专题强化练８ 抛物线的综合问题 -2021-2022学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册第二章（含答案）
文档属性
| 名称 | 专题强化练８ 抛物线的综合问题 -2021-2022学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册第二章（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 53.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-01 14:21:12 | ||
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文档简介
专题强化练8 抛物线的综合问题
一、选择题
1.(山东威海高二月考,)已知抛物线y2=6x上的一点到焦点的距离是到y轴距离的2倍,则该点的横坐标为( )
A. B. C.2 D.
2.(辽宁大连高二期末,)设抛物线y=x2的焦点为F,点P在抛物线上,则“|PF|=3”是“点P到x轴的距离为2”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.(湖南张家界高二期末,)已知抛物线C:y2=8px(p>0)的焦点为F,C与抛物线x2=py在第一象限的交点为M,且|MF|=4,则p=( )
A.6 B.4 C.2 D.1
4.(山东章丘四中高二期中,)设斜率为的直线过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,与C交于A,B两点,且|AB|=,则p=( )
A. B.1 C.2 D.4
5.(多选)(安徽蚌埠高二期中,)已知点A(-2,4)在抛物线y2=-2px(p>0)上,抛物线的焦点为F,延长AF与抛物线相交于另一点B,O为坐标原点,则下列结论中正确的是( )
A.抛物线的准线方程为x=2
B.抛物线的焦点坐标为(-2,0)
C.点B的坐标为(-2,-2)
D.△OAB的面积为8
6.(湖北武汉高二期末,)已知P为抛物线y2=4x上的一个动点,P到其准线的距离为d,Q为圆C:(x+2)2+(y-4)2=1上的一个动点,则d+|PQ|的最小值是 ( )
A.5 B.4 C.2+1 D.+1
7.(多选)(山东烟台高二期末,)已知抛物线E:y2=4x的焦点为F,准线为l,过F的直线与E交于A,B两点,C,D分别为A,B在l上的射影,且|AF|=3|BF|,M为AB的中点,O为坐标原点,则下列结论正确的是( )
A.∠CFD=90°
B.△CMD为等腰直角三角形
C.直线AB的斜率为±
D.△AOB的面积为4
二、填空题
8.(广东惠州高二期末,)若直线x+y-2=0经过抛物线y=mx2的焦点,则m= .
9.(重庆巴蜀中学高二期末,)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,O为坐标原点,点P在抛物线C上,且PF⊥OF,则|-|= .
三、解答题
10.(山东临沂高三模拟,)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线C上A,B两点满足AF⊥BF,线段AB的中点为M,过点M作抛物线C的准线的垂线,垂足为N,求的最小值.
11.(河南郑州高二期中,)已知直线l1:x-y+b=0(b>0),抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l2,A是抛物线C上的一点,A到l1,l2的距离分别为d1,d2,当d1+d2取得最小值时,d1=2d2,求b的值.
答案全解全析
一、选择题
1.B 设该点的横坐标为x0,由于2p=6,所以=,由抛物线的定义得该点到焦点的距离为x0+,因此有x0+=2x0,解得x0=.
2.C 抛物线方程可化为x2=4y,所以=1,由于点P在抛物线上,且|PF|=3,所以P到准线的距离为3,因此P到x轴的距离为3-1=2,反之也成立,故“|PF|=3”是“点P到x轴的距离为2”的充要条件.
3.D 由解得或因此M(2p,4p).因为|MF|=4,所以M到抛物线C的准线的距离为4,即2p+2p=4,故p=1.
4.C 依题意得直线方程为y=,代入抛物线方程得3x2-5px+p2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,于是|AB|=x1+x2+p=+p==,故p=2.
5.ABD 将A(-2,4)代入抛物线方程可得p=4,因此抛物线方程为y2=-8x,所以准线方程为x=2,焦点坐标为(-2,0),故A,B正确;易知AF⊥x轴,所以B(-2,-4),故C错误;又因为|AB|=8,所以S△OAB=×8×2=8,故D正确.
6.B 设抛物线y2=4x的焦点为F,则F(1,0),准线方程为x=-1.
圆C:(x+2)2+(y-4)2=1的圆心为C(-2,4),半径r=1.|FC|==5.
