2021-2022学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册专题2.8 直线与圆锥曲线的位置关系 专题检测卷
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册专题2.8 直线与圆锥曲线的位置关系 专题检测卷 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.0MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-11-30 10:50:49 | ||
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文档简介
专题2.8 直线与圆锥曲线的位置关系 专题检测卷
一、单选题
1．已知抛物线C：y2＝12x的焦点为F，A为C上一点且在第一象限，以F为圆心，FA为半径的圆交C的准线于B，D两点，且A，F，B三点共线，则|AF|＝（ ）
A．16 B．10 C．12 D．8
2．已知、是双曲线上关于原点对称的两点，是上异于、的动点，设直线、的斜率分别为、．若直线与曲线没有公共点，当双曲线的离心率取得最大值时，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过且与轴垂直的直线交于 ，两点，直线与椭圆的另一个交点为，若，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
4．已知直线:与双曲线:(，)交于，两点，点是弦的中点，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
5．已知抛物线的焦点为F，点是抛物线C上一点，以点M为圆心的圆与直线交于E，G两点，若，则抛物线C的方程是（ ）
A． B． C． D．
6．若抛物线：()的焦点为，准线为，点在抛物线上，、是准线上关于轴对称的两点.若，，且三角形的面积为，则的值是（ ）
A． B．
C． D．
7．P为抛物线y2=2px的焦点弦AB的中点，A，B，P三点到抛物线准线的距离分别是|AA1|，|BB1|，|PP1|，则有（ ）
A．|PP1||AA1|+|BB1| B．|PP1||AB|
C．|PP1||AB| D．|PP1||AB|
8．已知椭圆的左焦点为，直线与椭圆相交于，两点，且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知抛物线C：x2＝2py，若直线y＝2x被抛物线所截弦长为4，则抛物线C的方程为（ ）
A．x2＝4y B．x2＝－4y
C．x2＝2y D．x2＝－2y
10．（多选）设抛物线的准线与对称轴交于点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为和，则（ ）
A．点坐标为 B．直线AB的方程为
C． D．
11．(多选)经过抛物线(p＞0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则下列说法中正确的是（ ）
A．当AB与x轴垂直时，|AB|最小 B．＋＝
C．以弦AB为直径的圆与直线相离 D．y1y2＝－p2
12．设A，B是抛物线上的两点，O是坐标原点，则下列结论成立的是（ ）
A．若，则
B．若，直线AB过定点
C．若，O到直线AB的距离不大于1
D．若直线AB过抛物线的焦点F，且，则
三、填空题
13．已知椭圆的焦点，，长轴长为6，设直线交椭圆于，两点，则线段的中点坐标为________.
14．已知双曲线，过点作一直线交双曲线于、两点，并使为的中点，则直线的斜率为________．
15．过抛物线的焦点F作垂直于x轴的直线，交抛物线于A，B两点，则以F为圆心，AB为直径的圆的方程是________．
16．过椭圆的中心作直线与椭圆交于A，B两点，为椭圆的焦点，则三角形面积的最大值为________．
四、解答题
17．已知曲线：和直线：．
（1）若直线与曲线有两个不同的交点，求实数的取值范围；
（2）若直线与曲线交于，两点，是坐标原点，且的面积为，求实数的值．
18．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)过点A(2，－4)．
（1）求抛物线C的方程，并求其准线方程；
（2）若点B(0，2)，求过点B且与抛物线C有且仅有一个公共点的直线l的方程．
19．已知双曲线（）的一个焦点是，离心率.
