专题强化练６ 椭圆的综合问题 -2021-2022学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册第二章（含答案）
文档属性
| 名称 | 专题强化练６ 椭圆的综合问题 -2021-2022学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册第二章（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 49.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-01 14:20:41 | ||
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文档简介
专题强化练6 椭圆的综合问题
一、选择题
1.(吉林长春高二质量检测,)已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F2且垂直于长轴的直线交椭圆于A,B两点,则△ABF1内切圆的半径为( )
A. B.1 C. D.
2.(山东烟台高三诊断考试,)已知动点P在椭圆+=1上,若点A的坐标为(3,0),点M满足||=1,·=0,则||的最小值是( )
A.4 B. C.15 D.16
3.(广东肇庆高二月考,)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A,B,P是椭圆上异于A,B的一点,若直线PA的斜率kPA与直线PB的斜率kPB的乘积等于-,则椭圆C的离心率为( )
A. B. C. D.
4.(四川绵阳中学高二月考,)已知点P在离心率为的椭圆E:+=1上,F是椭圆的一个焦点,M是以PF为直径的圆C1上的动点,N是半径为2的圆C2上的动点,圆C1与圆C2相离且圆心距|C1C2|=,若|MN|的最小值为1,则椭圆E的焦距的取值范围是 ( )
A.[1,3] B.[2,4] C.[2,6] D.[3,6]
5.(山东青岛高二月考,)已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F2的直线交椭圆于P,Q两点,且|PF1|∶|PQ|∶|QF1|=2∶3∶4,则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
6.(四川成都七中高二期中,)已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1且垂直于x轴的直线与椭圆相交于A,B两点,直线AF2与椭圆的另一个交点是C,且|AF2|=2|F2C|,若△ABF2的周长为4,则椭圆的方程为( )
A.+y2=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
7.(多选)(河北名校联盟高二诊断考试,)已知F1,F2分别是椭圆C:+=1的两个焦点,若椭圆上存在使△PF1F2的面积为的点P的个数为4,则实数m的值可以是( )
A.2 B.3 C. D.5
二、填空题
8.(湖南六校高二联考,)已知椭圆+=1(a>b>0)离心率的最小值为,其左、右焦点分别为F1,F2,若P是椭圆上位于y轴右侧的一点,则= .
三、解答题
9.(重庆西南大学附属中学高二月考,)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左顶点为M(-2,0),离心率为.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点N(1,0)的直线l交椭圆C于A,B两点,当·取得最大值时,求△MAB的面积.
答案全解全析
一、选择题
1.D 解法一:不妨设A点在B点上方,由题意知F2(1,0),将F2的横坐标代入方程+=1中,可得A点纵坐标为,故|AB|=3,所以内切圆半径r===,其中S为△ABF1的面积,C为△ABF1的周长.
解法二:由椭圆的通径公式可得|AB|==3,则△ABF1的面积S=2×3×=3,△ABF1的周长C=4a=8,则内切圆的半径r===.
2.B 因为·=0,所以PM⊥AM,所以||==,易知A(3,0)为椭圆的右焦点,所以a-c≤|PA|≤a+c,即4≤|PA|≤10,所以||∈[,3],所以||的最小值为.
3.D 依题意可知A(-a,0),B(a,0).
设P(x0,y0),代入椭圆方程,得=-+b2①,由kPA·kPB=-得·=-,即=-+ ②,由①②可得=,所以椭圆C的离心率e====.
4.C 因为M是以PF为直径的圆C1上的动点,N是半径为2的圆C2上的动点,圆C1与圆C2相离且圆心距|C1C2|=,|MN|的最小值为1,所以|C1C2|=2+1+=,解得|PF|=3,又因为P在椭圆E上,所以a-c≤|PF|≤a+c,因为椭圆E的离心率为,所以a=2c,所以c≤3≤3c,故1≤c≤3,所以2≤2c≤6.
