3.2.1双曲线及其标准方程同步练习-2021-2022学年高二数学上学期人教A版（2019）选择性必修第一册（含答案）

人教版（A）选择性必修一双曲线及其标准方程同步巩固练习
一、单选题
1．若方程表示双曲线，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．已知双曲线的实轴的一个端点为，虚轴的一个端点为，且，则双曲线方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知双曲线的下、上焦点分别为，，是双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．惊艳全世界的南非双曲线大教堂是由伦敦著名的建筑事务所steynstudio完成的，建筑师的设计灵感源于圣经的经文“上帝啊，你永无止境的爱是多么的珍贵，人们在你雄伟的翅膀下避难”．若将如图所示的双曲线大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线（，）下支的一部分，且此双曲线的离心率为，过点，则此双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
5．双曲线的两个焦点为，，双曲线上一点到的距离为8，则点到的距离为（ ）
A．2或12 B．2或18 C．18 D．2
6．设，是双曲线：的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为（ ）
A． B．3 C． D．2
7．已知为坐标原点，设、分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线上任一点，过点作的平分线的垂线，垂足为，则（ ）
A． B． C． D．
8．“0≤k<3”是“方程＋＝1表示双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
9．已知曲线，关于曲线的四个结论：
①若曲线表示双曲线，则；②曲线的焦点可以在x轴上，也可以在y轴上；
③若曲线表示椭圆，则；④曲线可能表示圆.
其中所有正确的编号为（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．③④
10．已知双曲线的左 右焦点分别为，，为坐标原点，，点是双曲线左支上的一点，若，，则双曲线的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．若双曲线的一个焦点为，则实数__________．
12．已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则的取值范围是__________.
13．已知双曲线的中心在原点，两个焦点F1，F2的坐标分别为(，0)和(－，0)，点P在双曲线上，且PF1⊥PF2，△PF1F2的面积为1，则双曲线的方程为__________．
14．已知双曲线E：＝1（m，n＞0）的焦距为4，则m+n＝___.
15．已知双曲线﹣＝1的一个焦点是（0，2），椭圆﹣＝1的焦距等于4，则n＝___．
16．已知双曲线的两个焦点分别为F1（﹣，0），F2（，0），P是双曲线上的一点，且PF1⊥PF2，|PF1| |PF2|＝2，则双曲线的标准方程是___．
17．若椭圆和双曲线的共同焦点为，，P是两曲线的一个交点，则的值为__________．
三、解答题
18．m，n为何值时，方程表示下列曲线：
（1）圆；
（2）椭圆；
（3）双曲线？
19．根据下列条件，求双曲线的标准方程：
（1）半焦距为，经过点，且焦点在轴上；
（2）两个焦点的坐标分别为，，双曲线上一点到，的距离之差的绝对值等于6；
（3）与双曲线有公共焦点，且过点．
已知双曲线与椭圆有相同的焦点，，且两曲线的一个公共点P满足：是直角三角形且，求双曲线的标准方程．
21．如图所示，已知定圆：，定圆：，动圆与定圆，都外切，求动圆圆心的轨迹方程．
22．已知双曲线C的方程为，其左、右焦点分别为，，且，双曲线C的一个焦点到渐近线的距离为1．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）P是双曲线C上一点，O是坐标原点，且，求的面积．
试卷第1页，共3页
参考答案
1．A
【分析】
依题意可得，解得即可；
【详解】
解：因为方程表示双曲线，所以，所以，即.
故选：A
2．C
【分析】
根据求得，从而确定正确答案.
【详解】
依题意，，
所以双曲线的方程为.
故选：C
3．C
【分析】
求出实半轴的长、虚半轴的长后可得双曲线的标准方程.
【详解】
设双曲线的方程为：，半焦距为.
则，，则，
故，所以双曲线的标准方程为．
故选：C.
4．A
【分析】
用待定系数法求双曲线方程.
【详解】
双曲线，由题意可得：
∴双曲线为，即．
故选：A．
5．C
【分析】
利用双曲线的定义求.
【详解】
解：由双曲线定义可知：
解得或（舍）∴点到的距离为18，
故选：C.
6．B
【分析】
根据双曲线方程可得焦点坐标，，由得出点在以为直径的圆上，根据勾股定理和双曲线的定义可得，结合三角形面积公式计算即可.
【详解】
由已知，不妨设，，因为，
所以点在以为直径的圆上，即是以为直角顶点的直角三角形，
故，即，又，
所以，
解得，所以，
故选：B．
7．B
【分析】
双曲线右支上取点，延长、，交于点，根据双曲线的定义及中位线的性质即可求.
【详解】
不妨在双曲线右支上取点，延长、，交于点，
由角平分线性质知：，
根据双曲线的定义，，从而，
在中，为其中位线，故.
故选：B.
8．A
【分析】
根据方程＋＝1表示双曲线求出k的范围，再根据充分性和必要性的定义即可得出结论.
【详解】
解：∵0≤k<3，∴，∴方程＋＝1表示双曲线；
反之，∵方程＋＝1表示双曲线，∴(k＋1)(k－5)<0，解得－1故“0≤k<3”是“方程＋＝1表示双曲线”的充分不必要条件．
故选：A.
9．B
【分析】
根据双曲线、椭圆和圆的标准方程的特征讨论k的范围，进而得到答案.