（1）求双曲线的方程；
（2）若斜率为的直线与双曲线交于两个不同的点，线段的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求直线的方程．
20．在直角坐标系中，椭圆：的离心率为，左、右焦点分别是，，为椭圆上任意一点，的最小值为8．
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆：，为椭圆上一点，过点的直线交椭圆于A，两点，且为线段的中点，过，两点的直线交椭圆于，两点，如图．当在椭圆上移动时，四边形的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
21．已知椭圆C：的离心率为，焦距为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若斜率为的直线l与椭圆C交于P，Q两点（点P，Q均在第一象限），O为坐标原点，若与Q关于x轴对称，求证：．
22．已知点在椭圆C：上.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点），点D在椭圆C上，且AD⊥AB，直线BD与x轴、y轴分别交于M、N两点，设直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，证明：存在常数λ，使得k1=λk2，并求出λ的值.
参考答案
1．C
【分析】
根据题意可知AD⊥BD，利用抛物线的定义，可得∠ABD＝30°，所以|AF|＝|BF|＝2×6＝12.
【解析】解：因为A，F，B三点共线，所以AB为圆F的直径，AD⊥BD.
由抛物线定义知，所以∠ABD＝30°.
因为F到准线的距离为6，
所以|AF|＝|BF|＝2×6＝12.
故选：C.
2．A
【分析】
分析可知，利用点差法计算得出，结合的取值范围可求得的取值范围.
【解析】因为直线与双曲线没有公共点，
所以双曲线的渐近线的斜率，
而双曲线的离心率，
当双曲线的离心率取最大值时，取得最大值，即，即，
则双曲线的方程为，
设、、，则，
两式相减得：，即，即，
又，．
故选：A.
3．D
【分析】
由轴，可得出 点坐标（不妨设在第一象限），由得，从而可表示出点坐标，把点坐标代入椭圆方程得的关系式，变形后可求得．
【解析】因为轴，所以不妨设
因为，所以，即，因为，
，，∴，，
即，代入椭圆方程可得，，，
所以.
故选：D．
【点睛】
本题考查椭圆的定义及基本性质，求离心率，关键是列出关于的等式，本题根据三角形面积关系得出，从而表示出点坐标是解题关键．
4．D
【分析】
设，根据中点坐标公式，求得值，将两点在双曲线上，两式相减，化简得，再结合离心率的定义，即可求解.
【解析】设，
因为是弦的中点，根据中点坐标公式，可得，
又由直线:的斜率为，所以.
因为两点在双曲线上，可得，
两式相减并化简得，
所以，所以.
故选：D
5．B
【分析】
由点在抛物线上及建立方程组，解出p即可.
【解析】
如图示：作MD⊥EG，垂足为D，
在抛物线上，则 ①
由抛物线定义知：
∵，∴,即
解得： ②
①②联立解得：
故抛物线的方程为：
故选：B
【点睛】
解析几何问题解题的关键：解析几何归根结底还是几何，根据题意画出图形，借助于图形寻找几何关系可以简化运算．
6．B
【分析】
由对称性知是等腰直角三角形，从而可得，到准线的距离等于，然后由三角形面积得关于的方程，解之可得．
【解析】由对称性知是等腰直角三角形，，点到准线的距离，
∵，∴，，∴，
故选：B.
7．B
【分析】
根据题意可得PP1是梯形AA1B1B的中位线，利用梯形的性质以及抛物线的焦半径公式即可求解.
【解析】根据题意，PP1是梯形AA1B1B的中位线，
故|PP1|=(|AA1|+|BB1|)=(|AF|+|BF|)=|AB|.
故选：B
8．D
【分析】
解方程组求出点的坐标，再根据得到关于的方程，解方程即得解.
【解析】由，消可得得，解得，
分别代入得，
，，，，
，，，，
，
，
，，
把代入式并整理得，
两边同除以并整理得，解得，
.
故选：D
【点睛】
方法点睛：求椭圆的离心率常用的方法有：（1）公式法（求出代入离心率的公式得解）；（2）方程法（分析得到关于离心率的方程解方程得解）.
