单元素养评价(一)(第三章)
(120分钟 150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．C＋C等于( )
A．45 B．55 C．65 D．以上都不对
【解析】选B.C＋C＝C＋C＝55.
2．用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为( )
A．24 B．48 C．60 D．72
【解析】选D.由题意，可知个位可以从1，3，5中任选一个，有A种方法，其他数位上的数可以从剩下的4个数字中任选，进行全排列，有A种方法，所以奇数的个数为AA＝3×4×3×2×1＝72.
3．李芳有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的裙子，另有两套不同样式的连衣裙．“五一”节需选择一套服装参加歌舞演出，则不同的选择方式有( )
A．24种 B．14种 C．10种 D．9种
【解析】选B.由题意可得李芳不同的选择方式有4×3＋2＝14(种).
4．已知x∈{1，2，3，4}，y∈{5，6，7，8}，则xy可表示不同值的个数为( )
A．2 B．4 C．8 D．15
【解析】选D.x的取值共有4个，y的取值也有4个，则xy共有4×4＝16个积，但是由于3×8＝4×6，所以xy共有16－1＝15(个)不同值．
5．某班联欢会原定的3个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目，如果将这2个新节目插入节目单中，那么不同的插法种数为( )
A．12 B．20 C．36 D．120
【解析】选B.利用分步乘法计数原理，第一步先插入第一个节目，有4种方法，第二步插入第二个节目，此时有5个空，故有5种方法．因此不同的插法共有20种．
6.如图所示，花坛内有五个花池，有五种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则最多的栽种方案有( )
A．180种 B．240种 C．360种 D．420种
【解析】选D.由题意知，最少用三种颜色的花卉，按照花卉选种的颜色可分为三类方案，即用三种颜色，四种颜色，五种颜色.
①当用三种颜色时，花池2，4同色和花池3，5同色，此时共有A种方案．
②当用四种颜色时，花池2，4同色或花池3，5同色，故共有2A种方案．
③当用五种颜色时有A种方案．
因此所有栽种方案为A＋2A＋A＝420(种).
7．若二项式(2＋x)10按(2＋x)10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10的方式展开，则展开式中a8的值为( )
A．90 B．180 C．360 D．405
【解析】选D.由题意得，(2＋x)10＝(－2－x)10
＝[－3＋(1－x)]10，所以展开式的第9项为
T9＝C(－3)2(1－x)8＝405(1－x)8，即a8＝405.
【补偿训练】
设(2－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，那么的值为( )
A．－ B．－ C．－ D．－1
【解析】选B.令x＝1，可得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1，再令x＝－1可得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝35.两式相加除以2求得a0＋a2＋a4＝122，两式相减除以2可得a1＋a3＋a5＝－121.
结合a5＝－1，故＝－.
8．甲、乙、丙 3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法总数是( )
A．210 B．336 C．84 D．343
【解析】选B.由题意知本题需要分组解决，
因为对于7个台阶上每一个只站一人有A种；
若有一个台阶有2人另一个是1人，则共有CA种，
所以根据分类加法计数原理知共有不同的站法种数是A＋CA＝336种．
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
9．有四名男生，三名女生排队照相，七个人排成一排，则下列说法正确的有( )
A．如果四名男生必须连排在一起，那么有720种不同排法
B．如果三名女生必须连排在一起，那么有576种不同排法
C．如果女生不能站在两端，那么有1 440种不同排法
D．如果三个女生中任何两个均不能排在一起，那么有1 440种不同排法
【解析】选CD.A中AA＝576，
B中AA＝720，
C中AA＝1 440，
D中AA＝1 440.
综上可得：CD正确．
10．二项式(1＋sin x)n的展开式中，末尾两项的二项式系数之和为7，且二项式系数最大的一项的值为，则x的值可能为( )
A． B． C． D．π
【解析】选AD.由题可知C＋1＝7，得n＝6，
所以Csin3x＝，
所以sin x＝.
结合选项可知，当x＝或π时，sin x＝.
