2021--2022学年人教版七年级数学上册期末压轴题： 4.3 角的旋转（word版 含答案）

人教版七年级上册数学角的旋转期末压轴题
1．已知，，平分，平分.
（1）如图，当、重合时，求的值；
（2）若从上图所示位置绕点以每秒的速度顺时针旋转秒（），在旋转过程中的值是否会因的变化而变化，若不发生变化，请求出该定值；若发生变化，请说明理由.
2．已知，射线OP从OB出发，绕O逆时针以1°/秒的速度旋转，射线OQ从OA出发，绕O顺时针以3°/秒的速度旋转，两射线同时出发，运动时间为t秒
（1）当秒时，求；
（2）当，求的值；
（3）射线OP，OQ，OB，其中一条射线是其他两条射线所形成的角的平分线，求t的值．
3．将一副三角板中含有角的三角板的顶点和另一块含有角的三角板的顶点重合于一点，绕着点旋转含有角的三角板，拼成如图的情况（在内部），请回答问题：
（1）如图1放置，将含有角的一边与角的一边重合，求出此时的度数；
（2）绕着点，转动三角板，恰好是平分，此时的度数应该是多少？
（3）是否存在这种情况，的度数恰好等于度数的3倍．如果存在，请求出的度数，如果不存在请说明理由．
4．点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC=120°， 一直角三角板的直角顶点放在点O处．
（1）如图1，将三角板DOE的一边OD与射线OB重合时，则∠COD=　 °；
（2）如图2，将图1中的三角板DOE绕点O逆时针旋转一定角度，当OC恰好是∠BOE的角平分线时，求∠COD的度数；
（3）将图1中的三角尺DOE绕点O逆时针旋转旋转度，OE始终在∠AOC的内部，在旋转的过程中，能否使∠AOE=3∠COD？若能，求出的度数；若不能，说明理由．
5．如图，已知∠AOB＝120°，射线OP从OA位置出发，以每秒2°的速度顺时针向射线OB旋转；与此同时，射线OQ以每秒6°的速度，从OB位置出发逆时针向射线OA旋转，当射线OQ达到OA后，两条射线同时停止运动．设旋转时间为t秒．
（1）分别求出当t＝5和t＝18时，∠POQ的度数；
（2）当OP与OQ重合时，求t的值；
（3）当∠POQ＝40°时，求t的值．
6．已知∠AOB，过顶点O作射线OP，若∠BOP＝∠AOP，则称射线OP为∠AOB的“好线”，因此∠AOB的“好线”有两条，如图1，射线OP1，OP2都是∠AOB的“好线”．
（1）已知射线OP是∠AOB的“好线”，且∠BOP＝30°，求∠AOB的度数．
（2）如图2，O是直线MN上的一点，OB，OA分别是∠MOP和∠PON的平分线，已知∠MOB＝30°，请通过计算说明射线OP是∠AOB的一条“好线”．
（3）如图3，已知∠MON＝120°，∠NOB＝40°．射线OP和OA分别从OM和OB同时出发，绕点O按顺时针方向旋转，OP的速度为每秒12°，OA的速度为每秒4°，当射线OP旋转到ON上时，两条射线同时停止．在旋转过程中，射线OP能否成为∠AOB的“好线”．若不能，请说明理由；若能，请求出符合条件的所有的旋转时间．
7．乐乐对几何中角平分线部分的学习兴趣浓厚，请你和乐乐一起探究下面问题吧．已知∠AOB＝100°，射线OE、OF分别是∠AOC和∠COB的平分线．
（1）如图1，若射线OC在∠AOB的内部，且∠AOC＝30°，求∠EOF的度数；
（2）如图2，若射线OC在∠AOB的内部绕点O旋转，则∠EOF的度数；
（3）若射线OC在∠AOB的外部绕点O旋转（旋转中∠AOC，∠BOC，均指小于180°的角），其余条件不变，请借助图3探究∠EOF的大小，请直接写出∠EOF的度数．（不写探究过程）
8．已知：如图1，点A、O、B依次在直线上，现将射线绕点O按顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点O按逆时针方向以每秒的速度旋转，如图2，设旋转时间为t（0秒秒）
（1）用含t的代数式表示的度数．
（2）在运动过程中，当第二次达到时，求t的值．
（3）如果让射线改变方向，绕点O逆时针方向旋转，在用时不超过30秒的情况下，用时多少秒，能使得，请直接写出t的值．
9．如图1，点O，M在直线AB上，∠AOC＝30°，∠MON＝60°，将∠MON绕着点O以12°/s的速度逆时针旋转，设旋转时间为ts（0≤t≤30）．
（1）如图2，当OC平分∠AON时，求t的值．
（2）如图3，当0＜t＜7.5，OD平分∠BOM，OF平分∠CON时，求∠DOF的度数．
（3）在∠MON绕着点O逆时针旋转过程中，当∠AON＝∠COM时，请画出图形，并求出t的值．