9．CD
【分析】
将直线方程代入抛物线方程，求得交点坐标，利用两点之间的距离公式，即可求得p的值，求得抛物线方程．
【解析】解：由，解得：或，则交点坐标为，，
则，解得：，
则抛物线的方程，
故选：CD．
10．ABC
【分析】
将抛物线方程转化为标准方程，求得准线方程，即可判断A正确；由A设切线方程为，联立直线与抛物线方程，由求出斜率，得出切点坐标，进而可判断B正确，D错误；再求得与的坐标，判断是否为零，即可判断C正确.
【解析】由题意，易知；
由得，，则焦点，其准线方程为，，故A正确；
设切线方程为，由得，
令，解得；
解方程可得，则，即两切点坐标为，，所以直线的方程为，，故B正确，D错；
不妨令，， 则，，，从而，即，C正确；
故选：ABC．
11．AD
【分析】
设过焦点的直线方程并代入抛物线方程，运用韦达定理及抛物线的性质可得解.
【解析】设过抛物线焦点的直线方程为：，代入得，
，则
，，
，
当直线AB与x轴垂直时，，|AB|最小，∴A正确；
，∴B错；
以AB为直径的圆：圆心，半径为
圆心与准线的距离
圆与准线相切，∴C错，
，∴D正确；
故选：AD.
12．ACD
【分析】
设直线AB的方程为，联立方程组得到，，根据，得到，求得，可判定B不正确；利用点到直线的距离公式，可判定C正确；化简由，可判定A正确；结合抛物线的定义和焦点弦的性质，可判定D正确．
【解析】设直线AB的方程为，，，
联立方程组，整理得，可得，，
若，所以，即，
所以直线AB的方程为，该直线过定点，所以B不正确．
点O到直线AB的距离，所以C正确．
由
．
所以，所以A正确．
由抛物线，可得其准线方程为，
根据抛物线的定义，可得，可得，所以，所以，
不妨取，所以，所以直线AB的方程为，
所以，
又由，
所以．所以D正确．
故选：ACD
13．
【分析】
由已知条件可得椭圆的标准方程是，再将直线与椭圆方程联立方程组，消去后，利用根与系数的关系结中点坐标公式可得答案
【解析】由已知条件得椭圆的焦点在轴上，其中，，从而，
∴其标准方程是：，
联立方程组，消去得，.
设、，线段的中点为，则，，
∴，即线段中点坐标为.
故答案为：
14．
【分析】
设点、，利用点差法可求得直线的斜率.
【解析】设点、，则，即，
由已知条件可得，两个等式作差得，
即，即，
所以，直线的斜率为.
故答案为：.
15．
【分析】
根据抛物线方程可求得点的坐标，即可写出圆的方程．
【解析】因为抛物线的焦点F为，通径长为，所以以F为圆心，AB为直径的圆的方程是．
故答案为：．
16．
【分析】
根据椭圆方程求出，设出的坐标，将三角形的面积用表示，利用的最大值可求出结果.
【解析】由得，所以，
设，
则，
因为在椭圆上，所以，所以，即三角形面积的最大值为.
故答案为：
17．
（1）
（2）0，，
【分析】
（1）联立直线与曲线方程，消去，依题意可得，即可求出参数的取值范围；
（2）设，，由（1）利用韦达定理可得，，即可表示出以及点到直线的距离，从而表示出三角形的面积，即可得到方程，解得即可．
（1）
解：由消去，得．
∵直线与双曲线有两个不同的交点，
∴解得，且，
∴实数的取值范围为；
（2）
解：设，．
由（1）可知，，
∴．
∵点到直线的距离
∴，
即，∴或．
∴实数的值为0，，．
18．
（1），
（2）或或
【分析】
（1）根据题意，代点计算，即可求解；
（2）根据题意，易知点不在抛物线上，分别讨论过点的直线斜率不存在、斜率为0、斜率存在且不为0三种情况，即可求解.
（1）
由抛物线C：过点，
可得，解得.
所以抛物线C的方程为，其准线方程为.
（2）
根据题意，易知点不在抛物线上.
