专题强化练４直线中的对称问题与最值问题 -2021-2022学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册第二章（含答案）
文档属性
| 名称 | 专题强化练４直线中的对称问题与最值问题 -2021-2022学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册第二章（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 55.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-01 14:19:39 | ||
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文档简介
专题强化练4 直线中的对称问题与最值问题
一、选择题
1.(吉林长春五中高二月考,)直线x-y+1=0关于y轴对称的直线的方程为( )
A.x-y-1=0 B.x-y-2=0
C.x+y-1=0 D.x+y+1=0
2.(江西宜春高一期中,)若点A(a+2,b+2)与B(b-a,-b)关于直线4x+3y-11=0对称,则实数a,b的值分别为( )
A.-1,2 B.4,-2 C.2,4 D.4,2
3.(西安交大附中高二期中,)一条光线从点A处射到点B(0,1)后被y轴反射,则反射光线所在直线的方程为( )
A.2x-y-1=0 B.2x+y-1=0
C.x-2y-1=0 D.x+2y+1=0
4.(重庆云阳高二月考,)点(-2,3)关于直线y=x+1的对称点的坐标为( )
A.(2,-1) B.(3,0)
C.(3,-1) D.(2,0)
二、填空题
5.(江苏宿迁高二月考,)已知m∈R,则直线l1:(m+1)x-(m-3)y-4=0与直线l2:(m+1)x-(m-3)y=0之间的距离d的最大值为 .
6.(辽宁大连外国语学校高一期中,)若三条直线y=2x,x+y=3,mx+ny+5=0相交于同一点,则点(m,n)到原点的距离d的最小值等于 .
7.(山东泰安一中高一月考,)若直线l1:y=k(x-4)与直线l2关于点(2,1)对称,则直线l2过定点 .
三、解答题
8.(浙江金华十校联考,)已知点A(2,5)与点B(4,-7),试在y轴上求一点P,使|PA|+|PB|的值最小,并求出最小值.
9.(安徽安庆九中高二期中,)已知点M(3,5),在直线l:x-2y+2=0和y轴上各找一个点P和Q,求当△MPQ的周长最小时,点P,Q的坐标.
10.(河南师大附中高二月考,)已知△ABC的顶点A(3,-1),AB边上的中线所在直线的方程为6x+10y-59=0,∠B的平分线所在直线的方程为x-4y+10=0,求BC边所在直线的方程.
答案全解全析
一、选择题
1.C 令y=0,得x=-1,令x=0,得y=1,所以直线x-y+1=0关于y轴对称的直线过点(0,1)和(1,0),故所求直线方程为x+y-1=0.
2.D 因为点A,B关于直线4x+3y-11=0对称,所以A,B两点所在直线的斜率kAB=,即=,即6a-11b-2=0.易知线段AB的中点在直线4x+3y-11=0上,所以4×+3×1-11=0,所以b=2,所以a=4.
3.B 由反射定律可知点A关于y轴的对称点M在反射光线所在的直线上,且点B(0,1)也在反射光线所在的直线上,因此可得直线的两点式方程为=,即2x+y-1=0.
4.A 设对称点的坐标为(x,y),则=-1,即x+y-1=0.①
因为=+1,所以y+3=x.②
联立①②,解得
二、填空题
5.答案
解析 易知直线l1与l2平行,所以l1与l2之间的距离d===,因此当m=1时,d取得最大值,dmax==.
6.答案
解析 由解得把点(1,2)代入mx+ny+5=0,可得m+2n+5=0,于是m=-5-2n,因此点(m,n)到原点的距离d===≥,当且仅当n=-2,m=-1时取等号,故点(m,n)到原点的距离d的最小值等于.
7.答案 (0,2)
解析 易知直线l1:y=k(x-4)经过定点(4,0),因此直线l2所过定点即点(4,0)关于点(2,1)的对称点,故直线l2所过的定点为(0,2).
三、解答题
8.解析 如图,作点A(2,5)关于y轴的对称点A',易得其坐标为(-2,5),在y轴上任取一点P,由对称的知识易知|PA'|=|PA|.求|PA|+|PB|的最小值,即求|PA'|+|PB|的最小值.
由平面几何知识知,当A',P,B三点共线时,|PA'|+|PB|最小,由直线的两点式方程可得A'B所在直线的方程为=,即2x+y-1=0.令x=0,得y=1,故点P的坐标为(0,1).
此时,(|PA|+|PB|)min=|A'B|==6.
9.解析 作点M关于直线l的对称点M1,再作点M关于y轴的对称点M2,连接M1M2,则M1M2与直线l的交点即为点P,与y轴的交点即为点Q,此时得到的△MPQ的周长最小.
由点M(3,5)及直线l:x-2y+2=0,可求得点M1(5,1),
又点M关于y轴的对称点M2(-3,5),
所以直线M1M2的方程为x+2y-7=0.
令x=0,得y=,所以直线M1M2与y轴的交点Q,
解方程组可得直线M1M2与直线l的交点P.
故P,Q即为所求.
10.解析 设点A关于∠B的平分线的对称点为A'(x0,y0),
则解得
所以A'(1,7),易知A'在直线BC上.
设B的坐标为(4a-10,a),所以AB边的中点在直线6x+10y-59=0上,
所以6×+10×-59=0,所以a=5,即B(10,5).