11．高一学生王超想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，则下列说法正确的有( )
A．若任意选择三门课程，选法总数为C种
B．若物理和化学至少选一门，选法总数为CC种
C．若物理和历史不能同时选，选法总数为(C－C)种
D．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为(CC－C)种
【解析】选AC.A显然正确；对于B应为(CC＋CC)种；对于C，用间接法，显然正确；对于D应分三种情况：①只选物理，则有C种选法；②只有化学，则有C种选法；③若物理与化学都选，则有C种选法．即共有C＋C＋C＝20种选法．
综上，AC正确，BD错误．
12．已知(a>0)的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为1 024，则下列说法正确的是( )
A．展开式中奇数项的二项式系数和为256
B．展开式中第6项的系数最大
C．展开式中存在常数项
D．展开式中含x15项的系数为45
【解析】选BCD.因为(a>0)的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，
所以C＝C n＝10；
因为展开式的各项系数之和为1 024，
所以(a＋1)10＝1 024；
因为a>0，
所以a＝1.
原二项式为；其展开式的通项公式为：Tk＋1＝C·(x2)10－k·＝C；
展开式中奇数项的二项式系数和为：×1 024＝512，故A错；
因为本题中二项式系数和项的系数一样，且展开式有11项，故展开式中第6项的系数最大，B对；
令20－k＝0 k＝8，即展开式中存在常数项，C对；
令20－k＝15 k＝2，C＝45，D对．
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．(2020·全国Ⅱ卷)4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种．
【解析】因为4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，
所以先取2名同学看作一组，选法有C＝6(种)，
现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：A＝6(种)，
根据分步乘法计数原理，可得不同的安排方法有6×6＝36(种).
答案：36
14．已知多项式＝x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x1＋a5，则a4＝________，a5＝________.
【解析】因为多项式(x＋1)3(x＋2)2＝x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x1＋a5，a4为x1项的系数，所以根据二项式定理得a4＝C12×22＋13×C×2＝16，a5是常数项，所以a5＝13×22＝4.
答案：16 4
15．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某学校欲利用每周的社团活动课设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”6门课程，每周开设一门，连续开设六周．若课程“乐”不排在第一周，课程“书”排在第三周或第四周，则所有可能的排法种数为________．
【解析】先从“礼”“射”“御”“数”4门课程选一门排在第一节，“书”排在第三周或第四周，其他任意排，故有AAA＝192.
答案：192
16．某公园划船收费标准如表：
船型 两人船(限乘2人) 四人船(限乘4人) 六人船(限乘6人)
每船租金(元/小时) 90 100 130
某班16名同学一起去该公园划船，若每人划船的时间均为1小时，每只租船必须坐满，则租船最低总费用为________元，租船的总费用共有________种可能．
【解析】当租两人船时，租金为：×90＝720元，
当租四人船时，租金为：×100＝400元，
当租1条四人船6条两人船时，租金为：100＋6×90＝640元，
当租2条四人船4条两人船时，租金为：2×100＋4×90＝560元，
当租3条四人船2条两人船时，租金为：3×100＋2×90＝480元，
当租1条六人船5条2人船时，租金为：130＋5×90＝580元，
当租2条六人船2条2人船时，租金为：2×130＋2×90＝440元，
当租1条六人船1条四人船3条2人船时，租金为：130＋100＋3×90＝500元，
当租1条六人船2条四人船1条2人船时，租金为：130＋2×100＋90＝420元，
当租2条六人船1条四人船时，租金为：2×130＋100＝360元，
综上，租船最低总费用为360元，租船的总费用共有10种可能．
答案：360 10
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(10分)有9名学生，其中2名会下象棋但不会下围棋，3名会下围棋但不会下象棋，4名既会下围棋又会下象棋．现在要从这9名学生中选出2名学生，一名参加象棋比赛，另一名参加围棋比赛，共有多少种不同的选派方法？
【解析】设2名会下象棋但不会下围棋的同学组成集合A，3名会下围棋但不会下象棋的同学组成集合B，4名既会下围棋又会下象棋的同学组成集合C，则选派2名参赛同学的方法可以分为以下4类：
第一类：A中选1人参加象棋比赛，B中选1人参加围棋比赛，方法数为C·C＝6(种)；
第二类：C中选1人参加象棋比赛，B中选1人参加围棋比赛，方法数为C·C＝12(种)；
第三类：C中选1人参加围棋比赛，A中选1人参加象棋比赛，方法数为C·C＝8(种)；
第四类：C中选2人分别参加两项比赛，方法数为A＝12(种)；
由分类加法计数原理，选派方法数共有：6＋12＋8＋12＝38(种).
18．(12分)在(n≥3，n∈N*)的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列．
(1)求n的值；
(2)求展开式中含x2的项．
【解析】(1)因为在 (n≥3，n∈N*)的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列，
所以2C＝C＋C，求得n＝7，或n＝2(舍去).