①当直线l的斜率不存在时，符合题意；
②当直线l的斜率为0时，符合题意；
③当直线l的斜率存在且不为0时，设直线l的方程为，
由，得，由，得，
故直线l的方程为.
综上直线l的方程为或或.
19．
（1）
（2）
【分析】
（1）由已知及离心率公式直接计算；
（2）设直线的方程为，联立方程组可得中点及中垂线方程，根据三角形面积可得的值.
（1）
解：由已知得，，所以，，
所以所求双曲线方程为.
（2）
解：设直线的方程为，点，．
联立整理得.(*)
设的中点为，则，，所以线段垂直平分线的方程为，即，
与坐标轴的交点分别为，，
可得，得，，此时(*)的判别式，
故直线的方程为.
20．
（1）
（2）定值4
【分析】
（1）根据椭圆的离心率可得，结合椭圆的定义和基本不等式可得，进而得出椭圆的标准方程；
（2）对点中的值(、和，)分类讨论，设，，根据点差法求出直线AB的斜率，表示出AB直线方程，联立椭圆方程，根据韦达定理表示出弦长，利用点到直线的距离公式求出点E、F到直线AB的距离，结合三角形面积公式计算即可.
（1）
∵，∴．
∵为椭圆上任意一点，∴．
．
∴的最小值为，
∴，，∴椭圆的方程为．
（2）
∵为椭圆上一点，由（1）知椭圆的方程为，
当时，根据椭圆的对称性，不妨设，，为椭圆的短轴的端点，
直线的方程为，与椭圆的方程联立求得，，
得到，，∴四边形的面积为4，
同理求得时，四边形的面积为4．
当，时，直线的斜率为，方程为，
联立直线与椭圆的方程
及，得，．
∵是椭圆的弦的中点，
设，，，，
∵A，在椭圆：上，∴，，
两式相减得，
即．
∴直线的斜率为．
直线的方程为，即，
∵为椭圆上一点，椭圆的方程为，
∴，即，
∴直线的方程为，
代入椭圆的方程得，
，
两边同乘以，并注意，得，
∴，，
设点，到直线的距离分别为，，
，
，
．
∴
．
综上所述，当在椭圆上移动时，四边形的面积为定值4．
【点睛】
关键点点睛：解决本题的关键是对面积的转化，准确运算是关键.
21．
（1）
（2）证明见解析
【分析】
（1）由题意可得，再结合求出，从而可求出椭圆方程，
（2）设直线l的方程为，，，然后将直线与椭圆方程联立方程组，消去y，整理后利用根与系数的关系，可求得，由题意可得，所以，再利用正切的两角和公式结合基本不等式可得结论
（1）
解：由题意可得，
解得，所以，
所以椭圆C的方程为．
（2）
证明：设直线l的方程为，，．
联立，消去y得．
则，
且，，
所以
，
所以，
由题可知，
所以．
又由题知，，
所以
，
当且仅当时，等号成立．
若，则P，Q两点重合，不符合题意，可知无法取得等号，所以．
22．（1）；（2）证明见解析，.
【分析】
（1）代入两点，解方程组，求出与；（2）A点与B点中心对称，设出A点与B点坐标，利用AD⊥AB，得到斜率之间的关系，表示出k1，k2，找到两者的倍数关系，求出λ的值
【解析】（1）由题意得，解得
∴椭圆C的方程为+y2=1.
（2）设A(x1，y1)(x1y1≠0)，D(x2，y2)，则B(-x1，-y1).
所以直线AB的斜率kAB=.
设直线AD的方程为y=kx+m，由题意知k≠0，m≠0.因为AB⊥AD，所以k=-.
由可得(1+3k2)x2+6mkx+3m2-3=0，
所以x1+x2=-，y1+y2=k(x1+x2)+2m=.
所以直线BD的斜率kBD==-=，所以直线BD的方程为y+y1=(x+x1)，令y=0，得x=2x1，即M(2x1，0)，可得k1=-，
令x=0，得y=-，即N，可得k2=，
所以k1=-k2，即λ=-，因此，存在常数λ=-使得结论成立.
