专题强化练9 直线与圆锥曲线的综合问题 -2021-2022学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册第二章（含答案）
文档属性
| 名称 | 专题强化练9 直线与圆锥曲线的综合问题 -2021-2022学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册第二章（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 70.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-01 14:21:30 | ||
图片预览
文档简介
专题强化练9 直线与圆锥曲线的综合问题
一、选择题
1.(浙江宁波高二月考,)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过F且倾斜角为120°的直线与抛物线C交于A,B两点,若AF,BF的中点在y轴上的射影分别为M,N,且|MN|=4,则抛物线C的准线方程为 ( )
A.x=-1 B.x=-2
C.x=- D.x=-3
2.(安徽阜阳高二期中,)已知抛物线y2=2px(p>0)过点A,其准线与x轴交于点B,直线AB与抛物线的另一个交点为M,若=λ,则实数λ=( )
A. B. C.2 D.3
3.(多选)(山东青岛二中高三模拟,)设M,N是抛物线y2=x上的两个不同的点,O是坐标原点,若直线OM,ON的斜率之积为-,则下列结论中不正确的是 ( )
A.|OM|+|ON|≥4
B.O到直线MN的距离不大于2
C.直线MN过抛物线y2=x的焦点
D.以MN为直径的圆的面积大于4π
二、填空题
4.(辽宁大连外国语学校高二期末,)如图,过抛物线y=x2的焦点F的直线l与抛物线和圆x2+(y-1)2=1交于A,B,C,D四点,则·= .
5.(山东临沂高二月考,)已知点P(1,-1)和抛物线C:y=x2,过抛物线C的焦点且斜率为k的直线与抛物线C分别交于A,B两点.若·=0,则k= .
6.(安徽合肥高三第一次质检,)抛物线y=2x2上有一动弦AB,弦AB的中点为M,且弦AB的长为3,则点M的纵坐标的最小值为 .
三、解答题
7.(湖北荆门高二期末,)已知直线y=2x-m与抛物线C:y2=2px(p>0)交于两点A,B.
(1)若m=p且|AB|=5,求抛物线C的方程;
(2)若m=4p,求证OA⊥OB(点O为坐标原点).
8.(浙江宁波高二检测,)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点F恰好是双曲线12x2-4y2=3的一个焦点,O是坐标原点.
(1)求抛物线的方程;
(2)经过焦点F作直线l,与抛物线相交于A,B两点,||=5,若+=m,且D在抛物线上,求实数m的值.
9.(甘肃陇南城关中学月考,)已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1且倾斜角为45°的直线l与椭圆相交于A,B两点.
(1)求AB的中点的坐标;
(2)求△ABF2的周长与面积.
10.(2018天津理,)设椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F,上顶点为B.已知椭圆的离心率为,点A的坐标为(b,0),且|FB|·|AB|=6.
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线l:y=kx(k>0)与椭圆在第一象限的交点为P,且l与直线AB交于点Q.若=sin∠AOQ(O为原点),求k的值.
11.(四川南充高二期末,)已知抛物线C:y2=2px(p>0)与直线x-y+4=0相切.
(1)求该抛物线的方程;
(2)在x轴的正半轴上,是否存在某个确定的点M,过该点的动直线l与抛物线C交于A,B两点,使得+为定值 如果存在,求出点M的坐标;如果不存在,请说明理由.
答案全解全析
一、选择题
1.D 设AF,FB的中点分别为D,E,则|AB|=2|DE|,由题得|DE|==8,∴|AB|=16,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2+p=16,∴x1+x2=16-p,联立直线和抛物线的方程得∴3x2-5px+p2=0,∴16-p=,解得p=6,故抛物线的准线方程为x=-3.
2.C 把代入抛物线的方程,得2=2p×,解得p=2,所以抛物线的方程为y2=4x,则B(-1,0),设M,则=,=.由=λ,得解得λ=2或λ=1(舍去),故选C.
3.ACD 当直线MN的斜率不存在时,设M(,y0),N(,-y0),由直线OM、ON的斜率之积为-,可得-=-,即=2,所以直线MN的方程为x=2;当直线MN的斜率存在时,设直线方程为y=kx+m,联立可得ky2-y+m=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),则y1y2=,x1x2=,所以kOM·kON===-,即m=-2k.故直线方程为y=kx-2k=k(x-2).故直线MN过定点(2,0),所以O到直线MN的距离不大于2,故B中结论正确,C中结论错误;当MN⊥x轴时,|OM|+|ON|=2<4,以MN为直径的圆的面积为2π,故A,D中结论错误.