(2)二项展开式的通项公式为Tk＋1＝C·，令＝2，求得k＝2，
可得展开式中含x2的项为T3＝C··x2＝x2.
19．(12分)高二某班级有5名男生，4名女生排成一排．(以下结果用数字作答)
(1)从中选出3人排成一排，有多少种排法？
(2)若4名女生互不相邻，9名同学排成一排，有多少种不同的排法？
【解析】(1)从9人中选出3人排成一排有A＝504种排法．
(2)5名男生排成一排的排法有A种，4名女生插空有A种情况，
则由分步乘法计数原理得4名女生互不相邻有AA＝43 200种排法．
20．(12分)某医院有内科医生8名，外科医生6名，现选派4名参加抗击新冠肺炎疫情医疗队，其中：
(1)甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？
(2)队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法？
【解析】(1)根据题意，某医院有内科医生8名，外科医生6名，共14人，从中选取4人，有C＝1 001种选法，
其中甲、乙都没有参加的情况有C＝495种，
则甲、乙两人至少有一人参加的选法有1 001－495＝506种．
(2)根据题意，从14人中任选4人，有C＝1 001种选法，其中只有内科医生的选法有C＝70种，只有外科医生的选法有C＝15种，
则队中至少有一名内科医生和一名外科医生的选法有1 001－70－15＝916种．
21．(12分)现在要把一条路上7盏路灯全部改装成彩色路灯．如果彩色路灯有红、黄、蓝共三种颜色，在安装时要求相同颜色的路灯不能相邻，而且每种颜色的路灯至少要有2盏，那么有多少种不同的安装方法？
【解析】安装时要求相同颜色的路灯不能相邻，而且每种颜色的路灯至少要有2盏，这说明三种颜色的路灯的分配情况只能是2，2，3盏的形式．
先讨论颜色，在选择颜色时有3种方法，选好了一种颜色后，安装时采用插空的方式．
下面不妨就选择的是两盏红灯、两盏黄灯、三盏蓝灯来讨论．
先排两盏红灯、两盏黄灯，若两盏红灯、两盏黄灯分别两两相邻，有2种排法，则蓝灯有3种排法，共有6种不同的安装方法；
若两盏红灯、两盏黄灯分别两两不相邻，有2种排法，再把蓝灯安排下去有10种安装方法，所以有20种不同的安装方法；
若两盏红灯、两盏黄灯恰有一种颜色相邻，则有2×6＝12(种)不同的安装方法．
综上，共有3×(6＋20＋12)＝114(种)不同的安装方法．
【补偿训练】
从集合{1，2，3，…，20}中任意选出3个不同的数，使这3个数成等差数列，这样的等差数列可以有多少个？
【解析】设a，b，c∈N＋，且a，b，c成等差数列，则a＋c＝2b，由此可以得出a＋c应是偶数．
因此从1到20这20个自然数中任选3个数成等差数列，则第一个数与第三个数必同时为偶数或同时为奇数，而1到20这20个自然数中有10个偶数和10个奇数，
当第一个数a和第三个数c选定后，中间的数b也就唯一确定了，所以选法只有两类：
①a与c都是偶数，有A种选法；
②a与c都是奇数，有A种选法．
根据分类加法计数原理知，选出3个不同的数成等差数列，这样的等差数列有A＋A＝180(个).
22．(12分)已知fn(x)＝(1＋x)n.
(1)若f2 021(x)＝a0＋a1x＋…＋a2 021x2 021，求a1＋a3＋…＋a2 019＋a2 021的值．
(2)若g(x)＝f6(x)＋2f7(x)＋3f8(x)，求g(x)中含x6项的系数．
【解析】(1)因为fn(x)＝(1＋x)n，
所以f2 021(x)＝(1＋x)2 021，
又f2 021(x)＝a0＋a1x＋…＋a2 021x2 021，
所以f2 021(1)＝a0＋a1＋…＋a2 021＝22 021，①
f2 021(－1)＝a0－a1＋…＋a2 020－a2 021＝0，②
①－②得：2(a1＋a3＋…＋a2 019＋a2 021)＝22 021，所以：a1＋a3＋…＋a2 019＋a2 021＝22 020.
(2)因为g(x)＝f6(x)＋2f7(x)＋3f8(x)，
所以g(x)＝(1＋x)6＋2(1＋x)7＋3(1＋x)8，
所以g(x)中含x6项的系数为1＋2C＋3C＝99.