【点睛】
求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
一、单选题
1．已知抛物线C：y2＝12x的焦点为F，A为C上一点且在第一象限，以F为圆心，FA为半径的圆交C的准线于B，D两点，且A，F，B三点共线，则|AF|＝（ ）
A．16 B．10 C．12 D．8
2．已知、是双曲线上关于原点对称的两点，是上异于、的动点，设直线、的斜率分别为、．若直线与曲线没有公共点，当双曲线的离心率取得最大值时，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过且与轴垂直的直线交于 ，两点，直线与椭圆的另一个交点为，若，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
4．已知直线:与双曲线:(，)交于，两点，点是弦的中点，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
5．已知抛物线的焦点为F，点是抛物线C上一点，以点M为圆心的圆与直线交于E，G两点，若，则抛物线C的方程是（ ）
A． B． C． D．
6．若抛物线：()的焦点为，准线为，点在抛物线上，、是准线上关于轴对称的两点.若，，且三角形的面积为，则的值是（ ）
A． B．
C． D．
7．P为抛物线y2=2px的焦点弦AB的中点，A，B，P三点到抛物线准线的距离分别是|AA1|，|BB1|，|PP1|，则有（ ）
A．|PP1||AA1|+|BB1| B．|PP1||AB|
C．|PP1||AB| D．|PP1||AB|
8．已知椭圆的左焦点为，直线与椭圆相交于，两点，且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知抛物线C：x2＝2py，若直线y＝2x被抛物线所截弦长为4，则抛物线C的方程为（ ）
A．x2＝4y B．x2＝－4y
C．x2＝2y D．x2＝－2y
10．（多选）设抛物线的准线与对称轴交于点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为和，则（ ）
A．点坐标为 B．直线AB的方程为
C． D．
11．(多选)经过抛物线(p＞0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则下列说法中正确的是（ ）
A．当AB与x轴垂直时，|AB|最小 B．＋＝
C．以弦AB为直径的圆与直线相离 D．y1y2＝－p2
12．设A，B是抛物线上的两点，O是坐标原点，则下列结论成立的是（ ）
A．若，则
B．若，直线AB过定点
C．若，O到直线AB的距离不大于1
D．若直线AB过抛物线的焦点F，且，则
三、填空题
13．已知椭圆的焦点，，长轴长为6，设直线交椭圆于，两点，则线段的中点坐标为________.
14．已知双曲线，过点作一直线交双曲线于、两点，并使为的中点，则直线的斜率为________．
15．过抛物线的焦点F作垂直于x轴的直线，交抛物线于A，B两点，则以F为圆心，AB为直径的圆的方程是________．
16．过椭圆的中心作直线与椭圆交于A，B两点，为椭圆的焦点，则三角形面积的最大值为________．
四、解答题
17．已知曲线：和直线：．
（1）若直线与曲线有两个不同的交点，求实数的取值范围；
（2）若直线与曲线交于，两点，是坐标原点，且的面积为，求实数的值．
18．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)过点A(2，－4)．
（1）求抛物线C的方程，并求其准线方程；
（2）若点B(0，2)，求过点B且与抛物线C有且仅有一个公共点的直线l的方程．
19．已知双曲线（）的一个焦点是，离心率.
（1）求双曲线的方程；
（2）若斜率为的直线与双曲线交于两个不同的点，线段的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求直线的方程．
20．在直角坐标系中，椭圆：的离心率为，左、右焦点分别是，，为椭圆上任意一点，的最小值为8．
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆：，为椭圆上一点，过点的直线交椭圆于A，两点，且为线段的中点，过，两点的直线交椭圆于，两点，如图．当在椭圆上移动时，四边形的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
21．已知椭圆C：的离心率为，焦距为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若斜率为的直线l与椭圆C交于P，Q两点（点P，Q均在第一象限），O为坐标原点，若与Q关于x轴对称，求证：．
22．已知点在椭圆C：上.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点），点D在椭圆C上，且AD⊥AB，直线BD与x轴、y轴分别交于M、N两点，设直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，证明：存在常数λ，使得k1=λk2，并求出λ的值.
