专题强化练7 双曲线的综合问题 -2021-2022学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册第二章（含答案）
文档属性
| 名称 | 专题强化练7 双曲线的综合问题 -2021-2022学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册第二章（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 61.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-01 14:20:56 | ||
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文档简介
专题强化练7 双曲线的综合问题
一、选择题
1.(多选)(江西新余高二期末,)已知中心在原点,且关于坐标轴对称的双曲线M的离心率为,且它的一个焦点到一条渐近线的距离为2,则双曲线M的方程可能是( )
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
2.(多选)(山东章丘四中高二期中,)已知F1,F2分别是双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点,点P是双曲线上异于双曲线顶点的一点,且·=0,则下列结论正确的是( )
A.双曲线C的渐近线方程为y=±x
B.以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=1
C.点F1到双曲线的一条渐近线的距离为1
D.△PF1F2的面积为1
3.(广东深圳高二期末,)已知左、右焦点分别为F1,F2的双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线与直线l:x-2y=0相互垂直,点P在双曲线上,且|PF1|-|PF2|=3,则双曲线的焦距为( )
A.6 B.6
C.3 D.3
4.(四川成都七中高二期末,)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率等于2,则其渐近线与圆x2+(y+4)2=3的位置关系是( )
A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定
5.(安徽蚌埠高二期末,)已知双曲线C:-=1(b>0)的离心率为2,则C上任意一点到两条渐近线的距离之积为( )
A. B. C.2 D.3
6.(江西南昌二中高二期中,)设F1,F2是双曲线-y2=1的左、右焦点,点P在双曲线上,当△F1PF2的面积为1时,·的值为( )
A.0 B.1
C. D.2
7.(湖北宜昌高二期末,)设双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,O为坐标原点.以F1F2为直径的圆与双曲线的右支的一个交点为P,且以OF2为直径的圆与直线PF1相切,若|PF1|=8,则双曲线的焦距等于( )
A.6 B.6
C.3 D.3
8.(山东威海高二期中,)已知双曲线-=1的右焦点为F,P为双曲线左支上一点,点A(0,),则△APF周长的最小值为( )
A.4+ B.4+4
C.2+2 D.+3
9.(河北保定高二期末,)已知直线y=x+1与双曲线-=1(a>0,b>0)交于A,B两点,且线段AB的中点M的横坐标为1,则该双曲线的离心率等于( )
A. B. C.2 D.
10.(河北衡水高二期中,)已知F1,F2是椭圆与双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且|PF2|>|PF1|,椭圆的离心率为e1,双曲线的离心率为e2,若|PF1|=|F1F2|,则+的最小值为( )
A.4 B.6 C.4+2 D.8
二、填空题
11.(甘肃兰州高二期末,)如图,F1,F2是双曲线C1:x2-=1与椭圆C2的公共焦点,点A是C1,C2在第一象限的公共点.若|F1F2|=|F1A|,则椭圆C2的离心率是 .
12.(山西太原高二模拟,)已知双曲线x2-=1的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为e,若双曲线上一点P,使=e,则·的值为 .
答案全解全析
一、选择题
1.AB 焦点到一条渐近线的距离为b,所以b=2,因为e===,所以a2=2,所以该双曲线的方程为-=1或-=1.
2.ACD 由已知得a=b=1,c=,因此渐近线方程为y=±x,以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=2,点F1到双曲线的一条渐近线的距离为b=1,由·=0得∠F1PF2=90°,所以△PF1F2的面积为==1,故A、C、D正确,B错误.
3.C 双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线为y=±x,由一条渐近线与直线l:x-2y=0相互垂直,可得=2,即b=2a,由双曲线的定义可得2a=|PF1|-|PF2|=3,可得a=,b=3,所以c===,所以焦距为2c=3.
4.C 由于双曲线的离心率等于2,所以=2,即=4,所以=,所以渐近线方程为y=±x.圆x2+(y+4)2=3的圆心为(0,-4),半径等于,且圆心到渐近线的距离d==2>,因此渐近线与圆x2+(y+4)2=3相离.
5.B 因为双曲线的离心率是2,所以e2==4,解得b=6,故双曲线方程为-=1,即3y2-x2=6,渐近线方程为y=±x,即x±y=0,则C上任意一点P(x,y)到两条渐近线的距离之积为×===.