5.C 设|PF1|=2,则|PQ|=3,|QF1|=4,则|PF2|=2a-2,|QF2|=2a-4,所以(2a-2)+(2a-4)=3,解得a=,所以|PF2|=.在△PF1Q中,由余弦定理,可得cos∠QPF1==-.
在△PF1F2中,由余弦定理,可得|F1F2|=
=,则椭圆的离心率为=.
6.C 过C点作x轴的垂线,垂足记为D,易知△AF1F2∽△CDF2,所以===2,不妨设A,则DF2=c,CD=,于是C.由于C点在椭圆上,所以+=1,整理得+=1,即=1.又因为△ABF2的周长为4,所以4a=4,得a2=5,所以b2=4,故椭圆的方程为+=1.
7.AD 当椭圆的焦点在y轴上时,0,解得14,此时a=,b=2,c=,设椭圆的上顶点为B,则B(0,2),由于△PF1F2面积的最大值为△BF1F2的面积,所以·2·2>,解得m>.结合选项知实数m的值可以是2,5.
二、填空题
8.答案 5
解析 依题意|PF1|>|PF2|,设=λ(λ>1),则|PF1|=λ|PF2|.由椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=2a,因此|PF2|=,又因为F2是右焦点,所以|PF2|≥a-c,因此≥a-c,整理,得e≥,于是有=,故λ=5.
三、解答题
9.解析 (1)由题意,可得a=2,=,所以c=,则b2=a2-c2=2.
所以椭圆C的方程为+=1.
(2)当直线l与x轴重合时,不妨取A(-2,0),B(2,0),此时·=0;
当直线l与x轴不重合时,设直线l的方程为x=ty+1,A(x1,y1),B(x2,y2),
联立整理,得(t2+2)y2+2ty-3=0,
显然Δ>0,y1+y2=,y1·y2=,
所以·=(x1+2)(x2+2)+y1y2=(ty1+3)(ty2+3)+y1y2=(t2+1)y1y2+3t(y1+y2)+9=(t2+1)·+3t·+9=.
当t=0时,·取得最大值,此时直线l的方程为x=1,
不妨取A,B,则|AB|=.
易知|MN|=3,所以△MAB的面积S=××3=.
一、选择题
1.(吉林长春高二质量检测,)已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F2且垂直于长轴的直线交椭圆于A,B两点,则△ABF1内切圆的半径为( )
A. B.1 C. D.
2.(山东烟台高三诊断考试,)已知动点P在椭圆+=1上,若点A的坐标为(3,0),点M满足||=1,·=0,则||的最小值是( )
A.4 B. C.15 D.16
3.(广东肇庆高二月考,)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A,B,P是椭圆上异于A,B的一点,若直线PA的斜率kPA与直线PB的斜率kPB的乘积等于-,则椭圆C的离心率为( )
A. B. C. D.
4.(四川绵阳中学高二月考,)已知点P在离心率为的椭圆E:+=1上,F是椭圆的一个焦点,M是以PF为直径的圆C1上的动点,N是半径为2的圆C2上的动点,圆C1与圆C2相离且圆心距|C1C2|=,若|MN|的最小值为1,则椭圆E的焦距的取值范围是 ( )
A.[1,3] B.[2,4] C.[2,6] D.[3,6]
5.(山东青岛高二月考,)已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F2的直线交椭圆于P,Q两点,且|PF1|∶|PQ|∶|QF1|=2∶3∶4,则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
6.(四川成都七中高二期中,)已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1且垂直于x轴的直线与椭圆相交于A,B两点,直线AF2与椭圆的另一个交点是C,且|AF2|=2|F2C|,若△ABF2的周长为4,则椭圆的方程为( )
A.+y2=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
7.(多选)(河北名校联盟高二诊断考试,)已知F1,F2分别是椭圆C:+=1的两个焦点,若椭圆上存在使△PF1F2的面积为的点P的个数为4,则实数m的值可以是( )
A.2 B.3 C. D.5
二、填空题
8.(湖南六校高二联考,)已知椭圆+=1(a>b>0)离心率的最小值为,其左、右焦点分别为F1,F2,若P是椭圆上位于y轴右侧的一点,则= .