参考答案
1．C
【分析】
根据题意可知AD⊥BD，利用抛物线的定义，可得∠ABD＝30°，所以|AF|＝|BF|＝2×6＝12.
【解析】解：因为A，F，B三点共线，所以AB为圆F的直径，AD⊥BD.
由抛物线定义知，所以∠ABD＝30°.
因为F到准线的距离为6，
所以|AF|＝|BF|＝2×6＝12.
故选：C.
2．A
【分析】
分析可知，利用点差法计算得出，结合的取值范围可求得的取值范围.
【解析】因为直线与双曲线没有公共点，
所以双曲线的渐近线的斜率，
而双曲线的离心率，
当双曲线的离心率取最大值时，取得最大值，即，即，
则双曲线的方程为，
设、、，则，
两式相减得：，即，即，
又，．
故选：A.
3．D
【分析】
由轴，可得出 点坐标（不妨设在第一象限），由得，从而可表示出点坐标，把点坐标代入椭圆方程得的关系式，变形后可求得．
【解析】因为轴，所以不妨设
因为，所以，即，因为，
，，∴，，
即，代入椭圆方程可得，，，
所以.
故选：D．
【点睛】
本题考查椭圆的定义及基本性质，求离心率，关键是列出关于的等式，本题根据三角形面积关系得出，从而表示出点坐标是解题关键．
4．D
【分析】
设，根据中点坐标公式，求得值，将两点在双曲线上，两式相减，化简得，再结合离心率的定义，即可求解.
【解析】设，
因为是弦的中点，根据中点坐标公式，可得，
又由直线:的斜率为，所以.
因为两点在双曲线上，可得，
两式相减并化简得，
所以，所以.
故选：D
5．B
【分析】
由点在抛物线上及建立方程组，解出p即可.
【解析】
如图示：作MD⊥EG，垂足为D，
在抛物线上，则 ①
由抛物线定义知：
∵，∴,即
解得： ②
①②联立解得：
故抛物线的方程为：
故选：B
【点睛】
解析几何问题解题的关键：解析几何归根结底还是几何，根据题意画出图形，借助于图形寻找几何关系可以简化运算．
6．B
【分析】
由对称性知是等腰直角三角形，从而可得，到准线的距离等于，然后由三角形面积得关于的方程，解之可得．
【解析】由对称性知是等腰直角三角形，，点到准线的距离，
∵，∴，，∴，
故选：B.
7．B
【分析】
根据题意可得PP1是梯形AA1B1B的中位线，利用梯形的性质以及抛物线的焦半径公式即可求解.
【解析】根据题意，PP1是梯形AA1B1B的中位线，
故|PP1|=(|AA1|+|BB1|)=(|AF|+|BF|)=|AB|.
故选：B
8．D
【分析】
解方程组求出点的坐标，再根据得到关于的方程，解方程即得解.
【解析】由，消可得得，解得，
分别代入得，
，，，，
，，，，
，
，
，，
把代入式并整理得，
两边同除以并整理得，解得，
.
故选：D
【点睛】
方法点睛：求椭圆的离心率常用的方法有：（1）公式法（求出代入离心率的公式得解）；（2）方程法（分析得到关于离心率的方程解方程得解）.
9．CD
【分析】
将直线方程代入抛物线方程，求得交点坐标，利用两点之间的距离公式，即可求得p的值，求得抛物线方程．
【解析】解：由，解得：或，则交点坐标为，，
则，解得：，
则抛物线的方程，
故选：CD．
10．ABC
【分析】
将抛物线方程转化为标准方程，求得准线方程，即可判断A正确；由A设切线方程为，联立直线与抛物线方程，由求出斜率，得出切点坐标，进而可判断B正确，D错误；再求得与的坐标，判断是否为零，即可判断C正确.