10．已知射线在的内部，射线平分，射线平分．
（1）如图1，若，，则__________度；
（2）如图2，若，，若射线在的内部绕点旋转，求 的大小；
（3）在（2）的条件下，若射线在的外部绕点旋转（旋转中、均是指小于的角），其余条件不变，请借助图3探究的大小，求的大小．
11．如图1，射线OC在的内部，图中共有3个角：、、，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是的“定分线”．
（1）一个角的平分线_________这个角的“定分线”；（填“是”或“不是”）
（2）如图2，若，且射线PQ是的“定分线”，则________(用含a的代数式表示出所有可能的结果）；
（3）如图2，若=48°，且射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒8°的速度逆时针旋转，当PQ与PN成90°时停止旋转，旋转的时间为t秒；同时射线PM绕点P以每秒4°的速度逆时针旋转，并与PQ同时停止．当PQ是的“定分线”时，求t的值．
12．如图，∠AOB＝150°，射线OC从OA开始，绕点O逆时针旋转，旋转的速度为每秒6°；射线OD从OB开始，绕点O顺时针旋转，旋转的速度为每秒14°，OC和OD同时旋转，设旋转的时间为t秒（0≤t≤25）．
（1）当t为何值时，射线OC与OD重合；
（2）当t为何值时，∠COD＝90°；
（3）试探索：在射线OC与OD旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得射线OC、OB与OD中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请直接写出所有满足题意的t的取值，若不存在，请说明理由．
13．将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于点O．
（1）如图1，若∠AOD＝35°，求∠BOC的度数．
（2）若三角板AOB保持不动，将三角板COD的边OD与边OA重合，然后将其绕点O旋转．试猜想在旋转过程中，∠AOC与∠BOD有何数量关系？请说明理由．
14．已知是直线上一点，将一个直角三角尺按图①方式放置，直角边在直线上，另一条直角边与的夹角，射线在内部．
（1）如图②，将三角尺绕着点顺时针旋转，当平分时，试判断与的大小关系，并说明理由．
（2）若，三角尺绕点顺时针旋转一周，每秒旋转5°，旋转时间为，则当为何值时？
（3）在（2）的条件下，在三角尺绕点顺时针旋转一周的过程中，的值能否为定值？若能，求的取值范围．
15．已知，，OM，ON分别是，的平分线．
（1）如果OA，OC重合，且OD在的内部，如图1，求的度数．
（2）如果将图1中的绕点O顺时针旋转，如图2．
①与旋转度数n°有怎样的数量关系？说明理由．
②当n为多少时，为直角？
（3）如果的位置和大小不变，的边OD的位置不变，改变的大小，将图1中的OC绕着O点顺时针旋转，如图3，与旋转度数m°有怎样的数量关系？直接写出答案．
参考答案
1．
解：（1）∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，
∴∠AOE=∠AOB=×110°=55°，∠BOF=∠COD=×40°=20°，
∴∠AOE-∠BOF=55°-20°=35°；
（2）∠AOE-∠BOF的值是定值，如图2，
由题意∠BOC=3t°，
则∠AOC=∠AOB+3t°，∠BOD=∠COD+3t°，
∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，
∴∠AOE=∠AOC=（110°+3t°），∠BOF=∠BOD=（40°+3t°），
∴∠AOE-∠BOF=（110°+3t°）-（40°+3t°）=35°，
∴∠AOE-∠BOF的值是定值．
2．
（1）当时，，
∴．
（2），，
与相遇前，当时，
∵，
∴，
，
与相遇后，时，
，
∴不垂直，
当时，
，
∵，，
∴，
，
综上所述，当或60时，．
（3）当平分时，
，
∴，
，
当平分时，
，
，
，
，
当平分时，
，
，
（不合题意），
综上所述，当或时，
、、其中一条射线是其他两条射线所形成的角的平分线．
3．
(1)由三角板知，∠AOB=60°，∠COD=45°，
∠AOD=45°+60=105°；
(2)OB平分∠COD，
∠BOD=∠COD =× 45°= 22.5°；
∠AOD=∠AOB+∠BOD
=60°+22.5°=82.5°；