6.A 由双曲线方程可得c=,则F1(-,0),F2(,0).不妨设P(xP,yP)(xP,yP>0),由×2c×yP=1,得yP=,
∴P,∴=--,-,=-,-,
∴·=0.
7.A 依题意知PF1⊥PF2,设以OF2为直径的圆与直线PF1相切于点N,圆心为M,则MN⊥PF1,因此Rt△PF1F2∽Rt△NF1M,所以=.设双曲线的焦距为2c,则=,解得|PF2|=,由勾股定理可得|PF1|===,于是=8,c=3,故焦距2c=6.
8.B 设左焦点为G,则|PF|-|PG|=2×2=4,△APF的周长l=|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+|PG|+4+2,当P,A,G三点共线时,|PA|+|PG|取得最小值,为2,所以l的最小值为4+2+2=4+4.
9.B 由已知得M(1,2),设A(x1,y1),B(x2,y2),代入双曲线方程得-=1,-=1,两式相减得=,整理得=,即kAB·kOM=,而kAB=1,kOM=2,所以=2,故离心率e==.
10.D 设|F1F2|=2c,椭圆的长轴长为2a1,双曲线的实轴长为2a2,则|PF1|=2c,由椭圆的定义得|PF2|=2a1-2c,由双曲线的定义得|PF2|=2a2+2c,因此2a1-2c=2a2+2c,即a1-a2=2c,则-=2,于是+=3+=6++≥6+2·=8,当且仅当=,即e2=3时等号成立,故最小值等于8.
二、填空题
11.答案
解析 设椭圆的长轴长为2a,双曲线的实轴长为2a1=2,焦距为2c=4,由于|F1F2|=|F1A|,所以|F1A|=4,由椭圆的定义可得|AF2|=2a-4,由双曲线的定义可得|AF2|=4-2=2,所以2a-4=2,即a=3,所以椭圆C2的离心率e=.
12.答案 2
解析 由双曲线方程x2-=1得a=1,c=2,由双曲线的定义得|||-|||=2,因为=e=2,所以由正弦定理得=2,可解得||=4,||=2,又||=4,根据余弦定理可得cos∠PF2F1=,所以·=||·||·cos∠PF2F1=2×4×=2.
一、选择题
1.(多选)(江西新余高二期末,)已知中心在原点,且关于坐标轴对称的双曲线M的离心率为,且它的一个焦点到一条渐近线的距离为2,则双曲线M的方程可能是( )
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
2.(多选)(山东章丘四中高二期中,)已知F1,F2分别是双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点,点P是双曲线上异于双曲线顶点的一点,且·=0,则下列结论正确的是( )
A.双曲线C的渐近线方程为y=±x
B.以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=1
C.点F1到双曲线的一条渐近线的距离为1
D.△PF1F2的面积为1
3.(广东深圳高二期末,)已知左、右焦点分别为F1,F2的双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线与直线l:x-2y=0相互垂直,点P在双曲线上,且|PF1|-|PF2|=3,则双曲线的焦距为( )
A.6 B.6
C.3 D.3
4.(四川成都七中高二期末,)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率等于2,则其渐近线与圆x2+(y+4)2=3的位置关系是( )
A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定
5.(安徽蚌埠高二期末,)已知双曲线C:-=1(b>0)的离心率为2,则C上任意一点到两条渐近线的距离之积为( )
A. B. C.2 D.3
6.(江西南昌二中高二期中,)设F1,F2是双曲线-y2=1的左、右焦点,点P在双曲线上,当△F1PF2的面积为1时,·的值为( )
A.0 B.1
C. D.2
7.(湖北宜昌高二期末,)设双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,O为坐标原点.以F1F2为直径的圆与双曲线的右支的一个交点为P,且以OF2为直径的圆与直线PF1相切,若|PF1|=8,则双曲线的焦距等于( )
A.6 B.6
C.3 D.3
8.(山东威海高二期中,)已知双曲线-=1的右焦点为F,P为双曲线左支上一点,点A(0,),则△APF周长的最小值为( )
A.4+ B.4+4
C.2+2 D.+3
9.(河北保定高二期末,)已知直线y=x+1与双曲线-=1(a>0,b>0)交于A,B两点,且线段AB的中点M的横坐标为1,则该双曲线的离心率等于( )