【解析】由题意，易知；
由得，，则焦点，其准线方程为，，故A正确；
设切线方程为，由得，
令，解得；
解方程可得，则，即两切点坐标为，，所以直线的方程为，，故B正确，D错；
不妨令，， 则，，，从而，即，C正确；
故选：ABC．
11．AD
【分析】
设过焦点的直线方程并代入抛物线方程，运用韦达定理及抛物线的性质可得解.
【解析】设过抛物线焦点的直线方程为：，代入得，
，则
，，
，
当直线AB与x轴垂直时，，|AB|最小，∴A正确；
，∴B错；
以AB为直径的圆：圆心，半径为
圆心与准线的距离
圆与准线相切，∴C错，
，∴D正确；
故选：AD.
12．ACD
【分析】
设直线AB的方程为，联立方程组得到，，根据，得到，求得，可判定B不正确；利用点到直线的距离公式，可判定C正确；化简由，可判定A正确；结合抛物线的定义和焦点弦的性质，可判定D正确．
【解析】设直线AB的方程为，，，
联立方程组，整理得，可得，，
若，所以，即，
所以直线AB的方程为，该直线过定点，所以B不正确．
点O到直线AB的距离，所以C正确．
由
．
所以，所以A正确．
由抛物线，可得其准线方程为，
根据抛物线的定义，可得，可得，所以，所以，
不妨取，所以，所以直线AB的方程为，
所以，
又由，
所以．所以D正确．
故选：ACD
13．
【分析】
由已知条件可得椭圆的标准方程是，再将直线与椭圆方程联立方程组，消去后，利用根与系数的关系结中点坐标公式可得答案
【解析】由已知条件得椭圆的焦点在轴上，其中，，从而，
∴其标准方程是：，
联立方程组，消去得，.
设、，线段的中点为，则，，
∴，即线段中点坐标为.
故答案为：
14．
【分析】
设点、，利用点差法可求得直线的斜率.
【解析】设点、，则，即，
由已知条件可得，两个等式作差得，
即，即，
所以，直线的斜率为.
故答案为：.
15．
【分析】
根据抛物线方程可求得点的坐标，即可写出圆的方程．
【解析】因为抛物线的焦点F为，通径长为，所以以F为圆心，AB为直径的圆的方程是．
故答案为：．
16．
【分析】
根据椭圆方程求出，设出的坐标，将三角形的面积用表示，利用的最大值可求出结果.
【解析】由得，所以，
设，
则，
因为在椭圆上，所以，所以，即三角形面积的最大值为.
故答案为：
17．
（1）
（2）0，，
【分析】
（1）联立直线与曲线方程，消去，依题意可得，即可求出参数的取值范围；
（2）设，，由（1）利用韦达定理可得，，即可表示出以及点到直线的距离，从而表示出三角形的面积，即可得到方程，解得即可．
（1）
解：由消去，得．
∵直线与双曲线有两个不同的交点，
∴解得，且，
∴实数的取值范围为；
（2）
解：设，．
由（1）可知，，
∴．
∵点到直线的距离
∴，
即，∴或．
∴实数的值为0，，．
18．
（1），
（2）或或
【分析】
（1）根据题意，代点计算，即可求解；
（2）根据题意，易知点不在抛物线上，分别讨论过点的直线斜率不存在、斜率为0、斜率存在且不为0三种情况，即可求解.
（1）
由抛物线C：过点，
可得，解得.
所以抛物线C的方程为，其准线方程为.
（2）
根据题意，易知点不在抛物线上.
①当直线l的斜率不存在时，符合题意；
②当直线l的斜率为0时，符合题意；
③当直线l的斜率存在且不为0时，设直线l的方程为，
由，得，由，得，
故直线l的方程为.