二、填空题
4.答案 -1
解析 设A(x1,y1),D(x2,y2),易知·=-|AB||CD|=-(|AF|-1)(|DF|-1)=-y1y2.设直线l的方程为y=kx+1,联立可得y2-(2+4k2)y+1=0,所以y1y2=1,故·=-1.
5.答案
解析 设抛物线C:y=x2的焦点为F,则F的坐标为(0,1),故直线AB的方程为y=kx+1,代入抛物线C的方程,整理得x2-4kx-4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4k,x1x2=-4,由·=0得,(x1-1)(x2-1)+(y1+1)(y2+1)=0,整理得x1x2-(x1+x2)+1+++1=0,可得(2k-1)2=0,解得k1=k2=.
6.答案
解析 设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为y=kx+b,联立可得2x2-kx-b=0,
则Δ=k2+8b>0,∴x1+x2=,x1x2=-.
∵|AB|=×=3,
∴b=,
AB的中点M的纵坐标yM==+=+b=+=+-≥2-=,当且仅当=,即k=±时等号成立.
三、解答题
7.解析 设A(x1,y1),B(x2,y2).
(1)若m=p,则y=2x-m=2x-p,联立得4x2-6px+p2=0,
则x1+x2=p,
∵直线过抛物线的焦点F,
∴|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=p=5,
∴p=2,故抛物线C的方程为y2=4x.
(2)证明:若m=4p,则y=2x-m=2x-4p.由得4x2-18px+16p2=0,则x1+x2=p,x1x2=4p2,
∴·=x1x2+y1y2=x1x2+(2x1-4p)×(2x2-4p)=5x1x2-8p(x1+x2)+16p2=20p2-8×p2+16p2=0,
∴OA⊥OB.
8.解析 (1)双曲线方程12x2-4y2=3可化为-=1,因此c2=+=1,c=1,所以双曲线的一个焦点是(1,0),于是抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F(1,0),
则=1,2p=4,
故抛物线的方程为y2=4x.
(2)依题意,直线l的斜率一定存在,设其为k,则l的方程为y=k(x-1)(k≠0).
由可得y2-y-4=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则y1+y2=,x1+x2=+2.
因为||=|FA|+|FB|=x1+x2+2=+4=5,所以k2=4,即k=±2.
设D(x0,y0),则由+=m得x0=(x1+x2)=,y0=(y1+y2)=±,
由于D在抛物线上,因此=,可得m=.
9.解析 (1)由+=1,知a=,b=,∴c=1.
∴F1(-1,0),F2(1,0),
∴l的方程为y=x+1.
由消去y,整理得5x2+6x-3=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为M(x0,y0),则x1+x2=-,x1x2=-,x0==-,y0===+1=,
∴AB的中点的坐标为.
(2)由题意,知F2到直线AB的距离d===,|AB|=·=,
∴△ABF2的周长为4a=4,面积为××=.
10.解析 (1)设椭圆的焦距为2c,由已知有=,又a2=b2+c2,所以2a=3b.
由已知可得,|FB|=a,|AB|=b,
由|FB|·|AB|=6,可得ab=6,从而a=3,b=2.
所以椭圆的方程为+=1.
(2)设点P的坐标为(x1,y1),点Q的坐标为(x2,y2).
由已知有y1>y2>0,故|PQ|sin∠AOQ=y1-y2.
又因为|AQ|=,而∠OAB=,所以|AQ|=y2.
由=sin∠AOQ,可得5y1=9y2.
由方程组消去x,可得y1=.
易知直线AB的方程为x+y-2=0,
由方程组消去x,可得y2=.
由5y1=9y2,可得5(k+1)=3,两边平方,整理得56k2-50k+11=0,
解得k=或k=.
所以k的值为或.
11.解析 (1)联立方程得消去x,得y2-2py+8p=0,由直线与抛物线相切,得Δ=8p2-32p=0,又p>0,所以p=4.
故抛物线的方程为y2=8x.
(2)假设存在满足条件的点M(m,0)(m>0),设直线l的方程为x=ty+m,
由得y2-8ty-8m=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=8t,y1y2=-8m.