三、解答题
9.(重庆西南大学附属中学高二月考,)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左顶点为M(-2,0),离心率为.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点N(1,0)的直线l交椭圆C于A,B两点,当·取得最大值时,求△MAB的面积.
答案全解全析
一、选择题
1.D 解法一:不妨设A点在B点上方,由题意知F2(1,0),将F2的横坐标代入方程+=1中,可得A点纵坐标为,故|AB|=3,所以内切圆半径r===,其中S为△ABF1的面积,C为△ABF1的周长.
解法二:由椭圆的通径公式可得|AB|==3,则△ABF1的面积S=2×3×=3,△ABF1的周长C=4a=8,则内切圆的半径r===.
2.B 因为·=0,所以PM⊥AM,所以||==,易知A(3,0)为椭圆的右焦点,所以a-c≤|PA|≤a+c,即4≤|PA|≤10,所以||∈[,3],所以||的最小值为.
3.D 依题意可知A(-a,0),B(a,0).
设P(x0,y0),代入椭圆方程,得=-+b2①,由kPA·kPB=-得·=-,即=-+ ②,由①②可得=,所以椭圆C的离心率e====.
4.C 因为M是以PF为直径的圆C1上的动点,N是半径为2的圆C2上的动点,圆C1与圆C2相离且圆心距|C1C2|=,|MN|的最小值为1,所以|C1C2|=2+1+=,解得|PF|=3,又因为P在椭圆E上,所以a-c≤|PF|≤a+c,因为椭圆E的离心率为,所以a=2c,所以c≤3≤3c,故1≤c≤3,所以2≤2c≤6.
5.C 设|PF1|=2,则|PQ|=3,|QF1|=4,则|PF2|=2a-2,|QF2|=2a-4,所以(2a-2)+(2a-4)=3,解得a=,所以|PF2|=.在△PF1Q中,由余弦定理,可得cos∠QPF1==-.
在△PF1F2中,由余弦定理,可得|F1F2|=
=,则椭圆的离心率为=.
6.C 过C点作x轴的垂线,垂足记为D,易知△AF1F2∽△CDF2,所以===2,不妨设A,则DF2=c,CD=,于是C.由于C点在椭圆上,所以+=1,整理得+=1,即=1.又因为△ABF2的周长为4,所以4a=4,得a2=5,所以b2=4,故椭圆的方程为+=1.
7.AD 当椭圆的焦点在y轴上时,0
二、填空题
8.答案 5
解析 依题意|PF1|>|PF2|,设=λ(λ>1),则|PF1|=λ|PF2|.由椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=2a,因此|PF2|=,又因为F2是右焦点,所以|PF2|≥a-c,因此≥a-c,整理,得e≥,于是有=,故λ=5.
三、解答题
9.解析 (1)由题意,可得a=2,=,所以c=,则b2=a2-c2=2.
所以椭圆C的方程为+=1.
(2)当直线l与x轴重合时,不妨取A(-2,0),B(2,0),此时·=0;
当直线l与x轴不重合时,设直线l的方程为x=ty+1,A(x1,y1),B(x2,y2),
联立整理,得(t2+2)y2+2ty-3=0,
显然Δ>0,y1+y2=,y1·y2=,
所以·=(x1+2)(x2+2)+y1y2=(ty1+3)(ty2+3)+y1y2=(t2+1)y1y2+3t(y1+y2)+9=(t2+1)·+3t·+9=.
当t=0时,·取得最大值,此时直线l的方程为x=1,
不妨取A,B,则|AB|=.
易知|MN|=3,所以△MAB的面积S=××3=.