符合代数式书写要求的有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】C
【解析】①中分数不能为带分数；②2 3中数与数相乘不能用“.”；③20%x，书写正确；④a－b÷c中不能出现除号；⑤书写正确；⑥x－5书写正确；不符合代数式书写要求的有①②④共3个.故选：C.
3．设某数为m，那么代数式表示（ ）
A．某数的3倍的平方减去5除以2 B．某数的3倍减5的一半
C．某数与5的差的3倍除以2 D．某数平方的3倍与5的差的一半
【答案】D
【解析】解：因为设某数为m，所以代数式表示：某数平方的3倍与5的差的一半．故选：D．
4．已知是关于，的单项式，且这个单项式的次数为5，则该单项式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：∵已知 mx2ym+1 是关于 x ， y 的单项式，且的次数为5，
∴，即．∴该单项式为．故选：C
5．下列说法正确的是（ ）
A．a2+2a+32是三次三项式 B．的系数是4
C．的常数项是﹣3 D．0是单项式
【答案】D
【解析】解：A、a2+2a+32是二次三项式，故此选项错误；B、的系数是，故此选项错误；C、的常数项是，故此选项错误；D、0是单项式，故此选项正确．
故选：D．
6．下列说法正确的有（ ）
①的项是，，2；②为多项式；③多项式的次数是2；④一个多项式的次数是3，则这个多项式中只有一项的次数是3；⑤单项式的系数是；⑥0不是整式．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【解析】解析：的项是，所以①错误：是多项式，所以②正确：多项式的次数是2．所以③正确；
一个多项式的次数是3，则这个多项式中不一定只有一项次数是3，如，所以④错误；单项式的系数是，所以⑤错误；0是整式，所以⑥错误，
所以正确的是②③，共2个故选：A．
7．多项式的项数及次数分别是（ ）
A．3，3 B．3，2 C．2，3 D．2，2
【答案】A
【解析】是三次三项式．次数是3，项数是3，故选：A．
8．若代数式2x2+7kxy﹣y2中不含xy项，则k的值为（ ）
A．0 B．﹣ C． D．1
【答案】A
【解析】解：∵代数式2x2+7kxy﹣y2中不含xy项，∴7k＝0．
解得：k＝0．故选：A．
9．将多项式按字母的降幂排列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】解：根据题意，按字母的降幂排列正确的是；故选：B．
10．把多项式按字母的降幂排列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】按字母的降幂排列为：．故选：D．
11．代数式7x2y－，3ab＋，－a2b＋，，－5中不是整式的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】解：在代数式7x2y－ ，3ab＋，－a2b＋，，－5中，不是整式的有：7x2y－，，共2个，故选：B．
12． －5xy2的次数是________，其系数是________；3x2＋2x－xy2的次数是________．
【答案】3 －5 3
【解析】解：单项式－5xy2的次数是3，其系数是-5；多项式3x2＋2x－xy2的次数是3；
故答案为：3，－5，3．
13．下列各式中：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，单项式有________，多项式有________．（只填序号）
【答案】②③ ①⑥⑦
【解析】单项式有②，③m；多项式有①，⑥，⑦．
故答案是：②③；①⑥⑦．
14．请写出一个含字母的四次单项式__．
【答案】xy3
【解析】解：含字母x和y的四次单项式可以是xy3，故答案为：xy3．
15．将下列代数式的序号填入相应的横线上．
①；②；③；④0；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨．
（1）单项式：_______________；
（2）多项式：_______________；
（3）整式：_________________；
（4）二项式：_______________．
【答案】③④⑨ ①②⑤ ①②③④⑤⑨ ②⑤
【解析】（1）单项式有：③，④0，⑨；
（2）多项式有：①，②，⑤；
（3）整式有：①，②，③，④0，⑤，⑨；
（4）二项式有：②，⑤；
故答案为：（1）③④⑨；（2）①②⑤；（3）①②③④⑤⑨；（4）②⑤
16．多项式有________项，其中次数最高项是________，常数项是________．
【答案】四 ， ，
【解析】∵多项式中有，，2x，1四个单项式，
∴多项式有四项，次数最高项是，常数项是1，
故答案为：四，，1．
17．如图是用棋子摆成的图案，摆第1个图案需要7枚棋子，摆第2个图案需要19枚棋子，摆第3个图案需要37枚棋子，按照这样的方式摆下去，则摆第10个图案需要__________枚棋子．
【答案】331
【解析】解：第一个图案中，棋子总数是；
第二个图案中，棋子总数为；
第三个图案中，棋子总数为；
……
第个图案中，棋子总数有；
所以当时，棋子总数为：
（枚），
即摆第10个图案需要331枚棋子﹒故答案为：331．
18．有一个多项式为，按照这样的规律写下去，第2019项为________；第项为________．
【答案】 ，
【解析】解：有一个多项式为：，按此规律写下去，
第2019项是，第n个项是．故答案为：；．
19．已知关于的整式．
（1）若此整式是单项式，求的值；
（2）若此整式是二次多项式，求的值；
（3）若此整式是二项式，求的值．
【答案】（1）；（2）；（3）或-3.