∵|AM|2=(x1-m)2+=(t2+1),
|BM|2=(x2-m)2+=(t2+1),
∴+=+=·=·,
当m=4时,+为定值,
所以M(4,0).
一、选择题
1.(浙江宁波高二月考,)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过F且倾斜角为120°的直线与抛物线C交于A,B两点,若AF,BF的中点在y轴上的射影分别为M,N,且|MN|=4,则抛物线C的准线方程为 ( )
A.x=-1 B.x=-2
C.x=- D.x=-3
2.(安徽阜阳高二期中,)已知抛物线y2=2px(p>0)过点A,其准线与x轴交于点B,直线AB与抛物线的另一个交点为M,若=λ,则实数λ=( )
A. B. C.2 D.3
3.(多选)(山东青岛二中高三模拟,)设M,N是抛物线y2=x上的两个不同的点,O是坐标原点,若直线OM,ON的斜率之积为-,则下列结论中不正确的是 ( )
A.|OM|+|ON|≥4
B.O到直线MN的距离不大于2
C.直线MN过抛物线y2=x的焦点
D.以MN为直径的圆的面积大于4π
二、填空题
4.(辽宁大连外国语学校高二期末,)如图,过抛物线y=x2的焦点F的直线l与抛物线和圆x2+(y-1)2=1交于A,B,C,D四点,则·= .
5.(山东临沂高二月考,)已知点P(1,-1)和抛物线C:y=x2,过抛物线C的焦点且斜率为k的直线与抛物线C分别交于A,B两点.若·=0,则k= .
6.(安徽合肥高三第一次质检,)抛物线y=2x2上有一动弦AB,弦AB的中点为M,且弦AB的长为3,则点M的纵坐标的最小值为 .
三、解答题
7.(湖北荆门高二期末,)已知直线y=2x-m与抛物线C:y2=2px(p>0)交于两点A,B.
(1)若m=p且|AB|=5,求抛物线C的方程;
(2)若m=4p,求证OA⊥OB(点O为坐标原点).
8.(浙江宁波高二检测,)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点F恰好是双曲线12x2-4y2=3的一个焦点,O是坐标原点.
(1)求抛物线的方程;
(2)经过焦点F作直线l,与抛物线相交于A,B两点,||=5,若+=m,且D在抛物线上,求实数m的值.
9.(甘肃陇南城关中学月考,)已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1且倾斜角为45°的直线l与椭圆相交于A,B两点.
(1)求AB的中点的坐标;
(2)求△ABF2的周长与面积.
10.(2018天津理,)设椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F,上顶点为B.已知椭圆的离心率为,点A的坐标为(b,0),且|FB|·|AB|=6.
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线l:y=kx(k>0)与椭圆在第一象限的交点为P,且l与直线AB交于点Q.若=sin∠AOQ(O为原点),求k的值.
11.(四川南充高二期末,)已知抛物线C:y2=2px(p>0)与直线x-y+4=0相切.
(1)求该抛物线的方程;
(2)在x轴的正半轴上,是否存在某个确定的点M,过该点的动直线l与抛物线C交于A,B两点,使得+为定值 如果存在,求出点M的坐标;如果不存在,请说明理由.
答案全解全析
一、选择题
1.D 设AF,FB的中点分别为D,E,则|AB|=2|DE|,由题得|DE|==8,∴|AB|=16,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2+p=16,∴x1+x2=16-p,联立直线和抛物线的方程得∴3x2-5px+p2=0,∴16-p=,解得p=6,故抛物线的准线方程为x=-3.
2.C 把代入抛物线的方程,得2=2p×,解得p=2,所以抛物线的方程为y2=4x,则B(-1,0),设M,则=,=.由=λ,得解得λ=2或λ=1(舍去),故选C.
3.ACD 当直线MN的斜率不存在时,设M(,y0),N(,-y0),由直线OM、ON的斜率之积为-,可得-=-,即=2,所以直线MN的方程为x=2;当直线MN的斜率存在时,设直线方程为y=kx+m,联立可得ky2-y+m=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),则y1y2=,x1x2=,所以kOM·kON===-,即m=-2k.故直线方程为y=kx-2k=k(x-2).故直线MN过定点(2,0),所以O到直线MN的距离不大于2,故B中结论正确,C中结论错误;当MN⊥x轴时,|OM|+|ON|=2<4,以MN为直径的圆的面积为2π,故A,D中结论错误.