【详解】
对①，若曲线表示双曲线，则，正确；
对②，因为，若曲线C表示椭圆，则，则焦点在x轴上，若曲线C表示双曲线，由①，，此时，焦点在x轴上，所以曲线的焦点不可能在y轴上，错误；
由②可知，③正确；
由②可知，，④错误.
故选：B.
10．C
【分析】
由可得，可知；利用双曲线的定义可求得，，在中，利用勾股定理可构造方程求得，由此可得双曲线方程.
【详解】
由题意知：双曲线的焦距为，，
，.
，不妨设，，
由双曲线的定义可得：，，，
由勾股定理可得：，解得：，，双曲线方程为.
故选：C.
11．3
【分析】
根据双曲线方程即可得解.
【详解】
双曲线的一个焦点为，
所以且，
所以.
故答案为：3
12．
【分析】
根据焦点的位置可得关于的不等式组，从而可求的取值范围.
【详解】
因为双曲线的焦点在轴上，故，故，
故的取值范围，
故答案为：
13．－y2＝1
【分析】
由已知可得从而可求出(|PF1|－|PF2|)2＝16，由双曲线的定义可求出，而c＝，，可求出，进而可求得双曲线的方程
【详解】
由题意得
(|PF1|－|PF2|)2＝16，即2a＝4，解得a＝2，
又c＝，所以b＝1，
故双曲线的方程为－y2＝1.
故答案为：－y2＝1.
14．4
【分析】
根据焦距为4，可求得半焦距c，根据双曲线中a，b，c的关系，即可得答案.
【详解】
由题意得，解得，且，
因此
所以，即，
故答案为：4
15．5
【分析】
根据双曲线焦点的位置确定出m的符号，进而求出m，然后根据椭圆的焦距求出n.
【详解】
由题意可得m＜0，且22＝﹣3m﹣m，解得m＝﹣1，故椭圆﹣＝1的方程可化为，故其焦距2c＝2＝4或2c＝2＝4，解得n＝5，或n＝﹣3（此时方程不表示椭圆，舍去）
故答案为：5．
16．
【分析】
利用勾股定理，结合双曲线的定义，即可求出双曲线的方程．
【详解】
因为双曲线的两个焦点分别为，，，，
所以双曲线的焦点在轴上，且，
由于三角形为直角三角形，
故，
所以，
由双曲线定义得，即，故，
所以双曲线方程为．
故答案为：．
17．
【分析】
首先由已知条件并结合椭圆方程和双曲线方程的定义，求出，，的长度，然后利用余弦定理即可求解.
【详解】
设，，由椭圆和双曲线的对称性，不妨令，
根据椭圆和双曲线的定义可得：
，，联立两式，解之得：，，
由椭圆的方程可得，所以，
在中，由余弦定理可知，
．
故答案为：.
18．（1）；（2），，且；（3）
【分析】
（1）若方程表示圆，则，即可得答案.
（2）若方程表示椭圆，则，，且，即可得答案；
（3）若方程表示双曲线，则，即可得答案.
【详解】
（1）若方程表示圆，则，所以当时，方程为圆；
（2）若方程表示椭圆，则，，且，
所以当，，且时，方程为椭圆；
（3）若方程表示双曲线，则，所以当时，方程为双曲线.
19．
（1）
（2）
（3）
【分析】
（1）可设双曲线的标准方程为，将点代入，求得，即可得出答案；
（2）设标准方程为，根据题意可得，求得，即可得解；
（2）方法一：设双曲线的标准方程为，利用待定系数法求得，即可得解；
方法二：设双曲线的标准方程为（，且），将点代入方程，求得，即可得解.
（1）
因为半焦距为，且焦点在轴上，
所以可设双曲线的标准方程为，
因为双曲线经过点，所以，
解得或（舍去）．
于是双曲线的标准方程为；
（2）
因为双曲线的焦点在轴上，
所以设它的标准方程为，
因为，，所以，．
于是双曲线的标准方程为；
（3）
方法一：设双曲线的标准方程为，
点在双曲线上，故．
又，所以，，
则双曲线的标准方程为．
方法二：设双曲线的标准方程为（，且），
将点代入方程，解得或（舍去），则双曲线的标准方程为．
20．.
【分析】
根据椭圆的定义、结合双曲线的定义、锐角三角函数的定义进行求解即可.
【详解】
是直角三角形且，不妨设，点P在第二象限，
由可知，椭圆的焦距为：，由题意可知：，
，解得：，
设双曲线的方程为：，
由双曲线的定义可知：，
因为，所以，因此，
所以双曲线方程为：.
21．
【分析】
动圆的半径为，则有，，从而可得，，再由双曲线的定义即可求解.
【详解】
圆：，圆心，半径；
圆：，圆心，半径．
设动圆的半径为，
则有，，
∴．
∴点的轨迹是以，为焦点的双曲线的左支，
且，，于是．
∴动圆圆心的轨迹方程为．
22．（1）；（2）1.
【分析】
（1）由焦距得，由焦点到渐近线的距离为1可得关系，从而求得，再由求得得双曲线方程；
（2）由，得为直角三角形且，结合双曲线的定义求得，从而得三角形面积．
【详解】
解：（1）依题意，知，.
不妨设双曲线的右焦点到渐近线的距离为1，渐近线方程即，
则，∴，∴
∴双曲线的标准方程为.
（2）在中，∵是边，上的中线且，
∴为直角三角形且.
∵是双曲线上一点，∴
平方，得，
其中，
∴
∴
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