由直线的两点式方程可得BC边所在直线的方程为2x+9y-65=0.
一、选择题
1.(吉林长春五中高二月考,)直线x-y+1=0关于y轴对称的直线的方程为( )
A.x-y-1=0 B.x-y-2=0
C.x+y-1=0 D.x+y+1=0
2.(江西宜春高一期中,)若点A(a+2,b+2)与B(b-a,-b)关于直线4x+3y-11=0对称,则实数a,b的值分别为( )
A.-1,2 B.4,-2 C.2,4 D.4,2
3.(西安交大附中高二期中,)一条光线从点A处射到点B(0,1)后被y轴反射,则反射光线所在直线的方程为( )
A.2x-y-1=0 B.2x+y-1=0
C.x-2y-1=0 D.x+2y+1=0
4.(重庆云阳高二月考,)点(-2,3)关于直线y=x+1的对称点的坐标为( )
A.(2,-1) B.(3,0)
C.(3,-1) D.(2,0)
二、填空题
5.(江苏宿迁高二月考,)已知m∈R,则直线l1:(m+1)x-(m-3)y-4=0与直线l2:(m+1)x-(m-3)y=0之间的距离d的最大值为 .
6.(辽宁大连外国语学校高一期中,)若三条直线y=2x,x+y=3,mx+ny+5=0相交于同一点,则点(m,n)到原点的距离d的最小值等于 .
7.(山东泰安一中高一月考,)若直线l1:y=k(x-4)与直线l2关于点(2,1)对称,则直线l2过定点 .
三、解答题
8.(浙江金华十校联考,)已知点A(2,5)与点B(4,-7),试在y轴上求一点P,使|PA|+|PB|的值最小,并求出最小值.
9.(安徽安庆九中高二期中,)已知点M(3,5),在直线l:x-2y+2=0和y轴上各找一个点P和Q,求当△MPQ的周长最小时,点P,Q的坐标.
10.(河南师大附中高二月考,)已知△ABC的顶点A(3,-1),AB边上的中线所在直线的方程为6x+10y-59=0,∠B的平分线所在直线的方程为x-4y+10=0,求BC边所在直线的方程.
答案全解全析
一、选择题
1.C 令y=0,得x=-1,令x=0,得y=1,所以直线x-y+1=0关于y轴对称的直线过点(0,1)和(1,0),故所求直线方程为x+y-1=0.
2.D 因为点A,B关于直线4x+3y-11=0对称,所以A,B两点所在直线的斜率kAB=,即=,即6a-11b-2=0.易知线段AB的中点在直线4x+3y-11=0上,所以4×+3×1-11=0,所以b=2,所以a=4.
3.B 由反射定律可知点A关于y轴的对称点M在反射光线所在的直线上,且点B(0,1)也在反射光线所在的直线上,因此可得直线的两点式方程为=,即2x+y-1=0.
4.A 设对称点的坐标为(x,y),则=-1,即x+y-1=0.①
因为=+1,所以y+3=x.②
联立①②,解得
二、填空题
5.答案
解析 易知直线l1与l2平行,所以l1与l2之间的距离d===,因此当m=1时,d取得最大值,dmax==.
6.答案
解析 由解得把点(1,2)代入mx+ny+5=0,可得m+2n+5=0,于是m=-5-2n,因此点(m,n)到原点的距离d===≥,当且仅当n=-2,m=-1时取等号,故点(m,n)到原点的距离d的最小值等于.
7.答案 (0,2)
解析 易知直线l1:y=k(x-4)经过定点(4,0),因此直线l2所过定点即点(4,0)关于点(2,1)的对称点,故直线l2所过的定点为(0,2).
三、解答题
8.解析 如图,作点A(2,5)关于y轴的对称点A',易得其坐标为(-2,5),在y轴上任取一点P,由对称的知识易知|PA'|=|PA|.求|PA|+|PB|的最小值,即求|PA'|+|PB|的最小值.
由平面几何知识知,当A',P,B三点共线时,|PA'|+|PB|最小,由直线的两点式方程可得A'B所在直线的方程为=,即2x+y-1=0.令x=0,得y=1,故点P的坐标为(0,1).
此时,(|PA|+|PB|)min=|A'B|==6.
9.解析 作点M关于直线l的对称点M1,再作点M关于y轴的对称点M2,连接M1M2,则M1M2与直线l的交点即为点P,与y轴的交点即为点Q,此时得到的△MPQ的周长最小.
由点M(3,5)及直线l:x-2y+2=0,可求得点M1(5,1),
又点M关于y轴的对称点M2(-3,5),
所以直线M1M2的方程为x+2y-7=0.
令x=0,得y=,所以直线M1M2与y轴的交点Q,
解方程组可得直线M1M2与直线l的交点P.
故P,Q即为所求.
10.解析 设点A关于∠B的平分线的对称点为A'(x0,y0),
则解得
所以A'(1,7),易知A'在直线BC上.
设B的坐标为(4a-10,a),所以AB边的中点在直线6x+10y-59=0上,
所以6×+10×-59=0,所以a=5,即B(10,5).
由直线的两点式方程可得BC边所在直线的方程为2x+9y-65=0.