综上直线l的方程为或或.
19．
（1）
（2）
【分析】
（1）由已知及离心率公式直接计算；
（2）设直线的方程为，联立方程组可得中点及中垂线方程，根据三角形面积可得的值.
（1）
解：由已知得，，所以，，
所以所求双曲线方程为.
（2）
解：设直线的方程为，点，．
联立整理得.(*)
设的中点为，则，，所以线段垂直平分线的方程为，即，
与坐标轴的交点分别为，，
可得，得，，此时(*)的判别式，
故直线的方程为.
20．
（1）
（2）定值4
【分析】
（1）根据椭圆的离心率可得，结合椭圆的定义和基本不等式可得，进而得出椭圆的标准方程；
（2）对点中的值(、和，)分类讨论，设，，根据点差法求出直线AB的斜率，表示出AB直线方程，联立椭圆方程，根据韦达定理表示出弦长，利用点到直线的距离公式求出点E、F到直线AB的距离，结合三角形面积公式计算即可.
（1）
∵，∴．
∵为椭圆上任意一点，∴．
．
∴的最小值为，
∴，，∴椭圆的方程为．
（2）
∵为椭圆上一点，由（1）知椭圆的方程为，
当时，根据椭圆的对称性，不妨设，，为椭圆的短轴的端点，
直线的方程为，与椭圆的方程联立求得，，
得到，，∴四边形的面积为4，
同理求得时，四边形的面积为4．
当，时，直线的斜率为，方程为，
联立直线与椭圆的方程
及，得，．
∵是椭圆的弦的中点，
设，，，，
∵A，在椭圆：上，∴，，
两式相减得，
即．
∴直线的斜率为．
直线的方程为，即，
∵为椭圆上一点，椭圆的方程为，
∴，即，
∴直线的方程为，
代入椭圆的方程得，
，
两边同乘以，并注意，得，
∴，，
设点，到直线的距离分别为，，
，
，
．
∴
．
综上所述，当在椭圆上移动时，四边形的面积为定值4．
【点睛】
关键点点睛：解决本题的关键是对面积的转化，准确运算是关键.
21．
（1）
（2）证明见解析
【分析】
（1）由题意可得，再结合求出，从而可求出椭圆方程，
（2）设直线l的方程为，，，然后将直线与椭圆方程联立方程组，消去y，整理后利用根与系数的关系，可求得，由题意可得，所以，再利用正切的两角和公式结合基本不等式可得结论
（1）
解：由题意可得，
解得，所以，
所以椭圆C的方程为．
（2）
证明：设直线l的方程为，，．
联立，消去y得．
则，
且，，
所以
，
所以，
由题可知，
所以．
又由题知，，
所以
，
当且仅当时，等号成立．
若，则P，Q两点重合，不符合题意，可知无法取得等号，所以．
22．（1）；（2）证明见解析，.
【分析】
（1）代入两点，解方程组，求出与；（2）A点与B点中心对称，设出A点与B点坐标，利用AD⊥AB，得到斜率之间的关系，表示出k1，k2，找到两者的倍数关系，求出λ的值
【解析】（1）由题意得，解得
∴椭圆C的方程为+y2=1.
（2）设A(x1，y1)(x1y1≠0)，D(x2，y2)，则B(-x1，-y1).
所以直线AB的斜率kAB=.
设直线AD的方程为y=kx+m，由题意知k≠0，m≠0.因为AB⊥AD，所以k=-.
由可得(1+3k2)x2+6mkx+3m2-3=0，
所以x1+x2=-，y1+y2=k(x1+x2)+2m=.
所以直线BD的斜率kBD==-=，所以直线BD的方程为y+y1=(x+x1)，令y=0，得x=2x1，即M(2x1，0)，可得k1=-，
令x=0，得y=-，即N，可得k2=，
所以k1=-k2，即λ=-，因此，存在常数λ=-使得结论成立.
【点睛】
求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．