【解析】解：由题意可知：
（1）且时，原式为单项式，解得k=3；
（2）且k-3≠0时，原式是二次多项式，解得k=-3；
（3）当且k-3≠0时，原式为二项式，解得k=-3；
当k=0时，原式为二项式；∴或-3.
20．单项式与，是次数相同的单项式，求的值．
【答案】5
【解析】解：因为单项式与是次数相同的单项式，
∴2+m=3+4，解得：m=5．
21．已知多项式是六次四项式，且的次数跟它相同．
（1）求m、n的值；
（2）求多项式各项的系数和．
【答案】（1），；（2）-13
【解析】解：（1）∵多项式是六次四项式，
∴，解得，，
5-m=5-3=2，的次数与多项式的次数相同，
，解得，．
（2）各项的系数之和为：．
22．有一系列单项式：，，，，，，，．
（1）你能说出它们的规律是什么吗
（2）写出第101个、第个单项式．
（3）写出第2n个、第个单项式．
【答案】（1）；（2），；（3）第2n个单项式为，第个单项式是．
【解析】解：（1）由，，，，，，可以得到：
每个单项式的系数的绝对值与字母a的指数均与序号相等，且奇数项系数为负，偶数项系数为正，第n个单项式是；
（2）第101个单项式为，第2016个单项式为；
（3）第2n个单项式为，
第个单项式是．
23．把下列各代数式填在相应的大括号里．（只需填序号）
①x-7;②;③4ab;④;⑤;⑥y;⑦;⑧;⑨;⑩; ; ; -1.
单项式集合_______________；多项式集合_______________；整式集合_______________
【答案】（1）②③⑥ ；
（2）①⑧⑨⑩；
（3）①②③⑥⑧⑨⑩ .
【解析】解：单项式有：②，③，⑥， ， ；
多项式有：①，⑧，⑨，⑩；
整式有：①x-7；②；③4ab；⑥y；⑧；⑨；⑩； ； -1.
故答案为②③⑥ ；①⑧⑨⑩；①②③⑥⑧⑨⑩ ；
24．已知多项式的常数项是，次数是．
（1）则_______，_______；并将这两数在数轴上所对应的点、表示出来；
（2）数轴上有一点到、两点的距离之和为，求点在数轴上所对应的数；
（3）若点，点同时沿数轴向正方向运动．点的速度是点的倍，且秒后，，求点的速度．
【答案】（1）﹣4，3．点A、B在数轴上表示见解析；（2）5或﹣6；（3）为或．
【解析】解：（1）∵不含字母的项是﹣4，次数最高的项的次数是3，
所以多项式x3﹣3xy2﹣4的常数项﹣4，次数是3．即：a=﹣4，b=3，
点A、B在数轴上表示如图所示：
（2）解：①当点C在点A的左侧，对应的数字为m，
由于AC+BC=11，即（﹣4﹣m）+（3﹣m）=11，解得m=﹣6；
②当点C在点B的右侧，对应的数字为n，
由于AC+BC=11，即（n+4）+（n﹣3）=11，解得n=5；
所以点C在数轴上所对应的数为5或﹣6；
（3）解：设点B移动的速度为x，则点A移动的速度为2x，
①当移动后点A在原点右侧时，由题意得，解得，
②当移动后点A在原点左侧时，由题意，解得
∴点B的速度为或，
答：点B的速度为B的速度为或．
25．（1）为了计算1+2+3+…+8的值，我们构造图形（图1），共8行，每行依次比上一行多一个点．此图形共有（1+2+3+…+8）个点．如图2，添出图形的另一半，此时共8行9列，有8×9＝72个点，由此可得1+2+3+…+8=×72=36．
用此方法，可求得1+2+3+…+20= （直接写结果）．
（2）观察下面的点阵图（如图3），解答问题：
填空：①1+3+5+…+49= ；
②1+3+5…+（2n+1）= ．
（3）请构造一图形，求 （画出示意图，写出计算结果）．
【答案】（1）210；（2）①625；②(n+1)2；（3）图见解析，
【解析】解：（1）1+2+3+ +20=（1+20）×20=21×10=210；故答案为：210；
（2）由点阵图可知：一个数时和为1=12，
2个数时和为4=22，3个数时和为9=32， ，n个数时和为n2．
①∵1+3+5+…+49中有25个数，∴1+3+5+…+49=252=625．
②∵1+3+5…+（2n+1）中有(n+1)个数，∴1+3+5…+（2n+1）=(n+1)2．
故答案为：625；(n+1)2；
（3）由题意画出图形如下：假定正方形的面积为1，
第一次将正方形分割为和两部分，第二次将正方形的分割为和两部分，
，以此类推，第2020次分割后，剩余的面积为，
那么除了剩余部分的面积，前面所有分割留下的面积应该是：
，∴，
左右两边同除以2得：
．∴原式． (
1
)
