2021-2022学年高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册第四讲 函数最值问题辅导讲义

第四讲
函数最值问题
适用学科 高中数学 适用年级 高一
适用区域 苏教版区域 课时时长（分钟） 120
知识点 单调性的概念、单调性的判断（证明）方法、单调性的应用、最值问题
教学目标 使学生理解函数的最值是在整个定义域上来研究的，它是函数单调性的应用 通过渗透数形结合的数学思想，掌握求函数最值的方法
教学重点 函数最大(小)值的定义和求法
教学难点 如何求一个具体函数的最值
教学过程
导入
知识讲解
知识点1 最值的定义
前提 设函数的定义域为，如果存在实数满足
条件 ①对于任意，都有； ②存在，使得 ①对于任意，都有； ②存在，使得
结论 M为最大值 M为最小值
知识点2 函数的最大值
函数图象上任意点的坐标的意义：横坐标是自变量的取值，纵坐标是自变量为时对应的函数值的大小．
(1)图象上最高点的纵坐标是所有函数值中的最大值，即函数的最大值．
(2)由于点C是函数图象上的最高点，则点A在点C的下方，即对定义域内任意，都有，即，也就是对函数的定义域内任意，均有成立．
(3)一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：
①对于任意的，都有；
②存在，使得.
那么，称是函数的最大值．
(4) 反映了函数的所有函数值不大于实数；这个函数的特征是图象有最高点，并且最高点的纵坐标是.
(5)函数，没有最大值，因为函数，的图象没有最高点．
(6)讨论函数的最大值，要坚持定义域优先的原则；函数图象上有最高点时，这个函数才存在最大值，最高点必须是函数图象上的点．
知识点3 函数的最小值
(1)函数最小值的定义是：
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
①对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；
②存在x0∈I，使得f(x0)＝M.
那么，称M是函数y＝f(x)的最小值。
函数最小值的几何意义：函数图象上最低点的纵坐标．
(2)讨论函数的最小值，也要坚持定义域优先的原则；函数图象上有最低点时，这个函数才存在最小值，最低点必须是函数图象上的点．
三、例题解析
【教学建议】
此处内容主要用于教师课堂的精讲，每个题目结合试题本身、答案和解析部分，教师有的放矢的进行讲授或与学生互动练习。
类型一 单调区间的判断并求最值
例一
画出函数y＝－x2＋2|x|＋3的图象，指出函数的单调区间和最大值．
类型二 通过单调性求函数最值
例二
求函数在区间上的最大值和最小值．
类型三 求抽象函数最值
例三
已知函数对于任意,总有，且当时，, .
(1)求证：在上是减函数；
(2) 求在上的最大值和最小值．
类型四 函数最值的应用
例四
将进货单价40元的商品按50元一个售出时，能卖出500个，若此商品每个涨价1元，其销售量减少10个，为了赚到最大利润，售价应定为多少？
四、课堂运用
基础
1．若函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4)上是减函数，则实数a的取值范围是________．
2．已知函数y＝x＋，下列说法正确的是________．(填序号)
①有最小值，无最大值；
②有最大值，无最小值；
③有最小值，最大值2；
④无最大值，也无最小值．
3．已知函数y＝x2－2x＋3在区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是________．
巩固
4．函数y＝－x2＋6x＋9在区间[a，b](a5．若，则函数的最大值为________．
6.已知，求函数的最值.
7.求函数的最大值.
8.如果函数定义在区间上，求的最小值.
拔高
9．已知函数f(x)＝x2－2x＋2.
(1)求f(x)在区间上的最大值和最小值；
(2)若g(x)＝f(x)－mx在[2,4]上是单调函数，求m的取值范围．
10．若二次函数满足f(x＋1)－f(x)＝2x且f(0)＝1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若在区间[－1,1]上不等式f(x)>2x＋m恒成立，求实数m的取值范围．
11. 已知，求的最小值.
