3.2.2双曲线的简单几何性质同步练习-2021-2022学年高二数学上学期人教A版（2019）选择性必修第一册（含答案）
文档属性
| 名称 | 3.2.2双曲线的简单几何性质同步练习-2021-2022学年高二数学上学期人教A版（2019）选择性必修第一册（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 583.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-11-30 09:55:06 | ||
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文档简介
人教版（A）选择性必修一双曲线的简单几何性质同步巩固练习
一、单选题
1．双曲线的渐近线方程是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知双曲线的一条渐近线为，且一个焦点坐标是，则双曲线的标准方程是（ ）
A．=1 B．=1 C．=1 D．=1
3．已知双曲线的一条渐近线方程为，则其离心率为（ ）
A． B． C． D．
4．若椭圆与双曲线的焦点相同，则的值为（ ）
A． B．4 C．6 D．9
5．已知双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为（为双曲线的半焦距），则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．若，则双曲线与有（ ）
A．相等的实轴长 B．相等的虚轴长 C．相同的焦点 D．相同的渐近线
7．已知曲线其中一条渐近线与直线平行，则此双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．
8．已知双曲线：的左右焦点分别为，，以为直径的圆交双曲线的右支于点，若，则双曲线的离心率为( )
A． B． C． D．
9．若双曲线的渐近线的斜率大于，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
10．我们把离心率的双曲线（a>0；b>0）称为黄金双曲线，给出以下说法：
①双曲线是黄金双曲线；②若=ac，则该双曲线是黄金双曲线；
③若F为双曲线的左焦点，B为双曲线虚轴的上端点，A为双曲线的右顶点，且∠FBA=90°，则该双曲线是黄金双曲线；
④若过双曲线的右焦点且与x轴垂直的直线与双曲线的右支交于M，N两点，∠MON=90°，其中O为坐标原点，则该双曲线是黄金双曲线.其中正确的说法是（ ）
A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④
二、填空题
11．已知焦点在轴的双曲线的渐近线为，半焦距为5，则双曲线的标准方程为__________．
12．经过点，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程为_________．
13．已知双曲线的左焦点为F，右顶点为A，点，线段的中点为P，且（O为坐标原点），则双曲线的离心率为_______.
14．已知双曲线两焦点之间的距离为4，则双曲线的渐近线方程是___________.
15．已知双曲线的两个焦点分别为、，且两条渐近线互相垂直，若上一点满足，则的余弦值为_______________________．
16．已知焦点在x轴上的双曲线的两条渐近线互相垂直，则___________.
17．已知双曲线过点且渐近线为，则下列结论正确的是______（填序号）.
①、的方程为；②、的离心率为；
③、曲线经过的一个焦点；④、直线与有两个公共点.
三、解答题
18．（1）已知椭圆的长轴长为6，一个焦点为，求该椭圆的标准方程．
（2）已知双曲线过点，渐近线方程为，求该双曲线的标准方程．
19．已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且经过点.
（1）求双曲线的方程；
（2）求双曲线的实轴长，离心率，焦点到渐近线的距离.
20．设双曲线的左、右焦点分别为，，且，一条渐近线的倾斜角为60°．
（1）求双曲线C的标准方程和离心率；
（2）求分别以，为左、右顶点，短轴长等于双曲线虚轴长的椭圆的标准方程．
21．在平面直角坐标系中，双曲线左、右焦点分别为．
（1）若直线l过点，且与双曲线C的左、右支各有一个公共点，求直线l的斜率k的取值范围；
（2）若点P为双曲线C上一点，求的最小值．
22．已知双曲线：的离心率为，点在上，为的右焦点.
（1）求双曲线的方程；
（2）设为的左顶点，过点作直线交于（不与重合）两点，点是的中点，求证：.
试卷第1页，共3页
参考答案
1．C
【分析】
根据双曲线的标准方程，即可直接求出其渐近线方程.
【详解】
∵双曲线的标准方程为，
∴双曲线的焦点在轴，，，且双曲线的渐近线方程为，即.
故选：C.
2．B
【分析】
根据焦点位置及渐近线方程直接写出双曲线方程即可.
【详解】
由题设，双曲线实轴为x轴，且渐近线为，
∴双曲线的标准方程是.
故选：B
3．C
【分析】
由题可得，即可求出离心率.
【详解】
双曲线的一条渐近线方程为，，
离心率.
故选：C.
4．D
【分析】
先根据双曲线方程得焦点坐标为，进而根据椭圆的方程得.