二、填空题
4.答案 -1
解析 设A(x1,y1),D(x2,y2),易知·=-|AB||CD|=-(|AF|-1)(|DF|-1)=-y1y2.设直线l的方程为y=kx+1,联立可得y2-(2+4k2)y+1=0,所以y1y2=1,故·=-1.
5.答案
解析 设抛物线C:y=x2的焦点为F,则F的坐标为(0,1),故直线AB的方程为y=kx+1,代入抛物线C的方程,整理得x2-4kx-4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4k,x1x2=-4,由·=0得,(x1-1)(x2-1)+(y1+1)(y2+1)=0,整理得x1x2-(x1+x2)+1+++1=0,可得(2k-1)2=0,解得k1=k2=.
6.答案
解析 设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为y=kx+b,联立可得2x2-kx-b=0,
则Δ=k2+8b>0,∴x1+x2=,x1x2=-.
∵|AB|=×=3,
∴b=,
AB的中点M的纵坐标yM==+=+b=+=+-≥2-=,当且仅当=,即k=±时等号成立.
三、解答题
7.解析 设A(x1,y1),B(x2,y2).
(1)若m=p,则y=2x-m=2x-p,联立得4x2-6px+p2=0,
则x1+x2=p,
∵直线过抛物线的焦点F,
∴|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=p=5,
∴p=2,故抛物线C的方程为y2=4x.
(2)证明:若m=4p,则y=2x-m=2x-4p.由得4x2-18px+16p2=0,则x1+x2=p,x1x2=4p2,
∴·=x1x2+y1y2=x1x2+(2x1-4p)×(2x2-4p)=5x1x2-8p(x1+x2)+16p2=20p2-8×p2+16p2=0,
∴OA⊥OB.
8.解析 (1)双曲线方程12x2-4y2=3可化为-=1,因此c2=+=1,c=1,所以双曲线的一个焦点是(1,0),于是抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F(1,0),
则=1,2p=4,
故抛物线的方程为y2=4x.
(2)依题意,直线l的斜率一定存在,设其为k,则l的方程为y=k(x-1)(k≠0).
由可得y2-y-4=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则y1+y2=,x1+x2=+2.
因为||=|FA|+|FB|=x1+x2+2=+4=5,所以k2=4,即k=±2.
设D(x0,y0),则由+=m得x0=(x1+x2)=,y0=(y1+y2)=±,
由于D在抛物线上,因此=,可得m=.
9.解析 (1)由+=1,知a=,b=,∴c=1.
∴F1(-1,0),F2(1,0),
∴l的方程为y=x+1.
由消去y,整理得5x2+6x-3=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为M(x0,y0),则x1+x2=-,x1x2=-,x0==-,y0===+1=,
∴AB的中点的坐标为.
(2)由题意,知F2到直线AB的距离d===,|AB|=·=,
∴△ABF2的周长为4a=4,面积为××=.
10.解析 (1)设椭圆的焦距为2c,由已知有=,又a2=b2+c2,所以2a=3b.
由已知可得,|FB|=a,|AB|=b,
由|FB|·|AB|=6,可得ab=6,从而a=3,b=2.
所以椭圆的方程为+=1.
(2)设点P的坐标为(x1,y1),点Q的坐标为(x2,y2).
由已知有y1>y2>0,故|PQ|sin∠AOQ=y1-y2.
又因为|AQ|=,而∠OAB=,所以|AQ|=y2.
由=sin∠AOQ,可得5y1=9y2.
由方程组消去x,可得y1=.
易知直线AB的方程为x+y-2=0,
由方程组消去x,可得y2=.
由5y1=9y2,可得5(k+1)=3,两边平方,整理得56k2-50k+11=0,
解得k=或k=.
所以k的值为或.
11.解析 (1)联立方程得消去x,得y2-2py+8p=0,由直线与抛物线相切,得Δ=8p2-32p=0,又p>0,所以p=4.
故抛物线的方程为y2=8x.
(2)假设存在满足条件的点M(m,0)(m>0),设直线l的方程为x=ty+m,
由得y2-8ty-8m=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=8t,y1y2=-8m.
∵|AM|2=(x1-m)2+=(t2+1),
|BM|2=(x2-m)2+=(t2+1),
∴+=+=·=·,
当m=4时,+为定值,
所以M(4,0).