A. B. C.2 D.
10.(河北衡水高二期中,)已知F1,F2是椭圆与双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且|PF2|>|PF1|,椭圆的离心率为e1,双曲线的离心率为e2,若|PF1|=|F1F2|,则+的最小值为( )
A.4 B.6 C.4+2 D.8
二、填空题
11.(甘肃兰州高二期末,)如图,F1,F2是双曲线C1:x2-=1与椭圆C2的公共焦点,点A是C1,C2在第一象限的公共点.若|F1F2|=|F1A|,则椭圆C2的离心率是 .
12.(山西太原高二模拟,)已知双曲线x2-=1的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为e,若双曲线上一点P,使=e,则·的值为 .
答案全解全析
一、选择题
1.AB 焦点到一条渐近线的距离为b,所以b=2,因为e===,所以a2=2,所以该双曲线的方程为-=1或-=1.
2.ACD 由已知得a=b=1,c=,因此渐近线方程为y=±x,以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=2,点F1到双曲线的一条渐近线的距离为b=1,由·=0得∠F1PF2=90°,所以△PF1F2的面积为==1,故A、C、D正确,B错误.
3.C 双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线为y=±x,由一条渐近线与直线l:x-2y=0相互垂直,可得=2,即b=2a,由双曲线的定义可得2a=|PF1|-|PF2|=3,可得a=,b=3,所以c===,所以焦距为2c=3.
4.C 由于双曲线的离心率等于2,所以=2,即=4,所以=,所以渐近线方程为y=±x.圆x2+(y+4)2=3的圆心为(0,-4),半径等于,且圆心到渐近线的距离d==2>,因此渐近线与圆x2+(y+4)2=3相离.
5.B 因为双曲线的离心率是2,所以e2==4,解得b=6,故双曲线方程为-=1,即3y2-x2=6,渐近线方程为y=±x,即x±y=0,则C上任意一点P(x,y)到两条渐近线的距离之积为×===.
6.A 由双曲线方程可得c=,则F1(-,0),F2(,0).不妨设P(xP,yP)(xP,yP>0),由×2c×yP=1,得yP=,
∴P,∴=--,-,=-,-,
∴·=0.
7.A 依题意知PF1⊥PF2,设以OF2为直径的圆与直线PF1相切于点N,圆心为M,则MN⊥PF1,因此Rt△PF1F2∽Rt△NF1M,所以=.设双曲线的焦距为2c,则=,解得|PF2|=,由勾股定理可得|PF1|===,于是=8,c=3,故焦距2c=6.
8.B 设左焦点为G,则|PF|-|PG|=2×2=4,△APF的周长l=|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+|PG|+4+2,当P,A,G三点共线时,|PA|+|PG|取得最小值,为2,所以l的最小值为4+2+2=4+4.
9.B 由已知得M(1,2),设A(x1,y1),B(x2,y2),代入双曲线方程得-=1,-=1,两式相减得=,整理得=,即kAB·kOM=,而kAB=1,kOM=2,所以=2,故离心率e==.
10.D 设|F1F2|=2c,椭圆的长轴长为2a1,双曲线的实轴长为2a2,则|PF1|=2c,由椭圆的定义得|PF2|=2a1-2c,由双曲线的定义得|PF2|=2a2+2c,因此2a1-2c=2a2+2c,即a1-a2=2c,则-=2,于是+=3+=6++≥6+2·=8,当且仅当=,即e2=3时等号成立,故最小值等于8.
二、填空题
11.答案
解析 设椭圆的长轴长为2a,双曲线的实轴长为2a1=2,焦距为2c=4,由于|F1F2|=|F1A|,所以|F1A|=4,由椭圆的定义可得|AF2|=2a-4,由双曲线的定义可得|AF2|=4-2=2,所以2a-4=2,即a=3,所以椭圆C2的离心率e=.
12.答案 2
解析 由双曲线方程x2-=1得a=1,c=2,由双曲线的定义得|||-|||=2,因为=e=2,所以由正弦定理得=2,可解得||=4,||=2,又||=4,根据余弦定理可得cos∠PF2F1=,所以·=||·||·cos∠PF2F1=2×4×=2.