由抛物线的定义可知P到抛物线准线的距离d=|PF|,则d+|PQ|=|PF|+|PQ|,
如图,当C,Q,P,F四点共线时,d+|PQ|取得最小值,所以(d+|PQ|)min=|FC|-r=5-1=4.
故选B.
7.AC 由抛物线的定义知|AC|=|AF|,|BD|=|BF|,所以∠ACF=∠AFC,∠BDF=∠BFD,又因为∠ACF=∠OFC,∠BDF=∠OFD,所以∠AFC+∠BFD=∠OFC+∠OFD=∠CFD,而∠AFC+∠BFD+∠CFD=180°,故∠CFD=90°,故A正确;设|BF|=m,则|AF|=3m,因为+==1,即+=1,所以m=,即|BF|=,|AF|=4,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+1=4,x2+1=,于是x1=3,x2=,当A在x轴上方时,可得A(3,2),B,从而kAB=,当A在x轴下方时,同理可得kAB=-,故C正确;由双曲线的对称性,不妨设A在x轴上方,则M,C(-1,2),D,所以kMC=-,kMD=,所以MC与MD不垂直,故B错误;S△OAB=S△OAF+S△OBF=×1×=,故D错误.
二、填空题
8.答案
解析 抛物线方程可化为x2=y,因此焦点在y轴上,又直线x+y-2=0经过焦点,所以焦点为(0,2),因此=2,解得m=.
9.答案
解析 易知|OF|=1,|PF|=2,则|-|=||==.
三、解答题
10.解析 设抛物线的准线为l,作AQ⊥l于点Q,BP⊥l于点P,由抛物线的定义可知|AF|=|AQ|,|BF|=|BP|,设|AF|=a,|BF|=b,因为AF⊥BF,所以|AB|==,又因为M是线段AB的中点,所以由中位线定理得|MN|=,于是=≥=,当且仅当a=b时等号成立,故的最小值为.
11.解析 由抛物线的定义知d1+d2=d1+|AF|,作FD⊥l1于点D,当A、F、D三点共线且点A在线段FD上时,d1+d2取得最小值,此时点A在第一象限.易知F(1,0),所以|FD|==,因为d1=2d2,所以d1=,d2=.由FD⊥l1易得直线FD的斜率为-,所以直线FD的方程为y=-(x-1),联立可得或(舍去),
故A,所以|AF|=d2==+1,解得b=7.
一、选择题
1.(山东威海高二月考,)已知抛物线y2=6x上的一点到焦点的距离是到y轴距离的2倍,则该点的横坐标为( )
A. B. C.2 D.
2.(辽宁大连高二期末,)设抛物线y=x2的焦点为F,点P在抛物线上,则“|PF|=3”是“点P到x轴的距离为2”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.(湖南张家界高二期末,)已知抛物线C:y2=8px(p>0)的焦点为F,C与抛物线x2=py在第一象限的交点为M,且|MF|=4,则p=( )
A.6 B.4 C.2 D.1
4.(山东章丘四中高二期中,)设斜率为的直线过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,与C交于A,B两点,且|AB|=,则p=( )
A. B.1 C.2 D.4
5.(多选)(安徽蚌埠高二期中,)已知点A(-2,4)在抛物线y2=-2px(p>0)上,抛物线的焦点为F,延长AF与抛物线相交于另一点B,O为坐标原点,则下列结论中正确的是( )
A.抛物线的准线方程为x=2
B.抛物线的焦点坐标为(-2,0)
C.点B的坐标为(-2,-2)
D.△OAB的面积为8
6.(湖北武汉高二期末,)已知P为抛物线y2=4x上的一个动点,P到其准线的距离为d,Q为圆C:(x+2)2+(y-4)2=1上的一个动点,则d+|PQ|的最小值是 ( )
A.5 B.4 C.2+1 D.+1
7.(多选)(山东烟台高二期末,)已知抛物线E:y2=4x的焦点为F,准线为l,过F的直线与E交于A,B两点,C,D分别为A,B在l上的射影,且|AF|=3|BF|,M为AB的中点,O为坐标原点,则下列结论正确的是( )
A.∠CFD=90°
B.△CMD为等腰直角三角形
C.直线AB的斜率为±
D.△AOB的面积为4
二、填空题
8.(广东惠州高二期末,)若直线x+y-2=0经过抛物线y=mx2的焦点,则m= .