(3)设∠BOC=x，
则∠AOC=60°-x，∠BOD=45°-x，
∠AOC=3∠BOD，
60°-x=3 (45°-x），
解得x=37.5°，
此时，∠AOD=∠COD+∠AOC=45°+（60°-37.5°）
=45°+22.5°=67.5°．
4．
（1）∵∠AOC=120°，三角板DOE的一边OD与射线OB重合，
∴∠COD=180°-120°=60°；
故答案为：60．
（2）∵OC平分∠BOE，
∴∠COE=∠BOC，
∵∠BOC=180°-∠AOC=180°-120°=60°，
∴∠COE=60°，
∵∠DOE=90°，
∴∠COD=90°-∠COE=30°；
（3）能，理由如下：
根据题意，得∠BOD=，
由（2）知∠BOC=60°，
①如下图，
∵∠AOC=120°，∴∠COD=∠BOC-∠BOD=60°-，
∵∠AOE=3∠COD，
∴∠AOE=3(60°-)，
∵∠DOE=90°，∠AOE+∠DOE+∠BOD=180°，
∴∠AOE+∠BOD=90°，即3(60°-)+=90°，
解得=45°．
②如下图，
∠COD=∠BOD-∠BOC=-60°，
∵∠AOE=3∠COD，
∴∠AOE=3(-60°)，
∵∠DOE=90°，∠AOE+∠DOE+∠BOD=180°，
∴∠AOE+∠BOD=90°，即3(-60°)+=90°，
解得=67.5°，
综上可得，为45°或67.5°．
5．
解：（1）当t＝5时，∠AOP＝2t＝10°，∠BOQ＝6t＝30°，
∴∠POQ＝∠AOB﹣∠AOP﹣∠BOQ＝120°﹣10°﹣30°＝80°；
当t＝18时，∠AOP＝2t＝36°，∠BOQ＝6t＝108°，
∴∠AOQ＝120°﹣108°＝12°，
∴∠POQ＝∠AOP﹣∠AOQ＝36°﹣12°＝24°；
（2）当OP与OQ重合时，
依题意得：2t+6t＝120，
解得：t＝15；
（3）当0＜t≤15时，
依题意得：2t+6t+40＝120，
解得：t＝10，
当15＜t≤20时，
依题意得：2t+6t﹣40＝120，
解得：t＝20，
∴当∠POQ＝40°时，t的值为10或20．
6．
解：（1）∵射线OP是∠AOB的好线，且∠BOP=30°
∴∠AOP=2∠BOP=60°
∴当OP在∠AOB内部时， ∠AOB =∠BOP +∠AOP =90° ,
当OP在∠AOB外部时，∠AOB = ∠AOP-∠BOP=30°
∴∠AOB =90°或30°；
(2) ∵OB，OA别是∠MOP和∠PON的平分线
∴∠AOB=∠BOP+∠AOP= (∠MOP+∠NOP)=，∠BOP=∠BOM=30°，
∴∠AOP=90°-30°=60°
∴∠BOP=∠AOP
∴OP是∠AOB的一条“好线” ；
(3) 设运动时间为t ，则∠MOP=12t ，∠BOA=4t ，
当OP在OB上方时，∠BOP=80°-12t ，∠AOP=80°+4t-12t=80°-8t ，
∴
解得：t=5；
当OP在OB下方时，∠BOP= 12t-80°， ∠AOP=80°+4t-12t=80°-8t ，
∴，
解得：t=
综上所述：运动时间为5秒或秒.
7．
解：（1）是的平分线，，
，
，
，
是的平分线，
，
；
（2），
，
是的平分线，是的平分线，
，
；
（3）是的平分线，是的平分线，
，
由题意，分以下三种情况：
①如图，延长至点，当射线在的内部时，
，
，
；
②如图，延长至点，延长至点，当射线在的内部时，
，
，
；
③如图，延长至点，当射线在的内部时，
，
，
；
综上，的度数为或．
8．
解：（1）当0≤t≤9时，∠MOA＝20t，
当9＜t≤18时，∠MOA＝360°-20t，
当18＜t≤27时，∠MOA＝20t-360°，
当27＜t≤30时，∠MOA＝，
（2）当∠AOB第二次达到120°时，如图1，得：
∠MOA＋∠NOB ∠AOB＝180°
∴20t＋40t 120＝180，解得t＝5；
（3）如图2，当∠AOB第一次达到30°时，OB比OA多转了（180 30）°，得：
40t 20t＝180 30
解得：t＝7.5
如图3，当∠AOB第二次达到30°时，OB比OA多转了（180＋30）°，得：
40t 20t＝180＋30
解得：t＝10.5
当∠AOB第三次达到30°时，OB比OA多转了（180＋360 30）°，得：
40t 20t＝180＋360 30
解得：t＝25.5
当∠AOB第四次达到30°时，OB比OA多转了（180＋360＋30）°，得：
40t 20t＝180＋360＋30
解得：t＝28.5