【详解】
解：将双曲线方程化为标准方程得：，
所以双曲线的焦点坐标为，
由于椭圆与双曲线有相同的焦点，
所以由椭圆的方程得：.
故选：D．
5．C
【分析】
根据焦点到渐近线的距离求得关于的表达式，进而求得双曲线的离心率.
【详解】
双曲线的一条渐近线为，
焦点为，
焦点到渐近线的距离为，
所以，
由于，所以.
故选：C
6．C
【分析】
根据题意可得，，从而可得出结论.
【详解】
解：因为，所以，，，
于是，，
所以实轴长，虚轴长及渐近线不相同，焦点相同.
故选：C．
7．B
【分析】
不妨取双曲线的渐近线为，可得，再由离心率即可求解.
【详解】
由条件可得双曲线的渐近线方程为，
∵渐近线与直线平行，
∴，
∴双曲线的离心率为．
故选：B
8．D
【分析】
利用圆的性质可得△为直角三角形，利用直角三角形的性质与双曲线的定义可表示出每一边，再利用双曲线的离心率公式进行计算.
【详解】
由题意，，又，，则，，由双曲线定义，，则离心率.
故选：D.
9．D
【分析】
由题意可知，结合求解即可
【详解】
因为双曲线的渐近线的斜率大于，
所以， 即，也即，
所以，所以，
所以，又因为双曲线得离心率，
所以，
双曲线离心率的取值范围是.
故选：D
10．D
【分析】
根据题意依次判断即得.
【详解】
对于①，因为，∴，
∴，故①正确；
对于②，由，得，可求得，故②正确；
对于③，由∠FBA=90°得，即，得，由②知，，故③正确；
对于④，若∠MON=90°，易知，又，∴，由②知，，故④正确.
故选：D
11．
【分析】
根据已知条件求得，由此求得双曲线的标准方程.
【详解】
依题意可知，
所以双曲线的标准方程为.
故答案为：
12．
【分析】
根据等轴双曲线的标准方程求解即可．
【详解】
解：设双曲线的方程为，把点代入，得；
把点代入，得，无解故所求方程为．
故答案为：．
13．4
【分析】
利用两点间距离公式分别求得与，再利用构造关于，的方程，从而求得离心率.
【详解】
由题可知，，设，又点，线段的中点P，所以点，
所以由两点间距离公式有
，
，
又因为，
所以有，即，所以，所以.
故答案为：4
14．.
【分析】
根据条件求出c，进而根据求出a，最后写出渐近线方程.
【详解】
因为双曲线两焦点之间的距离为4，所以，解得，
所以，，双曲线的渐近线方程是.
故答案为：.
15．
【分析】
由题意可得，进而得到，再结合双曲线的定义可得，进而结合余弦定理即可求出结果.
【详解】
因为双曲线，所以渐近线方程为，又因为两条渐近线互相垂直，所以，所以，即，因此，
因此，又由双曲线的定义可知，则，
所以在中由余弦定理可得
，
故答案为：.
16．1
【分析】
根据双曲线的渐近线方程建立方程可得答案.
【详解】
解：∵双曲线的焦点在x轴上
∴，即.
∵双曲线的两条渐近线互相垂直
∴，即，解得（负值舍去）.
故答案为：1.
17．①③
【分析】
由共渐近线的双曲线C方程可设为，将点代入可得双曲线的方程，进而得到离心率，即可判断①②是否正确；求出焦点坐标可验证③是否正确；将直线与双曲线C的方程联立，利用判别式及直线斜率与渐近线斜率比较可判断④是否正确.
【详解】
双曲线C的渐近线为 设双曲线C的方程为 将点代入得
双曲线C的方程为，故①正确；
双曲线C的方程为，，故②错误；
双曲线C的方程为双曲线C的焦点为，，
将代入曲线得，曲线经过的一个焦点,故③正确；
由，整理得，则，
又直线过点，斜率，直线与C只有一个公共点，故④错误.
故选：①③
18．（1）；（2）.
【分析】
（1）根据长轴长及焦点坐标，写出椭圆标准方程即可；
（2）由双曲线的渐近线方程设双曲线方程为，再由所过的点写出双曲线标准方程即可.
【详解】
（1）由题设，长轴长为6即，焦点为即，
∴，
∴椭圆的标准方程为.