12. 已知函数在区间上的最大值为4，求实数的值．
课堂小结
利用单调性求函数的最大（小）值：
（1）定义最大值：设函数的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的x∈I，都有≤M；存在x0∈I，使得 = M. 那么，称M是函数的最大值（MaximumValue）. 仿照最大值定义，可以给出最小值（MinimumValue）的定义.
（2）配方法：研究二次函数的最大（小）值，先配方成后，当时，函数取最小值为；当时，函数取最大值.
（3）单调法：一些函数的单调性，比较容易观察出来，或者可以先证明出函数的单调性，再利用函数的单调性求函数的最大值或最小值.
（4）图象法：先作出其函数图象后，然后观察图象得到函数的最大值或最小值.
五、课后作业
1．如果函数f(x)＝x2＋bx＋c对任意的实数x，都有f(1＋x)＝f(－x)，那么f(－2)，f(0)， f(2)的大小关系为________．
2．函数y＝|x－3|－|x＋1|的________．(填序号)
①最小值是0，最大值是4；
②最小值是－4，最大值是0；
③最小值是－4，最大值是4；
④没有最大值也没有最小值．
3．函数的最大值是________．
4. 求函数的最大值．
5. 已知，且，求函数的最值.
6. 已知，当时，求的最大值.
7. 求函数在上的最大值.
8．已知函数f(x)＝ax2－|x|＋2a－1，其中a≥0，a∈R.
(1)若a＝1，作函数f(x)的图象；
(2)设f(x)在区间[1,2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式．
已知函数在区间上的最小值是最大值是，求，的值.
已知的值域为，求函数的值域.
答案
例一【解析】：函数图象如图所示．
由图象得，函数的图象在区间(－∞，－1)和[0,1]上是上升的，在[－1,0]和(1，＋∞)上是下降的，最高点是(±1,4)，故函数在(－∞，－1)，[0,1]上是增函数；函数在[－1,0]，(1，＋∞)上是减函数，最大值是4.
例二
【解析】设，则有 .
∵，∴，.
∴，即函数在区间上是减函数．
∴当时，函数在区间上取得最大值；
当时，函数在区间上取得最小值.
例三
【解析】(1)方法一：∵函数对于任意，总有，
令，得．再令，得．在上任取，则，,
又∵时，．而，∴．因此在上是减函数．
方法二：在上任取，，不妨设，
则,
又∵时，，而，
∴，即．
因此在上是减函数.
(2)∵在上为减函数，
∴在上也为减函数，
∴在上的最大值为、最小值为，
而，∵,
∴,
因此，在上的最大值为2，最小值为-2.
例四
答案】为了赚取最大利润，售价应定为70元
【解析】设利润为元，每个售价为元，则每个涨元，从而销售量减少 个，共售出个
∴
∴时，元
四、课堂运用
答案与解析
1.【答案】(－∞，－3]
【解析】由二次函数的性质，可知4≤－(a－1)，
解得a≤－3.
2.【答案】①
【解析】∵在定义域上是增函数，
∴，即函数最小值为，无最大值．
3.【答案】[1,2]
【解析】由y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2知，
当x＝1时，y的最小值为2，
当y＝3时，x2－2x＋3＝3，解得x＝0或x＝2.
由y＝x2－2x＋3的图象知，当m∈[1,2]时，能保证y的最大值为3，最小值为2.
4.【答案】－2 0
【解析】y＝－(x－3)2＋18，∵a∴函数y在区间[a，b]上单调递增，即－b2＋6b＋9＝9，
得b＝0(b＝6不合题意，舍去)
－a2＋6a＋9＝－7，得a＝－2(a＝8不合题意，舍去)．
5.【答案】2
【解析】函数在上是单调递增函数，
故.
6.【答案】
【解析】由已知，可得，即函数是定义在区间上的二次函数.将二次函数配方得，其对称轴方程，顶点坐标，且图象开口向上.显然其顶点横坐标不在区间内，如图所示。函数的最小值为，最大值为.