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9单元素养评价(一)(第三章)
(120分钟 150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．C＋C等于( )
A．45 B．55 C．65 D．以上都不对
2．用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为( )
A．24 B．48 C．60 D．72
3．李芳有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的裙子，另有两套不同样式的连衣裙．“五一”节需选择一套服装参加歌舞演出，则不同的选择方式有( )
A．24种 B．14种 C．10种 D．9种
4．已知x∈{1，2，3，4}，y∈{5，6，7，8}，则xy可表示不同值的个数为( )
A．2 B．4 C．8 D．15
5．某班联欢会原定的3个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目，如果将这2个新节目插入节目单中，那么不同的插法种数为( )
A．12 B．20 C．36 D．120
6.如图所示，花坛内有五个花池，有五种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则最多的栽种方案有( )
A．180种 B．240种 C．360种 D．420种
7．若二项式(2＋x)10按(2＋x)10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10的方式展开，则展开式中a8的值为( )
A．90 B．180 C．360 D．405
【补偿训练】
设(2－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，那么的值为( )
A．－ B．－ C．－ D．－1
8．甲、乙、丙 3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法总数是( )
A．210 B．336 C．84 D．343
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
9．有四名男生，三名女生排队照相，七个人排成一排，则下列说法正确的有( )
A．如果四名男生必须连排在一起，那么有720种不同排法
B．如果三名女生必须连排在一起，那么有576种不同排法
C．如果女生不能站在两端，那么有1 440种不同排法
D．如果三个女生中任何两个均不能排在一起，那么有1 440种不同排法
10．二项式(1＋sin x)n的展开式中，末尾两项的二项式系数之和为7，且二项式系数最大的一项的值为，则x的值可能为( )
A． B． C． D．π
11．高一学生王超想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，则下列说法正确的有( )
A．若任意选择三门课程，选法总数为C种
B．若物理和化学至少选一门，选法总数为CC种
C．若物理和历史不能同时选，选法总数为(C－C)种
D．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为(CC－C)种
12．已知(a>0)的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为1 024，则下列说法正确的是( )
A．展开式中奇数项的二项式系数和为256
B．展开式中第6项的系数最大
C．展开式中存在常数项
D．展开式中含x15项的系数为45
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．(2020·全国Ⅱ卷)4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种．
14．已知多项式＝x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x1＋a5，则a4＝________，a5＝________.
15．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某学校欲利用每周的社团活动课设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”6门课程，每周开设一门，连续开设六周．若课程“乐”不排在第一周，课程“书”排在第三周或第四周，则所有可能的排法种数为________．
16．某公园划船收费标准如表：
船型 两人船(限乘2人) 四人船(限乘4人) 六人船(限乘6人)
每船租金(元/小时) 90 100 130
某班16名同学一起去该公园划船，若每人划船的时间均为1小时，每只租船必须坐满，则租船最低总费用为________元，租船的总费用共有________种可能．
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(10分)有9名学生，其中2名会下象棋但不会下围棋，3名会下围棋但不会下象棋，4名既会下围棋又会下象棋．现在要从这9名学生中选出2名学生，一名参加象棋比赛，另一名参加围棋比赛，共有多少种不同的选派方法？
18．(12分)在(n≥3，n∈N*)的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列．
(1)求n的值；
(2)求展开式中含x2的项．
19．(12分)高二某班级有5名男生，4名女生排成一排．(以下结果用数字作答)
(1)从中选出3人排成一排，有多少种排法？
(2)若4名女生互不相邻，9名同学排成一排，有多少种不同的排法？
20．(12分)某医院有内科医生8名，外科医生6名，现选派4名参加抗击新冠肺炎疫情医疗队，其中：
(1)甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？
(2)队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法？
21．(12分)现在要把一条路上7盏路灯全部改装成彩色路灯．如果彩色路灯有红、黄、蓝共三种颜色，在安装时要求相同颜色的路灯不能相邻，而且每种颜色的路灯至少要有2盏，那么有多少种不同的安装方法？
【补偿训练】
从集合{1，2，3，…，20}中任意选出3个不同的数，使这3个数成等差数列，这样的等差数列可以有多少个？
22．(12分)已知fn(x)＝(1＋x)n.
(1)若f2 021(x)＝a0＋a1x＋…＋a2 021x2 021，求a1＋a3＋…＋a2 019＋a2 021的值．
(2)若g(x)＝f6(x)＋2f7(x)＋3f8(x)，求g(x)中含x6项的系数．
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