（2）由题意，渐近线方程为，令，
又在双曲线上，
∴，即，
19．（1）；（2）实轴长2，离心率为，距离为
【分析】
（1）先求出双曲线的渐近线方程，从而由题意可得，所以双曲线的方程可化为，再把坐标代入方程中求出的值，从而可得双曲线的方程；
（2）由双曲线方程可得，，，从而可得实轴长，离心率，焦点，再利用点到直线的距离公式可求出焦点到渐近线的距离
【详解】
（1）解：在双曲线中，，，
则渐近线方程为，
∵双曲线与双曲线有相同的渐近线，
，
∴方程可化为，
又双曲线经过点，代入方程，
，解得，，
∴双曲线的方程为.
（2）解；由（1）知双曲线中，
，，，
∴实轴长，离心率为，
设双曲线的一个焦点为，一条渐近线方程为，
，
即焦点到渐近线的距离为.
【点睛】
此题考查双曲线简单的几何性质的应用，考查计算能力，属于基础题
20．（1），2 （2）
【分析】
（1）结合，联立即得解；
（2）由题意，即得解.
【详解】
（1）由题意，
又
解得：
故双曲线C的标准方程为：，离心率为
（2）由题意椭圆的焦点在轴上，设椭圆方程为
故
即椭圆方程为：
21．
（1）.
（2）-1
【分析】
（1）把直线与双曲线方程联立，消去y，建立不等式组，求出k的范围；
（2）表示出，利用有界性求出的范围.
（1）
显然，直线l的斜率不存在时，与双曲线不相交，故l的斜率必存在，设其为k，则直线l：，代入双曲线方程得：.
要使l与双曲线C的左、右支各有一个公共点，
只需，解得：.
即斜率k的取值范围为.
（2）
双曲线左、右焦点分别为.
设，则，所以，
因为，所以，所以，即的最小值为-1.
22．
（1）；
（2）证明见解析.
【分析】
（1）根据离心率和椭圆上的点可构造方程组求得双曲线方程；
（2）易知直线斜率不为，设，与双曲线方程联立后可得韦达定理的形式，根据向量数量积的坐标运算，结合韦达定理可得，证得，由直角三角形的性质可得结论.
（1）
由已知可得，，解得：…①，
又点在上，…②，
由①②可得：，，双曲线的方程为；
（2）
当的斜率为时，此时中有一点与重合，不符合题意.
当斜率不为时，设，，，
联立得：，
则，解得：.
，
，
，则是直角三角形，是斜边，
点是斜边的中点，，即.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
一、单选题
1．双曲线的渐近线方程是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知双曲线的一条渐近线为，且一个焦点坐标是，则双曲线的标准方程是（ ）
A．=1 B．=1 C．=1 D．=1
3．已知双曲线的一条渐近线方程为，则其离心率为（ ）
A． B． C． D．
4．若椭圆与双曲线的焦点相同，则的值为（ ）
A． B．4 C．6 D．9
5．已知双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为（为双曲线的半焦距），则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．若，则双曲线与有（ ）
A．相等的实轴长 B．相等的虚轴长 C．相同的焦点 D．相同的渐近线
7．已知曲线其中一条渐近线与直线平行，则此双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．
8．已知双曲线：的左右焦点分别为，，以为直径的圆交双曲线的右支于点，若，则双曲线的离心率为( )
A． B． C． D．
9．若双曲线的渐近线的斜率大于，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
10．我们把离心率的双曲线（a>0；b>0）称为黄金双曲线，给出以下说法：
①双曲线是黄金双曲线；②若=ac，则该双曲线是黄金双曲线；
③若F为双曲线的左焦点，B为双曲线虚轴的上端点，A为双曲线的右顶点，且∠FBA=90°，则该双曲线是黄金双曲线；
④若过双曲线的右焦点且与x轴垂直的直线与双曲线的右支交于M，N两点，∠MON=90°，其中O为坐标原点，则该双曲线是黄金双曲线.其中正确的说法是（ ）
A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④
二、填空题
11．已知焦点在轴的双曲线的渐近线为，半焦距为5，则双曲线的标准方程为__________．
12．经过点，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程为_________．
13．已知双曲线的左焦点为F，右顶点为A，点，线段的中点为P，且（O为坐标原点），则双曲线的离心率为_______.
14．已知双曲线两焦点之间的距离为4，则双曲线的渐近线方程是___________.
15．已知双曲线的两个焦点分别为、，且两条渐近线互相垂直，若上一点满足，则的余弦值为_______________________．
16．已知焦点在x轴上的双曲线的两条渐近线互相垂直，则___________.