综上所述，t＝7.5或10.5或25.5或28.5时，∠AOB＝30°．
9．
解：（1）如图2中，
∵OC平分∠AON，
∴∠AOC＝∠CON＝30°，
∴∠BOM＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴12t＝60，
解得t＝5．
故t的值为5s；
（2）如图3中，
∵∠AOC＝30°，∠MON＝60°，∠BOM=(12t) °，
∴∠CON=(90﹣12t)°，
∵OD平分∠BOM，OF平分∠CON，
∴∠FON＝(90﹣12t)°=(45-6t)°，∠MOD＝×(12t)°=(6t)°
∴∠DOF＝∠FON+∠MON+∠MOD＝(45﹣6t)°+60°+(6t)°＝105°；
（3）如图3﹣1中，当∠AON＝∠COM时，
∵∠AOC＝30°，∠MON＝60°，
∴∠AON＝∠COM＝15°，
∴∠BOM＝135°，
∴t＝135÷12＝11.25．
如图3﹣2中，当∠AON＝∠COM时，则∠CON＝∠AOM，
∵∠AOC＝30°，∠MON＝60°，
∴∠CON＝∠AOM＝135°，
∴∠BON=180°-30°-135°＝15°，
∴∠BOM＝45°，
∴12t＝360﹣45，
解得t＝26.25．
故t的值为11.25或26.25s．
10．
解：（1） ，，
射线平分，射线平分,
故答案为：50．
（2）∵射线平分，射线平分
∴，
（3）分以下两种情况：
①当射线，只有1条在外部时，如图3①，
同理可得：
②当射线，都在外部时，如图3②，
同理可得：
综上所述：当射线，只有1条在外面时，；当射线都在的外部时，．
11．
解：（1）当OC是角∠AOB的平分线时，
∵∠AOB=2∠AOC，
∴一个角的平分线是这个角的“定分线”；
故答案为：是；
（2）∵∠MPN=分三种情况
①∵射线PQ是的“定分线”，
∴=2=，
∴=，
②∵射线PQ是的“定分线”，
∴=2，
∵∠QPN+∠QPM=，
∴3=，
∴=，
③∵射线PQ是的“定分线”，
∴2=，
∵∠QPN+∠QPM=，
∴3∠QPN =，
∴∠QPN =，
∴∠QPM =，
∴∠MPQ=或或；
故答案为：或或；
（3）依题意有三种情况：
①∠NPQ=∠NPM，
由∠NPQ=8t，∠NPM=4t+48,
∴8t=（4t+48），
解得t=2.4(秒)；
②∠NPQ=∠NPM
由∠NPQ=8t，∠NPM=4t+48,
∴8t=（4t+48），
解得t=4(秒)；
③∠NPQ=∠NPM
由∠NPQ=8t，∠NPM=4t+48,
∴8t=（4t+45），
解得：t=6(秒)，
故t为2.4秒或4秒或6秒时，PQ是∠MPN的“定分线”．
12．
解：（1）设，，
当射线OC与OD重合时，，
即，解得，
∴当时，射线OC与OD重合；
（2）①射线OC与OD重合前，
，
即，解得；
②射线OC与OD重合后，
，
即，解得，
∴当或时，∠COD＝90°；
（3）①如图，平分，则，
∴，
即，解得；
②如图，平分，则，
∴，
即，解得；
③如图，OB平分，则，
即，解得，
∵，
∴不成立，舍去；
综上，或．
13．
解：（1）∵∠AOB=90°，∠AOD=35°，
∴∠BOD=90°-35°=55°，
∵∠COD=90°，
∴∠BOC=90°-55°=35°；
（2）∠AOC+∠BOD=180°，
如图1时，
∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOC+∠BOD
=∠AOB+∠BOC+∠BOD
=∠AOB+∠COD
=90°+90°
=180°；
如图2时，
∠AOC+∠BOD=360°-90°-90°=180°；
综上可知，∠AOC+∠BOD=180°．
14．
（1）=，理由如下：
∵∠MON=，
∴∠AON+∠BOM=，∠NOC+∠COM=，
∵平分，
∴∠BOM=∠COM，
∴∠AON=∠CON；
（2）如图，
∵∠MON=，
∴∠AON+∠BOM=，
∵，
∴∠CON+∠AON=，
∴∠AOC+2∠CON=，
∵，
∴∠CON=，
∴旋转时间为==15（秒）；
（3）能是定值，如图，
∵∠MON=，，
∴当∠MON在∠BOC内部时，=-∠AOC-∠MON=，
∴是定值，
此时<∠AON<，
∴12．
15．
（1）如图1平分，，
，
∵平分，，
，
．
（2）①由（1）可知，，，
∵，
，
．
②当为直角时，即，
，解得，
为70时，为直角．
（3），，
，
∵平分，
，
∵，
．
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