9.(重庆巴蜀中学高二期末,)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,O为坐标原点,点P在抛物线C上,且PF⊥OF,则|-|= .
三、解答题
10.(山东临沂高三模拟,)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线C上A,B两点满足AF⊥BF,线段AB的中点为M,过点M作抛物线C的准线的垂线,垂足为N,求的最小值.
11.(河南郑州高二期中,)已知直线l1:x-y+b=0(b>0),抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l2,A是抛物线C上的一点,A到l1,l2的距离分别为d1,d2,当d1+d2取得最小值时,d1=2d2,求b的值.
答案全解全析
一、选择题
1.B 设该点的横坐标为x0,由于2p=6,所以=,由抛物线的定义得该点到焦点的距离为x0+,因此有x0+=2x0,解得x0=.
2.C 抛物线方程可化为x2=4y,所以=1,由于点P在抛物线上,且|PF|=3,所以P到准线的距离为3,因此P到x轴的距离为3-1=2,反之也成立,故“|PF|=3”是“点P到x轴的距离为2”的充要条件.
3.D 由解得或因此M(2p,4p).因为|MF|=4,所以M到抛物线C的准线的距离为4,即2p+2p=4,故p=1.
4.C 依题意得直线方程为y=,代入抛物线方程得3x2-5px+p2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,于是|AB|=x1+x2+p=+p==,故p=2.
5.ABD 将A(-2,4)代入抛物线方程可得p=4,因此抛物线方程为y2=-8x,所以准线方程为x=2,焦点坐标为(-2,0),故A,B正确;易知AF⊥x轴,所以B(-2,-4),故C错误;又因为|AB|=8,所以S△OAB=×8×2=8,故D正确.
6.B 设抛物线y2=4x的焦点为F,则F(1,0),准线方程为x=-1.
圆C:(x+2)2+(y-4)2=1的圆心为C(-2,4),半径r=1.|FC|==5.
由抛物线的定义可知P到抛物线准线的距离d=|PF|,则d+|PQ|=|PF|+|PQ|,
如图,当C,Q,P,F四点共线时,d+|PQ|取得最小值,所以(d+|PQ|)min=|FC|-r=5-1=4.
故选B.
7.AC 由抛物线的定义知|AC|=|AF|,|BD|=|BF|,所以∠ACF=∠AFC,∠BDF=∠BFD,又因为∠ACF=∠OFC,∠BDF=∠OFD,所以∠AFC+∠BFD=∠OFC+∠OFD=∠CFD,而∠AFC+∠BFD+∠CFD=180°,故∠CFD=90°,故A正确;设|BF|=m,则|AF|=3m,因为+==1,即+=1,所以m=,即|BF|=,|AF|=4,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+1=4,x2+1=,于是x1=3,x2=,当A在x轴上方时,可得A(3,2),B,从而kAB=,当A在x轴下方时,同理可得kAB=-,故C正确;由双曲线的对称性,不妨设A在x轴上方,则M,C(-1,2),D,所以kMC=-,kMD=,所以MC与MD不垂直,故B错误;S△OAB=S△OAF+S△OBF=×1×=,故D错误.
二、填空题
8.答案
解析 抛物线方程可化为x2=y,因此焦点在y轴上,又直线x+y-2=0经过焦点,所以焦点为(0,2),因此=2,解得m=.
9.答案
解析 易知|OF|=1,|PF|=2,则|-|=||==.
三、解答题
10.解析 设抛物线的准线为l,作AQ⊥l于点Q,BP⊥l于点P,由抛物线的定义可知|AF|=|AQ|,|BF|=|BP|,设|AF|=a,|BF|=b,因为AF⊥BF,所以|AB|==,又因为M是线段AB的中点,所以由中位线定理得|MN|=,于是=≥=,当且仅当a=b时等号成立,故的最小值为.
11.解析 由抛物线的定义知d1+d2=d1+|AF|,作FD⊥l1于点D,当A、F、D三点共线且点A在线段FD上时,d1+d2取得最小值,此时点A在第一象限.易知F(1,0),所以|FD|==,因为d1=2d2,所以d1=,d2=.由FD⊥l1易得直线FD的斜率为-,所以直线FD的方程为y=-(x-1),联立可得或(舍去),
故A,所以|AF|=d2==+1,解得b=7.