17．已知双曲线过点且渐近线为，则下列结论正确的是______（填序号）.
①、的方程为；②、的离心率为；
③、曲线经过的一个焦点；④、直线与有两个公共点.
三、解答题
18．（1）已知椭圆的长轴长为6，一个焦点为，求该椭圆的标准方程．
（2）已知双曲线过点，渐近线方程为，求该双曲线的标准方程．
19．已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且经过点.
（1）求双曲线的方程；
（2）求双曲线的实轴长，离心率，焦点到渐近线的距离.
20．设双曲线的左、右焦点分别为，，且，一条渐近线的倾斜角为60°．
（1）求双曲线C的标准方程和离心率；
（2）求分别以，为左、右顶点，短轴长等于双曲线虚轴长的椭圆的标准方程．
21．在平面直角坐标系中，双曲线左、右焦点分别为．
（1）若直线l过点，且与双曲线C的左、右支各有一个公共点，求直线l的斜率k的取值范围；
（2）若点P为双曲线C上一点，求的最小值．
22．已知双曲线：的离心率为，点在上，为的右焦点.
（1）求双曲线的方程；
（2）设为的左顶点，过点作直线交于（不与重合）两点，点是的中点，求证：.
试卷第1页，共3页
参考答案
1．C
【分析】
根据双曲线的标准方程，即可直接求出其渐近线方程.
【详解】
∵双曲线的标准方程为，
∴双曲线的焦点在轴，，，且双曲线的渐近线方程为，即.
故选：C.
2．B
【分析】
根据焦点位置及渐近线方程直接写出双曲线方程即可.
【详解】
由题设，双曲线实轴为x轴，且渐近线为，
∴双曲线的标准方程是.
故选：B
3．C
【分析】
由题可得，即可求出离心率.
【详解】
双曲线的一条渐近线方程为，，
离心率.
故选：C.
4．D
【分析】
先根据双曲线方程得焦点坐标为，进而根据椭圆的方程得.
【详解】
解：将双曲线方程化为标准方程得：，
所以双曲线的焦点坐标为，
由于椭圆与双曲线有相同的焦点，
所以由椭圆的方程得：.
故选：D．
5．C
【分析】
根据焦点到渐近线的距离求得关于的表达式，进而求得双曲线的离心率.
【详解】
双曲线的一条渐近线为，
焦点为，
焦点到渐近线的距离为，
所以，
由于，所以.
故选：C
6．C
【分析】
根据题意可得，，从而可得出结论.
【详解】
解：因为，所以，，，
于是，，
所以实轴长，虚轴长及渐近线不相同，焦点相同.
故选：C．
7．B
【分析】
不妨取双曲线的渐近线为，可得，再由离心率即可求解.
【详解】
由条件可得双曲线的渐近线方程为，
∵渐近线与直线平行，
∴，
∴双曲线的离心率为．
故选：B
8．D
【分析】
利用圆的性质可得△为直角三角形，利用直角三角形的性质与双曲线的定义可表示出每一边，再利用双曲线的离心率公式进行计算.
【详解】
由题意，，又，，则，，由双曲线定义，，则离心率.
故选：D.
9．D
【分析】
由题意可知，结合求解即可
【详解】
因为双曲线的渐近线的斜率大于，
所以， 即，也即，
所以，所以，
所以，又因为双曲线得离心率，
所以，
双曲线离心率的取值范围是.
故选：D
10．D
【分析】
根据题意依次判断即得.
【详解】
对于①，因为，∴，
∴，故①正确；
对于②，由，得，可求得，故②正确；
对于③，由∠FBA=90°得，即，得，由②知，，故③正确；
对于④，若∠MON=90°，易知，又，∴，由②知，，故④正确.
故选：D
11．
【分析】
根据已知条件求得，由此求得双曲线的标准方程.
【详解】
依题意可知，
所以双曲线的标准方程为.
故答案为：
12．
【分析】
根据等轴双曲线的标准方程求解即可．
【详解】
解：设双曲线的方程为，把点代入，得；
把点代入，得，无解故所求方程为．
故答案为：．
13．4
【分析】
利用两点间距离公式分别求得与，再利用构造关于，的方程，从而求得离心率.
【详解】
由题可知，，设，又点，线段的中点P，所以点，
所以由两点间距离公式有
，
，
又因为，
所以有，即，所以，所以.
故答案为：4
14．.