7.【答案】
【解析】令 有，则 ，
8.【答案】
【解析】函数，其对称轴方程为，顶点坐标为，图象开口向上.
如图1所示，若顶点横坐标在区间左侧时，有，此时，当时，函数取得最小值.
图1
如图2所示，若顶点横坐标在区间上时，有，即。当时，函数取得最小值.
图2
如图3所示，若顶点横坐标在区间右侧时，有，即。当时，函数取得最小值.
综上讨论，
图3
9.【答案】同解析
【解析】(1)∵f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，，
∴f(x)的最小值是f(1)＝1，
又, f(3)＝5，
所以，f(x)的最大值是f(3)＝5，
即f(x)在区间上的最大值是5，最小值是1.
(2)∵g(x)＝f(x)－mx＝x2－(m＋2)x＋2，
∴或，即m≤2或m≥6.
故m的取值范围是(－∞，2]∪[6，＋∞)．
10.【答案】同解析
【解析】(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝1，∴c＝1，
∴f(x)＝ax2＋bx＋1.
∵f(x＋1)－f(x)＝2x， ∴2ax＋a＋b＝2x，
∴∴f(x)＝x2－x＋1.
(2)由题意：x2－x＋1>2x＋m在[－1,1]上恒成立，
即x2－3x＋1－m>0在[－1,1]上恒成立．
令，
其对称轴为，
∴g(x)在区间[－1,1]上是减函数， ∴g(x)min＝g(1)＝1－3＋1－m>0，
∴m<－1.
11.【答案】
【解析】将代入中，得
，即时，
，即时，
所以 .
12.【答案】或
【解析】
（1）若，不符合题意.
（2）若则，由，得.
（3）若时，则，由，得.
综上知或．
课后作业
1.【答案】f(0)【解析】依题意，由f(1＋x)＝f(－x)知，
二次函数的对称轴为x＝，
因为f(x)＝x2＋bx＋c开口向上，
且f(0)＝f(1)，f(－2)＝f(3)，
由函数f(x)的图象可知，[，＋∞)为f(x)的增区间，
所以f(1)2.【答案】③
【解析】y＝|x－3|－|x＋1|=.
因为[－1,3)是函数y＝－2x＋2的减区间，
所以－4≤y≤4，综上可知③正确．
3.【答案】
【解析】
4.【答案】
【解析】令
原函数得最大值为
5.【答案】函数的最小值是，最大值是.
【解析】由已知有，于是函数是定义在区间上的二次函数，将配方得：.
二次函数的对称轴方程是顶点坐标为，图象开口向上
由可得，显然其顶点横坐标在区间的左侧或左端点上.
函数的最小值是，最大值是.
6.【答案】
【解析】：由已知可求对称轴为．
（1）当时，．
（2）当，即时，．
根据对称性,若即时，．
若即时，．
（3）当即时，．
综上，
7.【答案】
【解析】函数图象的对称轴方程为，应分，，即，和这三种情形讨论，下列三图分别为
（1）；由图可知
（2）；由图可知
（3） 时；由图可知
；即
8.【答案】同解析
【解析】(1)当a＝1时，f(x)＝x2－|x|＋1
=
作图(如右所示)
(2)当x∈[1,2]时，f(x)＝ax2－x＋2a－1.
若a＝0，则f(x)＝－x－1在区间[1,2]上是减函数，
g(a)＝f(2)＝－3.
若a>0，则
f(x)图象的对称轴是直线x＝.
当0<<1，即a>时，f(x)在区间[1,2]上是增函数，
g(a)＝f(1)＝3a－2.
当1≤≤2，即≤a≤时，
g(a)＝＝，
当>2，即0g(a)＝f(2)＝6a－3.
综上可得g(a)＝
9.【答案】
【解析】讨论对称轴中 与的位置关系。
①若，则，解得
②若，则，无解
③若，则，无解
④若，则，无解
综上，．
10.【答案】
【解析】令，得.
由于，得.因此.
.
当时有最小值；当时有最大值.
故的值域为.