【分析】
根据条件求出c，进而根据求出a，最后写出渐近线方程.
【详解】
因为双曲线两焦点之间的距离为4，所以，解得，
所以，，双曲线的渐近线方程是.
故答案为：.
15．
【分析】
由题意可得，进而得到，再结合双曲线的定义可得，进而结合余弦定理即可求出结果.
【详解】
因为双曲线，所以渐近线方程为，又因为两条渐近线互相垂直，所以，所以，即，因此，
因此，又由双曲线的定义可知，则，
所以在中由余弦定理可得
，
故答案为：.
16．1
【分析】
根据双曲线的渐近线方程建立方程可得答案.
【详解】
解：∵双曲线的焦点在x轴上
∴，即.
∵双曲线的两条渐近线互相垂直
∴，即，解得（负值舍去）.
故答案为：1.
17．①③
【分析】
由共渐近线的双曲线C方程可设为，将点代入可得双曲线的方程，进而得到离心率，即可判断①②是否正确；求出焦点坐标可验证③是否正确；将直线与双曲线C的方程联立，利用判别式及直线斜率与渐近线斜率比较可判断④是否正确.
【详解】
双曲线C的渐近线为 设双曲线C的方程为 将点代入得
双曲线C的方程为，故①正确；
双曲线C的方程为，，故②错误；
双曲线C的方程为双曲线C的焦点为，，
将代入曲线得，曲线经过的一个焦点,故③正确；
由，整理得，则，
又直线过点，斜率，直线与C只有一个公共点，故④错误.
故选：①③
18．（1）；（2）.
【分析】
（1）根据长轴长及焦点坐标，写出椭圆标准方程即可；
（2）由双曲线的渐近线方程设双曲线方程为，再由所过的点写出双曲线标准方程即可.
【详解】
（1）由题设，长轴长为6即，焦点为即，
∴，
∴椭圆的标准方程为.
（2）由题意，渐近线方程为，令，
又在双曲线上，
∴，即，
19．（1）；（2）实轴长2，离心率为，距离为
【分析】
（1）先求出双曲线的渐近线方程，从而由题意可得，所以双曲线的方程可化为，再把坐标代入方程中求出的值，从而可得双曲线的方程；
（2）由双曲线方程可得，，，从而可得实轴长，离心率，焦点，再利用点到直线的距离公式可求出焦点到渐近线的距离
【详解】
（1）解：在双曲线中，，，
则渐近线方程为，
∵双曲线与双曲线有相同的渐近线，
，
∴方程可化为，
又双曲线经过点，代入方程，
，解得，，
∴双曲线的方程为.
（2）解；由（1）知双曲线中，
，，，
∴实轴长，离心率为，
设双曲线的一个焦点为，一条渐近线方程为，
，
即焦点到渐近线的距离为.
【点睛】
此题考查双曲线简单的几何性质的应用，考查计算能力，属于基础题
20．（1），2 （2）
【分析】
（1）结合，联立即得解；
（2）由题意，即得解.
【详解】
（1）由题意，
又
解得：
故双曲线C的标准方程为：，离心率为
（2）由题意椭圆的焦点在轴上，设椭圆方程为
故
即椭圆方程为：
21．
（1）.
（2）-1
【分析】
（1）把直线与双曲线方程联立，消去y，建立不等式组，求出k的范围；
（2）表示出，利用有界性求出的范围.
（1）
显然，直线l的斜率不存在时，与双曲线不相交，故l的斜率必存在，设其为k，则直线l：，代入双曲线方程得：.
要使l与双曲线C的左、右支各有一个公共点，
只需，解得：.
即斜率k的取值范围为.
（2）
双曲线左、右焦点分别为.
设，则，所以，
因为，所以，所以，即的最小值为-1.
22．
（1）；
（2）证明见解析.
【分析】
（1）根据离心率和椭圆上的点可构造方程组求得双曲线方程；
（2）易知直线斜率不为，设，与双曲线方程联立后可得韦达定理的形式，根据向量数量积的坐标运算，结合韦达定理可得，证得，由直角三角形的性质可得结论.
（1）
由已知可得，，解得：…①，
又点在上，…②，
由①②可得：，，双曲线的方程为；
（2）
当的斜率为时，此时中有一点与重合，不符合题意.
当斜率不为时，设，，，
联立得：，
则，解得：.
，
，
，则是直角三角形，是斜边，
点是斜边的中点，，即.
答案第1页，共2页
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